高考数学二轮复习 专题3 数列与不等式

高考数学二轮复习 专题3 数列与不等式

专题三 数列与不等式

【重点知识回顾】

1． 数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．

2． 数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想． 【典型例题】

1．等差数列与等比数列的综合

等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．

例1．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）

A ．2744n n +

B ．2533n n +

C ．2324n n

+

D ．2n n + 答案：A

解析：设数列{}n a 的公差为d ，则根据题意得(22)22(25)d d +=⋅+，解得1

2

d =

或0d =（舍去）

，所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244

n n n n n

S n -=+⨯=+． 例2．等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列．若1a =1，则4s =（ ）

（A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16 解析：

41a ，22a ，3a 成等差数列，13244a a a ∴+=，即2

11144a a q a q +=，

2440

q q ∴-+=，

42,15

q S ∴==，因此选C ．

点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．

2．函数与不等式综合

不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； ③在定义域内，求出函数的最值； ④正确写出答案．

例３．设x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020

63y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是

最大值为12，则

23

a b

+的最小值为（ ） A ．625 B ．38 C ． 3

11 D ． 4

答案：A

解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大

12，即

4a+6b=12，即

2a+3b=6, 而

23a b +=2323()6a b a b ++13()6b a a b =++1325266

≥+=，故选A ．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求23

a b

+的

最小值常用乘积进而用基本不等式解答．

例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、

乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问

该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元．

答案：70

解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，

由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪

+⎨⎪⎩

≤，

≤，≥，≥

目标函数为30002000z x y =+．

二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪

+⎨⎪⎩

≤，≤，≥，≥

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．

平移直线，从图中可知，当直线过M 点时，目标函数取得最大值． 联立30052900.

x y x y +=⎧⎨

+=⎩，

解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为

(100200)，．

max 30002000700000z x y ∴=+=（元）．

点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．

例5．设a 为实数，函数

2()2()||f x x x a x a =+--．

(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求

()f x 的最小值；

(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．

(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集．

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