函数应用题40道汇编
一．解答题（共40小题）
1．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往 A，B两地区收割水稻，其中30台派往 A地区，20台派往 B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金
A地区1800元1600元
B地区1600元1200元
（1）设派往 A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y关于x的函数关系式；
（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；
（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
2．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
3．为配合迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：以f（n）=表示第n时进入人数，以g（n）=表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天14点到15点这一个小时，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？
（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区游客总人数最多的时刻，并说明理由：
4．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足
P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
5．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶
乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）
6．某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cv n T，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．
（1）求T关于v的函数关系式；
（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；
②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．
7．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．
（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；
（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．
8．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时供水总量为吨，（0≤t≤24）
（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧现象，请问：在一天的24小时，有几小时出现供水紧现象．
9．某公司经销某产品，第x天（1≤x≤30，x∈N*）的销售价格为p=a+|x﹣20|（a为常数）（元∕件），第x天的销售量为q=50﹣|x﹣16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元．
（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？
（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？
10．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
11．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．
（1）将y表示为x的函数；
（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值围．
12．某公司经过测算投资x百万元，投资项目A与产生的经济效益y之间满足：y=f（x）=﹣+2x+12，投资项目B产生的经济效益y之间满足：y=h（x）=﹣+4x+1．
（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？
（2）投资边际效应函数F（x）=f（x+1）﹣f（x），当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？
