求函数值域的十种方法
一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 ．求函数的值域。
【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
【练习】
1 ．求下列函数的值域：
① ；② ；
③ ；，。
【参考答案】① ；② ；③ ；。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如
的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2 ．求函数（）的值域。
【解析】。
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。
∴函数（）的值域为。
例 3 ．求函数的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：
配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
例 4 ．若，试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得：
， y=1 时，取最大值。
【练习】
2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；② ；③ ；
④ ；，；。【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；
三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它
易反解出自变量的函数类型。
例 5 ．求函数的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而
便于求出反函数。
反解得，故函数的值域为。
【练习】
1 ．求函数的值域。
2 ．求函数，的值域。
【参考答案】 1 ．；。
四．分离变量法：
适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 ：求函数的值域。
解：∵ ，
∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。
例 7 ：求函数的值域。
分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有
。
不妨令：从而。
注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母 . 所以故。
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。
【练习】
1 ．求函数的值域。
【参考答案】 1 ．
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
例 8 ：求函数的值域。
解：令（），则，∴ 。
∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。
例 9 ：求函数的值域。
解：因，即。
故可令，∴
。
∵ ，，
故所求函数的值域为。
例 10 . 求函数的值域。
解：原函数可变形为：
可令 X= ，则有
当时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为
例 11. 求函数，的值域。解：
令，则
由
且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。
例 12. 求函数的值域。
解：由，可得
故可令
∵
当时，
当时，
故所求函数的值域为：
六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，
判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例 13 ：求函数的值域。
解：由变形得，
当时，此方程无解；
当时，∵ ，∴ ，
解得，又，∴
∴函数的值域为
七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，
求出函数的值域。
例 14 ：求函数的值域。
解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，
∴函数在定义域上是增函数。
∴ ，
∴函数的值域为。
例 15. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以在上也为无上界的增函数
所以当 x=1 时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为
适用类型 2 ：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）
例 16 ：求函数的值域。
分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：
由复合函数的单调性（同增异减）知：
。
八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用等。
例 17 ：求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：
即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为
注：该题还可以使用数形结合法。，利用直线的斜率解题。例 18 ：求函数的值域。
解：由解得，
∵ ，∴ ，∴
∴函数的值域为。
