最长降低子序列

最长上升子序列顾名思义，我们要求序列中最长的单调增的子序列（不一定连续）的长度。

很容易想到朴素的做法：设为以结尾的LIS，则转移方程为。

这是一个所谓的1D/1D动态规划问题，状态数和单次转移的时间复杂度都是。

然而，它可以利用二分优化到，这篇文章重点就介绍的写法。

考虑维护一个数组dp[]及当前长度len，dp[i]表示长度为i的上升子序列的最后一个元素的最小值。

然后考虑如何转移：现在我们有一个新元素a，对比dp的最后一个元素。

如果a > dp[len] ，那么可以直接把a “接到”dp[len]的后面，形成更长的上升子序列。

即：dp[++len] = a;否则，找到dp中第一个大于等于a的元素，用a替换它。

这样替换后既保证仍形成上升子序列，又使得该上升子序列的最后元素更小。

如果你看懂了上面这些话，你可能有基础或者天赋异禀；否则，我们还是来看例子吧。

现在有序列4，8，9，5，6，7，2，7求LIS。

一个一个元素来看，首先无疑dp[1]=4 ，然后考察8，8>4，故把8加入尾部。

然后9>8，也进入尾部，这时dp数组是{4, 8, 9}。

下一个元素是5，5<9，不能塞入尾部。

我们找到第一个大于等于5的元素，是8。

4->8是长度为2的上升子序列，4->5也是，但是5比8更小，所以更有潜力更新后面的子序列。

所以把8换成5，现在dp是{4, 5, 9}。

同样的道理dp又变成{4, 5, 6}。

现在我们尝到甜头了，因为下一个元素是7，本来是没有机会进入序列的，现在却可以了。

于是dp变成{4, 5, 6, 7}。

注意，显然dp是递增的（两种转移都不会破坏递增性），但这并不意味着它就是所求的上升子序列，你看，下一个元素是2，它会把dp更新成{2, 5, 6, 7}，但原序列并没有一个子序列是{2, 5, 6, 7}。

最后剩一个元素7，由于我们在求严格上升的子序列，不能将它插入尾部，于是我们把7替换成7——这个元素对子序列长度没有贡献。

⽤Python计算最长公共⼦序列和最长公共⼦串（转）1. 什么是最长公共⼦序列？什么是最长公共⼦串？1.1. 最长公共⼦序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）最长公共⼦序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）是⼀个在⼀个序列集合中（通常为两个序列）⽤来查找所有序列中最长⼦序列的问题。

这与查找最长公共⼦串的问题不同的地⽅是：⼦序列不需要在原序列中占⽤连续的位置。

最长公共⼦序列问题是⼀个经典的计算机科学问题，也是数据⽐较程序，⽐如Diff⼯具，和⽣物信息学应⽤的基础。

它也被⼴泛地应⽤在版本控制，⽐如Git⽤来调和⽂件之间的改变。

1.2 最长公共⼦串（Longest-Common-Substring，LCS）最长公共⼦串（Longest-Common-Substring，LCS）问题是寻找两个或多个已知字符串最长的⼦串。

此问题与最长公共⼦序列问题的区别在于⼦序列不必是连续的，⽽⼦串却必须是连续的。

2. 如何求解最长公共⼦序列?例如序列str_a=world，str_b=wordl。

序列wo是str_a和str_b的⼀个公共⼦序列，但是不是str_a和str_b的最长公共⼦序列，⼦序列word是str_a和str_b的⼀个LCS，序列worl也是。

暴⼒查找？寻找LCS的⼀种⽅法是枚举X所有的⼦序列，然后注意检查是否是Y的⼦序列，并随时记录发现的最长⼦序列。

假设X有m个元素，则X有2^m个⼦序列，指数级的时间，对长序列不实际。

分析问题，设str_a=<x1,x2,…,xm>和str_b=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(str_a,str_b)表⽰str_a和str_b的⼀个最长公共⼦序列，可以看出如果str_a[m] == str_b[n]，则LCS (str_a, str_b) = str_a[m] + LCS(str_a[1:m-1],str_b[1:n-1])如果str_a[m] != str_b[n]，则LCS(str_a,str_b)= max{LCS(str_a[1:m-1], str_b), LCS (str_a, str_b[n-1])}LCS问题也具有重叠⼦问题性质：为找出LCS(str_a,str_b)，可能需要找LCS(str_a[1:m-1], str_b)以及LCS (str_a, str_b[n-1])。

最长上升子序列树状数组优化序列问题一直是计算机科学领域的研究热点之一，其中最长上升子序列问题是一个经典的例子。

在解决这个问题的过程中，我们可以利用树状数组进行优化，以提高算法的效率和性能。

树状数组是一种高效的数据结构，用于处理一维数组的前缀和问题。

利用树状数组，我们可以在O(logN)的时间复杂度内完成单点更新和前缀和查询操作。

这使得树状数组成为解决最长上升子序列问题的理想工具。

在解决最长上升子序列问题时，我们首先需要定义一个辅助数组dp，用于保存以当前元素为结尾的最长上升子序列的长度。

然后，我们可以利用树状数组来快速更新dp数组，并在更新过程中找到最长的上升子序列长度。

具体的算法流程如下：1. 初始化树状数组和dp数组，将dp数组中的所有元素初始化为1，表示以当前元素为结尾的最长上升子序列长度至少为1。

2. 对于序列中的每个元素，依次进行以下操作：a. 在树状数组中查询当前元素之前的最长上升子序列长度，并将其保存到临时变量max_len中。

b. 将当前元素的值更新到树状数组中，同时更新dp数组中以当前元素为结尾的最长上升子序列长度。

c. 如果当前元素的最长上升子序列长度大于max_len，则更新max_len。

3. 遍历dp数组，找到其中的最大值，即为序列的最长上升子序列长度。

通过利用树状数组进行优化，我们可以在O(NlogN)的时间复杂度内解决最长上升子序列问题，相比传统的动态规划算法，大大提高了算法的效率和性能。

最长上升子序列问题是一个经典的序列问题，通过树状数组的优化，我们可以更加高效地解决这个问题。

树状数组不仅可以用于解决最长上升子序列问题，还可以应用于其他一维数组相关的问题。

在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择合适的数据结构和算法，以提高解决问题的效率和性能。

通过本文的介绍，希望读者能够对最长上升子序列问题以及树状数组的优化有一个更深入的了解，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。

算法55----最长⼦序列【动态规划】⼀、题⽬：最长公共⼦序列：给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共⼦序列（Longest Common Sequence）。

⽐如字符串L：BDCABA；字符串S：ABCBDAB 则这两个字符串的最长公共⼦序列长度为4，最长公共⼦序列是：BCBA思路：动态规划：时间O(n * m)，空间O(n * m)创建 DP数组C[i][j]：表⽰⼦字符串L【：i】和⼦字符串S【：j】的最长公共⼦序列个数。

状态⽅程：个数代码：def LCS(L,S):if not L or not S:return""dp = [[0] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]for i in range(len(S)+1):for j in range(len(L)+1):if i == 0 or j == 0:dp[i][j] = 0else:if L[j-1] == S[i-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])return dp[-1][-1]L = 'BDCABA'S = 'ABCBDAB'LCS(L,S)最长⼦序列代码：设置⼀个标志def LCS(L,S):if not L or not S:return""res = ''dp = [[0] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]flag = [['left'] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]if i == 0 or j == 0:dp[i][j] = 0flag [i][j] = '0'else:if L[j-1] == S[i-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1flag[i][j] = 'ok'else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])flag[i][j] = 'up'if dp[i][j] == dp[i-1][j] else'left' return dp[-1][-1],flagdef printres(flag,L,S):m = len(flag)n = len(flag[0])res = ''i , j = m-1 , n-1while i > 0 and j > 0:if flag[i][j] == 'ok':res += L[j-1]i -= 1j -= 1elif flag[i][j] == 'left':j -= 1elif flag[i][j] == 'up':i -= 1return res[::-1]L = 'BDCABA'S = 'ABCBDAB'num,flag = LCS(L,S)res = printres(flag,L,S)⼆、题⽬：最长递增⼦序列8}，则其最长的单调递增⼦序列为{5，6，7，8}，长度为4.解法⼀：最长公共⼦序列：O（N^2）这个问题可以转换为最长公共⼦序列问题。

c++的dp公式
（最新版）
目录
1.C++的 DP 公式简介
2.DP 公式的基本概念
3.DP 公式的实际应用
4.DP 公式的优点和局限性
正文
C++的 DP 公式是一种在计算机编程中广泛应用的算法，它代表着动态规划（Dynamic Programming）的数学模型。

动态规划是一种求解问题的方法，其核心思想是将问题分解成若干个相互重叠的子问题，通过求解子问题并将子问题的解存储起来，以便在需要时可以重复使用，从而避免了重复计算，提高了算法的效率。

DP 公式的基本概念包括状态、状态转移方程和边界条件。

状态是指问题在某个特定情况下的解，状态转移方程则描述了状态如何从一个阶段转移到下一个阶段，而边界条件则是指在问题的初始状态下，状态的取值。

在实际应用中，DP 公式可以用于求解最优化问题，例如最长公共子序列、背包问题、最长递增子序列等。

这些问题往往具有重叠子问题的特点，通过使用 DP 公式，可以有效地降低时间复杂度和空间复杂度，提高算法的运行效率。

DP 公式的优点在于其可以避免重复计算，将问题分解成较小的子问题来求解，并存储子问题的解，以便在需要时直接使用。

这种方法在处理具有重叠子问题的问题时，可以显著提高算法的效率。

然而，DP 公式也存在局限性，它适用于重叠子问题的求解，对于不具有重叠子问题的问题，使用 DP 公式可能无法提高算法的效率。

最长公共子序列1. 什么是最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种常见的字符串问题，它是指在两个序列中找到一个最长的子序列，使得这个子序列在两个序列中的相对位置保持不变。

子序列是指从原序列中删除若干个字符而不改变剩余字符相对位置而得到的新序列。

例如，对于序列A=“ABCD”和序列B=“ACDF”，它们的最长公共子序列是”ACD”。

2. 求解最长公共子序列的算法求解最长公共子序列的问题有多种算法，其中最常见的是动态规划算法。

动态规划算法的思想是将原问题拆解为若干个子问题，并保存子问题的解，以便在需要时进行查找。

在求解最长公共子序列的问题中，使用动态规划算法可以通过构建一个二维数组来解决。

设序列A的长度为m，序列B的长度为n，则构建一个大小为(m+1)×(n+1)的二维数组dp。

dp[i][j]表示序列A的前i个字符和序列B的前j个字符的最长公共子序列的长度。

则根据动态规划的思想，可以得到以下递推关系：•当i=0或j=0时，dp[i][j] = 0；•当A[i-1] = B[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；•当A[i-1] ≠ B[j-1]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

最终，dp[m][n]即为序列A和序列B的最长公共子序列的长度。

3. 空间复杂度优化上述算法的空间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为序列A和序列B的长度。

在实际应用中，当序列的长度很大时，这样的空间复杂度可能会导致内存溢出。

为了优化空间复杂度，可以使用一维数组来保存中间结果。

具体地，我们可以使用一个大小为n+1的一维数组prev和一个大小为n+1的一维数组curr来保存中间结果。

prev[j]表示序列A的前i-1个字符和序列B的前j个字符的最长公共子序列的长度。

curr[j]表示序列A的前i个字符和序列B的前j个字符的最长公共子序列的长度。

最长公共子序列求解过程1. 什么是最长公共子序列在计算机科学中，最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是指在多个序列中找到最长的子序列，使得这些子序列在所有序列中都按照原有的顺序出现，但是可以在某些序列中间有间隔。

2. 最长公共子序列的应用最长公共子序列问题在字符串处理、基因序列分析、文字相似度比较等领域有着广泛的应用。

例如，在文字相似度比较中，可以利用最长公共子序列算法来计算两段文字的相似程度。

3. 最长公共子序列求解过程最长公共子序列问题可以通过动态规划的方法来求解。

下面是最长公共子序列求解过程的详细步骤：步骤1：定义状态定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列X的前i个字符和序列Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。

步骤2：初始化边界条件将dp数组的第一行和第一列初始化为0，即dp[i][0] = 0和dp[0][j] = 0，表示空序列与任意序列的最长公共子序列长度为0。

步骤3：递推计算dp数组的值从dp[1][1]开始，依次计算dp[i][j]的值，具体计算方式如下：•如果X[i]等于Y[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；•如果X[i]不等于Y[j]，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])；通过上述递推公式，可以计算出dp数组中所有位置的值。

步骤4：回溯求解最长公共子序列从dp数组的右下角开始，根据dp数组的值回溯求解最长公共子序列。

具体步骤如下：•如果X[i]等于Y[j]，则将X[i]添加到最长公共子序列中，同时i和j分别减1；•如果X[i]不等于Y[j]，则根据dp[i][j-1]和dp[i-1][j]的值，选择dp[i][j]较大的方向移动一步。

重复上述步骤，直到i或j为0，则最长公共子序列求解完成。

4. 最长公共子序列的时间复杂度和空间复杂度最长公共子序列算法的时间复杂度为O(m n)，其中m和n分别为序列X和序列Y的长度。

降低算法复杂度的方法
在计算机科学中，算法复杂度是指算法解决问题所需运算的数量级。

随着问题规模的增加，算法复杂度也会增加，这会导致程序运行速度变慢、占用更多系统资源等问题。

因此，降低算法复杂度是提高程序效率的重要手段。

下面是一些降低算法复杂度的方法：
1. 优化循环结构：循环结构是算法中最常见的结构之一，因此优化循环结构是降低算法复杂度的重要手段。

例如，可以采用跳出循环、避免嵌套循环等方式优化循环结构，从而减少运算次数。

2. 使用递归：递归是一种常见的算法实现方式，它可以将问题拆分成多个子问题，从而降低算法复杂度。

例如，归并排序、快速排序等算法就是使用递归实现的。

3. 优化数据结构：数据结构是算法的基础，因此优化数据结构也是降低算法复杂度的关键。

例如，使用哈希表、二叉搜索树等高效的数据结构可以减少算法的运算次数，从而提高程序的效率。

4. 采用分治思想：分治思想是一种将问题分成多个子问题，并将这些子问题分别解决的算法思想。

采用分治思想可以降低算法的复杂度，例如，矩阵乘法、归并排序等算法都是采用分治思想实现的。

5. 剪枝优化：剪枝优化是指在算法运行过程中，根据一些特定的条件提前结束运算，从而减少算法的运算次数。

例如，深度优先搜索算法中可以采用剪枝优化，减少搜索的次数。

6. 动态规划：动态规划是一种将问题分解成多个子问题，并将这些子问题的解缓存起来，避免重复计算的算法思想。

采用动态规划
可以大大降低算法的复杂度，例如，最长上升子序列、背包问题等算法都是采用动态规划实现的。

总之，降低算法复杂度是提高程序效率的关键，需要采用各种优化方式不断提高算法的效率和可靠性。