信息论与编码习题参考答案(全)
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信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源1.1同时掷一对均匀的子,试求:(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量; (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量; (3)两个点数的各种组合的熵; (4)两个点数之和的熵;(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。
解:bitP a I N n P bitP a I N n P c c N 17.536log log )(361)2(17.418log log )(362)1(3666样本空间:2221111616==-=∴====-=∴===⨯==(3)信源空间:bit x H 32.436log 3616236log 36215)(=⨯⨯+⨯⨯=∴ (4)信源空间: bitx H 71.3636log 366536log 3610 436log 368336log 366236log 36436log 362)(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴++ (5) bit P a I N n P 17.11136log log )(3611333==-=∴==1.2如有6行、8列的棋型方格,若有两个质点A 和B ,分别以等概落入任一方格内,且它们的坐标分别为(Xa ,Ya ), (Xb ,Yb ),但A ,B 不能同时落入同一方格内。
(1) 若仅有质点A ,求A 落入任一方格的平均信息量; (2) 若已知A 已落入,求B 落入的平均信息量; (3) 若A ,B 是可辨认的,求A ,B 落入的平均信息量。
解:bita P a P a a P a I a P A i 58.548log )(log )()(H 48log )(log )(481)(:)1(481i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率 bitb P b P b b P b I b P A i 55.547log )(log )()(H 47log )(log )(471)(:B ,)2(481i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率是落入任一格的情况下在已知 bitAB P AB P AB H AB P AB I AB P AB i i i i i i i 14.11)4748log()(log )()()(log )(471481)()3(47481=⨯=-=-=∴⨯=∑⨯=是同时落入某两格的概率1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士:“你是否是红绿色盲?”他的回答可能是:“是”,也可能“不是”。
《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ,转移概率为:()11|1/2p u u =,()21|1/2p uu =,()31|0p u u =,()12|1/3p u u =,()22|0p u u =,()32|2/3p u u =,()13|1/3p u u =,()23|2/3p u u =,()33|0p u u =,画出状态图并求出各符号稳态概率。
解:状态图如下状态转移矩阵为:1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1,u 2,u 3稳定后的概率分别为W 1,W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0,1}组成的二阶马尔可夫链,其转移概率为:(0|00)p =0.8,(0|11)p =0.2,(1|00)p =0.2,(1|11)p =0.8,(0|01)p =0.5,(0|10)p =0.5,(1|01)p =0.5,(1|10)p =0.5。
画出状态图,并计算各状态的稳态概率。
解:(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵:0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭状态图为:设各状态00,01,10,11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子,也就是各面呈现的概率都为1/6,求:(1) “3和5同时出现”这事件的自信息; (2) “两个1同时出现”这事件的自信息; (3) 两个点数的各种组合(无序)对的熵和平均信息量;(4) 两个点数之和(即2, 3, … , 12构成的子集)的熵;(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
1、平均自信息为表示信源的平均不确定度,也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量,也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量,还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为:离散无记忆信源,等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下:5、香农公式为为保证足够大的信道容量,可采用(1)用频带换信噪比;(2)用信噪比换频带。
6、只要,当N足够长时,一定存在一种无失真编码。
7、当R<C时,只要码长足够长,一定能找到一种编码方法和译码规则,使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候,必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年,美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文,从而创立了信息论。
按照信息的性质,可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位,可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述,而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量,定义为其发生概率对数的负值。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理:当消息经过多级处理后,随着处理器数目的增多,输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。
18、离散平稳有记忆信源的极限熵,=∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H 。
第二章 信息量和熵2.2八元编码系统,码长为3,第一个符号用于同步,每秒1000个码字,求它的信息速率.解:同步信息均相同,不含信息,因此 每个码字的信息量为 2⨯8log =2⨯3=6 bit因此,信息速率为 6⨯1000=6000 bit/s2。
3 掷一对无偏骰子,告诉你得到的总的点数为:(a ) 7; (b) 12。
问各得到多少信息量.解:(1) 可能的组合为 {1,6},{2,5},{3,4},{4,3},{5,2},{6,1})(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log =2。
585 bit (2) 可能的唯一,为 {6,6})(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log =5。
17 bit2.4 经过充分洗牌后的一副扑克(52张),问:(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少?(b) 若从中抽取13张牌,所给出的点数都不相同时得到多少信息量?解:(a ) )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log =225.58 bit (b) ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ⨯=1352134C 信息量=1313524log log -C =13。
208 bit2.9随机掷3颗骰子,X 表示第一颗骰子的结果,Y 表示第一和第二颗骰子的点数之和,Z 表示3颗骰子的点数之和,试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。
解:令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ,1x ,2x ,3x 相互独立,则1x X =,21x x Y +=,321x x x Z ++=)|(Y Z H =)(3x H =log 6=2.585 bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H=2⨯(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+366log 6 =3。
《信息论与编码》课后习题答案第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ,转移概率为:()11|1/2p u u =,()21|1/2p u u =,()31|0p u u =,()12|1/3p u u =,()22|0p u u =,()32|2/3p u u =,()13|1/3p u u =,()23|2/3p u u =,()33|0p u u =,画出状态图并求出各符号稳态概率。
解:状态图如下状态转移矩阵为:1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1,u 2,u 3稳定后的概率分别为W 1,W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0,1}组成的二阶马尔可夫链,其转移概率为:(0|00)p =0.8,(0|11)p =0.2,(1|00)p =0.2,(1|11)p =0.8,(0|01)p =0.5,(0|10)p =0.5,(1|01)p =0.5,(1|10)p =0.5。
画出状态图,并计算各状态的稳态概率。
解:(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵:0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 状态图为:设各状态00,01,10,11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子,也就是各面呈现的概率都为1/6,求:(1) “3和5同时出现”这事件的自信息; (2) “两个1同时出现”这事件的自信息;(3) 两个点数的各种组合(无序)对的熵和平均信息量; (4) 两个点数之和(即2, 3, … , 12构成的子集)的熵; (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ,转移概率为:()11|1/2p u u =,()21|1/2p u u =,()31|0p u u =,()12|1/3p u u =,()22|0p u u =,()32|2/3p u u =,()13|1/3p u u =,()23|2/3p u u =,()33|0p u u =,画出状态图并求出各符号稳态概率。
解:状态图如下状态转移矩阵为:1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1,u 2,u 3稳定后的概率分别为W 1,W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0,1}组成的二阶马尔可夫链,其转移概率为:(0|00)p =0.8,(0|11)p =0.2,(1|00)p =0.2,(1|11)p =0.8,(0|01)p =0.5,(0|10)p =0.5,(1|01)p =0.5,(1|10)p =0.5。
画出状态图,并计算各状态的稳态概率。
解:(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)p p== (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)p p==(1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵:0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 状态图为:设各状态00,01,10,11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子,也就是各面呈现的概率都为1/6,求:(1) “3和5同时出现”这事件的自信息; (2) “两个1同时出现”这事件的自信息;(3) 两个点数的各种组合(无序)对的熵和平均信息量; (4) 两个点数之和(即2, 3, … , 12构成的子集)的熵; (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。