初中数学竞赛第十三讲从勾股定理谈起(含答案)

第13章 正弦定理与余弦定理13.1.1★★ 已知点P 是ABC △内一点，使得PAB PBC PCA α∠=∠=∠=.求证：22221111sin sin sin sin A B Cα=++. 解析 如图，设ABC △的三边为a 、b 、c ，对应角分别为A ∠、B ∠、C ∠，180180BPC C C αα∠=︒--(∠-)=︒-∠，同理180CPA A ∠=︒-∠，180APB B ∠=︒-∠. A BCP ααα由正弦定理，sin sin BP AB B α=，故sin sin BP c B α=，同理sin CP a C α=，sin sin AP b A α=，ABC ABP CBP S S S =++△△△ 2221111()sin sin (22sin sin sin sin sin CAPABC bc ac ab S AB AP BC BP CA CP S A B C A Bαα⎛⎫=⋅+⋅+⋅=++=+ ⎪⎝⎭△△ 221)sin sin Cα+. 于是22221111sin sin sin sin A B Cα=++. 13.1.2★★在ABC △的AC 及BC 边上分别取点X 、Y ，使A B X Y A C ∠=∠，AYB BXC ∠=∠，XC YB =，求ABC △的所有内角.解析 如图，易知C AYB YAC BXC ABX BAC ∠=∠-∠=∠-∠=∠，故AB BC =. AB CXY P又由正弦定理，sin sin sin sin BY XC BAY AYB BXC XBC AB BC∠=∠=∠=∠. 于是BAY XBC ∠=∠（易见180BAY XBC ∠+∠<︒），故BAC ABC ∠=∠，BC AC =. 于是ABC △为正三角形，各内角均为60︒.13.13 ★★★已知凸四边形ABCD ，AC BD ⊥，AB 、BC 、CD 、DA 上分别有点F 、G 、H 、E ，AB FD ⊥，BC DG ⊥，CD BH ⊥，AD BE ⊥，求证：FH 、GE 、AC 共点.解析 如图，设ABD △、BCD △垂心分别为M 、N ，FH 与AC 交于K ，EG 与AC 交于K '.AFE MBDK K'G HC由正弦定理及四点共圆，有sin sin sin sin sin sin MK HFD HBD DCAMF MKF MKF MKF ∠∠∠===∠∠∠， sin sin sin sin sin sin NK FHB FDB BACNH NKH MKF MKF∠∠∠===∠∠∠， 于是sin sin MK MF DCA AMNK NH BAC CN ∠=⋅=∠. 同理MK AM NK CN'='，得K 与K '重合，即FH 、GE 、AC 共点. 13.1.4 ★★★已知ABCD ，E 在BC 上，AE 、DC 延长后交于F ，O 是ECF △的外心（在ECF △内），若B 、O 、C 、D 共圆，则AD FD =.解析 如图，设CBO CDO θ∠=∠=，BCO α∠=，OFD β∠=.作OM BC ⊥，ON CF ⊥，M 、N 分别是CE 、CF 之中点.ADBC EM OFN αβθθ易知222221111111BM BE EM BE BE BC AD DF DC CD ND MC MC CM EC EC CE CF CF NF NF +==+=+=-=-=-=+=+=， 此即cos cos cos cos BO DO CO OF θθββ=，于是cos cos BO DOαβ=.又由正弦定理sin sin sin sin BO CO FO DOαθθβ===，于是t a n t a n αβ=，αβ=，BOC △≌DOF △，故A D B C D F ==.13.1.5★★有一个凸四边形ABCD ，顶点均在一圆周上，且2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，求ACBD的值.解析 由正弦定理知4ABC abcS R=△，其中a 、b 、c 为三边长，R 为外接圆半径.于是由A B C A C DA B D BS S S S+=+△△△△，并考虑4个三角形有共同的外接圆，故有AB BC CA CD DA CA ⋅⋅+⋅⋅= AB AD BD BC CD BD ⋅⋅+⋅⋅.代入数字，得6201012CA CA BD BD +=+，于是1113AC BD =. 13.1.6★★★已知凸四边形ABCD ，对角线交于P ，BP DP =，过P 的一条直线分别交AB 、CD 于G 、H ，过P 的另一条直线分别交AD 、BC 于E 、F ，GF 、EH 分别交BD 于M 、N ， 求证：PM PN =.解析 如图，设好1~6∠∠各角.由BP PD =知ABC ACD S S =△△，故sin(12)AB BC AD CD ⋅⋅∠+∠=⋅⋅ sin(34)∠+∠，A GE B DM N F P HC12345656由正弦不定理，知止式可改为sin 3sin 1sin 1sin 2sin(34)sin(12)∠∠∠∠=∠+∠∠+∠，于是sin 5sin 6sin(34)sin 3sin 4∠∠∠+∠=∠∠sin 5sin 6sin(12)sin 1sin 2∠∠⋅∠+∠∠∠，此即s i n (34)s i n (12)E D H D B G BF P E P H PG P F⋅∠+∠⋅∠+∠=⋅⋅，两边同时除去sin(56)∠+∠，即得BGF DEH PGF PEH S S S S =△△△△，此即BM DNPM PN =，故PM PN =. 13.1.7★★证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形ABCD 的对角线交于P ，又设APB θ∠=，则2222cos 2AD BC AB CD AC BDθ+--=⋅. 解析 如图，由余弦定理，2222cos AB AP BP AP BP θ=+-⋅，ABDP θ2222cos CD CP DP CP DP θ=+-⋅，又222222cos(180)2cos BC BP CP BP CP BP CP BP CP θθ=+-⋅︒-=++⋅， 2222cos AD AP DP AP DP θ=++⋅， 所以2222AD BC AB CD +--2()cos AP DP BP CP CP DP AP BP θ=⋅+⋅+⋅+⋅ 2cos AC BD θ=⋅⋅.因此结论成立.13.1.8★★梯形ABCD ，AC BD ⊥，上底AD m =，下底BC n =，m n <，BA 、CD 延长后交于P ，P θ∠=，试用m 、n 、θ表示梯形的高.解析 如图，设AB a =，CD b =，则由AC BD ⊥，有2222a b m n +=+.P ADB K θ又在BC 上找一点K ，使AK CD ∥.则由余弦定理，222()2cos m n a b ab θ-=+-， 于是cos ab mn θ=.设梯形的高为h ，则由ABK S △，有()sin tan n m k ab mn θθ-==，故tan mnh n mθ=-. 13.1.9★★锐角三角形ABC 中，BD 为边AC 上的高，E 为AB 上一点，45AEC ∠=︒，2BD CE =，CE AC AD =+，求证：DE BC ∥.解析 如图，由11sin 4522ABC BD AC S AB CE ⋅⋅==⋅⋅⋅︒△及2BD CE =得AB =.因此22228AC AB AD BD ==+224()AD AC AD =++，AD CBE即 (25)(2)A C A D A C A D -+=，故52AC AD =. 不妨设5AC =，则2AD =，3CD =，7CE =. 设AE x =，由45AEC ∠=︒，利用余弦定理得： 24927cos 4525x x +-⋅⋅⋅︒=，解得x =当x =AE ABAD AC===，故 ED BC ∥.当x =AEC △中，cos 0A =<.与ABC △为锐角三角形矛盾，故舍去. 13.1.10★ 试用身影定理推导余弦定理.解析 如图，对于ABC △，作AD BC ⊥，注意D 可在BC 外，则有（a 、b 、c 为ABC △的三对应边长）cos cos c B b C a +=，则理有cos cos a B b A c +=，cos cos a C c A b +=，三个方程联立，即解得222cos 2b c a A bc+-=等三个式子，这就是余弦定理. AB D13.1.11★★已知关于x 的方程224(2)160x k x k +-+=，四边形ABCD 中，45CAD ∠=︒，60ADC ∠=︒，ABC S △1cos B k=（如图所示）. ABCD（1）当方程有两个相等实数根时，求B ∠及此方程的根；（2）若此实根等于AB 、BC 之和，求CD 之长. 解析 （1）因方程有两个相等实数根，故 224(2)640k k ∆=[-]-=，解得23k =或2k =-. 因|cos |1B ≤，故23k =不符合题意，应舍去，从而11cos 2B k ==-，所以120B ∠=︒. 此时原方程可化为：216640x x -+=，解得8x =. （21sin 2ABC S AB BC B AB BC ==⋅=⋅△，从而 10AB BC ⋅=.又 8A B B C+=， 故222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2()22cos AB BC AB BC AB BC B =+-⋅-⋅ 54=.即AC =因45CAD ∠=︒，60ADC ∠=︒，故由正弦定理得6CD =.13.1.12★★设P 是正方形内部一点，P 到顶点A 、B 、C 的距离分别是1、2、3，求正方形的面积.解析 如图所示，设AB x =，则在ABP △中，22413cos 44x x ABP x x+-+∠==；在PBC △中， 22495cos 44x x PBC x x +--∠==.于是222235144x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25x =±.注意到cos 0CBP ∠>，故25x =-应舍去.ADPB从而25x =+，即正方形面积为5+13.1.13★★已知ABC △中，AB AC >，AD 是高，E 是BC 中点，求证：222AB AC ED BC-=.并由此证明，若AB AC >，AS 是角平分线，T 在BS 上，BT CS =，则232()AT AS AB AC -=-.解析 如图，2222()()()AB AC BD CD BD CDBD CD BD CD BE ED CE ED BC BC BC--+==-=-=+--=2ED ，注意其中CD 可取负值.又TS 中点也是E ，故22222AT AS AB AC ED ST BC--==， 而ST BS BT BS CS =-=- AB BC AC BCAB AC⋅-⋅=+， 于是2222()AB AC BC AB AC AT AS AB AC BC---=⋅+ 2()AB AC =-评注 本题亦可先用余弦定理求出CD .13.1.14★★2已知ABC △中，90ABC ∠=︒，延长AC 到点D ，连结BD ，若30CBD ∠=︒，且1AB C D ==，求AC 之长.解析 如图，设AC x =，BD y =，则ABCD30°ABCBCDS AC x CD S ==△△ 121sin302AB BC BC BD ⋅=⋅⋅︒22BD y==. 又由余弦定理，2222cos120AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，此即222(1)1x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭.化简并整理，得 3(2)(2)0x x +-=，解得 12x =-（舍），2x =所以AC x ==13.1.15★★已知正方形ABCD ，E 、F 分别在BC 、CD 上，AE 与AF 分别交BD 于G 、H ，若B E C F =，求证：以BG 、GH 、HD 为边的三角形有一内角是60︒.ADHG F EC解析 设1AB =，BE x =，DF y =，则1x y +=，且1BG x BD x =+，1HD y BD y =+，11GH xBD x=--+ 112y xy y xy-=++. 于是由比例及余弦定理知只需证明 2222212(1)(1)2xy x y xyxy x y xy ⎛⎫-=+- ⎪++++⎝⎭，即22222(1)(1)(1)(2)xy x y y x xy xy -=+++-+.而右式222222()2(1)x y xy x y xy x y xy =+++-+=-=左式，证毕.13.1.16★★有一个等腰三角形ABC ，底边BC 上的高是h ，A θ∠=，P 是BC 上一动点，P 关于AB 、AC 的对称点分别是Q 、R ，四边形XQPR 是平行四边形，则X 至BC 的距离2(1cos )h h θ'=-.解析 如图，由于XP 、QR 互相平分，故h Q '=、R 至BC 距离之和sin sin PQ QPB PR RPC =∠+∠= 2()sin2cos 2cos sin 2cos sin 4tan cos sin 4sin 2222222222PQ PR BP CP BC h h θθθθθθθθθθ⎛⎫+=+⋅==== ⎪⎝⎭ 222222cos 2(1cos )BC AB AC AB AC h h AB h ABθθ+-⋅==-. AXQBPCR13.1.17★在ABC △中，点E 、F 分别是AC 、AB 的中点，点G 是重心，对BAC ∠的每一个值，有多少互不相似的ABC △，满足点A 、F 、G 、E 共圆？解析 如图，由A 、F 、G 、E 共圆，得CG CF CE CA ⋅=⋅.AFEGBC若设ABC △对应边为a 、b 、c ，对应中线为a m 、b m 、c m ，则上式变为222132c m b =.又由中线长公式知22221(32)4c m a b c =+-，消去c m ，得2222b c a +=.又由余弦定理，2222cos b c bc A a +-=，再将a 抵消，得 224cos 0b bc A c -+=.若设b c λ=，则24cos 10A λλ-+=，这个方程的24cos 1A ∆=4(-)，于是当1|cos |2A <时，方程无解；又当90A ∠>︒时，两边之比为负数，也不符合要求.除了以上两种情况，剩下来的便是60A ∠︒≤时，此时有互为倒数或相同的解，因此合乎要求的三角形恰有一个. 13.1.18★在ABC △中，()2a b c p ++=，化简222()()()1cos 1cos 1cos a p a b p b c p c A B C---+++++. 解析 由余弦定理，2222()()1cos ()22bc b c a b c a b c a a b cA p a bc bc bc++-+++-+++===-，故22()1cos a p a a bcA a b c -=+++. 同理22()1cos b p b ab cB a b c-=+++， 22()1cos c p c abc C a b c -=+++， 三式相加，即得abc .13.1.19★证明余弦定理的另一种形式；22222()cos ()sin 22A Ab c b c a -++=. 解析 如图，不妨设AC AB ≥（即b c ≥），则在AC 上取一点D ，使AD AB =，又作AF BD ⊥于F ，CE BD ⊥于E ，则E 在BD 延长线上. ABCDE F于是AF 平分BAC ∠，且22sin2A BD BF c ==，sin ()sin 2ADE CD ACE b c =∠=-，两式相加，得 ()sin 2ABE BD DE b c =+=+. 又cos()cos 22A ACE CD b c ==-，由勾股定理，222BC BE CE =+，此即 22222()cos ()sin 22A Ab c b c a -++=. 13.1.20★★已知ABC △中，A ∠的平分线、AC 上的中线、AB 上的高共点，且2A B ∠=∠，求A ∠. 解析 如图，由于中线BE 和角平分线AD 均在ABC △内，故A ∠与B ∠均为锐角. AEFBDC设ABC △的三条对应边长为a 、b 、c .由塞瓦定理，有1AF BD FB DC ⋅=，即cos cos b A CD b a B BD c ==，故cos cos AB= ac，由余弦定理知 222222b c a a c b b c+-+-=.① 由于2A B ∠=∠，有22a b bc =+，代入式①，化简有c b b cb c-+=，解得1)c b =，于是222cos 22b c a c b A bc b +--===45A ∠=︒.13.1.21★★证明斯图沃特定理：M 为BC 上一点，则222AB CM AC BMBM CM AM BC⋅+⋅-⋅=.解析 如图，由于180AMB AMC ∠+∠=︒，故cos cos 0AMB AMC ∠+∠=，分别在ABM △、AMC △用余弦定理代cos AMB ∠、cos AMC ∠，整理即得斯图沃特定理.AB M C评注 斯图沃特定理的一个著名的推论是中线长公式：若AM 为ABC △之中线，则AM =13.1.22★★★以点C 为旋转中心，将ABC △逆时针旋转为A B C ''△，设线段BA '、AC 、B C '的中点分别为M 、E 、F ，若AC BC ≠，且EM FM =，求EMF ∠.解析 首先，反复利用中线长公式得22222224ME A A BC A C AB A B AC '''=+++--，224MF A C '=+ 22222B B BC A B A B B C '''''++--，由ME MF =得2222A A AC B B B C '''-=-.由AA C '∽BB C '△知上式两端只能为零，否则相似比为1，有AC BC =，与题设矛盾.因此由BB B C ''=可知A AC '△与BB C '△均为正三角形.如图，设A C '中点为N ，连结MN 、NE 、EF .若设A CB θ'∠=（注意可负），则120ENM ECF θ∠=︒+=∠，又EC EN =，1122MN BC B C CF '===，故MNE △≌FCE △，于是ME EF =，因此MEF △为正三角形，60EMF ∠=︒.ABE CMNFA'评注 中线长公式正是余弦定理的推论.13.1.23★★★如图，在ABC △中，90C ∠=︒，D 是BC 上一点，45ADC ∠=︒，作DE AB ⊥于E ，且103AE BE =，若DE =C ∠的平分线CF 之长. AFEBCD解析 设10AE k =，0k >，则3BE k =，AD =BD 由于90C ∠=︒，45ADC ∠=︒，故AC CD ==由222AC BC AB +=，得222150169k k ++=，解得212k =或22225k =. 因45ABC ADC ∠<∠=︒，而90DEB ∠=︒，故45EDB ∠>︒，从而BE DE >，所以22225k =应舍去，即k =.于是AC =，BC =AB =由角平分线定理知23AF AC FB BC ==.故25AF AB ==，35FB AB ==.由斯图沃特定理知2223117224682652525FB AF CF AC BC AF FB AB AB =⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-=.所以CF =评注 当C ∠为直角时，CF 还有简单的表达式CF =。

人教版八年级数学下册第17章勾股定理常考题型优生辅导训练（附答案）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法错误的是（ ）A ．如果∠C ﹣∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果c 2＝b 2﹣a 2，则△ABC 是直角三角形C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形D ．如果a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．1.5B ．2.4C ．2.5D ．3.53．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 上，AD ＝AC ，AF ⊥CD 交CD 于点E ，交CB 于点F ，则CF 的长是（ ）A ．1.5B ．1.8C ．2D ．2.54．如图，△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，AD 为△ABC 的角平分线，则CD 的长度为（ ）A ．1B ．C ．D ．5．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．32，42，52B ．C ．9，41，40D ．2，3，46．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．A．0.5B．1C．1.5D．27．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC 能作出（ ）A．2个B．3个C．4个D．6个8．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（ ）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm9．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝ °．10．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ．11．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的长度为 m．12．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ ．13．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长的平方是 ．14．附加题：已知等腰三角形腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形面积为 ．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为 ．16．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 ．17．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 ．18．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为 ．19．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．20．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ．21．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，这棵大树在折断前的高度为 米．22．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）24．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的周长25．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：（1）在网格中画出长为的线段AB．（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．27．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点O为AB的中点，连接CO．点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t 秒．（1）当∠AMO＝∠AOM时，求t的值；（2）当△COM是等腰三角形时，求t的值．参考答案1．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．2．解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝＝2.4．故选：B．3．解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．4．解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2，∴∠C＝90°，过D作DP⊥AP于P，∵AD平分∠BAC，∴PD＝CD，∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD+AB•PD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD＝．故选：D．5．解：A、92+162≠252，故不是直角三角形，故不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故不符合题意；C、92+402＝412，故是直角三角形，故符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，故不符合题意．故选：C．6．解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．故选：A．7．解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选：D．8．解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，则c＝30cm．故选：A．9．解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．10．解：∵CD＝5，AD＝12，∴AC＝＝13cm，露出杯口外的长度为＝14﹣13＝1cm．故答案为：1cm．11．解：设绳子的长度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即绳子的长度为17m．故答案为：17．12．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝BD＝5，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝10，∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．故答案为：75．13．解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边长的平方为：42﹣32＝7；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：42+32＝25．综上，第三边的长为：25或7．故答案为：25或7．14．解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2＝62+22＝40；②当等腰三角形的顶角为钝角时，如图，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，CD＝AC+AD＝10+8＝18，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2＝62+182＝360；综上所知，以底边为边长的正方形面积为40，360．故填40，360．15．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．故答案是：96m216．解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．17．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．18．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9∴S正方形A+4＝9﹣3，∴S正方形A＝2故答案为2．19．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．20．解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；在Rt△ACD中，CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．故答案为：32或42．21．解：如图所示：∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m，∴BC＝＝＝5m，∴大树的高度＝AB+AC＝3+5＝8m．故答案为：8．22．解：（1）作AM⊥BC于M，∵△ABC的面积为84，∴×BC×AM＝84，解得，AM＝8，即BC边上的高为8；（2）①在Rt△ABM中，BM＝＝6，∴CM＝BC﹣BM＝15，在Rt△ACM中，AC＝＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，则a＝BE＝12；当EA＝EB＝a时，ME＝a﹣6，在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，即82+（a﹣6）2＝a2，解得，a＝，则当△ABE时等腰三角形时，a的值为10或12或．23．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．24．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝BD2+CD2∴△BDC为直角三角形；（2）解：设AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝，∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．25．解：（1）如图所示：线段AB即为所求；（2）△DEF即为所求．26．解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32＝×5，解得：t＝，∴当时，△BCP为等腰三角形．27．解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．28．（1）∵AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，∵O为AB中点，∴AO＝AB＝5，∵AO＝AM，∴AM＝5，∴CM＝3，∴t＝3；（2）①当CO＝CM时，CM＝5，∴t＝5②当MC＝MO时，t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝；③当CO＝OM时，M与A点重合，∴t＝8．综上所述，当△COM是等腰三角形时，t的值为5或或8．。

状元廊学校数学思维方法讲义之十三 年级：九年级第13讲 直线和圆的位置关系圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点。

【知识纵横】§Ⅰ直线和圆的位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ．⑴直线与圆相交⇔d __ ____ r ； ⑵直线与圆相切⇔d __ ____ r ； ⑶直线与圆相离⇔d __ ____r 。

§Ⅱ圆的切线：1．一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的__ ___；这个公共点叫做__ ___； 2．两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；3．判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；二“算”：算算圆心到直线的距离d 和圆的半径为r 之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。

4．四条性质：切线有许多重要性质 ⑴圆心到切线的距离等于圆的_ ____； ⑵过切点的半径垂直于_ ____；⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过___ __； ⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过____ _。

5．弦切角定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论 ：a )两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；b )弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。

【典例精析】考点1: 直线和圆的位置关系【例1】1、如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设OP x =，则x 的取值范围是__________．2、射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值 （单位：秒）．变式一：1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =43D在线段AC 上（不与点A 、C 重合），过点D 作DE ⊥AC 交AB 边于点E ． （1）当点D 运动到线段AC 中点时，DE = ；（2）点A 关于点D 的对称点为点F ，以FC 为半径作⊙C ，当DE = 时，⊙C 与直线AB 相切．2、如图，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠C =90°，且AB >AD+ BC ，AB 是⊙O 直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为_____ _．考点2: 圆的切线的性质基本运用【例2】已知直线PD 垂直平分⊙O 的半径OA 于点B ，PD 交⊙O 于点C 、D ，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，连结AE ，交CD 于点F ． （1）若⊙O 的半径为8，求CD 的长； （2）证明：PE =PF ；（3）若PF =13，sinA =513，求EF 的长．O AD变式二：如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．考点3:切线的判定定理运用【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=45，求BF的长．【例5】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=14，求BN的长．变式三：如图，Rt ABC△中，90ABC∠=°，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF CF=，求tan ACO∠的值．EDOAB C12NGEOBMCEBAOFD【思维拓展】【例6】如图，P A为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F，过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．【例7】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．（1）当OC=22，求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞22CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．变式四：如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作AC，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．（1）求证：EF是AC所在⊙D的切线；（2）当MA=34时，求MF的长；（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．ACM【课后测控】1、如图1，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．2、如图2，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点F ．已知BD =2，设AD =x ，CF =y ，则y 关于x 的函数解析式是 ．图1 图2 图33、如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ．4、如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上。

人教版初中数学八年级下册17.2.2 勾股定理的逆定理的应用同步练习夯实基础篇一、单选题：1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．165°【答案】B【分析】根据勾股定理逆定理证明∠D是直角，结合BD=CD得∠DBC=45°，从而得到∠ABC．【详解】如图，延长射线AB交格点于点D，∵每个小正方形的边长为1∴，∵∴∠D=90°又∵BD=CD∴△BCD是等腰直角三角形∴∠DBC=45°∴∠ABC=180°－∠DBC =180°－45°=135°故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理证明∠D是直角是解决本题的关键．2．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可．【详解】解：如图，连接．在中，∵，∴，又∵，∴是直角三角形，∴这块地的面积．故答案为：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键．3．如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（）A．246B．296C．592D．以上都不对【答案】A【详解】解：连接BD．∵∠C=90°，BC=12，CD=16，∴BD==20，在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，152+202=252，即AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•BD+BC•CD=×15×20+×12×16=150+96=246．故选A．4．已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC 是直角三角形．【详解】解：如图所示，AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．5．已知实数a，b为的两边，且满足，第三边，则第三边c上的高的值是A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a、b的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c边上高即可．【详解】解：整理得，，所以，解得；因为，，所以，所以是直角三角形，，设第三边c上的高的值是h，则的面积，所以．故选：D．【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．二、填空题：6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____．【答案】40海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：=40（海里）．故答案为：40海里．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．7．如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为___．【答案】96【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，∴AC＝10（取正值）．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD＝×10×24−×8×6＝96．故答案为：96．【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．8．如图，的周长为36cm，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后，的面积为______．【分析】根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；【详解】解：（1）设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，由题意得：3x+4x+5x=36，解得：x=3，则AB=3x=9，BC=4x=12，AC=5x=15，∵AB2+BC2=92+122=225，AC2=152=225，∴AB2+BC2=AC2，∴∠B=90°，当t=3时，AP=3cm，BQ=6cm，则BP=9-3=6cm，∴．故答案为：18．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．能正确判断△BPQ为直角三角形9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于_____．【答案】90°##90度【分析】根据三角形面积公式求出AC=4，根据勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．【详解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，∴×AC×DE=6，∴AC=4，∴，∵AB＝5，∴，∴∠ACB=90°．故答案为：90°【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．10．“我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=0.5千米，则该沙田的面积为________________平方千米．【答案】7.5【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故答案为7.5．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．11．如图，在钝角中，已知为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，，若，则的度数为________．【答案】【分析】如图中，连接AD、AE．首先证明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理可得，推出，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接，．∵，的垂直平分线分别交于点，，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，根据线段垂直平分线作出辅助线，根据三角形内角和定理解决问题是关键．12．在中，，，，平分交于点，，且交于点，则的长为_____________．【答案】##【分析】首先利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，然后利用角平分线性质和平行线性质求得，，，根据角平分线定理可知，再根据求得的长．【详解】∵，，，∴，∴，为直角三角形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，如图作⊥于点，∵平分，，，，∴，在中，，即，可得,，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、角平分线、平行线、三角形面积，解答本题的关键是熟练运用角平分线定理和三角形面积相等求解．三、解答题：13．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．【答案】【分析】根据、由勾股定理可以计算的长，根据，，由勾股定理的逆定理可以判定为直角三角形，再根据四边形的面积为和面积之和即可求解．【详解】解：，，，，，，，，，，是直角三角形，，在中，，在中，，．【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中求证是直角三角形是解题的关键．14．为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？【答案】46800【分析】连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出为直角三角形，进而利用两个直角三角形的面积和求出四边形的面积，再用面积乘以费用，即可得解．【详解】解：如图所示，连接．，，，，又，，，即，是直角三角形，所需费用为元．答：共需投入46800元．【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．熟练掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键．15．如图，等腰是某小区的一块空地，，开发商准备将其修建成一个小区居民娱乐中心，在上取一点D，连接区域修建为儿童乐园，区域修建为中老年棋牌室，经测量，米，米，米，求中老年棋牌室（即）的面积．【答案】中老年棋牌室（即）的面积为84平方米【分析】由勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，且，则是直角三角形，且．设米，则米，在中，由求得米，即可得到答案．【详解】解：∵米，米，米，∴，∴是直角三角形，且，∴是直角三角形，且．设米，则米，∵在中，，∴，解得，即米，∴（平方米）．∴中老年棋牌室（即）的面积为84平方米．【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键．16．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．(1)求需要绿化的空地的面积；(2)为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长．【答案】(1)114m2；(2)的长为m【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可；（2）由三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：，，，，，，是直角三角形，，需要绿化的空地的面积；（2）解：，，，，解得：，即小路的长为．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出．17．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里(1)若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由(2)若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由．【答案】(1)“海天”号沿西北方向航行，理由见解析(2)能在20分钟内回到海岸线，理由见解析【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可；（2）过点A作于D，根据含30度角的直角三角形的性质，根据勾股定理得出F到x轴距离，进而得出答案．（1）解：∵（海里），（海里），（海里），∴，∴是直角三角形，∴，∵“远航”号沿东北方向航行，∴，∴，∴“海天”号沿西北方向航行；（2）过点F作于D，（海里），∵，∴，∴（海里），∵（海里），，∴能在20分钟内回到海岸线．【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．能力提升篇一、单选题：1．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮到达小岛．若，两岛的直线距离为，则乙客轮离开港口时航行的方向是（）A．北偏西B．南偏西C．南偏东或北偏西D．南偏东或北偏西【答案】C【分析】根据题意可得OA=30海里，OB= 40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得，海里，海里，OA2+ OB2=302 + 402=2500，AB2=502=2500，OA2+OB2=AB2，∠AOB=90°，分两种情况：如图1，= 180°- 30° -90° =60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°，如图2，∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30° =60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60° ，综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．2．点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（）A．4B．2C．1D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：分三种情况考虑（如图所示）：当∠OAB＝90°时，m＝0；当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．综上所述：m的值可以为0，5，1，4．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．3．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB 边上的动点，则PE+PB的最小值是（）A．10B．12C．D．【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD 于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，∴AB2=AD2+BD2，∴∠ADB=90°，∵D为BC的中点，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，∵S△ABC=AB•CE=BC•AD，∴13•CE=10×12，∴CE=，∴PE+PB的最小值为，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．二、填空题：4．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．【答案】150°【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．5．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______．【答案】(3，300°)或(3，120°)【分析】设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C．【详解】解：如图：设中心点为点O，在中，，，是直角三角形，且∴C的位置为：(3，)或(3，)．【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键．6．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直．【答案】或或．【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可．【详解】解：设运动时间为则，当时，如图1所示，过点作于点，中有，，中，，中，，，，解得：；当时，如图2所示，由可知，又；当时，如图3所示，过点作于点由知，中有，中有，，又当点移动秒或秒或秒时，与边垂直．故答案为：或或．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键．三、解答题：7．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．(1)请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；(2)若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？【答案】(1)理由见解析；(2)沙尘暴影响该城镇持续的时间为．【分析】（1）过点C作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域，即可证明；（2）在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，当，时，沙尘暴正好影响城镇C，根据勾股定理可得，利用直角三角形全等的判定及性质可得，EF=14km，由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间．（1）解：如图所示：过点C作，∵AC=30km，，，∴，∴为直角三角形，∴，即30×40=50×CD，∴，∵以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域，，∴城镇C会受到沙尘暴影响；（2）解：如图所示：在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，当，时，沙尘暴正好影响城镇C，∴，在与中，，∴，∴DE=DF，∴EF=2ED=14km，∵沙尘暴中心的移动速度为，∴，∴沙尘暴影响该城镇持续的时间为．【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用，全等三角形的判定和性质等，理解题意，利用勾股定理定理解决实际问题是解题关键．。

一、选择题 1．如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC=45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为（ ）

A．3 B．11 C．23 D．4 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有

（ ） （1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：2：3；（4）GE2+CE2＝BG2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（ ）

A．2 B． 23 C． 43 D．4 4．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( ) A．(－2，23) B．(－2，－23) C．(－2，－2) D．(－2，2)

5．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（ ）

①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cmAC，8cmBC．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）

A．2cm B．3cm C．4cm D．

5cm

7．在ABC中，90C，30A，12AB，则AC（ ） A．6 B．12 C．62 D．63

8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A．236、、 B．3、4、5

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

人教版初中《第13章正弦定理与余弦定理》竞赛专题复习含答案第13章正弦定理与余弦定理13.1.1 ★★ 已知点P是内部的一个点△ ABC，所以呢？个人通讯簿？？pbc？？pca？？。

1111.2222sin?sinasinbsinc解析如图，设△abc的三边为a、b、c，对应角分别为?a、?b、?c，?bpc?180c????180???c，同理?cpa?180a，?apb?180b.求证：aαpαbαc由正弦定理，s△capbpsin?sin?sin?sin?，故bp?c，同理cp?a，ap?b，s△abc?s△abp?s△cbp??absinbsinbcsina11?bcacab?211?(ab?ap?bc?bp?ca?cp)sin sin??s(?△abc?22?sinasinbsinc?sin2asin2b?1)sin2?.2sinc1111.sin2?sin2asin2bsin2cbx??yac13.1.2★★在△abc的ac及bc边上分别取点x、y，使?a，?ayb??bxc，xc?yb，找出所有的内角△ 基础知识解析如图，易知?c??ayb??yac??bxc??abx??bac，故ab?bc.于是axpbycbyxcsin?ayb?sin?bxc?sin?xbc.abbc于是?bay??xbc（易见?bay??xbc?180?），故?bac??abc，bc?ac.于是△abc为正三角形，各内角均为60?.13.13★★★ 已知凸四边形ABCD，AC？BD，AB，BC，CD，Da有一些f，G，h，e，AB 吗？fd，bc？dg，cd？广告？确认FH、GE和AC是否相同解析如图，设△abd、△bcd垂心分别为m、n，fh与ac交于k，eg与ac交于k?.又由正弦定理，sin?bay?afmedbk'kgch根据正弦定理和公共圆中的四点，有mksin?hfdsin?hbdsin?dca，mfsin?mkfsin?mkfsin?mkfnksin?fhbsin?fdbsin?bac，?? nhsinnkhsinmkfsinmkfmkmfsindcaam.nknhsinbaccnmkam同理，得k与k?重合，即fh、ge、ac共点.?nk?cno是△ecf的外心13.1.4★★★已知?abcd，e在bc上，ae、dc延长后交于f，（在△ecf内），如果B，O，C和D是圆的，ad？fd。