考研数学真题及答案解析数二

试卷及解2024考研数学（二）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1(1)(2)()x x f x x --=的第一类间断点的个数是A.3. B.2.C.1.D.0.1.【答案】C【解析】无定义点为12x x ==，对于()()()()()111lim1121211,lim ||ee x x x x x x x x x →⋅-----→===，故1x =是可去间断点.对于()()11222,lim ||x x x x x ---→==+∞，故2x =是第二类间断点另外，0x =是分段点，()()()011limln 12(12lim||ex xx x x x x x →⋅----→==+∞∣，故0x =是第二类间断点.因此只有一个第一类间断点2.设函数()y f x =由参数方程231,et x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则2lim 2(2)x x ff x →+∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A.2e.B.4e 3.C.2e3.D.e3.2.【答案】B【解析】()222lim22x f f x x→+∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅原式()'22f +=1d d d d t y t x t==2212e 23tt t t==⋅4e 3=.3.设函数sin 30()sin d ,()()d ,xxf x t tg x f t t ==⎰⎰则A.()f x 是奇函数，()g x 是奇函数.B.()f x 是奇函数，()g x 是偶函数.C.()f x 是偶函数，()g x 是偶函数.D.()f x 是偶函数，()g x 是奇函数.3.【答案】D【解析】()sin 30sin d xf x t t =⎰，()3sin(sin )cos f x x x ='为奇函数.所以()f x 为偶函数，()()0d xg x f t t =⎰为奇函数.4.已知数列{}(0),n n a a ≠若{}n a 发散，则A.1n n a a ⎧⎫+⎨⎩⎭发散. B.1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.C.1ee nn a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭发散. D.1ee nn a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.4.【答案】D【解析】选项A ：取=22n a 11，，， (22)，112+.2n n a a +收敛到错误.选项B ：取=1,1,1,1,,n a -- 10.n na a -收敛到错误.选项C ：取=ln 2,ln 2,ln 2,ln 2,,n a -- 11e2e 2nna a ++收敛到错误.5.已知函数221()sin 0,(,)0,0,x y xy xy f x y xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则在点（0,0）处A.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 可微.B.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 不可微.C.(,)f x y x ∂∂不连续，(,)f x y 可微.D.(,)f x y x∂∂不连续，(,)f x y 不可微.5.【答案】C 【解析】()(()(,0,0,0,000limlimx y x y x y →→≠≠--⋅+⋅--⋅+⋅=或()(()(()22,0,0,0,000001sin0limlim0,x y x y x y x y x y xy→→≠≠≠≠+---⋅+⋅==且且则(),f x y 在（0,0）处可微.而()2221112sin cos ,0,(,)=0,0,x x y xy f x y xy xy x y x xy ⎧⎛⎫++-≠∂⎪ ⎪⎨⎝⎭∂⎪=⎩()()()()()()222,0,0,0,00000,11limlim 2sin cos x y x y x y x y x y f x y x xxy x y xy →→≠≠≠≠⎡⎤+∂⎢⎥=-∂⎢⎥⎣⎦且且不存在，从而(),f x y x∂∂在（0,0）处不连续.6.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .y y f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰6．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A .7.设非负函数()f x 在∞[0,+)上连续.给出以下三个命题：①若20()d f x x +∞⎰收敛，则0()d f x x +∞⎰收敛；②若存在1,p >使得lim ()px x f x →+∞存在，则0()d f x x +∞⎰收敛;③若0()d f x x +∞⎰收敛，则存在1,p >使得lim ()p x x f x →+∞存在.其中真命题的个数为A.0.B.1.C.2.D.3.【答案】B【解析】①取()2011(),d 11f x x x x +∞=++⎰收敛，01d .1x x +∞+⎰发散，错误②极限比较判别法原话.正确.③极限比较判别法为充分不必要条件.错误.()()()201d 1,lim .1ln 1px x p x f x x x +∞→+∞>=∞++⎰取收敛，8.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=A A.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P ，故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131 (1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.设A 为4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若*()=-A A A O 且*≠，A A 则()r A 取值为A.0或1.B.1或3.C.2或3.D.1或2.9.【答案】D【解析】由题意可知*()=-A A A O ，故()()*4r r +-≤A A A.()***,,1r ≠-≠-≥又故即A A A A A O A 因此() 3r ≤A .又()*2*22-=-=-==OA A AAAA A A E A ()()**2,0r r ⇒≤=⇒=此时OA A A 又()*1r ≠⇒≥A A A ，故()12r =或A .10.设,A B 为2阶矩阵，且=,AB BA 则“A 有两个不相等的特征值”是“B 可对角化”的A.充分必要条件.B.充分不必要条件.C.必要不充分条件.D.既不充分也不必要条件.10.【答案】B【解析】方法一充分性，A 有两个不相等的特征值，故A 必可相似对角化.又=,AB BA ，且A 有2个不同特征值，故A 的特征向量都是A 的特征向量.（利用线代9讲结论）又A 有2个线性无关特征向量，故B 有2个线性无关特征向量，故B 必可相似对角化.必要性，B 可相似对角化，不妨取,==B E A E ，则推翻.【解析】方法二因题知A 有两个不同特征值，不妨设为12λλ，且12λλ≠，则存在可逆阵P 使1121111111122 λλλλλλ-------⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭=⇔=⎛⎫⎛⎫⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又P AP AB BA P APP BP P BPP APP BP P BP B 可相似对角化1-⇔P BP 可相似对角化.12134121211343422111211221223241324 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b λλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设代入上式由P BP 122222313311140000b b b b b b b b λλλλ--⇒=⇒==⇒=⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭可对角化P BP P BP ⇒可对角化B 以上推导均基于12λλ≠，反之 可对角化B 无法推出A 有两不同特征值，故A 有两个不同特征值为 B 可对角化的充分非必要条件.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.曲线2y x =在点(0,0)处的曲率圆方程为.11.221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由图像可转化为2y x =处且()()3221y k y '''=+()0,020,2y xy ==''='12,2k R ==，2211(0)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.12.函数324(,)2961224f x y x x y x y =--++的极点是.12.【答案】（1,1）【解析】由23618120,24240,x y f x x f y '⎧=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得驻点为(1,1),(2,1).又21218,0,72,xxxy yy A f x B f C f y ''''''==-====-代入点（1,1）得24320,6,AC B A -=>=-故（1,1）是极大值点.代入点（2,1）得24320,AC B -=-<故（2,1）不是极值点.13.微分方程21()y x y '=+满足条件(1)0y =的解为.13.【答案】()π arctan 4x y y +=+【解析】方程化为2d ()d xx y y=+d d1d d x u u x y y y=+=-令则即2d 1d uu y=+则21d d 1u y u ⎰=⎰+arctan u y c=+代1,0,1x y u ===.得π 4c =得()πarctan 4x y y +=+14.已知函数2()(e 1)xf x x =+，则(5)(1)f =.14．【答案】31e 【解析】()()()52e 1x x +()()()(5)(4)22e 15e 1x x x x '=++⋅+⋅()()(5)225e 1''x C x ++2e 5e 210e 2x x x x x =⋅+⋅⋅+⋅⋅,则(5)e 10e 20e 31e(1)f++==15.某物体以速度()sin πv t t k t =+作直线运动.若它从0t =到3t =的时间段内平均速度是52，则k =.15．【答案】3π2【解析】30(sin )2πd 53t k t t+=⎰,则3015(sin )2πd t k t t +=⎰,30915cos 22k t -π=π915(11)22k ---=π,则3π2k =.16.设向量1231111,,,1111a ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα若123,,ααα线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab =.16．【答案】4-【解析】由()22123211111111011011,,1101101111011002a a a a a a a a b b a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪--+-+- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ααα由()123,,2r ≤ααα且()(),2i j r i j =≠αα故()123,,2r =ααα1当1a =时，1α与3α相关，不满足题意2当1a ≠时，()()1231111011011,,0110012002002a aa ab a b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪+--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ααα故要满足题意，则20a +=且()120b a -+-=242a ab b =-⎧⇒⇒=-⎨=⎩三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12J v ∂x ∂x==∂u∂y ∂v ∂y 故∂u∂v1331331d 1d 2u v v ⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式8ln33=.18.设()y x 为微分方程290,x y xy y '''+-=满足条件112,6x x y y =='==的解.（1）利用变换e tx =将上述方程化为常系数线性方程，并求();y x（2）计算21(.y x x ⎰解：（1）290,x y xy y '''+-=令e tx =，则222222d d d d 1d d 1d 1,,d d d d d d d y y t y y y y x t x t x x t x t x ⎛⎫⎛⎫===+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2222d d d d 90,90d d d d y y y y y y t t t t-+-=-=即，()()()()3332121123221124e e ,1=233,1336,t t C y C C y x C x y C C x C y x C x y C C x -=+=+=+''=-=-=，，①②从而()312=2=0=2.C C y x x ，，则（2）2211(2y x x x x=⎰⎰3222226624352sin16sin4cos d64(1cos)cos d(cos)cos1164)d6435116464.38532816055x tt t t t t tt uu u u u uππππ==--⎛=-=-⎝⎛⎛=-==⎝⎭⎝⎭⎰⎰令令19.设0,t>平面有界区域D由曲线xy-=与直线,2x t x t==及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为()V t，求()V t的最大值.19.【解】222222π()π()dπe d(21)e4tt t x xt ttV t y x x x x x--===-+⎰⎰42π(41)e(21)e(0)4t tt t t--⎡⎤=-+-+>⎣⎦()42π1()16e4e0,ln4ln242t tV t t t t'--=--+===,(0,ln2),t∈maxπ3π()0,(ln2,),()0,ln2,[()]ln21664V t t V t t V t''>∈+∞<==+20.已知函数(,)f u v具有2阶连续偏导数，且函数(,)(2,3)g x y f x y x y=+-满足222226 1.g g gx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂（1）求2;fu v∂∂∂（2）若2(,0)1e,(0,)1,50uf u u f v vu-∂==-∂求(,)f u v的表达式.20.【解】（1）23g f fx u v∂∂∂=+∂∂∂2222222222222 2233234129g f f f f f f fx u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，2gx y ∂∂∂222222222222(1)31)23f f f f f f f u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+⋅-++-=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，g f f y u v∂∂∂=-∂∂∂，()()2222222222222112g f f f f f f fy u u v u v v u u v v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅--+-=-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭,代回原式得，2 251f u v∂=∂∂,故2125f v v ∂=∂∂（2）()111d 2525f v v c u u ∂=⎰=+∂，()()1,0e e u uf u u c u u u --∂==∂代得，1e 25u f u v u -∂=+∂故，则()()()211,e d 1e 2525u u f u v u v u u uv c v --⎛⎫=⎰+=-+++ ⎪⎝⎭.代()210,150f v v =-得()22150c v v =综上：()()211,12550uf u v u e uv v -=-+++.21.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰21.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x xx ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 22.设矩阵1101,11,1012a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 二次型T123(,,)f x x x =x BAx .已知方程组=0Ax 的解均是T =0B x 的解，但这两个方程组不同解.（1）求,a b 的值；（2）求正交变换=x Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形.22.【解】（1）由题意可知，=0Ax 的解均是T=0B x 的解故()r r ⎛⎫=⎪⎝⎭T A A B ,且()2r =A 011011011010101 11011001112011001a a a b b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭T 又A B 故1,2a b ==(2)111120111111210122224⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BA CT T 112112224f ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭x BAx x x由()()12310,tr 6r λλλ=⇒====C C 当120λλ==时，得到线性无关的特征向量为12111,101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ，单位化为12,0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ =-= ⎪ ⎪ - ⎪⎪ ⎝⎭⎝η η当36λ=时，得到线性无关的特征向量为3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化为2112⎛⎫⎪=⎪⎪⎭η()123 ,,0⎛ ==-⎝故令Q ηηη则23T6f ===x Qyx Cx y。

1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x xx x e y x x +⋅++⋅='+，从而π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得x x x x y ysin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x xx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→x x x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。

这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形.3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t tt d【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.4...【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx ex ey dxx dxx=2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即x x y x ln ][22='，两边积分得Cx x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ，再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=5…【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim20x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得.43=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.6…【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有.221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。

2022年数二考研真题答案解析一、填空题：1一6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）曲线口yl某4in某的水平渐近线方程为y.D55某2co某【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可•口4in某某4in某某1.0【详解】limlim某5某2co某某2co某55某1故曲线的水平渐近线方程为y.o51（2）设函数口1某2130intdt,某0在某0处连续,则a・f（某）某3a,某0【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可•【详解】由题设知，函数口f（某）在某0处连续，则口limf（某）f（0）a,o某0又因为limf（某）lim某0某0某0int2dt某3in某211im.某03某23所以口al.3（3）广义积分001某d某（1某2）22.D【分析】利用凑微分法和牛顿一莱布尼兹公式求解.口【详解】o02bd（l+某）某d某1lllimlim22（l某2）22b0（l某）2bl+某bO211111im2.Q2bl+b22（4）微分方程口yy（l某）某的通解是yC某e（某0）.某【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为°dylld某，y某两边积分得口Inyln某某Cl,整理得口（5）设函数口C某.（Cel）yCe某dy某Oe.d某【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对某求导（注意y是某的函数），一阶微分形式不变性口yy（某）由方程yl某ey确定，贝版和隐函数存在定理求解.口【详解】方法一：方程两边对某求导，得口yey某yey.Q又由原方程知，某0时,y方法二：方程两边微分，得°ydye某d某yl.代入上式得口dyd某某0y某0e.q某0,yl,得ey,代入ddyd某某Oe.Q方法三：令F（某,y）yl某ey,则口yleoF某某Oy,某FeyO,1,y某yO,1某lye某y,0,11 故口dyd某某OF某Fy某0,yle.D某O,yl（6）设矩阵A21,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E,贝血12qB2.o【分析】将矩阵方程改写为A某B或某AB或A某BC的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行°计算即可•口【详解】由题设，有口B（AE）2E d于是有口BAE4,而口11AE2,所以B2.口11二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数口yf（某）具有二阶导数，且f（某）0, f（某）0,某为自变量某在点某0处的增量，oy与dy分别为f（某）在点某0处对应的增量与微分，若某0,贝血（A）dOdyy.(B)Oydy.D（OoydyO.o（D）odyyO.口[A]。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;1下列反常积分中收敛的是A ∫√x 2B ∫lnx x +∞2dxC ∫1xlnx +∞2dxD ∫x e x +∞2dx答案D;解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;∫√x2=2√x|2+∞=+∞； ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫xe x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此D 是收敛的;综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学—一元函数积分学—反常积分2函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在-∞,+∞内 A 连续 B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点答案B解析这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B; 综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限3设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0α>0,β>0.若f ′(x )在x =0处连续，则 A α−β>1 B 0<α−β≤1C α−β>2D 0<α−β≤2答案A解析易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是,f ′(0)存在α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时,lim x→0x α−1cos 1x β=0,lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0， 因此,f′(x )在x =0连续α−β>1;选A综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限4设函数f(x)在-∞,+∞内连续,其二阶导函数f ′′(x)的图形如右图所示,则曲线y =f(x)的拐点个数为A OB x A 0 B 1C 2D 3答案C解析f(x)在-∞,+∞内连续,除点x =0外处处二阶可导; y =f(x)的可疑拐点是f ′′(x )=0的点及f ′′(x)不存在的点;f ′′(x )的零点有两个,如上图所示,A 点两侧f ′′(x)恒正,对应的点不是y =f (x )拐点,B 点两侧f ′′(x )异号,对应的点就是y =f (x )的拐点;虽然f ′′(0)不存在,但点x =0两侧f ′′(x)异号,因而0,f(0) 是y =f (x )的拐点;综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点5设函数f(μ,ν)满足f (x +y,y x )=x 2−y 2，则f μ|μ=1ν=1与f ν|μ=1ν=1依次是 A 12,0 B 0,12C −12,0D 0,−12答案D解析先求出f (μ,ν)令{μ=x +y,ν=y x ,{x =μ1+ν,y =μν1+ν, 于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1) 因此f μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0 f ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12 综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分6设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,函数f(x,y)在D 上连续,则∬f (x,y )dxdy =DA ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr B ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θrdr C ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr D ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θdr答案 B 解析D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,作极坐标变换,将∬f (x,y )dxdy D化为累次积分; D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4√sin 2θ≤θ≤√2sin 2θ因此 ∬f (x,y )dxdy D =∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算;7设矩阵A=[11112a 14a 2],b =[1d d 2];若集合Ω={1,2},则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为A aΩ,dΩB aΩ,d ∈ΩC a ∈Ω,dΩD a ∈Ω,d ∈Ω答案D解析Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式,值为(a −1)(a −2),如果a?Ω,则|A |≠0，r (A )=3,此时Ax =b 有唯一解,排除A,B类似的,若d?Ω,则r (A |b )=3,排除C当a ∈Ω,d ∈Ω时,r (A |b )=r (A )=2,Ax =b 有无穷多解综上所述,本题正确答案是D;考点线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值,矩阵的秩,线性方程组求解;8设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,−e 3,e 2)在正交变换x =Qy 下的标准形为A 2y 12−y 22+y 32B 2y 12+y 22−y 32C 2y 12−y 22−y 32D 2y 12+y 22+y 32答案A解析设二次型矩阵为A ,则P −1AP =P TAP =[20001000−1]可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是-e 3也是A 的特征向量,特征值为-1,因此Q T AQ =Q −1AQ =[2000−10001]因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32综上所述,本题正确答案是A;考点线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量,正交变换化二次型为标准形;二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分;9设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2y dx 2|t=1=解析由参数式求导法dy dx =y t ′x t ′=3+3t 211+t 2=3(1+t 2)2再由复合函数求导法则得d 2ydx 2=d dx [3(1+t 2)2]=d dt [3(1+t 2)2]dt dx =6(1+t 2)2t1x t ′ =12t(1+t 2)2, d 2y dx 2|t=1=48综上所述,本题正确答案是48;考点高等数学-一元函数微分学-复合函数求导10函数f (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数f (n )(0)=答案n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,)解析解法1 用求函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

2021考研数学二真题及答案解析考研数学二对于很多考生来说是一个重要的挑战，它涵盖了众多的知识点和题型，需要考生具备扎实的数学基础和较强的解题能力。

接下来，我们就一起详细地分析一下 2021 年考研数学二的真题及答案。

先来看选择题部分。

第一题考查了函数的基本性质，要求判断函数的奇偶性。

这需要考生熟练掌握奇偶函数的定义和判断方法。

第二题则涉及到极限的计算，对于这类题目，考生需要掌握常见的极限运算规则和方法。

比如其中有一题，给出了一个复杂的函数表达式，让求其在某一点的极限值。

这就需要我们运用等价无穷小替换、洛必达法则等方法来进行求解。

在解题过程中，要注意对函数进行合理的变形和化简，避免盲目计算导致出错。

再看填空题部分。

填空题通常考查一些较为基础但容易被忽略的知识点。

比如其中有一题是关于定积分的计算，这就要求考生对定积分的基本公式和运算方法有清晰的掌握。

另外，还有一题考查了曲线的切线方程，需要先求出函数的导数，然后代入切点的坐标来确定切线的斜率，进而得出切线方程。

这部分题目虽然难度相对不大，但需要考生在计算过程中保持细心和准确。

接下来是解答题部分。

这部分题目综合性较强，对考生的知识运用能力和解题思路要求较高。

比如有一道关于多元函数求极值的问题。

首先要对函数求偏导数，然后令偏导数等于零，解出可能的极值点。

接着，通过判断二阶偏导数的正负来确定是极大值还是极小值。

这道题不仅考查了考生对多元函数求极值方法的掌握，还考验了其计算能力和逻辑推理能力。

还有一道关于常微分方程的题目。

需要先判断方程的类型，然后运用相应的解法来求解。

在解题过程中，要注意初始条件的运用，确保答案的完整性和准确性。

总的来说，2021 年考研数学二的真题难度适中，既考查了基础知识的掌握，又注重了对综合能力的检验。

对于准备考研数学二的同学来说，通过对这套真题的分析和研究，可以明确考试的重点和方向。

在复习过程中，要注重基础知识的巩固，多做练习题，提高解题的熟练度和准确性。

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

只有一个选项是最符1.曲线y = xln （e^-LA 的渐近线方程为（）。

A. y=x+eB. y=x+l/eC. y=xD. y=x —1/e【试题答案】B【试题解析】由已知y = xln （e^ —\ JC 1xlnyk = lim — = lim ----X —00JQXTOO,则可得:limln e +X —00 I1=1b = lim (y-Ax) = lim XT8 ' / XToox-1扁仁上、—X=limxL|' 1、e +--------1_ l X-lyX —>00、x — l)1lim xln XToo1+limXToo所以斜渐近线方程为y=x+l/e 。

2.__,x<0函数 x/l +、2[(x + l)cosx,x > 0的原函数为（A.尸("In +— jv ) jv < 0(x + l)cos x - sin x, x > 0B.尸("In ^/1 + %2 —1, x V 0(x + l)cos x - sin x, x > 0C.In ^/1 + x 2 + x) x V 0(x + l)sin x + cos >In^|/1+%2+x1,jv V0D.F(x)=<(x+l)sin x+cos>0【试题答案】D【试题解析】当xWO时，可得:当x〉0时，可得:j f(x)ch=j(x+l)cos xdx=j(x+l)dsinx=(x+l)sin x-j sin xdx=(x+l)sin x+cos x+C2在x=O处，有：lim In@+J1+工2>G=G,lim(x+l)sin%+cos%+C2=1+C2由于原函数在(一8,+8)内连续，所以Ci=l+C2,令C2=C,则C1=1+C,故In1+%2+x1+C,x V0j/(x)dx=<(x+l)sin x+cos x+C,x>0In+x2+1,x<0令C=0,则f(x)的一个原函数为F(x)=<(x+l)sin x+cos>03.设数列{Xn},{yn}满足xi=yi=l/2,x n+i=sinx n,yn+i=y「，当n—8时()。

t3t 2 2x10 2x ®0x (1- x )x d x e -1 ln |1+ x |-2x= -e -1 2ln | x +1| x = -e -1 2¥¥òarcsin u · 1 arcsin xx (1- x ) u 2(1- u 2)x ®01- u 2¶f¶x arcsin u d 0 p①(0,0)¶2 f¶x ¶y ¶f¶x②(0,0)①(0,0) = lim-1 不存在.(0,0)y ®0 y xy = 0(0,0)x = 0y = 0¶x ¶y6.设函数 f (x) 在区间[-2, 2] 上可导，且 f ¢(x) >f (x) > 0 ，则（ ）f (-2)> 1f (-1)f (0) f (-1)f (1) f (-1)f (2) f (-1) >e <e2 <e3答案：B解析：由 f ¢(x) >f (x) > 0知f ¢(x)- 1 > 0f (x)即(ln f (x) -x)¢> 0令F (x) = ln f (x) -x ，则 F (x)在[-2, 2]上单增因-2 <-1 ，所以 F (-2) <F (-1)即ln f (-2) + 2 < ln f (-1) + 1f (-1)>ef (-2)同理， -1 < 0, F (-1) <F (0)即ln f (-1) + 1 < ln f (0)f (0)e7.设四阶矩阵A=(a ij )不可逆，a12 的代数余子式A12 ¹0,a1,a2 ,a3 ,a4 为矩阵A的列向量 组. A* 为 A 的伴随矩阵.则方程组 A* x =0 的通解为（ ）.A.x=k1a1 +k2a2 +k3a3 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数B.x=k1a1 +k2a2 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数C.x=k1a1 +k2a3 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数.D.x=k1a2 +k2a3 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数 答案：C解析：∵A 不可逆11 2 3 3 4è øè ø ∴|A|=0 ∵ A 12¹ 0r ( A *) = 1∴ r ( A ) = 3∴ A * x = 0 的基础解系有 3 个线性无关的解向量.A *A =| A | E = 0∴A 的每一列都是 A *x = 0 的解又∵ A 12¹ 0∴a 1 ,a 3 ,a 4 线性无关∴ A *x = 0 的通解为 x = k a + k a + k a 8. 设 A 为 3 阶矩阵，a 1 ,a 2 为 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量，a 3 为 A 的属于特征 æ 1 0 0 ö 值-1 的特征向量，则满足P -1AP = ç 0 -1 0 ÷的可逆矩阵 P 可为（ ）.A. (a 1 +a 3 ,a 2 , -a 3 )B. (a 1 +a 2 ,a 2 , -a 3 )C. (a 1 +a 3 , -a 3 , -a 3 )D. (a 1 +a 2 , -a 3 , -a 2 )答案：D解析：A a 1 = a 1 , A a 2 = a 2A a 3 = -a 3ç ÷ ç 0 0 1 ÷æ 1 0 0 ö ! P -1AP = ç 0 -1 0 ÷ç ÷ ç 0 0 1 ÷\ P 的 1，3 两列为 1 的线性无关的特征向量a 1 +a 2 ,a 2 P 的第 2 列为 A 的属于-1 的特征向量a 3.∴∵24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.，则 = .t =1tt tyyd 2 ydx 2t 2 +1t 2 +1dy 2dx 2ò)], )],(0,(0, 1 ，则 +¥y (x ) d x 0¶z ¶x ¶z ¶y0 òò= +¥y (x ) d x = - +¥ y ¢(x ) + 2 y ¢(x ) d x= -[ y ¢(x ) + 2 y (x )] +¥= [ y ¢(0) + 2 y (0)] = 1a 0 -1 114.行列式 a 1 -1 =-1 1 a 0解析：1 -1 0 a a 0 -1 1 a 0 -1 1 0 a 1 -1 = 0 a 1 -1 0 a -1 + a2 1 a -1+ a 2 1=0 a 1 -1 = - a 1 - 1 -1 1a 0 0 a a0 0 a aa a 2 - 2 1 = - a 2 -1 = a 4 - 4a 2.0 0 a三、解答题：15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）x 1+ x求曲线 y = (1+ x )x(x > 0) 的斜渐近线方程.解析： lim y x 1+ xlim= limx ®+¥ xx x xx ®+¥ (1+ x )x x x ®+¥ (1+ x )= ex l n xlim x ®+¥ ex ln(1+ x )= lim e x (ln x -ln(1+ x ))x ®+¥-1 1 a 0 -1 1 a 0 1 -1 0a 00 aaò=x ®+¥=x ®+¥=x ®+¥lim (y x ®+¥= lim æx ®+¥ è= lim x ®+¥= lim x ®+¥= ölim x ®+¥ø= ö x ®+¥÷ ø= lim e t ®0+ = lim e t ®0+ = 1 e -1 t ®0+ y = e -11e-1216.limf (x ) = 1,g ( x ) = 1f ( xt )dt , 求g '( x )x ®0 x续.并证明 g '(x )在x = 0 处连x = lim f (x ) = 0 x ®0ò0 f (u )du = 1 lim f (x ) = 1 0 x 2 2 x ®0 x 2 的极值y C = 0 -1+ 1x 2 +13 çx AC - 当 x = A = 1.AC - >1= -21618. ) ，并求直线 y = 1 ，与函数 f (x ) 所 y = 22+ 2 f æ1 è ) x x …②①´ 2f (x ) = x②V = p × ÷ 3 - p = 3 3 4 = p 2312 2 x 1+ x 2x 2 + y 2x 2 + y 2 xòò Ddxdy òò d(+ 2 2 òò x d 2 x 2 + y 2ò = 3 + 1)ù û20.分）t 2dt .f (x ) = (2 -x )e x 2 ;(1, 2), f (2) = ln 2 ×h e h 2 .F (x ) = f (x )(x - 2) = (x - 2) x e t 2dt 1 (2) = 0, 又F (x )在[1, 2]连续,(1, 2)上可导,(1, 2), 使得F '(x ) = 0e t 2 dt + (x - 2)e x 2 =f (x ) + (x - 2)e x 2x 2 .令 $h Î(1, 2)=f (2) = e=h e h 2 ln 22 21.分）f ¢(x ) > 0(x ³ 0) ， f (x ) 的图象过原点 O的切线与 X 轴交于 T ，MP ^ x 轴，曲线 y = f (x ), MP , x 轴围成的面积与D 3：2，求曲线方程.坐标为(x , y ) ，则过 M 的切线方程为Y -令- y y ¢n 2 （2即xê úò0 f (t )d t = 3× × y 22 y整理并求导得令 y ¢ = p 3yy ¢ - 2 y ¢2 = 0y ¢ = d p 代入上式得d y3yp d p- 2 p 2 = 0d y2解得 p = C 1 y 32即 y ¢ = C 1 y 3d y = C d x1y 31 3y 3 = C 1x +C2 13 3 = C 1xy = Cx 3由 y (0) = 0 得C 2 = 0.22.（本题满分 11 分）设 二 次 型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2+ 2ax x + 2ax x + 2ax x经 可 逆 线 性 变 换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3æ x1 ö æ y 1 ö ç x ÷ = P ç y ÷ 得 g ( y , y , y ) = y2 + y 2 +4 y 2 + 2 y y .ç 2 ÷ ç 2 ÷ 1 2 3 1 2 3 12ç x ÷ ç y ÷ è 3 ø è 3 ø（1） 求 a 的值； （2） 求可逆矩阵 P. 解析：é1aa ùA = êa 1 a ú ê ú（1） 令 f (x 1, x 2 , x 3 ) 的矩阵 êëa a 1úûf ( y 1, y 2 , y 3 ) 的矩阵 é1 1 0ùB = ê1 1 0úêë0 0 4úû33 32 21 2 1 1 2 1 ëû ê 3 1 2 ê 3 z ï ú ìz 1 = y 1 + y 2 í 2 = 2 y 3 é1 1 0ù ï z 3 = y 2 ê ú 令î 即令P = ê0 0 2ú Z = P Y . 22 êë0 1 0úûf ( y , y , y ) = z 2 + z 2 则 1 2 3 1 2 .故P 1 X = P 2Y X = P -1PY P = P -1P .é 1 ù ê3 ú é1 1 0ù P -1 = ê02 1ú P = ê0 0 2 ú 1 ê3 ú 2 ê ú ê ê0 0 由于 êë ú ê0 1 0ú 1ú úû é1 2 2 ù ê ú 故 P = P -1P = ê0 14 ú ú ê0 1 0 ú ê úêë úû23.（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P = (a , A a ) ，其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量. (1)证明 P 为可逆矩阵.(2)若 A 2a + A a - 6a = 0 ，求 P -1AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵. 解析：(1)a ¹ 0 且 A a ¹ la . 故a与A a 线性无关. 则 r (a , A a ) = 2则 P 可逆.(2)法一：由已知有 A 2a = - A a + b a即 . 所以于是 AP = A (a , A a ) = ( A a , A 2a ) = ( A a , - A a + 6a )= (a , A a ) æ 0 6 ö,故有P -1 AP = æ 0 6 ö,! P 可逆 ç 1 -1÷ ç 1 -1÷ è ø è ø \可得A 与æ 0 6 ö相似，又 l -6 =（l + 3）"（l - 2）= 0 ç 1 -1÷ -1 l +1è øÞl 1 = -3,l 2 = 2\可得A 的特征值也为-3，2 于是 A 可相似对角化方法二 P -1AP 同方法一由 A 2a + A a - 6a = 0下面是证明 A 可相似对角化( A 2 + A - 6E )a = 0设( A + 3E )( A - 2E )a = 0由a ¹ 0得( A 2 + A - 6E )x = 0有非零解 故| ( A + 3E )( A - 2E ) |= 0得| A + 3E |= 0或| A - 2E |= 0若| ( A + 3E ) |¹ 0则有( A - 2E )a = 0故A a =2a 与题意矛盾故| A + 3E |= 0同理可得| A - 2E |= 0 于是 A 的特征值为l 1 = -3 l 2 = 2.A 有 2 个不同特征值故 A a 相似对角化。

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）设0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−≤=⎨+−>⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−+≤=⎨+−>⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩【答案】D【解析】根据原函数的连续性，可排除（A）（C）；再根据原函数的可导性，可排除选项（B），答案为（D） （3）已知{}n x ，{}n y 满足1112x y ==，1sin n n x x +=，21(1,2,)n n y y n +== ，则当n →∞时（ ）（A）n x 是n y 的高阶无穷小（B）n y 是n x 的高阶无穷小（C）n x 与n y 是等价无穷小（D）n x 与n y 是同阶但不等价的无穷小【答案】B【解析】由已知可得，{}n x ，{}n y 均单调递减，且12n y ≤，又因为sin x x 在(0,2π上单调递减，故2sin 1x x π<<，所以2sin x x π>，所以21112sin sin 24n n n n nn n n n n ny y y y y y x x x x x ππ++==≤=，依次类推可得，111100()444n nn n n n y y y n x x x πππ++⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤=→→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故n y 是n x 的高阶无穷小，答案为B （4）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A）0,0a b <>（B）0,0a b >>（C）0,0ab =>（D）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（5）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C 【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t>时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t<时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（6）若函数121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰在0αα=处取得最小值，则0α=（ ） （A）1ln(ln 2)−（B）ln(ln 2)− （C）1ln 2（D）ln 2【答案】A 【解析】当0α>时，121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰收敛， 此时21122111111()ln (ln )(ln )(ln )(ln 2)f dx d x x x x x ααααααα+∞+∞+∞++===−=⎰⎰，故211111ln ln 2()(ln 2)(ln 2)(ln 2)f ααααααα′⎡⎤−′==−⎢⎥⎣⎦，令()0f α′=，解得0α=1ln(ln 2)−（7）设函数2()()x f x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A）[0,1)（B）[1,)+∞（C）[1,2)（D）[2,)+∞【答案】C 【解析】2()()x f x x a e =+，2()(2)x f x x x a e ′=++，2()(42)x f x x x a e ′′=+++，因为()f x 没有极值点，所以440a −≤；又因为曲线()y f x =有拐点，所以164(2)0a −+>，联立求解得：[1,2)a ∈（8）设A ，B 为n 阶可逆矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） （A）****A B B A O B A ⎛⎫−⎪⎝⎭（B）****B A A B O A B ⎛⎫−⎪⎝⎭（C）****B A B A OA B ⎛⎫−⎪⎝⎭（D）****A B A B OB A ⎛⎫−⎪⎝⎭【答案】B【解析】*11111A E A E A E A AB A B O B O B O B O B −−−−−⎛⎫−⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111***1*A B A A B A B B A A B O A B B OA B −−−−⎛⎫⎛⎫−−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答案为B （9）二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）（A）2212y y +（B）2212y y −（C）2221234y y y +−（D）222123y y y +−【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++二次型矩阵为211134143A ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,211134(7)(3)143E A λλλλλλλ−−−−=−+−=+−−−+ 故答案为B（10）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A）33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （B）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （C）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D）15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =−（12）曲线y =⎰的弧长为________43π【解析】由题意可得函数定义域为[x ∈，根据公式可得：2302sin 24cos L x t tdtπ====⎰304(1cos 2)t dt π=+=⎰43π+（13）设函数(,)z z x y =由2ze xz x y +=−确定，则2(1,1)2zx∂=∂_________【答案】32−【解析】代入(1,1)点可得，0z =，先代入1y =，可得21z e xz x +=−，两边对x 求导，2z e z z xz ′′++=，得(1)1z ′=两边再对x 求导，20z ze z e z z z xz ′′′′′′′++++=，代入(1,1)及0z =，(1)1z ′=得2(1,1)232zx∂=−∂（14）曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为________【答案】119−【解析】代入1x =得到1y =，两边对x 求导，242956x y y y y ′′=+，代入1x =，1y =可得：911y ′=，故1x =对应点处的法线斜率为1119y −=−′（15）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（16）已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a =，则11120a a ab =_______【答案】8【解析】由题意可得：方程组系数矩阵秩为3，可得增广矩阵的秩也为3，即011110012002a a a ab =按照第四列进行行列式展开可得：144411011(1)122(1)11012a a a a a b a ++⋅−+⋅−⋅=所以111280a a ab =三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()()L y y x x e =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）在L 上求一点，使得该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）33221(,)2e e ，最小面积是3e 【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，则有x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入2(,0)e 可得2C =，故()(2ln )y x x x =−（2）该点设为000(,(2ln ))x x x −，切线方程为0000(2ln )(1ln )()Y x x x X x −−=−− 令0X =，解得0Y x =；令0Y =，解得00ln 1x X x =−；所以该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为：200011()22ln 1x S x XY x ==−求导00020(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x −′=−，令0()0S x ′=，解得320x e =且为最小值点，最小面积为332()S e e =（18）（本题满分12分） 求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值【答案】极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） 【解析】先求驻点cos cos 0(sin )0y xy y f e x f xe y ⎧′=+=⎪⎨′=−=⎪⎩，解得驻点为1(,(21))e k π−−+和(,2)e k π−，其中k Z∈下求二阶偏导数，cos cos 2cos 1(sin )sin cos xx yxy y y yy f f e y f xe y xe y ⎧′′=⎪⎪′′=−⎨⎪′′=−⎪⎩代入1(,(21))e k π−−+（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e −⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==−⎪⎩，20AC B −<,故1(,(21))e k π−−+不是极值点； 代入(,2)e k π−（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e ⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==⎪⎩，20AC B −>且0A >,故(,2)e k π−是极小值点，其极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） （19）（本题满分12分）已知平面区域{(,)01}D x y y x =≤≤≥（1）求D 的面积（2）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积【答案】（1）ln(1S = （2）24V ππ=−【解析】（1）222214441tan sec csc ln csc cot tan sec D S x t tdt tdt t tt t ππππππ+∞====−⎰⎰⎰ln(1=+;（2）22222111111(1)1x V dx dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞⎛⎫===− ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰11arctan x x π+∞⎛⎫=−− ⎪⎝⎭24ππ=−（20）（本题满分12分）设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +−=，222x y xy +−=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰【解析】本题采用极坐标计算，322013Ddxdy d x y πθ=+⎰⎰⎰333222222000111ln 3cos sin 3cos sin 3cos sin d r d d πππθθθθθθθθθ===+++⎰⎰332220011111ln 2ln 2tan ln 22(3tan )cos 23tan 2d d ππθθθθθ=⋅=⋅==++⎰⎰（21）（本题满分12分） 设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈−两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−=因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a aξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间；代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f aη′′−−≤成立 （22）（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭（1）求A（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1P AP −=Λ【答案】（1）111211011A ⎛⎫⎪=− ⎪⎪−⎝⎭11 /11 （2）401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭【解析】（1）因为任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，即112233*********x x A x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可分别取单位向量100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，可得100111100010211010001011001A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111211011A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭（2）111101101211221(2)2110110(2)1011E A λλλλλλλλλλλ−−−−−−−−=−+−=−+−=+−−−+−++−+101(2)211(2)(2)(1)20λλλλλλ−−=+−−=+−+− 所以A 的特征值为21,2−−，，下求特征向量： 当2λ=−时，解方程组(2)0E A x −−=，可得基础解系为1(0,1,1)T ξ=−;当1λ=−时，解方程组()0E A x −−=，可得基础解系为2(1,0,2)Tξ=−当2λ=时，解方程组(2)0E A x −=，可得基础解系为3(4,3,1)T ξ=令401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，有1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭成立。

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.(2)sin t tdt π=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 曲线0(1)(2)xy t t dt =--⎰在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.(4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++⋅⋅+L ,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿. (5) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =＿＿＿＿＿＿.(6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿.(7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿.二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin xy e -=,求y '.(2) 求2ln dx x x ⎰.(3) 求10lim(2sin cos )xx x x →+.(4) 已知2ln(1),arctan ,x t y t ⎧=+⎨=⎩求dy dx 及22d ydx .(5) 已知1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰,求120(2)x f x dx ''⎰.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 若2350a b -<,则方程532340x ax bx c +++= ( )(A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos ()22y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ( )(A) 2π (B) π (C) 22π (D) 2π(4) 设两函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值,则函数()()()F x f x g x =在x a =处( )(A) 必取极大值 (B) 必取极小值(C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定(5) 微分方程1xy y e ''-=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数) ( )(A) xae b + (B) xaxe b + (C) xae bx + (D) xaxe bx + (6) 设()f x 在x a =的某个领域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是( )(A) 1lim [()()]h h f a f a h→+∞+-存在 (B) 0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在(C) 0()()lim 2h f a h f a h h→+--存在(D) 0()()lim h f a f a h h→--存在四、(本题满分6分)求微分方程2(1)xxy x y e '+-=(0)x <<+∞满足(1)0y =的解.五、(本题满分7分)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分)证明方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、(本大题满分11分)对函数21x y x+=,填写下表：单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值凹(U )区间 凸(I )区间 拐点 渐近线八、(本题满分10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为13,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】12【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成0型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一： 000cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x xx x xx x x→→→==⋅0011lim lim sin 22cos 22x x x x x →→==洛. 方法二： 00cos 2lim cot 2lim sin 2x x xx x x x→→=0012121lim cos 2lim .2sin 22sin 22x x x x x x x →→=⋅== 【相关知识点】0sin lim x x x →是两个重要极限中的一个,0sin lim 1x xx→=.(2)【答案】π【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,sin t tdt π=⎰[]000(cos )cos (cos )td t t t t dt πππ-=---⎰⎰分部法[]00sin (00)t ππππ=++=+-=.(3)【答案】2y x =【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()f x '. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)y x x '=--. 由y '在其定义域内的连续性,可知0(01)(02)2x y ='=--=.所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =. (4)【答案】!n【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即0()(0)(1)(2)()0(0)limlim x x f x f x x x x n f x x→→-++⋅⋅+-'==L 0lim(1)(2)()12!x x x x n n n →=++⋅⋅+=⋅⋅⋅=L L .方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,()(1)(2)()1(2)()f x x x x n x x x n '=++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++L L L (1)(2)(1)1x x x x n ++⋅⋅+-⋅L ,所以 (0)(01)(02)(0)00f n '=++⋅⋅++++L L 12!n n =⋅⋅⋅=L . (5)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令1()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (6)【答案】a b =【解析】如果函数在0x 处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知(0)(0)0f f a b a -==+⋅=. 而 000sin sin sin (0)lim lim lim x x x bx bx bxf b b b x bx bx++++→→→==⋅=⋅=, 如果()f x 在0x =处连续,必有(0)(0)f f -+=,即a b =. (7)【答案】2()dxx y + 【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得2sec y dy dx dy ⋅=+, 所以 222sec 1tan ()dx dx dxdy y y x y ===++,(0x y +≠).二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)【解析】令xu e=,v x =-则arcsin arcsin xy e u -==,由复合函数求导法则,222(arcsin )2111v v y u u e v e xu u u ''''===⋅=---即 221x xy e xe -'=-【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数(())()y f x f x ϕ'''=. (2)【解析】利用不定积分的换元积分法,22ln 1ln ln ln dx d x C x x x x ==-+⎰⎰.(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,11lim(2sin cos )lim[1(2sin cos 1)]xxx x x x x x →→+=++-12sin cos 12sin cos 10lim[1(2sin cos 1)]x x x x xx x x +-⋅+-→=++-,令 2sin cos 1x x t +-=,则当0x →时,0t →, 则 112sin cos 1lim[1(2sin cos 1)]lim[1]x x tx t x x t +-→→++-=+,这是个比较熟悉的极限,即10lim(1)tt t e →+=.所以 012sin cos 1limlim(2sin cos )x x x xxx x x e→+-→+=,而 002sin cos 12cos sin limlim 21x x x x x xx →→+--=洛,所以 012sin cos 1lim20lim(2sin cos )x x x xx x x x ee →+-→+==.(4)【解析】这是个函数的参数方程,22111221dy dy dt t dx t dx t dt t +===+,2222321111211()()()2222(2)41d y d d dt d t dx t dx dx t dt t dx dt t t tdt t -+==⋅=⋅=⋅=-+. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则()()dy t dx t ϕφ'='.(5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分,111122220000111(2)(2)(2)(2)222x f x dx x df x x f x f x dx '''''⎡⎤==⋅-⎣⎦⎰⎰⎰分部法 []1011(2)0(2)2f xf x dx ''=⋅--⎰1011(2)(2)22f xdf x '=-⎰ ()1100111(2)(2)(2)222f xf x f x dx ⎡⎤'=--⎢⎥⎣⎦⎰ 1111(2)(2)(2)222f f f x dx '=-+⎰,令2t x =,则11,22x t dx dt ==, 所以 12001(2)()2f x dx f t dt =⎰⎰.把1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰代入上式,得11200111(2)(2)(2)(2)222x f x dx f f f x dx '''=-+⎰⎰201111(2)(2)()2222f f f t dt '=-+⋅⎰1111101022222=⋅-⋅+⋅⋅=.三、选择题(每小题3分,满分18分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1siny x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sinx是有界函数.当0x +→时,x 为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以1lim lim sin 0x x y x x++→→==, 故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x t x+→+∞→+∞→=== , 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B)【解析】判定方程()0f x =实根的个数,其实就是判定函数()y f x =与x 有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用, 令 53()234f x x ax bx c =+++, 则 42()563f x x ax b '=++.令 2t x =,则422()563563()f x x ax b t at b f t ''=++=++=,其判别式22(6)45312(35)0a b a b ∆=-⋅⋅=-<, 所以 2()563f t t at b '=++无实根,即()0f t '>.所以 53()234f x x ax bx c =+++在(,)x ∈-∞+∞是严格的单调递增函数. 又 53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →-∞→-∞=+++=-∞53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →+∞→+∞=+++=+∞所以利用连续函数的介值定理可知,在(,)-∞+∞内至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使得0()0f x =,又因为()y f x =是严格的单调函数,故0x 是唯一的.故()0f x =有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C)【解析】如图cos ()22y x x ππ=-≤≤的图像,则当cos y x =绕x 轴旋转一周,在x 处取微增dx ,则微柱体的体积2cos dV xdx π=,所以体积V 有222cos V xdx πππ-=⎰222222cos 21cos 22242x dx xd x dx πππππππππ---+==+⎰⎰⎰[][]22222sin 20()422222x x ππππππππππ--=-+=++=. 因此选(C).(4)【答案】(D) 【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取2()()()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值0, 而4()()()()F x f x g x x a ==-在x a =处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.若取2()()1()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值1, 而22()()()1()F x f x g x x a ⎡⎤==--⎣⎦在x a =处取得极大值1,所以(B)也不正确,从而选(D).(5)【答案】(B)【解析】微分方程1xy y e ''-=+所对应的齐次微分方程的特征方程为210r -=,它的两个根是121,1r r ==-.而形如xy y e ''-=必有特解1x Y x ae =⋅；1y y ''-=必有特解1Y b =.由叠加得原方程必有特解xY x ae b =⋅+,应选(B). (6)【答案】(D)【解析】利用导数的概念判定()f x 在x a =处可导的充分条件. (A)等价于0()()limt f a t f a t→++-存在,所以只能保证函数在x a =右导数存在；(B)、(C)显然是()f x 在x a =处可导的必要条件,而非充分条件,如 1cos ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处不连续,因而不可导,但是 0001111cos(0)cos(0)cos cos()()lim lim lim 0222h h h f a h f a h h h h h h h h→→→+---+--===, 0001111cos()cos(0)cos cos(2)()2222lim lim lim 0h h h f a h f a h h h h h h h h→→→---+-+===均存在； (D)是充分的：00()()()()lim limx h x h f a x f a f a f a h x h ∆=-∆→→+∆---=∆存在0()()()lim h f a f a h f a h→--'⇒=存在,应选(D).四、(本题满分6分)【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式211(1)x y y e x x'+-=,通解为 11(1)(1)21()dxdx x xxy ee e dx C x ---⎰⎰=+⎰211()()x x x x x x e e e dx C e C x x e x=+=+⎰. 代入初始条件(1)0y =,得C e =-,所求解为 ()x xe y e e x=-. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.五、(本题满分7分)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0()sin ()()sin ()()xx xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()x xf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-,这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xex αβ,0,1,i i αβαβ==±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以 12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++.又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即 1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数. 令 0()ln 1cos 2x f x x xdx e π=-+-⎰, 其中1cos 2xdx π-⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故1cos 20xdx π->⎰,为简化计算,令01cos 20xdx k π-=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以,x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>.又因为 00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k ex f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同), 故方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根. 方法二：201cos 2sin xdx xdx ππ-=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥, 所以]2002sin 2sin 2cos 220xdx xdx x πππ==-=>⎰.其它同方法一.七、(本大题满分11分)【解析】函数21x y x +=的定义域为()(),00,-∞+∞U ,将函数化简为211,y x x =+ 则 32243321126216(1),(2)y y x xx x x x x x '''=--=--=+=+.令0y '=,得2x =-,即2212(1)0,(2,0),12(1)0,(,2)(0,),y x x xy x x x⎧'=-->∈-⎪⎪⎨⎪'=--<∈-∞-+∞⎪⎩U 故2x =-为极小值点.令0y ''=,得3x =-,即3316(2)0,(3,0)(0,),16(2)0,(,3)y x x xy x x x⎧''=+>∈-+∞⎪⎪⎨⎪''=+<∈-∞-⎪⎩U 为凹，，为凸，y ''在3x =-处左右变号,所以23,(3)9x y =--=-为函数的拐点.又 20011lim lim(),x x y x x→→=+=∞故0x =是函数的铅直渐近线；211lim lim()0,x x y x x→∞→∞=+=故0y =是函数的水平渐近线. 单调减少区间(,2)(0,)-∞-+∞U单调增加区间 (2,0)-极值点 2x =-极值 14y =-凹区间 (3,0)(0,)-+∞U 凸区间 (,3)-∞-拐点 2(3,)9--渐近线0,0x y ==八、(本题满分10分)【解析】由题知曲线过点(0,0),得0c =,即2y ax bx =+. 如图所示,从x x dx →+的面积dS ydx =,所以11123200011()32S ydx ax bx dx ax bx ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰32a b =+, 由题知 1323a b +=,即223ab -=.当2y ax bx =+绕x 轴旋转一周,则从x x dx →+的体积2dV y dx π=,所以 旋转体积1254232211222000()()523523a x abx b x a ab b V y dx ax bx dx ππππ⎡⎤==+=++=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰, b 用a 代入消去b ,得224(1)(1)5273a a a a V π⎡⎤--=++⎢⎥⎣⎦,这是个含有a 的函数,两边对a 求导得4(1)275dV a da π=+, 令其等于0得唯一驻点54a =-,dVda在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,这时32b =,故所求函数225342y ax bx c x x =++=-+.。

绝密☆启用前2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析（科目代码：302）考生注意爭项1.答題前，考生须在试題册指定位置上填⅛*⅛⅛Λ和考生编号；在答题卡指定位豈上填写报考单位、考生⅛Λ4∏考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。

不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的，责任由考生自负。

3.选择題的答案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上，非选择逖的咨案必须芳写在答題纸指定位置的边框区域内。

超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、试題册上答题无效。

字迹工整、笔迹清（以下信息考生必须认真填写）5.考试结束，将答题卡和试遜册按规定交回。

8Qarcsin 仮.π2B.——一、选择题：（1・8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）】.当Λ→0*,下列无穷小的阶数最高的是（〉2屈5）=册壯訓第二类间断点个数为＜〉A. 1B. 2C. 32020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试B. JA 卜√φ)π D.-84•函数f(x) = x2 In(I-x),当n≥3时./(^(O)= < 〉n∖A. -------n-2n∖ B.——W-25∙对函数∕g）n -Vw y = 0 ,给出以下结论.r = 0汀②竺（0.0）∂x∂=1：® IiIn /(χ,y)=0:④Iimlim f(x9y) =0 正确的(0 0) <x,⅜∙)→(O.O)v→0 ΛT→0个数是（〉A.4B.3C. 2D.16•函数/(x)在区间［-2,2］上可导.Π∕X V)>∕(Λ∙)>0.则 < )B.D.7 •己如四阶短阵J = (αj不可逆山応的代数余子式/f12≠0^15α29α3^4为短阵畀的列向虽组，/T为月的伴随矩阵.则方程组A t X = O的通解为(》A.X = A “I +& √Z2 +A√z 3,其中仏M 2, & 3为任点常数B.x≈k l a l+k2a2-^k i a49其中k i,k2,k i为任意常数C.* = ] + R2<Z3 + *37,其中k n k29k i为任总常数D.X = k l a2∙^k2a3^-k i a i9^φΛ∣,Λ2,Λ3为任总常数&i殳/1为3阶矩阵,tz,,α2为矩阵/IWTI的线性无关的特征向S.α3为//的属丁特征值仃O 0、-1的特征向量.则满足P xΛP = 0-10的可逆矩阵P可为(〉,0 O LA∙(a l+a3,a2-a3)B.(αι+α2Sr3)C.(a】+%F3,F2)D.(a i +^2,-α3.-α2)二填空(9JJ小题，每小; 4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上)ILsr = arctan[Λτ + sin(.r + y)h 则(IZ I (O lX)= ∙12•斜边长为2uWl tL(∏ 2f∣J 形丫板铅Il 地沉没任水中』斜边与水而齐丫 •设血力加連 度为Q 水的密度为C 则该半板•侧所受的水压力为 ___________ 13.设 y = y(x)满足 y β + Iy + y = O,且y(0) = 0./(0) = I ,则 £ V (ΛM V = __Q 0 O a-1 1-1 三、简答题(15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本题满分10分)求曲纯F = 产=(V > 0)的斜渐近线方程O"0 + V)16.（本题满分10分）□.知PA 数/(x)连续 ILliI 】、=Lg(X) = ∫'/(Xt )(JK 求匕'(x),并证明 g'(.v)&x = 0 处 连续。

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）函数)2)(1(1)(--=x x xx f 的第一类间断点的个数是（）(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】(C)【解析】无定义的点为1,2，0e xx x x =--→)2)(1(11lim ，+∞=--→-)2)(1(12lim x x x x，+∞=--→+)2)(1(1lim x x x x，所以第一类间断点的个数是1个，故选C.（2）设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=231t ey tx 确定，则=-++∞→)]2()22([lim f x f x x （）(A)e 2(B)34e (C)32e (D)3e【答案】（B ）【解析】容易看出函数)(x f 可导，且232)(2t t e dtdx dt dyx f t =='，当1,2==t x 时，e t te f t t 3232)2(122=='=，所以e f xf x f f x f x x x 34)2(22)2(22lim 2)2(22lim ='=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→，故选B（3）设函数⎰⎰==xxdt t f x g dt t x f 03sin 0)()(,sin )(，则（）(A))(x f 是奇函数，)(x g 是奇函数(B))(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数(C))(x f 是偶函数，)(x g 是偶函数(D))(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数【答案】（D ）【解析】令⎰=xdt t x h 03sin )(，此时)(x h 是一个偶函数，所以，)(sin )(x h x f =为偶函数，从而)(x g 为奇函数，故选D.（4）已知数列{})0(≠n n a a ，若{}n a 发散，则（）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1发散（B ）⎭⎫⎩⎨⎧-n n a a 1发散（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n na a e e1发散（D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a e e 1发散【答案】（D ）【解析】对于A 选项，令251,2,21,2=+=⋅⋅⋅=n n n n a a u a ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1收敛；对于B 选项，令11--=n n a ）（，此时01=-=n n n a a u ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1收敛；对于C 选项，令11--+=+=-=e e e e u a n na a n n n ，）（收敛，故选D 。

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编29(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分的面积的数值依次为10，20，3。

计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10。

B．15＜t0＜20。

C．t0=25。

D．t0＞25。

正确答案：C解析：从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为v1(t)dt和v2(t)dt。

要使乙追上甲，则需[v2(t)－v1(t)]dt=10。

由定积分的几何意义可知∫025[v2(t)－v1(t)]dt=20－10=10，则t0=25。

故选C。

知识模块：一元函数积分学2．设f(x)=x2(x－1)(x－2)，则f’(x)的零点个数为( )A．0。

B．1。

C．2。

D．3。

正确答案：D解析：因为f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理知有ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，所以f’(x)至少有两个零点。

又f’(x)中含有因子x，故x=0也是f’(x)的零点，D正确。

知识模块：中值定理填空题3．一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=－x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=_______。

正确答案：11／20解析：质心横坐标其中∫01xρ(x)dx=∫01x(－x2+2x+1)dx=(－)|01=11／12，∫01ρ(x)dx=∫01(－x2+2x+1)dx=(－+x2+x)|01=5／3，所以得知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4．设函数f(x)=，x∈[0，1]，定义函数列：f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，…，fn(x)=f[fn－1(x)]，…。

2023 考研数学二真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．曲线1ln e 1y x x=+ −的斜渐近线方程为（ ）. （A ）ey x =+（B ）1ey x =+（C ）yx = （D ）1ey x =−【答案】（B ）【解析】方法1. 1ln e 11limlim x x y k x x →∞→∞=+==− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞=−=+−=++− −−()11lim e 1ex xx →∞=−故曲线的斜渐近线方程为1ey x =+．故选（B ） 方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x=+=++−−()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −，其中lim 0x α→∞=，故1e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞+= − ，知()11ln 1e 1ex x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11ln 1e 1e x x α +=+ −2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A) ), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤= +−>(C) ), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤= ++>【答案】 (D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C ==++∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫ 由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续 因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln ,1.x x f x x x −< = ≥ 则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<=−≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= +−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.设数列{}{},n n x y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====()1,2,n = ，则当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小（B ）n y 是n x 的高阶无穷小（C ）n x 是n y 的等阶无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但不等价无穷小 【答案】（B ）【解析】由2111,,2n n y y y +==知2112nn y + =，则有112n n y y +< 利用12sin n n n x x x π+=>，则1112n nx x π+<故21111111224444n n nn nn n n n n y y y y y x x x x x πππππ+−+− ≤=≤≤≤= 于是1110lim lim 04nn n n n y x +→∞→∞+ ≤≤= ，由夹逼准则lim 0nn ny x →∞=，选（B ） 【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin ax y x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.5.设()y f x =由2,sin ,x t t y t t =+=确定，则（ ） （A ）()f x 连续，(0)f ′不存在 （B ）(0)f ′存在，()f x ′在0x =不连续 （C ）()f x ′连续，(0)f ′′不存在 （D ）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =不连续 【答案】（C ） 【解析】0t ≥时3,sin ,x t y t t == ，即有sin 33x xy =.0t <时,sin ,x t y t t = =−，即有sin y x x =−.sin ,033sin ,0x x x y x x x ≥= −< ,显然有()f x 在0x =不连续，且(0)0f = 0x >时，sin cos 33(3)9x x x xf x =+′；0x <时，sin ()cos x f x x x ′=−−， 利用导数定义可得()0sin 0330lim 0x x xf x ++→−′==，()0sin 0lim 0x x x f x+−→−′==，即得(0)0f ′= 易验证()0lim ()lim ()00x x f x f x f +−→→′′===，即()f x ′在0x =连续()01sin cos 233930lim 9x x x xf x ++→+′′=，()0sin cos 0lim 2x x x x f x+−→−−′′==−，故(0)f ′′不存在 ，选（C ） 【评注】此题考查参数方程确定的分段函数，只要在参数方程中去掉绝对值的过程，就成了我们常规的分段函数求导的问题，无论是《基础班》第二讲例24，《强化班》第二讲例17. 6.若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=∫在0αα=处取得最小值，则0α=（ ）（A ）()1ln ln 2−（B ）()ln ln 2−（C ）1ln 2−（D ）ln 2【答案】（A ）【解析】反常积分的判别规律知11α+>，即0α>时反常积分()121d ln x x x α+∞+∫收敛此时()()()212111d ln ln f x x x x αααα+∞+∞+==−∫()11ln 2αα=令()()()2111ln ln 2ln 2ln 2f ααααα′=−−()2111ln ln 20ln 2ααα =−+= 得唯一驻点()1ln ln 2α=−，故选（A ）【评注】此题是属于由反常积分确定的函数求最值的问题，积分本身不难，积分结果再求导，找驻点得结果.难度不大，只要基本计算能力过关，可轻松应对.《基础班》《强化班》相应问题得组合而已. 7.设函数()()2e xf x xa =+，若()f x 没有极值点，但曲线()f x 有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A ）[)0,1（B ）[)1,+∞ （C ）[)1,2 （D ）[)2,+∞【答案】（C ）【解析】()()2e xf x xa =+，()()22e x f x xa x ′=++，()()242e x f x xa x ′′=+++由()()211e x f x x a ′=++−，知10a −≥时，()0f x ′≥，此时()f x 无极值点.由()()222e x f x x a ′′=++−，知20a −<时，()f x ′′在2x =±的左右两侧变号，依题意有[)1,2a ∈，选（C ）【评注】本题考查了极值点、拐点的必要条件与判定，题目本身是常规的，分开对这两个考点出题，在《基础班》和《强化班》都讲过，但这种问法有些学生可能会觉得很别扭.8．设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B O B A（C ）****−B A B A O A B （D ）**** −B A A B O A B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− − ==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B ，选（D ） 【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B9.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ） 【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143=− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+− ()22231237222x x x x x + =+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−，故选（B ）【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型 123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )． (A)21y (B)2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++10．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可 即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β = − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出， 又可21,ββ线性表出的向量。

2023年考研数学二真题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlimln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444nnn n nn n ny y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e()a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eeaa x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =，通解为12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C. 6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( )A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2-D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)aa a ax f a x x x x x a a +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e xf x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1) B.[1,)+∞ C.[1,2) D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e xf x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e xf x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A OA BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B OB |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ， 故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E AB O O B O B O A B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B.9. 222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为 A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，21121||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E21(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k=+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得TTTT1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(l n )y x x C x =-，其中C 为任意常数. 又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭， 由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭， （1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积. 【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t t ππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11lnln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数. （1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-； （2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得21|()||()()|2f f a f a aη''≥--. 【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+， 其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =，则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<， 22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<， 两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=， 又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得12()()()2f f f ξξξ''''+=， 即21()[()()]f f a f a a ξ=-+. (2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+， 其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=- 221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+ 220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=， 即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A . (1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ. 【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E , (2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α; 1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α; 211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α, 令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。