条件概率与独立事件(二)

-2.2.2 条件概率与事件独立性课堂导学三点剖析一、条件概率【例1】一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能，这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩概率是多少？解析：一个家庭两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这4个根本领件发生是等可能.根据题意，设根本领件空间为Ω，A=“其中一个是女孩〞，B=“其中一个是男孩〞，那么Ω={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}， A={〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}，B={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕}，AB={〔男，女〕，〔女，男〕}，问题是求在事件A 发生情况下，事件B 发生概率，即求P 〔B|A 〕.由上面分析可知P 〔A 〕=43，P 〔AB 〕=42. 由公式②可得P 〔B|A 〕=, 因此所求条件概率为32. 温馨提示关键是弄清楚P 〔A·B〕及P 〔A 〕.二、事件独立性应用【例2】甲、乙两名篮球运发动分别进展一次投篮，如果两人投中概率都是0.6，计算： 〔1〕两人都投中概率；〔2〕其中恰有一人投中概率；〔3〕至少有一人投中概率.思路分析：甲、乙两人各投篮一次，甲〔或乙〕是否投中，对乙〔或甲〕投中概率是没有影响，也就是说，“甲投篮一次，投中〞与“乙投篮一次，投中〞是相互独立事件.因此，可以求出这两个事件同时发生概率.同理可以分别求出，甲投中与乙未投中，甲未投中与乙投中，甲未投中与乙未投中同时发生概率，从而可以得到所求各个事件概率.解：〔1〕设A=“甲投篮一次，投中〞，B=“乙投篮一次，投中〞，那么AB=“两人各投篮一次，都投中〞.由题意知，事件A 与B 相互独立，根据公式③所求概率为 P 〔AB 〕=P 〔A 〕·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中〞包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中〔事件A∩B 发生〕，另一种是甲未投中、乙投中〔事件A∩B 发生〕。

2.1条件概率与独立事件学习目标 1.理解条件概率的定义及计算方法.2.了解两个事件相互独立的概念.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决问题．知识点一条件概率思考(1)3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？(2)如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？梳理(1)概念：已知事件B发生的条件下，A发生的概率称为B发生时A发生的条件概率，记为________．(2)公式：当P(B)>0时，P(A|B)＝P(AB) P(B).知识点二相互独立事件思考在一次数学测试中，甲考满分对乙考满分有影响吗？梳理(1)定义：对两个事件A，B，如果P(AB)＝________，则称A，B相互独立．(2)性质：如果A，B相互独立，则A与B，A与________，A与B也相互独立．(3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝____________________.类型一条件概率例1甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？反思与感悟在概率的求解题目中，若出现“已知在…前提下(条件下)”等字眼时，一般需用到条件概率；若题中出现“事件B的发生受事件A发生的影响”时，也需利用条件概率解决．跟踪训练1甲、乙、丙、丁4人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝________.类型二独立事件的判定及概率计算命题角度1独立事件的判定例2对于下列给出的事件：①甲、乙两同学同时解一道数学题，事件A表示“甲同学做对”，事件B表示“乙同学做对”；②在某次抽奖活动中，记事件A表示“甲抽到的两张奖券中，一张中一等奖，另一张未中奖”，事件B表示“甲抽到的两张奖券均中二等奖”；③一个布袋里有3个白球和2个红球，记事件A，B分别表示“从中任意取一个是白球”与“取出的球不放回，再从中任取一球是红球”；④在有奖储蓄中，记甲在不同奖组M和N中所开设的两个户头分别中一等奖为事件A和B.其中事件A和事件B相互独立的是________．(填序号)反思与感悟事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件称为相互独立事件．跟踪训练2掷一枚骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥命题角度2相互独立事件同时发生的概率例3甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．反思与感悟求P(AB)时注意事件A、B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A、B 是否互斥，对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；②求对立事件，利用P(A)＝1－P(A)来运算．跟踪训练3某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．1．下列说法正确的是() A ．P (B |A )<P (AB ) B ．P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C ．0<P (B |A )<1D ．P (A |A )＝02．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1与A 2是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件3．甲，乙，丙三人独立去破译一个密码，分别破译出的概率为15，13，14，则此密码能破译出的概率是( ) A.160 B.25 C.35 D.59604．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B )＝________；P (A B )＝________.5．在感冒流行的季节，设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．1．条件概率的前提条件是：在知道事件A 必然发生的前提下，只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的前提下事件B 发生，等价于事件A 和B 同时发生，由古典概型知，其条件概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A )，其中，n (Ω)为一次试验可能出现的所有结果数，n (A )为事件A 所包含的结果数，n (AB )为AB 同时发生时的结果数．2．P (AB )＝P (A )P (B )使用的前提条件是A ，B 为相互独立事件；当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立．3．求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解．答案精析问题导学 知识点一思考 (1)最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13，不比其他同学小．(2)按照古典概型的计算公式，此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12.梳理 (1)P (A |B ) 知识点二 思考 没有影响．梳理 (1)P (A )P (B ) (2)B (3)P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 题型探究例1 解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝0.67. (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60. 跟踪训练1 29解析 甲独自去一个景点，有4个景点可选，其余3人每人都有3种选择，可能性为3×3×3＝27(种)．故甲独自去一个景点的可能性为4×27＝108(种)， 4人去不同的景点的可能性为4×3×2×1＝24(种)． 故P (A |B )＝24108＝29.例2 ①④ 解析跟踪训练2B例3解记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)“2人都射中”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，所以2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件A B发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)方法一“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋＝0.72＋0.26＝0.98.方法二“2人至少有一人射中”与“2人都未射中”为对立事件，“2个都未射中目标”的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，所以“两人至少有1人射中目标”的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)方法一“至多有1人射中目标”包括“2人都未射中”和“有1人射中”，故所求概率为P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.方法二“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－0.72＝0.28.跟踪训练3 解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB .(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A 与B 相互独立．于是由独立性可得两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05×0.05＝0.002 5.(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )∪(A B )表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义，可得所求事件的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095. 即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.(3)方法一 “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB )∪(A B )∪(A B )表示．由于事件AB ，A B 和A B 两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义，可得所求事件的概率为P (AB )＋P (A B )＋P (A B )＝0.002 5＋0.095＝0.097 5. 方法二 1－P (A B )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5. 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975. 当堂训练1．B 2.D 3.C 4.16 165.0.8。

【高二数学学案】§2. 2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率主备人： 时间：一、自学导引1、条件概率一般地，设A 、B 为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)= 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

一般把P(B|A)读作 。

2、求条件概率的两个公式（1）P(B|A)= ; （2）P(B|A)= .二、学法指导条件概率计算公式的使用说明：（1）利用定义计算。

先分别计算概率P(AB)和P(A)，然后将它们相除得到条件概率)()()|(B P AB P A B P =，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A 、B 同时发生。

（2）利用缩小样本空间的观点计算。

在这种观点下，原来的样本空间缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB 。

而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率。

即)()()|(A n AB n A B P =，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的概率空间。

三、典例精析例1、设31)(,21)|()|(===A P A B P B A P ，求P(B).随练：某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮风的概率为152，既刮风又下雨的概率是101，设A 为下雨，B 为刮风。

求：（1）P(A|B); （2）P(B|A)。

例2、在5道题中有3道理科题和2道文科题。

如果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。

随练：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”。

（1）求P(A), P(B), P(AB);（2）当已知蓝色骰子两点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？例3、在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀。