第6章状态观测器设计

最优控制问题的状态观测器设计在控制系统中，状态观测器是一种重要的元件，其作用是通过利用系统的输出信息来估计系统的状态，从而实现对系统的控制和观测。

最优控制问题的状态观测器设计是解决最优控制问题中的一个关键环节。

本文将就最优控制问题的状态观测器设计进行探讨和分析。

1. 状态观测器的基本原理在最优控制问题中，我们往往只能通过系统的输出去观测系统的状态，而无法直接获取到系统的状态信息。

状态观测器的作用就是通过利用系统的输出信息来估计系统的状态。

状态观测器基于系统的动态方程和输出方程，通过对系统的输出进行测量和估计，从而实现对系统状态的观测和估计。

2. 状态观测器的设计方法状态观测器的设计方法有很多种，其中比较常用的方法是基于卡尔曼滤波器的设计方法。

卡尔曼滤波器是一种通过对系统的输出信息进行处理和估计来获取系统状态的滤波器。

它通过利用系统的数学模型和测量方程，通过迭代的方式来实现对系统状态的估计。

3. 离散时间状态观测器的设计在离散时间的最优控制问题中，离散时间状态观测器的设计是常见的一种方法。

离散时间状态观测器的设计主要涉及到系统的状态方程和观测方程的离散化，以及滤波器增益的计算。

通过对状态方程和观测方程进行离散化，可以得到离散时间的状态观测器。

4. 连续时间状态观测器的设计在连续时间的最优控制问题中，连续时间状态观测器的设计是另一种常见的方法。

连续时间状态观测器的设计主要涉及到系统的状态方程和观测方程的连续化，以及滤波器增益的计算。

通过对状态方程和观测方程进行连续化，可以得到连续时间的状态观测器。

5. 状态观测器设计的性能指标在状态观测器的设计中，性能指标是一个重要的考虑因素。

常用的性能指标包括收敛性、稳定性和观测精度。

收敛性指的是状态观测器输出的估计状态是否收敛到系统的实际状态；稳定性指的是状态观测器的增益是否稳定；观测精度指的是状态观测器输出的估计状态与系统实际状态的差距。

6. 实例分析为了更好地理解状态观测器设计的过程和方法，下面我们以一个最优控制问题为例进行分析。

现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中，状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。

状态反馈器通过测量系统的状态变量，并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合，以优化系统的性能指标。

状态观测器则根据系统的输出信息，估计系统的状态变量，以便实时监测系统状态。

本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。

一、状态反馈器的设计：状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵，使得系统的状态变量在给定的性能要求下，达到所需的一组期望值。

其设计步骤如下：1.系统建模：通过对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。

通常表示为：ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为系统输出向量，A、B、C、D为系统的状态矩阵。

2.控制器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个适当的闭环极点位置，并计算出一个合适的增益矩阵。

常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。

3.状态反馈器设计：根据控制器设计得到的增益矩阵，利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。

状态反馈器的输出为：u=-Kx其中，K为状态反馈增益矩阵。

4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的性能表现，并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。

二、状态观测器的设计：状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息，通过一个状态估计器，实时估计系统的状态变量。

其设计步骤如下：1.系统建模：同样地，对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。

2.观测器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个合适的观测器极点位置，以及一个合适的观测器增益矩阵。

常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。

3.状态估计：根据观测器设计得到的增益矩阵，通过观测器估计系统的状态变量。

状态观测器的输出为：x^=L(y-Cx^)其中，L为观测器增益矩阵，x^为状态估计向量。

4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的状态估计精度，并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。

Chapter6 状态观测器设计在工程实际中能量测的信号只是系统的输出y ，而不是系统的内部状态。

有的状态变量是物理量，有的则不是物理量，因而状态变量未必都可以测量得到。

当状态不能全部量测时，我们就无法获得系统的状态信息，因而状态反馈在工程上就不能实现。

1964年，Luenberg er G D ⋅⋅（龙伯格）提出的“状态观测器”理论成功的解决了系统状态信息的获取问题。

Luenberg er G D ⋅⋅认为，当已知系统输入为u ，系统的输出为y ，他们必然与其内部状态x 有联系，也就是说我们应该能通过测量),(y u 对未知的状态量x 进行推论和估计。

“状态观测器”本质上是一个“状态估计器”（或称动态补偿器），其基本思路是利用容易量测的被控对象的输入u 和输出y 对状态进行估计（和推测）。

6.1 观测器设计考虑线性时不变系统Cx y Bu Ax x=+=，& （6-1） 基于（6-1）人为地构造一个观测器，观测器的输出为x ~，如果能满足 0)~(lim =-∞→x x t （6-2）则观测器的输出x ~可以作为内部状态)(t x 的估值，从而实现“状态重构-即重新构造“状态x ~”来作为“原状态x ”的估值。

观测器的输出x ~应该能由系统输入u 和系统输出y 综合而成（系统输入u 和系统输出y 在工程实际中容易检测到）。

∞→t 只是数学上的表述，实际工程中是很快的过程（<s 1）。

为了得到估计值x ~，一个很自然的想法是构造一个模拟系统 Bu x A x +=~~&，x C y ~~= （6-3） 用该模拟部件（6-3）去再现系统（6-1）。

因为模拟系统（6-3）是构造的，故x ~是可量测的信息，若以x ~作为x 的估值。

其估计误差为x x e -≡~，（6-3）减（6-1），满足方程 Ae e =& （6-4） 讨论：①若A 存在不具有负实部的特征值，Ae e=&将不会稳定，则当初始误差0)0(≠e ，即)0()0(~x x ≠时，有0)]()(~[lim ≠-∞→t x t x t ，这样x ~就不能作为x 的估计值，即Ae e =&不能作为一个观测器。

状态观测器 （state observer ）背景：60年代初期，为了对控制系统实现状态反馈或其他需要，D.G.吕恩伯格、R.W.巴斯和J.E.贝特朗等人提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。

由龙伯格（Luenberger ）提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制律。

在噪声环境下下的状态观测涉及随机最优估计理论，即卡尔曼滤波技术。

状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。

定义：根据系统的外部变量(输入变量和输出变量)的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统，也称为状态重构器。

如果动态系统Σ^以Σ0的输入，输出y 作为其输入量，能产生一组输出X ^渐近于x ，即lim t→∞（x- x ^）=0，则称Σ^为Σ0的一个状态观测器。

构造状态观测器的的基本原则是:（1）观测器Σ^应以Σ0 的输入变量和输出变量为其输入变量。

（2）Σ0必须完全可观，或其不可观子系统是渐近稳定的。

（3）Σ^的输出变量x ^是原系统Σ0的状态变量x 的实时估计值，x ^与x 之间的偏差随时间的衰减应满足一定的快速性。

（4）Σ^在结构上应尽量简单，即具备尽可能低的维数，以便于物理实现。

结构：构成状态观测器的方法依需要的不同而有差别。

最简单的是开环状态观测器（图1）。

这种观测器实质上就是按被观测系统复制的一个模型，但其状态变量可以直接输出。

只要初始条件相同x ^ (0)＝x(0), x ^(t)就可作为被观测系统的状态x(t)的一个精确的估计。

但这个条件往往很难满足。

此外，这种开环观测器对外界干扰的抗干扰性和对参数变动的灵敏度都很差，它的输出x ^ (t)不能成为x(t)的一个良好估计。

因此开环状态观测器几乎没有实用价值。

采用闭环方式构成的状态观测器能克服开环状态观测器的缺点。

现代控制理论实验报告2012- 2013 学年第 2 学期班级：姓名：学号：实验四 状态观测器的设计一、实验目的1． 了解和掌握状态观测器的基本特点。

2． 设计状态完全可观测器。

二、实验要求设计一个状态观测器。

三、实验设备1． 计算机1台2． MATLAB6.X 软件1套四、实验原理说明设系统的模型如式(3－1)示。

p m n R y R u R x DCx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨⎧+=+= (3－1)系统状态观测器包括全维观测器和降维观测器。

设计全维状态观测器的条件是系统状态完全能观。

全维状态观测器的方程为：Bu y K z C K A zz z ++-=)( (3－2) 五、实验步骤1． 在MA TLA 界面下调试[例3.1]程序，并检查是否运行正确。

[例3.1]：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1210A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10B ， []01=C (3－3) 首先验证系统是状态完全可观测的，设状态观测器的增益阵为K z =[k1 k2]T 根据题义编程: A=[0 1;-2 -1]; B=[0;1];C=[1 0]; D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1); %求出原系统特征多相式 denf=[1 6 9]; %希望的极点的特征多相式 k1=den(:,2)-denf(:,2) %计算k1=d1-a1 k2=den(:,3)-denf(:,3) %计算k2=d2-a2程序运行结果:k1 =-5 k2 =-7所以，状态观测器的增益阵为K z =[k1 k2]T =[-5 –7]T 。

则状态观测器的方程为六、实验要求1、已知系数阵A 、B 、和C 阵分别如式(3－4)示,设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[-1 -2 -3]上⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=234100010A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=631B []001=C (3－4)设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[-1 -2 -3]。

状态观测器设计利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。

然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。

此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系统的状态进行估计，即构造状态观测器。

状态观测器，是一个在物理上可以实现的动态系统，它利用待观测系统的可以量测得到的输入和输出信息来估计待观测系统的状态变量，以便用该组状态变量的估计值来代替待观测系统的真实状态变量进行状态反馈设计，实现闭环系统极点的再配置。

1. 全维状态观测器当对象的所有状态均不可直接量测时，若要进行状态反馈设计，就需对全部状态变量进行观测。

这时构造的状态观测器，其阶次与对象的阶次相同，被称为全维状态观测器。

考虑如下n阶单输出线性定常离散系统(1)其中，A为n×n维系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为n×1维输出矩阵。

系统结构图如图1所示。

图1 全维状态观测器构造一个与受控系统具有相同参数的动态系统(2)当系统(1)与(2)的初始状态完全一致时，则两个系统未来任意时刻的状态也应完全相同。

但在实际实现时，不可能保证二者初始状态完全相同。

为此，应引入两个系统状态误差反馈信号构成状态误差闭环系统，通过极点配置使误差系统的状态渐趋于零。

由于原受控系统状态不可直接量测，故用二个系统的输出误差信号代替。

引入了输出误差的状态观测器状态方程为(3)其中，H为状态观测器的输出误差反馈系数矩阵,有如下形式定义状态估计误差为，用式(7.65)与(7.67)相减可得(4)即(5)通过式(5)可以看出，若选择合适的输出误差反馈矩阵H 使得状态估计误差系统(5)的所有极点均位于z平面单位圆内，则误差可在有限拍内趋于零，即状态估计值在有限拍内可以跟踪上真实状态，且极点越靠近原点状态估计误差趋于零的速度越快，反之越慢。

可见，能否逼近x(k)以及逼近速度是由H阵决定的。