习题7-1
1. 选择题
(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X
的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .
(A) X 和S 2. (B) X 和21
1()n i i X n μ=-∑. (C) μ和
σ2.
(D) X 和
21
1
()n
i
i X X n
=-∑.
解 选(D).
(2) 设[0,]X U θ, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X
的样本, 则θ的矩估计量是( ) .
(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n
X ≤≤. (D) 1min{}i i n
X ≤≤.
解 选(B).
2. 设总体X 的分布律为
其中0＜θ＜12n , 试求θ的矩估计量.
解 θ的矩估计量为ˆ15
X θ
-=. 3. 设总体X 的概率密度为
(1),01,
(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨
⎩其它.
其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；
(2) θ的极大似然估计量.
解 参数θ的矩估计量为21ˆ
1X X
θ-=
-.
θ的极大似然估计值为 1
ˆ1ln n
i
i n
x
θ
==--∑,
而θ的极大似然估计量为 1
ˆ1ln n
i
i n
X
θ
==--∑.
4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为
e ,0,
(,)0,
0,x x f x x λλλ->=⎧⎨
⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数λ
的矩估计量与极大似然估计量.
解 λ的矩估计量为1ˆX λ=. λ的极大似然估计值为1ˆx
λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX
λ=. 习题7-2
1. 选择题: 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在但未知, 而
12,,
,n X X X 为X 的样本, 则无论总体X 服从什么分布, ( )是μ和2
σ的无偏估计量.
(A) 11n i i X n =∑和2
11()n i i X X n =-∑. (B) 111n i i X n =-∑和211()1n i i X X n =--∑. (C)
1
1
1
n
i
i X n =-∑和
2
1
1
()1
n
i
i X n μ=--∑. (D)
1
1
n
i
i X n
=∑和
21
1
()n
i
i X n
μ=-∑.
解 选(D).
2. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X
N μσ的样本, 且
Y 12311
34
X X kX =++为μ的无偏估计量, 问k 等于多少?
解 k =5
12
.
3. 设总体X 的均值为0, 方差2
σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X 的样本, 试证：
2121()2
X X -为2σ的无偏估计.
证 因为222
12112211[()][(2)]22
E X X E X X X X -=-+
22
2
2112212[()2()()]2
2
E X E X X E X σσ=-+=
=,
所以2121
()2
X X -为2σ的无偏估计.
习题7-3
1. 选择题
(1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.
(C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解 选(D).
(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).
(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C ）
习题7-4
1. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为105=x 元, 样本标准差28=s 元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间.
解
所求μ的置信区间为
2
2
((1),(1))(105 2.0227,105 2.0227)x n x n αα-
-+
-=+
=(96.045, 113.955).
2. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s =2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．
解 方差σ 2的置信区间为
2
2
2212
2
(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ---=--22
(81) 2.4(81) 2.4(
,)20.2780.989-⨯-⨯=(1.988, 40.768). 3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样
