一次函数动点问题-精心总结版

1、直线3

64

y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运

动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．

（1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；

（3）当48

5

S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点

M 的坐标．

（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得

15

32104

x x =+⨯， 解得803x =秒．∴点P 共运动了80

3803

⨯=厘米．

∵8022824=⨯+，∴

点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过80

3

秒点P 与点

Q 第一次在边AB 上

相遇

2解（1）A （8，0）B （0，6）（2）86OA OB ==Q ，10AB ∴=

Q 点Q 由O 到A 的时间是

881=（秒）∴点P 的速度是610

28

+=（单位/秒） 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t =

当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由

PD AP BO AB =

，得4865

t

PD -=， 21324

255S OQ PD t t ∴=⨯=-+

（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），

点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；

（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．

3.（2010年金华） 如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，

.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1

2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以

33

(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两

点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：

（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；

（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为

菱形，则t 的值是多少？

② 当t ﹦2时，是否存在着点Q

解：（1）333+-=x

y ；

（2）（0,3），2

9

=

t

（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥G 为垂足（如图1）

∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠FGP ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒

又∵t FG OE 33

=

=,∠=A 60°,∴AG 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 3

2

=-= 由t t 3

2

3=-得 59=t ；

当点P 在线段OB 当点P 在线段BA 上时，

过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、 ∵t OE 33=

,∴t BE 33

33-=,∴tan t BE EF =

∴6

921t EF EH MP -===， 又∵(2-=t BP 在Rt△BMP 中，MP BP =⋅0

60cos

即6

921)6(2t

t -=⋅-，解得745=t

②存在﹒理由如下：

∵2=t ，∴33

2

=

OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）

∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上，

C 点坐标为（

332，33

2－1） 过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q , 则△FEQ ∽△EC B '

图1

A

C

B

E

Q

P

由

3=

='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－3

2

，33） 根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－3

2

，3）也符合条件

9．（2010，浙江义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结

AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .

（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ ▲ °，猜想∠QFC ＝ ▲ °；

（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．

第9题【答案】（1）=∠EBF 30°.QFC ∠＝ 60° （2）QFC ∠＝60°

不妨设BP ＞3AB , 如图1所示 ∵∠BAP ＝∠BAE+∠EAP ＝60°+∠EAP ∠EAQ ＝∠QAP+∠EAP ＝60°+∠EAP

∴∠BAP ＝∠EAQ

在△ABP 和△AEQ 中 AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ， AP ＝AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°

∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠＝∠EBF +∠BEF ＝30°+30°＝60°

(事实上当BP ≤3AB 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3) 在图1中，过点F 作FG ⊥

BE 于点G

∵△ABE 是等边三角形 ∴BE ＝AB ＝32

，由（1）得=∠EBF 30°

在Rt △BGF 中，32

BE BG

=

= ∴BF ＝

2cos30BG

=︒ ∴EF ＝2 ∵△ABP ≌△AEQ ∴QE ＝BP ＝x ∴QF ＝QE ＋EF 2x =+

过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H

在Rt △QHF 中，3

sin 60(2)2

y QH QF x ==︒=+g （x ＞0） 即y 关于x 的函数关系式是：3

32

y x =+

A

B

E

Q

P

F

C