全国卷历年数学高考真题汇编 三角函数
1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下面结论正确的
是（）
A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2C 【答案】D
【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭C y x
首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．
πππcos cos sin 222⎛⎫⎛
⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，
即112
πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−
−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛
⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x ．
注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+
x 平移至π
3
+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π
12
2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC
△的面积为2
3sin a A
．
（1）求sin sin B C ；
（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．
【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.
（1）∵ABC △面积2
3sin a S A
=
.且1sin 2S bc A =
∴
21
sin 3sin 2
a bc A A = ∴22
3sin 2
a bc A =
∵由正弦定理得22
3sin sin sin sin 2A B C A =，
由sin 0A ≠得2
sin sin 3B C =.
（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1
cos cos 6
B C =
∵πA B C ++=
∴()()1
cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=
又∵()0πA ∈，
∴60A =︒，sin A =
1cos 2A =
由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =
⋅，sin sin a c C A
=⋅ ∴2
2sin sin 8sin a bc B C A
=⋅= ②
由①②得b c +=
∴3a b c ++=+ABC △周长为3+
3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．
【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将
2
sin 8)sin(2
B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，
结合22
sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2
sin 8sin 2B B =，两边约去
2sin B ，求得2tan B
，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和
面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】
由题设及2
sin
8sin ,2
B
B C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17
1（舍去），= 【基本解法2】
由题设及2sin
8sin ,2
B B
C B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02
sin ≠B ，所以4
12tan =B ，17152
tan 12tan 1cos 2
2
=+-=
B B
B （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14
a sin 217
ABC S c B ac ∆==
又17
=22
ABC S ac ∆=，则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）
所以b=2
【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2
2
,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．
4 （2017全国卷3理）17．（12分）
ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知sin 0A A =
，a =，2b =．
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．
【解析】（1
）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
即()π
π3
A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，
∴π
π3
A +=，得2π3A =.
