《曲线运动》——亮点题粹
题1 如图6－158所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图
示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小
为多少？（结果用v 和θ表示）
亮点 绳系物体运动的合成与分解问题，采用多种解法。
解析 这里给出三种解法。
解法一：速度分解法 物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右
段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图6－159所示。根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝
v cos θ。
解法二：位移微元法 如图6－160所示，
假设端点N 水平向左匀速移动微小位移△s
至N ′，此过程中左段绳子长度增大了△s 1
（过N 向ON ′作垂线NP ，因顶角很小，故OP ≈ON ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s cos θ。
由于v ＝△s /△t （△s 很小、△t 很小），可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为v ’＝v cos θ。
解法三：功能原理法 不计滑轮、绳子质量及一切摩擦，由功能关系可知，在汽车前行牵引物体上升的过程中，汽车对绳子的拉力F 所做的功W （对应功率设为P ）等于绳子对物体拉力F ’所做的功W ’（对应功率设为P ’），设作用时间（相等）为△t ，则因
F ＝F ’，W ＝W ’，故t W t W
∆'
=∆，P ＝P ’。
又因为P ＝Fv cos θ，P ’＝F ’v ’，
以上几式联立解得物体上升速度的大小为v ’＝v cos θ。
联想 有些同学认为只要将绳速v 1分解为水平向左的速度v 和竖直
向下的速度v 2，如图6－161所示，根据平行四边形定则易得绳速v 1＝
v /cos θ。其实，这种解法的错误是一目了然的：难道汽车在向前运动的同
时还在向地下钻吗？产生错误的主要原因是没有分清哪个是合运动、哪
个是分运动，继而搞错了合运动、分运动的方向。错误的根本原因是混
淆了运动的分解和力的分解。
中学物理所研究的绳子一般都不计质量和形变，因此当绳子被拉紧时，绳子上各点沿绳子方向的速度大小总是相等的，所以常把连在绳子上的物体的实际运动速度分解成沿绳子方向和垂直绳子方向的两个分运动。绳子拉船模型是一个比较常见的、非常有用的物理模型。准确地理解和掌握这个模型，不仅对理解运动的合成和分解大有益处，而且还可以举一反三，触类旁通，提高我们的解题技巧和速度。
题 2 如图6－162所示，某人与一平直公路的垂直距
离h ＝50m ，有一辆汽车以速度v 0＝
10m/s 沿此公路从远处 2 图6－161
v
图6－159 1
图6－158
图6－162
图6－160
驶来，当人与汽车相距L ＝200m 时，人开始匀速跑动，若人想以最小的速度赶上汽车，人应沿与v 0成多大角度的方向以多大的速度跑动？
亮点 巧选参考系，应用运动的合成与分解研究相遇极值问题。
解析 如图6－163所示，以汽车为参照系，人相对于汽车的合运动v 合的方向如图中虚
线OP 所示，人相对于地面的运动速度为v ，由图可知，要
使v 最小，v 的方向显然应垂直于OP 连线方向，设汽车运
动方向（即v 0方向）与OP 连线夹角为θ，则
tan θ＝h L ＝14
。 v min ＝v 0sin θ＝10×sin(arctan0.25)m/s ＝2.4 m/s 。 联想 如果汽车静止在路面上，这个问题就非常简单，人只要沿着人、车的连线方向运动即可。在本例中，由于汽车在运动，问题就较为复杂，但是，如果我们以汽车为参照系，这个问题就变得较为简单，同样只要人沿着人、车的连线方向运动（即人相对于汽车的运动方向沿人、车的连线方向）就可赶上汽车，这时，由于是以汽车为参照系，人相对汽车来说已经具有一个分速度－v 0（负号表示方向相反），我们需要解决的是另一个分运动（即人相对于地面的运动）的大小和方向的问题。灵活选择参考系往往可使问题得到简化。
在本题中，如果我们仍以地面为参照系，可以假设经过
时间t 人正好赶上汽车（同时到达某点B ），如图6－164所
示。根据矢量三角形知识及数学极值问题的讨论方法，也可
得到相同结论，有兴趣的同学不妨一试。
题3 如图6－165所示，在倾角为θ的斜面顶端P 点以初速
度v 0水平抛出一个小球，最后落在斜面上的Q 点，求：
⑴ 小球在空中运动的时间以及P 、Q 间的距离。
⑵ 小球抛出多长时间后离开斜面的距离最大？
亮点 平抛运动中的极值问题，要求有较强的分析能力。
解析 根据平抛运动分运动的特点，两个分运动的位移与合运
动的位移构成一个直角三角形，如图6－166所示，在小球抛出直至落
到斜面上的过程中竖直方向位移s y 与水平方向位移s x 之比即为tan θ；
同样，两个分运动的速度与合运动的速度也构成一个直角三角形，如
图6－167所示，当小球与斜面间距离最远时，竖直方向分速度v y 与
水平方向分速度v x 之比也等于tan θ。
⑴ 由 s y s x ＝tan θ＝gt 2v 0
， 可得小球在空中运动的时间 t ＝2v 0tanθg
。 P 、Q 间的距离 θθc o s t a n 22022g v s s s y x =+=。
⑵ 设小球抛出后经时间t 离开斜面的距离最大，由
v y v x ＝tan θ＝gt v 0
， 可得 t ＝v 0tanθg
。 图6－164
图6－165
y 图6－166
图6－167 图6－
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