导数与定积分

第九讲 导数与定积分

一、导数的概念与运算

1．导数的概念： )(/

x f ＝/

y ＝x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)

()(lim

lim

00。 2．求导数的方法：（1）求函数的增量⊿y ；（2）求平均变化率x

y ∆∆；（3）求极限x y

x ∆∆→∆0lim 。

3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x 0，y 0）处的切线的斜

率，即斜率为)(0/x f 。过点P 的切线方程为：y- y 0=)(0/

x f (x- x 0).

4．几种常见函数的导数：

0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；x

x 1)'(ln =；e x

x a a log 1

)'(log =

；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。 5．导数的四则运算法则：

)()()]()(['

'

'

x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；'

2

''

(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

6．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )

ϕ′(x ).

二、导数的应用

1． 函数的单调性

（1） 设y=f(x)在某个区间内可导，若)

(/

x f >0，则f(x)为增函数；若)(/x f <0，则f(x)为减函数。

（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法。

①确定函数f(x)的定义区间；

②求)(/

x f ，令)(/

x f =0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③把函数f(x)的间断点[即包括f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

④确定)(/

x f 在各小区间内的符号，根据)(/

x f 的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。 2． 可导函数的极值

（1） 极值的概念：设函数f(x)在点x 0附近有定义，且若对x 0附近所有的点都有f(x)

f(x)>f(x 0)），则称f(x 0)为函数的一个极大（小）值，称x 0为极大（小）值点。

（2） 求可导函数f(x)极值的步骤：①求导数)(/

x f ；②求方程)(/

x f =0的根；③检验)(/

x f 在方

程)(/

x f =0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处取得极大值；

如果在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得极小值。

3． 函数的最大值与最小值

（1） 设y= f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，并在（a,b ）内可导，求函数在[a,b]上的最值可分两步

进行：

①求y= f(x) 在（a,b ）内的极值；②将y= f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

（2） 若函数f(x)在[a,b]上单调递增（或递减），则f(a)为函数的最小值（或最大值），f(b)为函数的最

大值（或最小值）。

三、综合问题题型：

1． 比较大小、证明不等式； 2． 单峰函数的最值问题；

3． 曲线的斜率、物体的运动速度问题。 四、定积分

1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a

x n

-∆=

），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1

1

()()n n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=∆=∑∑

如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a

S f x dx =

⎰

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b

a

f x dx ⎰

是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b

a

f x dx ⎰，而

不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；

③求和：1

()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a

f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰

（3）曲边图形面积：()b

a

S f x dx =⎰；变速运动路程2

1

()t t S v t dt =⎰；

变力做功 ()b

a

W F r dr =

⎰

2．定积分的几何意义

()b

a

f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）