椭圆的简单几何性质
教学目标：1.掌握椭圆的几何性质,掌握椭圆中a 、b 、c 、e 的几何意义,以及a 、
b 、
c 、e 的相互关系.
2.理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.
3.培养学生探索问题的能力
教学重点：1.椭圆的几何性质
2．用解析法研究曲线的几何性质的方法 教学难点：1.根据曲线的方程研究曲线的几何性质 2．离心率的几何意义及其推导 教学过程 一、复习引入
椭圆的标准方程是怎样的？ 二、讲授新课 1．椭圆的几何性质
1．椭圆22
22b
y a x +＝1(a ＞b ＞0)上的点中，横坐标x 的取值范围是－a ≤x ≤a ，
纵坐标y 的取值范围是－b ≤y ≤b ．
2．椭圆关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
3．椭圆22
22b y a x +＝1的四个顶点坐标是(±a ，0)，(0，±b )．
4．在椭圆22
22b
y a x +＝1(a ＞b ＞0)中，A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)、B 1(0，－b )、B 2(0，
b )，线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴、短轴，在Rt △OB 2F 2中，｜OF 2｜2 ＝｜B 2F 2｜2－｜OB 2｜2，这就是
c 2＝a 2－b 2的几何意义．△OB 2F 2叫做椭圆的特征三角形，并且cos OF 2B 2是椭圆的离心率．
5．总结为如下表格
，
，
轴、
三、典例剖析
［例1］求椭圆25x 2＋y 2＝25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标．
解：把已知方程化成标准方程：25
2
y ＋x 2＝1，
这里a ＝5，b ＝1，所以c ＝125 ＝26．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a ＝10和2b ＝2， 两个焦点分别是F 1(0，－26)、F 2(0，26)，
椭圆的四个顶点是A 1(0，－5)、A 2(0，5)、B 1(－1，0)和B 2(1，0)． 点评：求椭圆的长轴、短轴长需要求a 、b ，求a 、b 一般是把椭圆方程化成标准形式．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．
［例2］已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos OF A ＝
3
2
，求椭圆的方程． 解：∵椭圆的长轴长是6，cos OF A ＝3
2
，∴点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)
∴｜OF ｜＝c ，｜AF ｜＝a ＝3，
∴
3c ＝3
2
，∴c ＝2，b 2＝32－22＝5 ∴椭圆的方程是5922y x +＝1或9
52
2y x +＝1． 点评：△OF A 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b 、c ，斜边的长为a ，∠
OF A 的余弦值是椭圆的离心率．
［例3］已知点P (3，6)在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P 点的坐标最多写出椭圆上几个点的坐标(P 点除外)？这几个点的坐标是什么？
解：根据椭圆关于两坐标轴对称及P 点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐标分别是(3，－6)、(－3，－6)、(－3，6)．
点评：如果知道椭圆的两条对称轴，那么可以根据椭圆上一点的坐标，写出椭圆上另外三点的坐标． 四、课堂练习
1．在下列方程所示的曲线中，关于 x 轴、 y 轴都对称的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．求下列各椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画
出草图①
②
．
3．下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆
① 与 ；
② 与 ．
五、小结
六、作业 课本习题8.2第3、4、6题
