数学建模作业
一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）
表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.
中序号为自变量x ，以白昼时间为因变量y ，则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x 的增加，y 大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。选择函数2sin()365
x y A b π=+ϕ+作为函数值。根据表1.17的数据，
推测A,b 和ϕ的值，作非线性拟合得26.9022sin()12.385365
x y π=-1.3712+，
预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时。
二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）
继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？
解(1)按照2.2节中的“汽车刹车距离”案例，“两秒准则”和“一车长度准则”在模型分析与模型建立差不多相同，只是K 1的取值不同。
D ～ 前后车距（m ）； v ～ 车速（m/s ）；
K 1 ～ 按照“两秒准则”，D 与v 之间的比例系数（s ）. 于是“两秒准则”的数学模型为：
D= K 1* v ；(K1=2.0) ;(1.0) 已经知道，刹车距离的数学模型为 d=k 1v+k 22
v ;
;(1.1)
比较（1.0）与（1.1）式得 d-D=（k 1+k 2v-K 1）v;
所以当k 1+k 2v-K 1>0时，即前后车距大于刹车距离的理论值，可以为是足够安全；
k1+k2v-K1<0时，可以为是不够安全。
代入k1=0.75，k2=0.082678，K1=2.0，计算得到当车速超过15.11889m/s时，“两秒准则"就不够安全了。
(2)
下面的程序及图像也是很好的证明。
源程序：
v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18, 25, 36, 47, 64, 82, 105, 132, 162, 196, 237, 283, 334
22, 31, 45, 58, 80, 103, 131,165, 202, 245, 295, 353, 418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];
d2=0.3048.*d2;
K1=1.1185;k1=0.75; k2=0.082678; d=d2+d1;
plot([0,40],[0,2*40],'--k', [0,40]),hold on
plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')
plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2),hold off
title('比较刹车距离实测数据、理论值、两秒准则')
legend('两秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
xlabel('车速v（m/s）'), ylabel('距离（m）')
(3)
根据汽车的最高速度一般不超过120km/h (约33.3m/s)，k2=0.082678 , k1=0.75 , 33.3*k2+k1=2.753177s + 0.75s = 3.5 s ,所以我认为可以采取“3.5秒准则"。这在理论上和实际上都是比较安全的。
三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）
继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.
解：（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为
c
c
∆
，则生猪饲养的天数t发生
的相对变化
t
t
∆
是
c
c
∆
的多少倍，即定义t对c的灵敏度为
S（t,c）=△t/t
△c/c
因为△c→0，所以重新定义t对c的灵敏度为
S（t,c）=△t/t
△c/c
=
dt
dc
×
c
t
①
由课本上可知t= rp(0)-gω(0)-c
2gr
②
所以t=
rp(0)-g ω(0)2gr -c
2gr
,所以t 是c 的减函数
为了使t ﹥0，c 应满足rp(0)-g ω(0)-c>0
结合①②
可得S （t,c ）= —
c rp(0)-g ω(0)-c = － 3.2
12-0.08×90－3.2
= －2这个结果表示
的意思是如果农场每天投入的资金c 增加1%，出售时间就应该提前2% 。
（2）同理（1）总收益Q 对每天投入资金c 的灵敏度为
S （Q,c ）=
dQ dc ×c Q
③
Qmax=[rp(0)－g ω(0)－c]24gr ④
结合③④得 Qmax=－
2c rp(0)－g ω(0)－c =－ 2×3.2
12－0.08×90－3.2
=－4这结果表示的意思是
如果每天投入的资金c 增加1%，那么最大利润就会减少4%
四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）
某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%. 假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：
(1) 三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；
(2) 如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？
(3) 在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？
解：①解记第k 年山猫 x k ,设自然坏境下的年平均增长率为r ，则列式得
x k+1=(1+r)x k , k=0,1,2…
其解为等比数列
x k =x 0(1+r)k , k=0,1,2…
当分别取r=0.0168 , 0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为
年 较好 中等 较差
