双曲线过焦点的弦长公式

专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．设1F ，2F 为双曲线2214y x -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ） A ．2 BC ．4 D．【解析】由题意，双曲线2214y x -=，可得1,2a b ==，则c =因为点P 在双曲线上，不妨设点P 在第一象限，由双曲线的定义可得122PF PF -=，又因为1290F PF ∠=︒，可得2221212PF PF F F +=，即2221220PF PF +==，又由222121212()2PF PF PF PF PF PF +=-+，可得2122220PF PF +=，解得128PF PF =，所以12F PF △的面积为12142S PF PF ==.故选：C. 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B两点，若AB =双曲线的方程为（ ） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=【解析】由题意可设双曲线方程为22y x m -=，0m >，由2220y x m x y ⎧-=⎨+=⎩得23x m =，则x =，0m >，不妨假设A x =A y =-由图象的对称性可知，AB =OA9m =， 故双曲线方程为：229y x -=，故选：C3．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x－4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10.所以|AB |＝故选:D. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①，222212x y -=. ②①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1. 则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |故选：D4．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（ ） A．B．C ．10D．【解析】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，∴ba=b，∵左焦点()F，∴c =222233=+==c a b a ，∴21a =，22b =， ∴双曲线方程为2212y x -=，直线l的方程为(2=y x ， 设()11,A x y ，()22,B x y由(22212y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，消y可得270++=x，∴12+=-x x 127=x x ，∴10====AB ．故选:C5．已知双曲线C : 22221x y a b -= (a >0，b >0)， 过点P (3，6) 的直线l 与C 相交于A ， B 两点， 且AB 的中点为N (12，15)， 则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．32D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由已知可得2211221x y a b-=，2222221x y a b -=，相减化简可得2121221212=0y y y y b a x x x x -+-⋅-+，又AB 的中点N (12,15)，直线AB 过点P (3,6)， ∴ 1224x x +=，1230y y +=，12121y y x x -=-，∴ 2254b a =，∴ 2222914c b a a =+=，∴ 离心率32c e a ==，故选：C.6．已知双曲线C ：2214y x -=，经过点M (2，1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．8x －y －15＝0 B ．8x ＋y －17＝0 C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0【解析】设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则2211222244,44,x y x y ⎧-=⎨-=⎩ 两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝1212y y x x --＝162＝8， 故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.故选：A ．7．已知双曲线222:1(3)9-=>x y C a a 左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线l 交双曲线C 的于A ，B 两点，若2ABF 的周长为25，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）． A ．340±=x yB ．430x y ±=C ．380x y ±=D ．830x y ±=【解析】设1(,0)F c -，12(,),(,)A c y B c y --，因为l 垂直x 轴，所以12y y =-，又A 、B 在双曲线C 上，所以221219y c a -=，又22229c a b a =+=+，所以219b y a a==， 所以2218b AB a a==，所以2ABF 的周长为221122AF BF AB a AF a BF AB ++=++++ =18424225a AB a a +=+⨯=，所以4a =或94a =（舍） 所以双曲线C 的渐近线方程为34yx ，即340±=x y .故选：A8．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线0x =上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF的面积为则C 的方程为A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163x y -=D ．22184x y -=【解析】20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，则右焦点F 的坐标为)F，20x y +=，因为P 在0x +=上，且OF PF =，则右焦点F 的坐标为)F到直线0x +=的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯= 2λ∴=，故22:142x y C -=，故选：B二、多选题9．双曲线E 的方程为2213x y -=，12F F 、分别为左右焦点，P 为双曲线上一点，且172PF =，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）A ．272PF =+27=2PF -B ．EC ．E 的渐近线与圆2221x y 相切D ．满足AB =l 有3条【解析】由双曲线E 的方程为2213x y -=，则在双曲线E 中1,2a b c ===选项A ，当点P 在右支上时，12PF c a ≥+=722<P 在左支上，则21722PF PF a =+=+A 不正确.选项B.双曲线E 的离心率为c e a ===B 不正确.选项C.双曲线E 的渐近线方程为0x =圆2221x y 的半径为1，圆心为()2,0到渐近线0x =的距离为1d ==所以E 的渐近线与圆2221x y 相切，故选项C 正确.选项D. 由直线l ：()2y k x =-恒过点()2,0，即直线l ：()2y k x =-过双曲线的右焦点.若直线l 与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，223b AB a ==由AB =2条.若直线l 与双曲线E 的左、右支各有一个交点，此时2AB a = 则满足条件的直线即为0y =，故此时只有一条直线满足条件. 综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D 正确 故选：CD10．已知双曲线22:14x E y -=的右焦点为F ，过F 的动直线l 与E 相交于A ，B 两点，则（ ）A ．曲线E 与椭圆2216y x +=有公共焦点B ．曲线E ，渐近线方程为20x y ±=．C ．AB 的最小值为1D ．满足AB 4=的直线l 有且仅有4条【解析】对于A ：由2214x y -=知双曲线的焦点在x 轴上，由2216y x +=知椭圆的焦点在y 轴上，所以焦点不相同，故选项A 不正确；对于B ：由双曲线22:14x E y -=可得24a =，21b =，所以222415c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为c e a ==，渐进线方程为12b y x x a =±=±，即20x y ±=， 故选项B 正确；对于C ：当A ，B 两点位于双曲线的异支时，直线AB 的斜率为0时AB 最小，此时A ，B 两点分别为双曲线的左右顶点，此时24AB a ==，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，直线AB 的斜率不存在时AB 最小，直线AB 的方程为x =2214x y -=可得12y =±，所以1212AB =⨯=，所以AB 的最小值为1，故选项C 正确；对于D ：由选项C 知，当A ，B 两点位于双曲线的异支时，min 4AB =，此时只有一条，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，min 1AB =，根据对称性可知，此时存在两条直线使得AB 4=，所以满足AB 4=的直线l 有且仅有3条.故选项D 不正确； 故选：BC.11．已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若△1ABF 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ） A ．双曲线CB ．12AF F △的面积为2 C ．12BF F △的内心在直线x a =±上D ．12AF F △内切圆半径为)1a【解析】对于C ，设12BF F △的内心为I ，作过I 作1212,,BF BF F F 的垂线，垂足分别为,,H G P ，如图，则12122F P F P F B F B a -=-=，所以OP a =， 所以12BF F △的内心在直线x a =±上，故C 正确；△1ABF 为等边三角形,若,A B 在同一支，由对称性知AB x ⊥轴，2(,)b A c a ，2tan 302b a c∴=，2b =.2221b e a ∴=+=,e =12222221232AF Fb bc S c a a a =⨯⨯==△, 设12AF F △的内切圆半径为r，则()2162r a+=，解得)1r a =；若,A B 分别在左右两支，则2112,4F A a F A F B AB a ====， 则2221241641cos 2242a a c F AF a a +-==-⨯⨯，解得c=，离心率e 122124sin120232AF F S a a =⨯⨯=△，设12AF F △的内切圆半径为r ，则()2162r a +=，解得r =；所以结论一定正确的是BC.故选：BC. 12．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【解析】1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴， 12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22bPF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac -=，220e -=，解得：e =C 正确；c e a ==223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，ba∴ E∴的渐近线方程为y =，D 正确.故选：BCD. 三、填空题13．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【解析】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-， 因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-， 所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．故答案为：210x y --=．14．已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12PF F S=12FPF ∠=___________.【解析】依题意2,a b c ===12,PF mPF n ==，不妨设m n >，122F F c ==，设()120,F PF θπ=∈∠，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得(22242cos 1sin 2m n m n mn mn θθ⎧-=⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=⎪⎩，()22216282cos sin m n m n mn mn θθ⎧-=⎪=+-⎨⎪=⎩，2222216282cos sin m n mn m n mn mn θθ⎧+-=⎪=+-⎨⎪=⎩，282162cos mn mn mn θ=+-⎧⎪⎨=⎪⎩，()1221cos mn mn θ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，()1221cos θ=-cos 1θθ+=， 12sin 1,sin 662ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于70,666πππθπθ<<<+<，所以52,663πππθθ+==，所以1223F PF π∠=.故答案为：23π15．已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，1210F F =，122MF MF =，则双曲线的标准方程为______． 【解析】由双曲线定义得122MF MF a -= 又122MF MF =，解得：22MF a =，14MF a =，∵M 为以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，∴12MF MF ⊥ ∴()()2222410a a +=，解得：25a =，∴22525520b c =-=-=，故双曲线标准方程为：221520x y -=．16．已知双曲线C ：22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于P ，Q 两点，当PQ 最小时，四边形12F PF Q 的面积为___________.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，由22145y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2284200x mx m ---=，由韦达定理得212128,420x x m x x m +=⋅=--，所以PQ ===当0m =时，PQ 有最小值()()12,,,0330F F -到直线y x =的距离分别为12,d d ，12d d ==所以四边形12F PF Q 的面积为()12121122F PQF PQS S SPQ d d =+=⋅+=⨯=⎝⎭四、解答题17．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P 满足条件PM PN -=P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ． 【解析】（1）因为8PM PN MN -==，所以点P 的轨迹是以,M N 为焦点，实轴长为所以24a c ==，所以222212,16124a b c a ==-=-=，所以C 的方程为：221124x y -=； （2）不妨设焦点()4,0F ，则直线l ：4y x =-由2241124y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得：212300x x -+=．设()11,A x y ，()22,Bx y ，则1212x x +=，1230x x =，所以AB==18．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>. （1）求双曲线的标准方程；（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B两点，若AB =，求m 的值. 【解析】（1）由题得顶点(),0a 到渐近线b y x a =，即0bx ay -=c e a ==222+=a b c ， 则可解得2,a b ==，故双曲线方程为22143x y -=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得2233244120x mx m +++=， 则()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>，解得233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=， 则AB ==，解得6m =±.19．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程； （2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 【解析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩，()225430250m y my ⇒-++= 由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505*********m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，0m ⇒<<，由点P 在x 轴上方，则12y y ==33PF m FQ ==-⇒=⇒=∴直线l方程为30x y y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y则()221111221111545422444PA PBx y y y k kx x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由（1）可知1223054m y y m -+-=，1222554y ym =-()()121212122211BP BQy y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-，∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值． 20．已知过点()的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：1y kx =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOB 的k 的值.【解析】（1）因为双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，则(21λ-=，解得1λ=.所以双曲线C 的方程是221x y -=.（2）由221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 整理，得()221220k x kx -+-=.由题意知()22210,4810,k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩解得k <1k ≠±. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221k x x k -+=-，12221x x k =--. 因为l 与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以120x x ⋅<， 所以210k ->，所以11k -<<，则()1212OAB S x x =-=△ 所以()()(2221212124x x x x x x -=+-=，即2228811k k k⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭， 解得0k =或k =()1,1-/，所以0k =. 21．直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213y x -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．【解析】（1）设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()2223230k x kmx m ----=,∴21222122302333kkmx xkmx xk⎧⎪-≠⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩,由OA OB⊥得()()2212121212·10OAOB x x y y k x x km x x m=+=++++=代入化简可得k和m满足的关系为:22233(m k k-=≠;（2）由点到直线的距离公式可得:d,由(1)得22233mk-=代入可解得d=;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:AB==令23k t-=(t≤3)化简可得AB==由t≤3可得当113t=,t=3时minAB.22．已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是12(F F，且离心率为e=（1）求曲线E的方程；（2）设曲线E'表示曲线E的y轴左边部分，若直线1y kx=-与曲线E'相交于,A B两点，求k的取值范围；（3）在条件（2）下，如果63AB=E'上存在点C，使OA OB mOC+=，求m的值．【解析】（1）由知，曲线E是以F10），F2，0）为焦点的双曲线，且ca=1a=，∴b2=2﹣1=1，故双曲线E的方程是x2﹣y2=1．（2）由22110y kxx y x=-⎧⎨-=⎩，＜消去y整理得()21x2220,0k kx x+=﹣﹣＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得方程有两个负数根，∴()22212212210(2)8102121kk kkx xkx xk⎧-≠⎪=+-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪=-⎩＞＜＞，解得1k<-，∴实数k的取值范围是()1-．（3）由题意及（2）得AB 1﹣x 2整理得28k 4﹣55k 2+25=0，解得257k =或254k =1k -＜，∴k=故直线AB 10y ++=． 设C （x 0，y 0），由OA OB +=m OC ，得（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（mx 0，my 0），又12221kx x k -+=-=﹣y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2=8，∴8C m ⎫⎪⎪⎝⎭． ∵点C 在曲线E 上，∴2280641m m -=，解得m=±4， 当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意， ∴m=4为所求．。

双曲线十大经典结论双曲线是高中数学中的一种常见函数，它具有许多重要的性质和结论。

下面介绍双曲线的十大经典结论，帮助读者更好地理解和应用双曲线函数。

1. 双曲线的定义双曲线是由平面上离两点距离之差与常数2a的比构成的点的集合。

通常表示为y²/a² - x²/b² = 1或x²/a² - y²/b² = 1。

其中，a,b分别为双曲线的焦距。

2. 双曲线的中心对称性双曲线是关于两个焦点的联线的中垂线对称的。

也就是说，双曲线上的任意一点都关于两个焦点的联线的中垂线对称。

3. 双曲线的渐近线双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴成45°的夹角，并且它们趋近于相交于双曲线的中心点。

4. 双曲线的拐点在双曲线上，x轴和y轴的交点处是曲线的拐点。

这些点被称为双曲线的顶点。

5. 双曲线的对称轴双曲线有两条对称轴：一条垂直于x轴，穿过双曲线的中心点；另一条垂直于y轴，在x轴上方和下方各穿过一点。

6. 双曲线的面积公式双曲线y²/a² - x²/b² = 1在x轴上的两个交点为x=-a和x=a，因此曲线所围成的面积为S = 2ab。

7. 双曲线的弦长公式双曲线上的两点之间的弦长为2a*ln((y1+y2)/2)。

其中，y1和y2为两点在y轴上的投影。

8. 双曲线的渐近线方程双曲线的两条渐近线的方程分别为y = x/a和y = -x/a。

9. 双曲线的反函数双曲线函数y = a*cosh(x/a)有反函数x = a*ln(y + sqrt(y² -a²))，其中cosh为双曲余弦函数。

10. 双曲线的应用双曲线广泛应用于物理、天文、工程、经济、金融等领域。

例如，电磁波在介质中的传播规律可以用双曲线函数表示；货币增长模型中的通货膨胀可以用双曲线函数描述。

四、焦点弦【知识讲解】1.1椭圆焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+1.2椭圆焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。

2.1双曲线焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+2.2双曲线焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB 3焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|11||cos |+-=λλθe 【典型例题】1.已知椭圆13422=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和D C ,，则||||CD AB +的值为（）。

2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。

若FB AF 3=，则k 的值为（）。

【变式训练】1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若FB AF 4=，则双曲线的离心率为（）。

2.设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，FB AF 2=。

高二数学双曲线的定义、HY方程及几何性质知识精讲文新人教实验B版制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线的定义、HY方程及几何性质二、本周学习目的掌握双曲线的定义，HY方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，理解双曲线的初步应用。

理解双曲线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，可以正确纯熟地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。

三、考点分析〔一〕双曲线的定义1、第一定义：双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2间隔的差的绝对值等于定长2a〔小于|F1F2|〕的点的轨迹叫双曲线，即||PF1|－|PF2||＝2a〔2a＜|F1F2|＝。

此定义中，“绝对值〞与2a＜|F1F2|，不可无视。

假设2a＝|F1F2|，那么轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，假设2a﹥|F1F2|，那么轨迹不存在。

假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。

2、第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的间隔的比是常数e〔e＞1〕的动点的轨迹叫双曲线。

定点F叫双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

e叫双曲线的离心率。

双曲线有两个焦点，两条准线。

该定义中的焦点和准线具有“对应性〞，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

〔二〕双曲线的HY方程及几何性质1、HY方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的HY位置的双曲线方程2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比拟x ，y 系数的大小，而双曲线是看x ，y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号〞3、双曲线的参数方程：中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线22221x y a b -=的参数方程为：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕：4、一共轭双曲线以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的一共轭双曲线。

弦长公式双曲线弦长公式双曲线是椭圆在几何学中的一种特殊形状。

它是一种可以用比较简单的方式来意义地表达的曲线，它可以用一元二次方程表示。

弦长方程描述的是一条由中心到焦点的线段的长度。

它是一个特殊的椭圆，它的长轴与短轴之比是一个常数（可以是大于1或小于1）。

弦长公式双曲线被广泛应用于许多科学领域，例如天文学、物理学和数学。

在天文学方面，它被用于精确测定天体的运动轨迹，当研究一颗小行星运行在椭圆轨道中时，这种公式双曲线将更好地描述这种运动。

在物理学方面，它被用来表示一个挥之不去的链状形状，以及它的运动轨迹。

此外，弦长公式双曲线在数学上也有应用，例如在水平面图形变换中，它可以表示变换在一定方向上的蔓延。

弦长公式双曲线分为两种，双曲线和反双曲线。

双曲线是椭圆的一种，也称为超椭圆，其短轴比长轴短一些。

因此，它外表上比椭圆扁平，而反双曲线则相反，相比双曲线，它的长轴比短轴长一些，因此它的外表比双曲线更为近似一个椭圆。

弦长公式双曲线的特性之一是其镁部的长度和宽度之比是一个常数，因此它可以用不同的参数来表示，例如长轴长度a，短轴长度b，以及长轴和短轴之比b/a。

其标准方程表达式为，(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1双曲线的中心位置可以根据公式中的参数计算出来，它的两个焦点分别围绕中心位置沿着水平和垂直方向分别平移a和b长度。

双曲线具有曲率在两个焦点处有极值的特性，当自变量x变化时，y的变化也有上限和下限，即在两个焦点处曲线的曲率发生改变。

另外，双曲线的外观也可以根据参数的不同而发生改变。

当b/a = 0.5时，双曲线通常呈现为一个锥形；当b/a大于或等于1时，双曲线通常呈现为一个椭圆形；当b/a小于1时，双曲线通常呈现为一个反椭圆形。

此外，双曲线在解析几何学中还有很多用途，例如可以求解任意给定的点到双曲线的距离，以及求解一定点到该双曲线垂直的直线段，以及求解圆弧轴线的曲线，这些应用都是双曲线的重要用途。

总之，弦长公式双曲线在几何学和许多科学领域都有很多应用，特别是它可以用来精确测定物体运动轨迹，在物理学上用来表示一个挥之不去的链状形状，以及在数学上用来表示水平面图形变换蔓延，因而它在许多科学领域中都有实际应用价值，并且受到了广泛重视。

圆锥曲线中二级结论的应用圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．知识导图考点分类讲解　焦点弦问题1.已知F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与椭圆(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为椭圆的离心率，p 为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p =a 2c -c =b 2c.(1)椭圆焦半径公式：|AF 1|=ep 1-e ·cos α，|BF 1|=ep 1+e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.(3)焦点三角形的面积公式：P 为椭圆上异于长轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2·tan θ2.2.已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与双曲线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为双曲线离心率，p 为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p =c -a 2c =b 2c.图1 图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF 1|=ep 1+e ·cos α，|BF 1|=ep 1-e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF 1|=ep e ·cos α+1，|BF 1|=ep e ·cos α-1，1|AF 1|-1|BF 1|=2ep.(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.若直线与双曲线交于两支，则|AB |=||AF 1|-|BF 1||=2epe 2·cos 2α-1.(3)焦点三角形的面积公式：P 为双曲线上异于实轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2tan θ2.3.已知直线l 过焦点F 与抛物线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AFx =α，e 为抛物线离心率，p 为抛物线的焦点到对应准线的距离．(1)抛物线焦半径公式：|AF |=ep 1-e ·cos α=p 1-cos α，|BF |=ep 1+e ·cos α=p 1+cos α，1|AF |+1|BF |=2ep =2p.(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB |=|AF |+|BF |=2ep 1-e 2·cos 2α=2psin 2α.4.焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F 的直线交曲线于A ，B 两点，直线AB 的倾斜角为α，AF =λFB ，则曲线的离心率满足等式|e cos α|=λ-1λ+1 .易错提醒　(1)要注意公式中α的含义．(2)公式中的加减符号易混淆．(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．1(23-24高三上·北京海淀·阶段练习)已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，A ，B 两点在C 上，AF =2，BF =5，则直线AB 斜率的最小值和最大值分别是()A.-23，23B.-23，2 C.-2，23D.-2，2【答案】D【分析】利用焦半径公式求得A ，B 两点坐标，从而得到直线AB 斜率的情况，由此得解.【详解】由题意知F 1,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则由AF =2，得x 1+1=2，得x 1=1，代入C ：y 2=4x ，得y 1=±2，所以A 1,2 或A 1,-2 ；由BF =5，得x 2+1=5，得x 2=4，代入C ：y 2=4x ，得y 2=±4，所以B 4,4 或B 4,-4 ；所以直线AB 斜率有4-24-1=23,4+24-1=2,-4-24-1=-2,-4+24-1=-23四种情况，则直线AB 斜率的最小值为-2，最大值为2.故选：D .2(22-23高三上·四川广安·阶段练习)双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为y =-3x ，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F 2的距离最小值为3，则双曲线方程为()A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.x 29-y 23=1D.x 23-y 29=1【答案】B【分析】求出双曲线左支上的点到F 2的距离最小值，可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程.【详解】双曲线左支上一点为P x 0,y 0 ，则x 0≤-a ，且y 20=b 2x 20a2-b 2，则PF 2 =x 0-c2+y 20=x 20-2cx 0+c 2+b 2x 20a2-b 2=c 2x 20a2-2cx 0+a 2=a -ca x 0≥a +c ，则a +c =3，由已知可得b a =3a +c =3b 2=c 2-a 2，解得a =1b =3c =2，因此，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：B .3(2024·江苏·一模)已知抛物线E ：x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 1交E 于点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，E 在B 处的切线为l 2，过A 作与l 2平行的直线l 3，交E 于另一点C x 3,y 3 ，记l 3与y 轴的交点为D ，则()A.y 1y 2=1B.x 1+x 3=3x 2C.AF =DFD.△ABC 面积的最小值为16【答案】ACD【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线l 1的方程为y =kx +1，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出y 1y 2=1；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到x 1+x 3=2x 2；C 选项，求出D 0,y 1+2 ，DF =y 1+1，结合焦半径公式求出AF =y 1+1，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到S △ABC =2S △ABM ，表达出S △ABM ，利用基本不等式求出最小值，从而得到△ABC 面积最小值.【详解】A 选项，由题意得F 0,1 ，准线方程为y =-1，直线l 1的斜率存在，故设直线l 1的方程为y =kx +1，联立x 2=4y ，得x 2-4k -4=0，x 1x 2=-4，故y 1y 2=116x 21x 22=1，A 正确；B 选项，y =12x ，直线l 2的斜率为12x 2，故直线l 3的方程为y -y 1=x 22x -x 1 ，即y =x 22x +y 1+2，联立x 2=4y ，得x 2-2x 2x -2y 1+2 =0，故x 1+x 3=2x 2，所以B 错误；C 选项，由直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，令x =0得y =x22-x 1 +y 1，又x 1x 2=-4，所以y =y 1+2，故D 0,y 1+2 ，故DF =y 1+1，又由焦半径公式得AF =y 1+1，所以C 正确；D 选项，不妨设x 1<x 2，过B 向l 3作垂线交l 3于M ，根据B 选项知，x 1+x 3=2x 2，故S △ABC =2S △ABM ，根据直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，当x =x 2时，y =x 22x 2-x 1 +y 1=x 222+y 1-x 1x 22=x 222+y 1+2，故M x 2,x 222+y 1+2，故BM =x 222+y 1+2-y 2=x 222+x 214-x 224=x 214+164x 21+2=14x 1+4x 12，故S △ABM =12x 1-x 2 ⋅14⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 1⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 13≥182x 1⋅4x 13=8，当且仅当x 1=4x 1，即x 1=2时，等号成立，故△ABC 的面积最小值为16，D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．4已知双曲线x 2-y 2=2，点F 1，F 2为其左、右焦点，点P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为()A.2B.22C.3D.23【答案】　D【解析】方法一　设θ=∠F 1PF 2=60°，则S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin θ，而cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，且||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，所以|PF 1||PF 2|=2b 21-cos θ，故S △F 1PF 2=b 2sin θ1-cos θ=2 3.方法二　双曲线焦点三角形的面积S △F 1PF 2=b 2tan θ2=2 3.考点二等角的性质1.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过长轴上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应的点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA =∠OGB (如图1)．图1 图2 图32.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，过实轴所在直线上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA =∠NGB (如图2)．3.已知抛物线y 2=2px (p >0)，过抛物线对称轴上任意一点N (a ,0)的一条弦的端点A ，B 与对应点G (-a ,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA =∠OGB (如图3)．规律方法　根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．1(23-24高三上·天津南开·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆方程；(2)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(3)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x28+y24=1(2)面积最大值为22，直线PQ:x+y+6=0或x-y+6=0(3)存在，S-463,0【分析】(1)由焦距是4求出c，将-2,2代入椭圆方程求出a,b，得到答案；(2)根据题意设直线PQ:x=my-6，与椭圆方程联立可得y1+y2,y1y2，由S△OPQ=12×OT×y1-y2，代入运算化简，利用不等式求出△OPQ面积的最大值；(3)根据题意有k PS+k QS=0，转化为2my1y2-6+sy1+y2=0，由第二问代入运算得解.【详解】(1)由题意，c=2，将点-2,2代入椭圆方程得a2-b2=44a2+2b2=1 ，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)根据题意知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ:x=my-6，P x1,y1，Q x2,y2，联立x=my-6x28+y24=1，消去x整理得m2+2y2-26my-2=0，∴y1+y2=26mm2+2，y1y2=-2m2+2，且Δ=32m2+16>0，∴S△OPQ=S△OTP+S△OTQ=12×OT×y1-y2=62×y1+y22-4y1y2=26×2m2+1m2+2，令t=2m2+1，t≥1，∴S△OPQ=46tt2+3=46t+3t≤4623=22，当且仅当t=3t，即t=3，即m=±1时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为22，此时直线PQ的方程为x+y+6=0或x-y+6=0.(3)在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST ，理由如下：因为∠PST =∠QST ，所以k PS +k QS =0，即y 1x 1-s +y 2x 2-s=0，整理得y 1x 2-s +y 2x 1-s =0，即y 1my 2-6-s +y 2my 1-6-s =0，即2my 1y 2-6+s y 1+y 2 =0，则2m ×-2m 2+2-6+s×26m m 2+2=0，又m ≠0，解得s =-463，所以在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST .2(2024·云南昆明·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a2-y 23=1a >0 的右焦点为F 2c ,0 ，一条渐近线方程为y =23cx ．(1)求双曲线E 的方程；(2)是否存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，15x ±5y -215=0．【分析】(1)根据渐近线方程和c 2=a 2+b 2求a ,c 的值，即可得到双曲线E 的方程；(2)假设存在直线l ，由∠F 1AB =∠F 1BA 得F 1A =F 1B ，取AB 的中点M ，则k F 1M ⋅k MF 2=-1，进而得x 20+y 20=4；又利用x 21-y 213=1x 22-y 223=1得y 20=3x 20-6x 0，于是联立方程组可得M 的坐标，从而得到直线l 的斜率并得出直线l 的方程.【详解】(1)因为双曲线E 的一条渐近线方程为y =23c x ，所以b a =23c，又b 2=3，因此c =2a ，又a 2+b 2=c 2，a =1，c =2；则E 的方程为x 2-y 23=1．(2)假设存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点为M x 0,y 0 ，又F 1-2,0 ,F 22,0 ，由∠F 1AB =∠F 1BA 可知△F 1AB 为等腰三角形，F 1A =F 1B ，且直线l 不与x 轴重合，于是F 1M ⊥AB ，即F 1M ⊥MF 2，因此k F 1M ⋅k MF 2=-1，y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=-1，x 20+y 20=4(Ⅰ)点A ,B 在双曲线E 上，所以x 21-y 213=1①x 22-y 223=1②，①-②化简整理得：y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，y 0x 0⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，即k OM ⋅k AB =3，可得y 0x 0⋅y 0x 0-2=3，y 20=3x 20-6x 0(Ⅱ)联立(Ⅰ)(Ⅱ)得：x 20+y 20=4y 20=3x 20-6x 0 ，2x 20-3x 0-2=0，x 0-2 2x 0+1 =0，解得x 0=2y 0=0 (舍去)，x 0=-12y 0=±152适合题意，则M -12,±152 ；由k OM ⋅k AB =3得k AB =3×±115=±155，所以直线l 的方程为：y =±155x -2 ，即15x ±5y -215=0．3(23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试)已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24+y 23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P 4,0 ，交抛物线D 于A 、B 两点，坐标原点O 为PQ 中点，求证：∠AQP =∠BQP ；(3)是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析(3)存在，x =3【分析】(1)由题意，设抛物线方程y 2=2px (p >0),由a 2-b 2=4-3=1，得c =1.由此能求出抛物线D 的方程；(2)设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ,故当l ⊥x 轴时由抛物线的对称性知∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，由此能够证明∠AQP =∠BQP .(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，故|EG |2=|MG |2-|ME |2，由此能够推出存在直线m ：x =3满足题意．【详解】(1)由题意，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)．由a 2-b 2=4-3=1，得c =1．∴抛物线的焦点为1,0 ，∴p =2．∴抛物线D 的方程为y 2=4x (2)证明：设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，则x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2x 1x 2=16则k AQ =y 1x 1+4=k x 1-4 x 1+4，k BQ =y 2x 2+4=k x 2-4 x 2+4k AQ +k BQ =k x 1-4 x 1+4+k x 2-4 x 2+4=2k x 1x 2-16x 1+4 x 2+4=0则∠AQP =∠BQP ，综上证知，∠AQP =∠BQP ，(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，∴|EG |2=|MG |2-|ME |2，即EG 2=MA 2-ME 2=x 1-42+y 214-x 1+42-t2 =14y 21+x 1-4 2+x 1+4 24+t x 1+4 -t 2=x 1-4x 1+t (x 1+4)-t 2=t -3 x 1+4t -t 2，当t =3时，|EG |2=3，此时直线m 被以AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值2 3.因此存在直线m ：x =3满足题意.4椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为26.(1)求椭圆C 的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解　(1)∵e=2 2，e2=c2a2=12，∴a2=2c2=b2+c2，∴b2=c2，a2=2b2，椭圆方程化为x22b2+y2b2=1，由题意知，椭圆过点6，1，∴6 2b2+1b2=1，解得b2=4，a2=8，∴椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，由x2+2y2=8，y=kx+1，得(2k2+1)x2+4kx-6=0，Δ=16k2+24(2k2+1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-62k2+1，假设存在定点Q(0，t)(t≠1)符合题意，∵∠PQA=∠PQB，∴k QA=-k QB，∴k QA+k QB=y1-tx1+y2-tx2=x2y1+x1y2-t(x1+x2)x1x2=x2(kx1+1)+x1(kx2+1)-t(x1+x2)x1x2=2kx1x2+(1-t)(x1+x2)x1x2=2k+(1-t)-4k-6=2k(4-t)3=0，∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4-t =0，即t =4，∴Q (0,4)，当直线l 的斜率不存在时，A ，B (不妨设点A 在x 轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，-2)，显然此时∠PQA =∠PQB ，综上，存在定点Q (0,4)满足题意．考点三切线、切点弦方程1.已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2+y 0yb 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0yb 2=1.2.若点P (x 0，y 0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P (x 0，y 0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程是椭圆中x 0x a 2+y 0y b 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0y b2=1.规律方法　运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．1(2024·湖北·二模)如图，O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=2x 的焦点，过F 的直线交抛物线于A ,B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE =EF ；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：|AD |2=AO ⋅AG ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线和抛物线方程求得D -12,y 2 ，E 0,y 22，即可得DE =EF ，得证；(2)写出过点B 的l 的垂线方程，解得交点G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2 ，再由相似比即可得y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 ，即证得|AD |2=AO ⋅AG .【详解】(1)易知抛物线焦点F 12,0，准线方程为x =-12；设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x =my +12y 2=2x得y 2-2my -1=0，可得Δ=4m 2+4>0y 1+y 2=2m y 1y 2=-1，所以y 1=-1y 2；不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，对于y =-2x ,y =-12x；可得l 的斜率为-12x 2-1y 22=1y 2所以l 的方程为y -y 2=1y 2x -x 2 ，即为y =1y 2x +y 22.令x =0得E 0,y 22直线OA 的方程为y =y 1x 1x =2y 1x =-2y 2x ，令x =-12得D -12,y 2 ．又F 12,0 ，所以DE =EF即DE =EF 得证．(2)方法1：由(1)中l 的斜率为1y 2可得过点B 的l 的垂线斜率为-y 2，所以过点B 的l 的垂线的方程为y -y 2=-y 2x -x 2 ，即y =-y 2x +y 21+y 222，如下图所示：联立y =-y 2x +y 21+y 222y =-2y 2x，解得G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2要证明|AD |2=AO ⋅AG ，因为A ,O ,D ,G 四点共线，只需证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 (*)．∵y 2-y 1 2=y 2+1y 22=1+y 222y 22，y 1 ⋅y G -y 1 =-1y 2y 2y 22+2 -y 1 =1+y 22 2y 22．所以(*)成立，|AD |2=AO ⋅AG 得证.方法2：由D -12,y 2 ,B x 2,y 2 知DB 与x 轴平行，∴AF AB=AO AD①又DF 的斜率为-y 2,BG 的斜率也为-y 2，所以DF 与BG 平行，∴AF AB=AD AG②，由①②得∴AO AD=AD AG，即|AD |2=AO ⋅AG 得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到y =-y 2x +y 21+y 222 y =-2y 2x，解出点G 的坐标，从而转化为证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 即可.2(2024高三·全国·专题练习)已知点P 是抛物线x 2=4y 上一个动点，过点作圆x 2+(y -4)2=1的两条切线，切点分别为M 、N ，则线段MN 长度的最小值为．【答案】333/1333【分析】设P x 0,x 204 ，由圆的切线方程可得MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，结合点到直线的距离公式以及二次函数的性质可求得MN 的最小值.【详解】圆x 2+(y -4)2=1的圆心C 0,4 ，半径r =1．设P x 0,x 204 ，故MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，弦心距d =1x 20+x 204-42=1x 4016-x 20+16，当x 20=8时，d 取得最大值为36，则MN 取得最小值12-362=333．故答案为：333.3(2023·锦州模拟)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点0，2 ，且离心率为63.F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：x =3上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF .(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM ，△BFM 的面积分别为S 1和S 2，当|S 1-S 2|取最大值时，求直线AB 的方程．【解析】(1)证明　如图，由题意可得b =2，c a =63，又因为a2=b2+c2，所以a2=6，b2=2，椭圆E的方程为x26+y22=1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为x1x6+y1y2=1，同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为x2x6+y2y2=1.因为点P在直线P A，PB上，所以x12+y1y02=1，x22+y2y02=1，所以直线AB的方程为x2+y0y2=1，则直线AB过定点M(2,0)．(2)解　设直线AB的方程为x=ty+2，联立方程x=ty+2，x26+y22=1，得(t2+3)y2+4ty-2=0，故y1+y2=-4tt2+3，y1y2=-2t2+3，|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=8|t| t2+3=8 |t|+3|t|≤823=433，当且仅当|t|=3|t|，即t=±3时取等号，此时直线AB的方程为x=±3y+2.4过点Q(-1，-1)作已知直线l：y=14x+1的平行线，交双曲线x24-y2=1于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线P A，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．【解析】证明　(1)直线MN的方程为y=14(x-3)．代入双曲线方程x24-y2=1，得3x2+6x-25=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，故x1+x2=-2.于是，y1+y2=14(x1+x2-6)=-2.故Q(-1，-1)是线段MN的中点．(2)双曲线x24-y2=1过点M，N的切线方程分别为l1：x14x-y1y=1，l2：x24x-y2y=1.两式相加并将x1+x2=-2，y1+y2=-2代入得y=14x+1.这说明，直线l1，l2的交点在直线l：y=14x+1上，即三条直线l，l1，l2相交于同一点．(3)设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则P A，PB的方程分别为x3 4x-y3y=1和x44x-y4y=1.因为点P在两条直线上，所以x34x0-y3y0=1，x44x0-y4y0=1.这表明，点A，B都在直线x04x-y0y=1上，即直线AB的方程为x04x-y0y=1.又y0=x04+1，代入整理得x04(x-y)-(y+1)=0，显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(-1，-1)都在直线AB上．强化训练一、单选题1(2024·山东济南·一模)与抛物线x2=2y和圆x2+(y+1)2=1都相切的直线的条数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线x2=2y相切的切点坐标为t,1 2 t2，由y=12x2，求导得y =x，因此抛物线x2=2y在点t,1 2 t2处的切线方程为y-12t2=t(x-t)，即tx-y-12t2=0，依题意，此切线与圆x 2+(y +1)2=1相切，于是1-12t 2t 2+1=1，解得t =0或t =±22，所以所求切线条数为3.故选：D2(2024·广东·模拟预测)抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则AF +4BF 的最小值为()A.6 B.7C.8D.9【答案】D【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知F 1,0 ，设l AB :x =ky +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立直线AB 与抛物线方程y 2=4x x =ky +1 ⇒y 2-4ky -4=0⇒y 1y 2=-4，所以x 1x 2=y 214⋅y 224=1，而AF +4BF =x 1+1+4x 2+1 =x 1+4x 2+5≥2x 1⋅4x 2+5=9.当且仅当x 1=2,x 2=12时取得等号.故选：D3(2022·河南·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y =2x ，过双曲线C 的右焦点F 2作倾斜角为π3的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为36，则双曲线C 的标准方程为()A.x 22-y 24=1B.x 24-y 22=1C.x 2-y 22=1 D.x 22-y 2=1【答案】C【分析】由题意可得b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，可得直线l 为y =3(x -3a )，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和△AF 1B 的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，所以b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a 2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，所以直线l 为y =tanπ3(x -3a )=3(x -3a )，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由x 2a 2-y 22a2=1y =3(x -3a )，得x 2-63ax +11a 2=0，则x 1+x 2=63a ,x 1x 2=11a 2，所以AB =1+3⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2108a 2-44a 2=16a ，因为AF 1 =AF 2 +2a ，BF 1 =BF 2 +2a ，所以AF 1 +BF 1 =AF 2 +BF 2 +4a =AB +4a =20a ，因为△AF 1B 的周长为36，所以AF 1 +BF 1 +AB =36，所以20a +16a =36，得a =1，所以双曲线方程为x 2-y 22=1，故选：C4(2023·河南·二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2-y 23=1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，则下列结论：①C 的离心率为2；②C 的焦点弦最短为6；③动点P 到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P 在双曲线C 的左支上时，PF 1 PF 2 2的最大值为14．其中正确的个数是()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.【详解】由题意可得e =41=2，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2<6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为y =±3x ，设点P x 0,y 0 ，则3x 02-y 02=3，且到两条双曲线的距离之积为3x 0-y 02⋅3x 0+y 0 2=3x 02-y 024=34是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上任意一点P x 0,y 0 及双曲线的左右焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，则PF 1 =x 0+c2+y 02=x 0+c2+b2x 02a 2-1=c 2a 2x 02+2cx 0+a 2=a +ex 0，同理PF 2 =a -ex 0 ，所以PF 1 =a +ex 0 ,PF 2 =a -ex 0 ，此即为双曲线的焦半径公式.设点P x 0,y 0 x 0≤-1 ，由双曲线的焦半径公式可得PF 1 =1+2x 0 =-1-2x 0,PF 2 =1-2x 0，故PF 1 PF 22=-1+2x 01-2x 02=11-2x 0 -211-2x 02，其中1-2x 0≥3，则11-2x 0∈0,13，由二次函数的性质可得其最大值为18，当且仅当11-2x 0=14，即x 0=-1.5时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B5(2024·全国·一模)新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示(水滴角可看作液、固、气三相交点处气-液两相界面的切线与液-固两相交线所成的角)，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液-固两相交线)的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2，则()附：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1．A.θ1<θ2B.θ1=θ2C.θ1>θ2D.θ1和θ2的大小关系无法确定【答案】A【分析】理解题意，根据测量水滴角的圆法和椭圆法,以及运用圆和椭圆的切线方程的表示即可得出结论.【详解】由题意知，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2；由题意可知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R ，如图1，则有R 2=(R -1)2+4,解得R =52，所以tan θ1=2R -1=43；若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，如图2，切点坐标为-2,b -1 ，则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 上一点-2,b -1 处的切线方程为-2x a 2+b -1 y b 2=1 ，此时椭圆的切线方程的斜率设为k 2，则k 2=tan θ2=2b 2a 2b -1；将切点坐标为-2,b -1 代入切线方程-2x a 2+b -1 y b 2=1 可得4a 2+b -1 2b 2=1 ，解得4b 2a2=2b -1，所以tan θ2=2b 2a 2b -1=122b -1b -1=122+1b -1 ；因为短半轴b <R =52,所以tan θ2=122+1b -1>43=tan θ1即tan θ2>tan θ1，所以θ1<θ2.故选：A .6(23-24高二上·北京东城·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.13,23B.12,1C.13,23∪23,1 D.13,12∪12,1 【答案】D【分析】分等腰三角形PF 1F 2以F 1F 2为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点P 为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点P ，使得PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，设点P x ,y 在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于a 、c 的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.【详解】如下图所示：(1)当点P 与椭圆短轴的顶点重合时，△PF 1F 2是以F 1F 2为底边的等腰三角形，此时，有2个满足条件的等腰△PF 1F 2；(2)当△PF 1F 2构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F2P 为底边为例，则PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，此时点P 在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点P ，使得△PF 1F 2是以F 1F 2为一腰的等腰三角形，不妨设点P x ,y 在第一象限，则y 2=b 2-b 2a2x 2，其中0<x <a ，则PF 1 =x +c2+y 2=x 2+2cx +c 2+b 2-b 2a 2x 2=c 2a 2x 2+2cx +a 2=c a x +a =2c ，或PF 2 =x -c 2+y 2=x 2-2cx +c 2+b 2-b 2a2x 2=c 2a 2x 2-2cx +a 2=a -c a x =2c ，由c a x +a =2c 可得x =2ac -a 2c ，所以，0<2ac -a 2c <a ，解得12<e =c a <1，由a -c a x =2c 可得x =a 2-2ac c ，所以，0<a 2-2ac c <a ，解得13<e =c a <12，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是13,12 ∪12,1 .故选：D .【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7(23-24高三下·重庆·开学考试)设F 为抛物线C :x 2=2y 的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若∠FPT =30°，则直线NF 的斜率为()A.-2 B.-3C.-12D.-33【答案】D【分析】设P 点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知F 0,12 ,y =x 22⇒y=x ，设P a ,a 22，则C 在点P 处的切线方程为y =a x -a +a 22⇒y =ax -a 22，所以N a 2,0 ,T 0,-a 22 ，显然N 为TP 中点，由抛物线定义可知PF =a 22+12=FT ，即△FPT 为以F 为顶点的等腰三角形，所以FN ⊥PT ，即∠FNO =∠FPT =30°，所以直线NF 的斜率为tan 180°-30° =-33.故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设P 点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.8(2024·四川南充·二模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2．过点F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A 在x 轴的上方)，则下列说法中正确的有( )个．①AF 1 =32+cos θ②1AF 1 +1BF 1=43③若点M 与点B 关于x 轴对称，则△AMF 1的面积为9sin2θ7-cos2θ④当θ=π3时，△ABF 2内切圆的面积为12π25A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，求出y A +y B ，y A y B ，设△ABF 2内切圆的半径为r ，由S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 求出r ，即可判断④.【详解】在△AF 1F 2中，由余弦定理AF 1 2+F 1F 2 2-2AF 1 ⋅F 1F 2 ⋅cos θ=AF 2 2，即AF 1 2+4c 2-4c AF 1 ⋅cos θ=2a -AF 1 2，整理得AF 1 =b 2a -c ⋅cos θ，同理可得BF 1 =b 2a +c ⋅cos θ，所以AB =AF 1 +BF 1 =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ，1AF 1 +1BF 1 =a -c ⋅cos θb 2+a +c ⋅cos θb 2=2ab 2，对于椭圆C :x 24+y 23=1，则a =2、b =3、c =1，所以AF 1 =32-cos θ，BF 1 =32+cos θ，故①错误；1AF 1 +1BF 1 =2a b 2=43，故②正确；所以AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ=124-cos 2θ，S △AMF 1=AF 1 ABS △ABM ，又S △ABM =12BM x A -x B =BF 1 sin θ⋅AB ⋅cos θ=32+cos θ⋅sin θ⋅12cos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅12sin θcos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅6sin2θ4-1+cos2θ2=32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ，又AF 1 AB=32-cos θ124-cos 2θ=2+cos θ4，所以S △AMF 1=2+cos θ4×32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ =9sin2θ7-cos2θ，故③错误；当θ=π3时直线l 的方程为x =33y -1，由x =33y -1x 24+y23=1，消去x 整理得5y 2-23y -9=0，显然Δ>0，所以y A +y B =235，y A y B =-95，又AF 1 =2，BF 1 =65，则AF 2 =2a -AF 1 =2，BF 2 =2a -BF 1 =145，设△ABF 2内切圆的半径为r ，则S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 ，所以22352+4×95=r 2+65+2+145 ，解得r =235，所以△ABF 2内切圆的面积S =πr 2=π×2352=12π25，故④正确；故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式(倾斜角形式)，利用结论直接解决问题.二、多选题9(2024·河南·一模)已知双曲线E :x 2a2-y 224=1a >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 1F 2 =10，过F 1的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2=π2，则()A.E的渐近线方程为y=±26xB.3PF1=4PF2C.直线l的斜率为±43D.P的坐标为75,245或75,-245【答案】ABD【分析】利用双曲线的焦距求出a的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出PF1、PF2的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点P的坐标，可判断D选项.【详解】对于A选项，F1F2=2a2+24=10，且a>0，解得a=1，又因为b=26，故双曲线E的渐近线方程为y=±bax=±26x，A对；对于B选项，因为点P在右支上，则PF1-PF2=2a=2，①又因为∠F1PF2=π2，则PF12+PF22=F1F22=100，②联立①②可得PF1=8，PF2=6，所以，3PF1=4PF2，B对；对于C选项，若点P在第一象限，则直线l的斜率为k PF1=tan∠PF1F2=PF2PF1=68=34，若点P在第四象限，由对称性可知，直线l的斜率为k PF1=-34.综上所述，直线l的斜率为±34，C错；对于D选项，设点P x,y，则x≥1，且x2-y224=1，可得y2=24x2-24，所以，PF1=x+52+y2=x2+10x+25+24x2-24=25x2+10x+1=5x+1=8，解得x=75，则y2=24×752-24=24225，可得y=±245，即点P75,±245，D对.故选：ABD.10(23-24高三上·福建泉州·阶段练习)已知椭圆x29+y2=1与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点F1,F2，设它们在第一象限的交点为P ，且PF 1 ⋅PF 2=0，则()A.双曲线的实轴长为27B.双曲线的离心率为2147C.双曲线的渐近线方程为y =±73x D.双曲线在P 点处切线的斜率为377【答案】ABD【分析】A 选项，求出椭圆的焦点坐标，设左焦点为F 1，故PF 1 +PF 2 =6，由向量数量积为0得到向量垂直，进而由勾股定理求出PF 1 ⋅PF 2 =2，求出PF 1 -PF 2 =27，得到A 正确；B 选项，由离心率公式直接求解；C 选项，求出b =1，由双曲线渐近线公式进行求解；D 选项，设出P 点处切线方程，联立双曲线方程，由根的判别式等于0求出切线斜率.【详解】A 选项，由题意得椭圆x 29+y 2=1的焦点坐标为±22,0 ，设左焦点为F 1，则F 1-22,0 ，PF 1 +PF 2 =6，因为PF 1 ⋅PF 2 =0，所以PF 1 ⊥PF 2 ，由勾股定理得PF 1 2+PF 2 2=F 1F 2 2=32，PF 1 +PF 2 =6两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =36，故PF 1 ⋅PF 2 =2，则PF 1 -PF 2 =PF 12+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 =27，故2a =27，解得a =7，双曲线的实轴长为27，A 正确；B 选项，因为c =22，所以双曲线的离心率为c a =227=2147，B 正确；C 选项，因为b =c 2-a 2=8-7=1，故双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±77x ，C 错误；D 选项，联立x 29+y 2=1与x 27-y 2=1，可得x =±3144，y =±24，故P 3144,24，当过P 点的直线斜率不存在时，不是双曲线的切线，舍去，设在P 点处切线方程为y -24=k x -3144，联立x 27-y 2=1得x 2-724+k x -31442=7，化简得1-7k 2 x 2-72k 2-21142k 2 x -4418k 2+217k 4-638=0，由Δ=0得72k 2-21142k 2 2-41-7k 2 -4418k 2+217k 4-638=0，解得k =377，故双曲线在P 点处切线的斜率为377，D 正确.故选：ABD11(23-24高三上·湖北武汉·期末)已知P x P ,y P ，Q x Q ,y Q 是曲线C :6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0上不同的两点，O 为坐标原点，则()A.x 2Q +y 2Q 的最小值为1B.4≤x P -12+y 2P +x P +12+y 2P ≤6C.若直线y =k x -3 与曲线C 有公共点，则k ∈-33,33D.对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直【答案】AD【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据几何意义判断A ，举出反例判断B ，数形结合判断C ，根据图形特征以及切线概念判断D .【详解】当y 2+6x -3≥0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0，化简为x 24+y 23=1，轨迹为椭圆.将y 2=3-34x 2代入y 2+6x -3≥0，则0≤x ≤8，则此时0≤x ≤2，即此部分为椭圆的一半.同理当y 2+6x -3<0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21-y 2+6x -3 =0，化简为x -1 2+y 2=4.将y 2=4-x -1 2代入y 2+6x -3<0，则x <0或x >8，则此时-1≤x <0，即此部分为圆的一部分.作出曲线的图形如下：对于A ，x 2Q +y 2Q 最小值表示曲线上一点到原点的最小距离的平方，当x ≥0时，x 2Q +y 2Q 最小值为3，当y =±3时取得，当x <0时，x 2Q +y 2Q 最小值为1，当y =0时取得，则x 2Q +y 2Q 最小值为1，故A 正确；对于B ，当x P =-1,y P =0时，x P -1 2+y 2P +x P +12+y 2P =2，显然B 选项错误；对于C ，直线y =k x -3 经过定点3,0 ，当k =33时，直线经过椭圆下顶点，如图，显然，存在k >33，使得直线与曲线有两个公共点，故C 错误；对于D ，如图，对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，则曲线C 在P 点处的切线斜率可以取任何非零实数，曲线C 在椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：(1)几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；(2)坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.三、填空题12(23-24高二上·福建泉州·期中)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)焦距为10，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上且AF 2⊥x 轴，△AF 1F 2的面积为454，点P 为双曲线右支上的任意一点，则1PF 1 -1PF 2的取值范围是【答案】-89,0 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.【详解】由题意可知F1-5,0 ,F 25,0 ,A 5,y A ，。

高中数学圆锥曲线弦长公式(二)高中数学圆锥曲线弦长公式1. 弦长公式弦长公式是关于圆锥曲线上两点之间弦的长度的公式，根据不同的圆锥曲线类型有不同的表达式。

下面将列举各个圆锥曲线的弦长公式，并给出相应的示例。

椭圆的弦长公式椭圆是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=2asin(θ2 )其中，L为弦长，a为椭圆长轴的长度，θ为弦与椭圆长轴所夹的角度。

例如，假设椭圆长轴长度为6，弦与椭圆长轴所夹角度为60°，代入公式计算得到：L=2×6sin(60°2)=2×6sin30°=6×1=6所以该椭圆上所给定的两点之间的弦长为6。

双曲线的弦长公式双曲线是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=2asinh(θ2 )其中，L为弦长，a为双曲线长轴的长度，θ为弦与双曲线长轴所夹的角度，sinh为双曲正弦函数。

例如，假设双曲线长轴长度为4，弦与双曲线长轴所夹角度为45°，代入公式计算得到：L=2×4sinh(45°2)=2×4sinh°=2×4×=所以该双曲线上所给定的两点之间的弦长约为。

抛物线的弦长公式抛物线是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=|8a2 3ℎ|其中，L为弦长，a为抛物线的焦点到顶点的距离，ℎ为弦与抛物线的对称轴之间的垂直距离。

例如，假设抛物线的焦点到顶点的距离为6，弦与抛物线的对称轴之间的垂直距离为2，代入公式计算得到：L=|8×623×2|=|2886|=48所以该抛物线上所给定的两点之间的弦长为48。

2. 总结•椭圆的弦长公式为L=2asin(θ2)；•双曲线的弦长公式为L=2asinh(θ2)；•抛物线的弦长公式为L=|8a 23ℎ|。

以上是圆锥曲线弦长公式的相关内容，通过这些公式我们可以计算出给定圆锥曲线上两点之间的弦长。

双曲线的基本概念与性质双曲线是数学中的一种常见曲线类型，具有独特的性质和应用。

本文将介绍双曲线的基本概念以及它所具有的一些重要性质。

1. 基本概念双曲线是由与两个固定点F1和F2的距离之差恒定的点P所构成的轨迹所形成的曲线。

这两个固定点称为焦点，用F1和F2表示；而距离之差的常数值称为双曲线的离心率，用e表示。

双曲线还包括一条称为主轴的线段，它是与离心率的方向相垂直且通过双曲线的两个焦点的连线。

2. 方程表示双曲线的一般方程可表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/b^2) -(x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。

3. 图形特征双曲线具有以下几个重要的性质和特征：- 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。

- 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于双曲线的两个分支。

渐近线是曲线逐渐趋近但永远不会到达的直线。

- 弦长公式：对于双曲线上的一条弦，其长度可以通过双曲线焦点之间的距离和与双曲线焦点的连线的夹角来计算。

- 曲率：双曲线上不同点的曲率不同，与点到双曲线焦点连线的方向有关。

4. 应用领域双曲线在数学和其他学科中具有广泛的应用。

以下是其中一些典型的应用领域：- 物理学：双曲线可用于描述光和声波的传播、电磁场的分布等现象。

- 工程学：双曲线的性质可用于设计天线、抛物面反射器等。

- 经济学：双曲线可用于描述成本和收益关系、货币供给和需求等经济现象。

- 统计学：双曲线可用于建模统计分布如正态分布、泊松分布等。

- 计算机图形学：双曲线可用于绘制和渲染曲线和物体的形状。

通过了解双曲线的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用这个有趣而重要的数学曲线类型。

无论是在纯数学研究还是实际应用中，双曲线都具有广泛而深远的影响。

双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

高中数学高二知识点双曲线和圆高中数学高二知识点：双曲线和圆在高中数学的学习过程中，双曲线和圆是高二学生需要重点掌握的两个重要知识点。

本文将从定义、性质以及相关公式等方面进行详细的介绍。

一、双曲线双曲线是二次函数图象的一种，其定义可以通过以下方程得到：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0)$。

其中，$a$和$b$分别表示双曲线的横坐标半轴和纵坐标半轴的长度。

通过调整$a$和$b$的值，可以得到不同形状和方向的双曲线。

双曲线的性质：1. 双曲线的中心点位于坐标原点$(0,0)$。

2. 双曲线关于$x$轴和$y$轴对称。

3. 双曲线有两条渐近线，即$x=a$和$x=-a$。

当$x$趋近于无穷大时，双曲线的图像将无限接近于这两条直线。

4. 双曲线分为两支，分别位于$x$轴的两侧。

两支之间的间距为$2a$。

双曲线的常见公式：1. 离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，用字母$e$表示。

其计算公式为：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。

2. 焦点坐标：双曲线的焦点分别位于$(\pm ae, 0)$。

3. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$。

4. 弦长公式：双曲线上一条弦的长度可以通过如下公式计算：$l=2a\sqrt{1+\left(\frac{d}{2a}\right)^2}$，其中$d$表示弦与中心点的距离。

二、圆圆是我们生活中常见的几何图形之一，其定义可以通过以下方程得到：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

其中，$(a,b)$表示圆心的坐标，$r$表示圆的半径。

圆的性质：1. 圆的中心点位于$(a,b)$。

2. 圆对称于其中心点。

3. 圆的半径相等，即任意点到圆心的距离都相等。

4. 圆的直径等于半径的两倍，即直径$d=2r$。

5. 圆的周长可以通过公式$C=2\pi r$计算，其中$\pi$为圆周率。

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程（一）关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB.解：连结B F A F 22,，设yB F x A F ==11,，由椭圆定义得ya B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=⋅⋅-+α，整理可得αcos 2⋅-=c a b x ，同理可求得αcos 2⋅+=c a b y ，则ααα222222cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=⋅++⋅-=+=；同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α2222sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）.结论：椭圆过焦点弦长公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=).(sin 2),(cos 222222222轴上焦点在轴上焦点在y c a ab x c a ab AB αα二、双曲线的焦点弦长设双曲线(),0,012222>>=-b a b y a x 其中两焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -，过F 1的直线l的倾斜角为α，交双曲线于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长|AB|.解：（1）当a b a b arctanarctan -<<πα时，（如图2）直线l 与双曲线的两个交点A 、B 在同一支上，连B F A F 22,，设,,11y B F x A F ==，由双曲线定义可得ay B F a x A F 2,222+=+=，由余弦定理可得222222)2()cos(22)2(,)2(cos 22)2(a y c y c y a x c x c x +=-⋅⋅-++=⋅⋅-+απα整理可得αcos 2⋅+=c a b x ，αcos 2⋅-=c a b y ，则可求得弦长 ;cos 2cos cos 222222αααc a ab c a b c a b y x AB -=⋅-+⋅+=+=（2）时或当παπα<<-<≤a ba b arctan arctan 0，如图3，直线l 与双曲线交点()()2211,,,y x B y x A 在两支上，连F 2A,F 2B,设,,11y B F x A F ==则ay B F a x A F 2,222-=+=，由余弦定理可得222)2(cos 22)2(a x c x c x +=⋅⋅-+α,222)2(cos 22)2(a y c y c y -=⋅⋅-+α,整理可得，则,cos ,cos 22a c b y a c b x -⋅=+⋅=αα.cos 2cos cos 222222a c ab a c b a c b x y AB -⋅=+⋅--⋅=-=ααα因此焦点在x 轴的焦点弦长为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≤--<<-=).arctan arctan 0(cos 2),arctan (arctan cos 222222222παπααπααa b a b a c ab a ba b c a ab AB 或同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-<<-<≤-=).arctan (arctan sin 2),arctan arctan 0(sin 222222222a b a b a c ab a ba b c a ab AB πααπαπαα或其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角.三、 抛物线的焦点弦长若抛物线)0(22>=p px y 与过焦点)0,2(pF 的直线l 相交于两点()()2211,,,y x B y x A ，若l 的倾斜角为α，求弦长|AB|.（图4）解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线AA 1、BB 1，A 1、B 1为垂足，yFB x FA ==,设，则点A 的横坐标为αcos 2⋅+x p，点B 横坐标为αcos 2⋅-y p ，由抛物线定,2cos 2,2cos 2y py p x p x p =+⋅-=+⋅+αα义知,cos 1,cos 1αα+=-=py p x即,sin 2cos 12cos 1cos 122ααααpp p p y x =-=++-=+则同理)0(22>-=p px y 的焦点弦长为,sin 22αpAB =)0(22>±=p py x 的焦点弦长为,cos 22αpAB =，所以抛物线的焦点弦长为⎪⎩⎪⎨⎧=).(cos 2)(sin 222轴上焦点在，轴上焦点在y px pAB αα由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握.圆锥曲线的弦长公式一、椭圆：设直线与椭圆交于P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且P 1P 2斜率为K ，则|P 1P 2|=|x 1-x 2|)K (12+或|P 1P 2|=|y 1-y 2|)1/K (12+{K=(y 2-y 1)/(x 2-x 1)} =]4))[(1(212212x x x x k -++ 二、双曲线：设直线与双曲线交于P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且P 1P 2斜率为K ，则|P 1P 2|=|x 1-x 2|)K (12+或|P 1P 2|=|y 1-y 2|)1/K (12+{K=(y 2-y 1)/(x 2-x 1)} =]4))[(1(212212x x x x k -++。

专题07 圆锥曲线的第二定义与焦点弦【突破总分值数学之秒杀技巧与答题模板】：焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A 、B ，弦AB 叫做曲线的焦点弦。

秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：①焦点弦长公式：θ222cos 12e a b -(θ为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：22b a (最短焦点弦)； ②焦点弦被焦点分成两局部,m n ，那么2112am n b+=(定值)(取通径即可)。

③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。

秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：①过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，那么:2p y y B A -=,42p x x B A =。

(焦点在y 轴上的性质比照给出。

)引伸:M (,0)a (0)a >在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点。

1122(,),(,)A x y B x y ,12.y y =2pa -(定值)。

②α2sin 2||pAB =(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=12x x p ++(焦点在x 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为2p )最短。

③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθ，θcos 1-=p AF ，θcos 1+=p BF (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。

④面积:θsin 22p S AOB=∆，θ32sin 2p S AMNB =(θ是直线AB 与焦点所在轴的夹角)。

⑤以AB 为直径的圆与准线MN 相切，切点为MN 中点Q ，BQ AQ ,分别是抛物线的切线，并且分别是NBA MAB ∠∠,的角平分线。

⑥以MN 为直径的圆与AB 相切，切点为焦点F 。

⑦以焦半径为直径的圆与y 轴相切。

⑧N O A ,,三点共线,M O B ,,三点共线。

反射直线的弦长公式硬解定理
硬解定理用Ax+By+C=0和x^2/a^2+y^/b2=1联立得出来的。

在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。

但其一般化的推导结果不具有普适性，且一直无法用一个简洁的形式表示。

由CGY（2010）以椭圆曲线推导，重新排列分组形式，并引入ε，从而得出了较为简洁的表示形式。

后再由CGY成功引入弦长计算公式，并将适用范围扩大到对y值求解与对x的求解，从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性。

双曲线焦点弦长公式：L=2a±2ex。

弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。

弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。