(整理)广义积分的收敛判别法

两个广义积分收敛判定法则之前已经介绍过了第二积分中值定理的证明，该定理的形式比较复杂，很难让人联想起怎么应用，然而第二积分中值定理确是一个比较精细的判定积分性质的方法，这里就给出两个利用第二积分中值定理来证明的广义积分收敛判定法则。

法则一：设函数()x ϕ单调，且lim ()0x x ϕ→∞=，函数()f x 当x →∞时，()()x aF x f u du=⎰有界，此时，积分()()af x x dxϕ+∞⎰收敛。

证明：设12a b b <<<+∞，利用第二积分中值定理得：2211121122()()(0)()(0)()(0)[()()](0)[()()]b b b b f x x dx b f x dx b f x dxb F F b b F b F ξξϕϕϕϕξϕξ=++-=+-+--⎰⎰⎰当10b →，20b →时，有1(0)0b ϕ+→，2(0)0b ϕ-→，且()F x 有界，因此，21()()0b b f x x dx ϕ→⎰，再有柯西（Cauchy ）积分准则可知：()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛。

从上面的证明可以看出，第二积分中值定理给出了积分上下界在趋于无穷的过程中积分的性质，并由此判定广义积分收敛。

下面看一个例子：证明积分1sin x dx x+∞⎰收敛。

令1()x xϕ=，显然lim ()0x x ϕ→∞=，()sin()f x x =，1()sin F x xdx+∞=⎰有界，根据上面的判定法则，可知：积分1sin x dx x+∞⎰收敛。

但1sin x dxx+∞⎰却不是绝对收敛的，因为：211111sin |sin |sin ||1cos 211cos 222x x x dx dx dxxx xxx dx dxxx x+∞+∞+∞+∞+∞=≤-==-⎰⎰⎰⎰⎰其中，1cos 2x dx x+∞⎰收敛，证明同证1sin x dx x+∞⎰收敛，而11dx x+∞⎰发散，因此1sin ||x dx x+∞⎰发散，1sin x dx x+∞⎰条件收敛。

广义函数收敛和发散的判断
广义积分判断敛散性的方法是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。

广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。

广义积分的p级数判别法广义积分是微积分中的一个重要概念，而广义积分的p级数判别法是判断广义积分是否收敛的一种方法。

在本文中，我们将详细介绍这一方法的原理和应用。

我们需要了解什么是广义积分。

广义积分是对无穷区间上的函数进行积分的一种方法，而且这种积分可能不存在或者无限大。

因此，需要对广义积分进行收敛性和发散性的判断。

接下来，我们介绍广义积分的p级数判别法。

这种方法适用于形如$\int_{a}^{\infty} f(x) dx$的广义积分，其中$f(x)$是一个正函数。

如果存在一个正数$p$，使得$f(x)$满足$f(x) \sim \frac{1}{x^p}$，那么当$p>1$时，积分收敛；当$p \leq 1$时，积分发散。

这个结论的证明比较简单。

根据极限比较判别法，当$p>1$时，$\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$收敛。

而$f(x) \sim \frac{1}{x^p}$，因此$\int_{a}^{\infty} f(x) dx$也收敛。

当$p \leq 1$时，$\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$发散。

根据比较判别法，由于$f(x)$是正函数，因此$\int_{a}^{\infty} f(x) dx$也发散。

这个结论可以用于很多积分的判断，比如$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p \ln^q x} dx$，其中$p,q$为正整数。

我们可以将积分改写成$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(\ln x)^q} \cdot \frac{1}{x^p} dx$的形式，然后利用p级数判别法进行判断。

需要注意的是，p级数判别法只适用于正函数，如果$f(x)$不是正函数，我们需要进行适当的变形。

比如，如果$f(x)$在某些点上为0，那么可以将积分分成几段来判断。

p级数判别法只是一种判断方法，不能保证判断的准确性。

论广义积分的收敛性摘要广义积分是定积分概念的推广至无限区间和有限区间上的无界函数的情形，而定积分的的主要特点是积分区间有界，并且在此区间上被积函数为有界函数，而这两个限制条件不能很好地解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分。

大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件。

本文就针对敛散性论述广义积分，针对几种不同类别的广义积分形式，讨论几种比较常用的判别方技巧。

1.首先我们可以利用收敛积分的余部可以判定所求积分是否收敛.对于⎰+∞adxx f )(和⎰+∞bdxx f )(,如果b>a,则⎰+∞bdxx f )(称为⎰+∞adxx f )(的余部。

因为改变下限积分的值(a 不是奇点)，或对被积函数乘以非零常数，都不改变积分的敛散性，即∀b>a,k ≠0,都有⎰+∞adxx f )(收敛⇔⎰+∞bdxx f )(收敛，⎰+∞adxx f )(收敛⇔⎰+∞bdxx kf )(收敛.另外，如果f (x ),g(x)的广义积分都收敛，那么线性组合αf(x)+βg(x)的广义积分也收敛，对于其余类型的广义积分，也有类似的结论.2.对于两个端点都是奇点的广义积分，我们可以任取区间内的任意一点x 0，把积分分成两半，再分别判断这两半积分的收敛性.例如定义广义积分 f x dx +∞−∞，设函数f(x)在区间(−∞,+∞)上内闭有界可积，除端点外再没有奇点.取一点x 0，定义⎰+∞∞-)(dx x f = f x dx x 0−∞+ f x dx +∞x 0，如果右端这两个广义积分都收敛，就称左端的广义积分收敛(否则称其发散).对于内闭有界可积，且在积分区间I 内有有限个奇点的广义积分，为了方便地得到广义积分是否收敛，我们可以把积分区间上的几点去掉，这样以奇点为分点，广义积分的区间就被分成许多个小区间I =I 1∪I 2∪···∪I n .于是就可以定义⎰I dx x f )(=⎰I dx x f 1)(+⎰I dx x f 2)(+···+⎰I dx x f n)(如果右端每个广义积分都收敛，就称左端这个广义积分收敛(否则就称发散).3.对于广义积分 f x dx +∞a，如果函数f(x)在区间 a ,+∞ 上以+∞为唯一奇点，且内闭有界可积，并且有原函数F (x ),那么f x dx =lim x→+∞f x dx =xa +∞alim x→+∞F x −F (a ).不论这个极限如何，都把这个公式写为f x dx =F x +∞a|a +∞.如果极限lim x→+∞F (x )存在，那么广义积分收敛，否则就发散.4.我们知道Cauchy 收敛准则可以用来判定函数的敛散性，这对于积分也同样适用.因为广义积分的四种基本类型可以相互转化，故只讨论 f x dx +∞a 这一种形式即可. f x dx+∞a收敛⇔∀ε>0，∃X >当x 1,x 2>X 时，| f x dx x2x 1|<ε⇔lim t→+∞ρ t =0，ρ t ≝qp t sup≤≤⎰qp)(dxx f5.夹逼收敛原理也可以判断积分是否收敛.设f x ≤g (x )≤ (x )(x ≥a )，如果积分 f x dx ， x dx +∞a+∞a都收敛，那么积分 g x dx +∞a也收敛.另外绝对收敛的广义积分也一定收敛，由夹逼收敛定理可证明这条结论. 6.对于非负函数的广义积分还有三个特殊的判别方法. (1)收敛准则在区间 a ,+∞ 上，设函数f (x )≥0,那么广义积分 f x dx +∞a收敛⇔变上限积分 f x dx ta (t ≥a )有界(2)控制收敛判定法在区间 a ,+∞ 上，对非负函数f x ,g x ，设g(x)是f(x)的上控制函数，即存在 x 0≥a ，使得0≤f x ≤g(x)，∀x ≥x 0.如果上控制函数g(x)的广义积分收敛，那么被控制函数f(x)的广义积分也收敛. (3)比较判定法在区间 a ,+∞ 上，设f(x),g(x)都是非负函数并且有极限limx→+∞f (x )g (x )=l (存在或为+∞).(i) 当l ∈(0,+ ∞)时，两个函数的广义积分有相同的收敛性. (ii)当l =0时，由 g x dx +∞a收敛，推出 f x dx +∞a收敛. (iii) 当l =+∞时，由 g x dx +∞a发散，推出 f x dx +∞a发散. 7. 在Abel 条件或Dirichlet 条件下，广义积分 f x g (x )dx +∞a都收敛.Abel条件 (1) f(x)单调有界. (2) g(x)广义积分收敛.f(x)=0. (2) g(x)的变上限积分有界.Dirichlet条件 (1)f(x)单调，limx→+∞总结以上列举的众多判定广以积分收敛性的方法，有助于我们更好地掌握广义积分的性质，提高运算效率。

反常积分收敛散性的判别
反常积分又叫广义积分。

广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。

它不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。

反常积分收敛判别法规律：积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。

反常积分是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

广义积分的敛散性判断反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

广义积分收敛辨别法则包括无穷积分收敛性的辨别、乘积函数积分收敛的辨别法、无界函数积分的收敛性。

通俗的讲，积分是指函数图形与坐标轴围成的面积。

例如f(x)从a到b 的积分就等于曲线f(x)，直线x=a，x=b和x轴围成的图形的面积。

当然,这块面积在x轴上方的部分取为正,下方取为负，然而有时候这个面积会少一条边，比如,积分上下限a或者b二者有一个是无穷大或者两个都为无穷大。

例如f(x)从a到正无穷大的积分，它表示f(x)，直线x=a，x轴围成的面积。

当然,因为缺少一条边，这块面积不是封闭的，它是向x轴正方向无穷延生的，虽然积分上下限为确定值，但是函数图形本身无法和直线x=a、x=b、x轴围成封闭的面积。

例如f(x)=1/x从0到1的积分,表示y=1/x、x=0、x=1、x轴围成的面积。

因为f(x)=1/x在0出的值为无穷大，所以这块面积也不是封闭的,它是向y轴延生的，像这种积分表示的面积无限延生的情况，称之为广义积分。

因为面积无限延生，因此有可能面积的值为无穷大，例如y=x从0到正无穷的积分表示y=x、x=0和x轴围成的面积，任何一个人都应该知道这个面积应该为无穷大，像这种积分表示的面积为无穷大的情况，称之为广义积分发散。

反之如果这个面积为一个有限数值，则称之为广义积分收敛。

广义积分的敛散性判断内容广义积分敛散性的分析包括判定绝对收敛性、条件收敛性、发散性，具有广泛的应用性，很多数学建模都得到广义积分，就此首先需要判定广义积分是否收敛，不然就需要考虑模型的合理性。

广义积分的敛散性判断方法分析广义积分的敛散性，首先基于简化的思想，具体做法有主部分离。

然后，可以依次判定：绝对收敛性、自身收敛性、绝对发散性与发散性，就此可以确定对应于相关收敛性的参数范围。