2018年浙江中考数学复习难题突破专题七：图形变换综合探究题

课后练习27 图形与变换第2课时图形平移与旋转A组1．(2015·哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连结CC′.若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是()A．32°B．64°C．77°D．87°第1题图2．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为()A．(1，1)B．(2，2) C．(－1，1)D．(－2，2)第2题图3．一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧(下图中的虚线都是水平线)．其中，所需平移的距离最短的是()4．(2015·东营模拟)如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD、BD，则下列结论：①AB＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4第4题图5．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为.第5题图6．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE 可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出旋转角度是____________________．第6题图7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为A(－2，3)、B(－3，1)．(1)画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；(2)写出点A1的坐标；(3)求点A旋转到A1所经过的路线长．第7题8．(2017·湖州模拟)如图，正比例函数y＝kx(k≠0)经过点A(2，4)，AB⊥x轴于点B.第8题图(1)求该正比例函数的解析式；(2)将△ABO 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADC ，写出点C 的坐标，试判断点C 是否在直线y ＝13x ＋1的图象上，并说明理由．9．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转，得到矩形AB ′C ′D ′，点C 的对应点C ′恰好落在CB 的延长线上，边AB 交边C ′D ′于点E .(1)求证：BC ＝BC ′；(2)若AB ＝2，BC ＝1，求AE 的长．第9题图B 组10．(2016·西宁)如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝1，则FM的长为.第10题图11．(2015·青岛)如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B 的坐标分别为(1，1)，(－1，1)，把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为.第11题图12．如图，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，2个单位长度为半径的⊙A交x 轴于点B，C，解答下列问题：第12题图(1)将⊙A向左平移____________________个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A1，此时点A1的坐标为____________________，阴影部分的面积S＝____________________；(2)BC的长为____________________．13.(2015·金华)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB 绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是E、F.(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标；(2)当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．第13题图C组14．(2016·东营)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°＜θ＜90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．第14题图参考答案第2课时 图形平移与旋转A 组1．C 2.C 3.C 4.D 5.3 36．90°第6题图 7．(1)如图所示：第7题图 (2)A 1(3，2)； (3)点A 旋转到A 1所经过的路线为以点O 为圆心，以OA 长为半径的四分之一圆弧．∵OA ＝22＋32＝13，∴点A 旋转到A 1所经过的路线的长为90π×13180＝132π.8．(1)∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)经过点A (2，4)，∴4＝2k .∴k ＝2，∴y ＝2x . (2)∵A (2，4)，AB ⊥x 轴于点B ，∴OB ＝2，AB ＝4，∵△ABO 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADC ，∴DC ＝OB ＝2，AD ＝AB ＝4，∴C (6，2)．∵当x ＝6时，y ＝13×6＋1＝3≠2，∴点C 不在直线y ＝13x ＋1的图象上．第9题图9．(1)连结AC 、AC ′，如图．∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥CC ′，由旋转，得AC ＝AC ′，∴BC ＝BC ′.(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠ABC ′＝90°.∵BC ＝BC ′，∴BC ′＝AD .由旋转，得AD ＝AD ′，∠D ＝∠D ′，∴BC ′＝AD ′，∠D ′＝∠ABC ′.∵∠AED ′＝∠C ′EB ，∴△AD ′E ≌△C ′BE .∴BE ＝D ′E .设AE ＝x ，则D ′E ＝2－x .在Rt △AD ′E 中，∠D ′＝90°，由勾股定理，得x 2－(2－x )2＝1.解得x ＝54，∴AE ＝54. B 组10.5211.22－2 12.(1)3 (2，1) 6 (2)2 3 13．(1)∵△AOB 绕点A 逆时针旋转90°后得到△AEF ，∴AO ⊥AE ，AB ⊥AF ，BO ⊥EF ，AO ＝AE ，AB ＝AF ，BO ＝EF ，∴△AEF 在图中表示为：第13题图∵AO ⊥AE ，AO ＝AE ，∴点E 的坐标是(3，3)，∵EF ＝OB ＝4，∴点F 的坐标是(3，－1)． (2)∵点F 落在x 轴的上方，∴EF ＜AO ，又∵EF ＝OB ，∴OB ＜AO ，AO ＝3，∴OB ＜3，∴一个符合条件的点B 的坐标是(－2，0)．C 组14．(1)BD ＝CF 成立．证明：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD ＝CF . (2)①由(1)得，△ABD ≌△ACF ，∴∠HFN ＝∠ADN ，在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ，∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF .第14题图②如图，连结DF ，延长AB ，与DF 交于点M .在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°，∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中，∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD .∴MD HD＝BD FD .∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形，∴MA ＝MD ＝322＝3，FD ＝6.∴MB ＝3－2＝1，DB ＝12＋32＝10.∴3HD ＝106.∴DH ＝9105.。

第二部分题型研究题型五几何探究题类型四旋转变换问题针对演练1. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.(1)如图①，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；(2)如图②，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；(3)如图③，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．第1题图2. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.(1)如图①，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：M N ＝13AC;(2)如图②，将∠EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边DE ′、DF ′分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当△DGP 的面积等于33时，求旋转角的大小并指明旋转方向．第2题图3. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(5，0)，菱形OABC 的顶点B ，C 都在第一象限，tan ∠AOC ＝43，将菱形绕点A 按顺时针方向旋转角α(0°＜∠α＜∠AOC)得到菱形FADE(点O 的对应点为点F)，ED 与BP 交于点D ，EF 与OC 交于点G ，连接AG.(1)求点B 的坐标；(2)当OG ＝4时，求AG 的长； (3)求证：GA 平分∠OGE ；(4)连接BD 并延长交x 轴于点P ，当点P 的坐标为(12，0)时，求点G 的坐标．第3题图答案1. 解：(1)由旋转的性质可得∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°；(2)∵△ABC≌△A1BC1∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴BABC＝BA1BC1，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1，∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1.∴S△ABA1S△CBC1＝(ABBC)2＝(45)2＝1625，∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝254；。

阶段检测8 图形的变化一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)1．下列图案属于轴对称图形的是( )2．如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是( )第2题图第3题图第5题图3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是( )A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD4．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是( )A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形5．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是( )A ．①B ．②C ．③D ．④6．如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )A ．πcmB ．2πcmC ．3πcmD ．5πcm第6题图第7题图7．如图，直线m∥n ，圆心在直线n 上的⊙A 是由⊙B 平移得到的，则图中两个阴影三角形的面积大小关系是( )A ．S 1＜S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＞S 2D ．不能确定8．如图，已知∠AOB ＝30°，以O 为圆心、a 为半径画弧交OA 、OB 于A 1、B 1，再分别以A 1、B 1为圆心、a 为半径画弧交于点C 1，以上称为一次操作．再以C 1为圆心，a 为半径重新操作，得到C 2.重复以上步骤操作，记最后一个两弧的交点(离点O 最远)为C K ，则点C K 到射线OB 的距离为( )第8题图A.a 2B.32a C ．a D.3a 9．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG ＝22.5°；②tan ∠AED ＝2；③S △AGD ＝S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE ＝2OG ；⑥若S △OGF ＝1，则正方形ABCD 的面积是6＋42，其中正确的结论个数为( )第9题图A．2 B．3 C．4 D．510．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连结B1B，取BB1的中点D，连结A1D，则A1D的长度是( )第10题图A.7 B．2 2 C．3 D．23二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m.第11题图第12题图第13题图第14题图12．如图，在直角坐标系中，右边的蝴蝶是由左边的蝴蝶飞过去以后得到的，左图案中左右翅尖的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图案中左翅尖的坐标是(3，4)，则右图案中右翅尖的坐标是.13．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C＝90°，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE＝.14．如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为cm3.15．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连结BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为.第15题图第16题图16．如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，将三角板A′B′C′绕其直角顶点C′按逆时针方向旋转角α(0°＜α≤90°)，有以下四个结论：①当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过B；③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA′＝BB′；④在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，其中结论正确的序号是.(多填或填错得0分，少填酌情给分)三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝BC，点D为BC的中点．(1)用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：①过点B作AC的平行线BP；②过点D作BP的垂线，分别交AC，BP，BQ于点E，F，G；(2)在(1)所作的图中，连结BE，CF.求证：四边形BFCE是平行四边形．第17题图18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x，y轴分别交于A，B两点，OB＝8，OA ＝6，M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C.(1)求点C的坐标；(2)求△OMC的面积．第18题图19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连结CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连结EF.第19题图(1)补充完成图形；(2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；(3)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．第20题图21．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′.第21题图(1)若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′＝；(2)若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；(3)若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．22．(1)如图1，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE 剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为.第22题图A．平行四边形 B．菱形C．矩形 D．正方形(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形，②求四边形AFF′D的两条对角线的长．23．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.(1)当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时，折痕DE的长是多少？(可在备用图上作图)(2)连结A1B，当点E在边AB上移动时，求A1B长的最小值．第23题图24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α.第24题图(1)如图1，若α＝90°，求AA′的长；(2)如图2，若α＝120°，求点O′的坐标；(3)在(2)的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P＋BP′取得最小值时，求点P′的坐标．(直接写出结果即可)参考答案阶段检测8 图形的变化一、1—5.ABACA 6—10.CBCBA二、11.140 12.(5，4) 13.72414.144 15.24＋9 3 16．①②④三、17.(1)如图1：(2)证明：如图2：∵BP∥AC，∴∠ACB ＝∠PBC，在△ECD 和△FBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB ＝∠PBC，CD ＝BD ，∠CDE ＝∠BDF，∴△ECD ≌△FBD ，∴CE ＝BF ，∴四边形ECFB 是平行四边形．图1图2第17题图18．(1)在Rt △AOB 中，AB ＝AO 2＋BO 2＝62＋82＝10，由折叠的性质可知：BA ＝AC ＝10，CO ＝AC －OA ＝10－6＝4.∴点C 的坐标为(－4，0)； (2)设OM ＝x ，则CM ＝8－x.在Rt△COM 中，CM 2＝OC 2＋OM 2，即(8－x)2＝42＋x 2.解得：x ＝3.S △COM ＝12OC ·OM ＝12×4×3＝6. 19．(1)补全图形，如图所示；(2)由旋转的性质得：∠DCF＝90°，∴∠DCE ＋∠ECF＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠DCE ＋∠BCD＝90°，∴∠ECF ＝∠BCD，∵EF ∥DC ，∴∠EFC ＋∠DCF＝180°，∴∠EFC ＝90°，在△BDC 和△EFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝FC ，∠BCD ＝∠ECF，BC ＝EC ，∴△BDC ≌△EFC(SAS)，∴∠BDC ＝∠EFC＝90°.第19题图20．(1)如图1所示；(2)如图2所示；(3)找出A 的对称点A′(1，－1)，连结BA′，与x 轴交点即为P ；如图3所示：点P 坐标为(2，0)．图1图2图3第20题图21．(1)如图1，∵点B ，C ′，D 在同一直线上，∴BC ′＝BD －DC′＝BD －DC ＝10－6＝4；故答案为：4； (2)如图2，连结CC′，∵点C′在AB 的垂直平分线上，∴点C′在DC 的垂直平分线上，∴CC ′＝DC′＝DC ，则△DC′C 是等边三角形，设CE ＝x ，易得DE ＝2x ，由勾股定理得：(2x)2－x 2＝62，解得：x ＝23，即CE 的长为23； (3)作AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，交BC 于点N ，分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时，如图3，∵点C′在AD 的垂直平分线上，∴DM ＝4，∵DC ′＝6，由勾股定理得：MC′＝25，∴NC ′＝6－25，设EC ＝y ，则C′E＝y ，NE ＝4－y ，故NC′2＋NE 2＝C′E 2，即(6－25)2＋(4－y)2＝y 2，解得：y ＝9－35，即CE ＝9－35；②当点C′在矩形外部时，如图4，∵点C′在AD 的垂直平分线上，∴DM ＝4，∵DC ′＝6，由勾股定理得：MC′＝25，∴NC ′＝6＋25，设EC ＝z ，则C′E＝z ，NE ＝z －4，故NC′2＋NE 2＝C′E 2，即(6＋25)2＋(z －4)2＝z 2，解得：z ＝9＋35，即CE ＝9＋35，综上所述：CE 的长为9±3 5.第21题图22．(1)C (2)①证明：∵纸片▱ABCD 中，AD ＝5，S ▱ABCD ＝15，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，∴AE ＝3.如图2：将△AEF 平移至△DE′F′，∴AF ∥DF ′，AF ＝DF′，∴四边形AFF′D 是平行四边形．在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5，∴AF ＝AD ＝5，∴四边形AFF′D 是菱形； ②连结AF′，DF ，如图3：在Rt △DE ′F 中E′F＝FF′－E′F′＝5－4＝1，DE ′＝3，∴DF ＝E ′D 2＋E′F 2＝12＋32＝10，在Rt △AEF ′中EF′＝EF ＋FF′＝4＋5＝9，AE ＝3，∴AF ′＝AE 2＋F′E 2＝32＋92＝310.第22题图23．(1)∵点D 是边AC 的中点，∴DC ＝DA ＝1，∴点A 1落在边BC 上时，点A 1与点C 重合，如图1所示．此时，DE 为AC 的垂直平分线，即DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝1； (2)连结BD ，DE ，在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝5，由折叠知△A 1DE ≌△ADE ，∴A 1D ＝AD ＝1，由A 1B ＋A 1D ≥BD ，得：A 1B ≥BD －A 1D ＝5－1，∴A 1B 长的最小值是5－1.第23题图24．(1)如图1，∵点A(4，0)，点B(0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝32＋42＝5，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA ＝BA′，∠ABA ′＝90°，∴△ABA ′为等腰直角三角形，∴AA ′＝2BA ＝52； (2)作O′H⊥y 轴于H ，如图2，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO ＝BO′＝3，∠OBO ′＝120°，∴∠HBO ′＝60°，在Rt △BHO ′中，∵∠BO ′H ＝90°－∠HBO′＝30°，∴BH ＝12BO ′＝32，O ′H ＝3BH ＝332，∴OH ＝OB ＋BH ＝3＋32＝92，∴O ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92；(3)∵△ABO 绕点B 逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P 的对应点为P′，∴BP ＝BP′，∴O ′P ＋BP′＝O′P＋BP ，作B 点关于x 轴的对称点C ，连结O ′C 交x 轴于P 点，如图2，则O′P＋BP ＝O′P＋PC ＝O′C，此时O′P ＋BP 的值最小，∵点C 与点B 关于x 轴对称，∴C(0，－3)，设直线O′C 的解析式为y ＝kx＋b ，把O′⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92，C(0，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧332k ＋b ＝92b ＝－3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝533，b ＝－3，∴直线O′C 的解析式为y ＝533x －3，当y ＝0时，533x －3＝0，解得x ＝335，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫335，0，∴OP ＝335，∴O ′P ′＝OP ＝335，作P′D⊥O′H 于D ，∵∠BO ′A ′＝∠BOA＝90°，∠BO ′H ＝30°，∴∠DP ′O ′＝30°，∴O ′D ＝12O ′P ′＝3310，P ′D ＝3O ′D ＝910，∴DH ＝O′H－O′D＝332－3310＝635，P ′纵坐标为OH ＋P′D＝92＋910＝275，∴P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫635，275.第24题图。

2018年中考数学三大变换-----平移变换专训七1.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为A. 20B. 24C. 25D. 262.如图，平移到的位置，则下列说法：，；；平移的方向是点C到点E的方向；平移距离为线段BE的长．其中说法正确的有A. B. C. D.3.如图，面积为的纸片沿BC方向平移至的位置，平移的距离是BC长的2倍，则纸片扫过的面积为A. B. C. D.4.如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A. 乙比甲先到B. 甲比乙先到C. 甲和乙同时到D. 无法确定5.如图，菱形ABCD的对角线，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形ENCM的面积之比为A. 9：4B. 12：5C. 3：1D. 5：26.如图，沿着BC方向平移得到，点P是直线上任意一点，若，的面积分别为，，则下列关系正确的是A. B. C. D.7.如图，的面积为12，将沿BC方向移到的位置，使与C重合，连接交于D，则的面积为A. 10B. 8C. 6D. 48.如图，在直角三角形ABC中，，，，将沿直线BC向右平移个单位长度得到，连接AD，AE，则下列结论中不成立的是A. ，B.C. D.9.平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，如图由2个小菱形组成，图由8个小菱形组成，图由18个小菱形组成，，照图中规律，则第个图案中，小菱形的个数为A. 76B. 84C. 98D. 10210.11.如图，将向右平移2cm得到，如果的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是______ ．12.如图，AD是的中线，将沿射线BC方向平移2cm得到，则DC的长为______cm．13.14.如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把沿着AD方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离等于______ ．15.16.如图，直角中，，，，则内部五个小直角三角形的周长为______．17.如图，当半径为12cm的转动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离______cm．18.如图，将边长为3cm的正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移x个单位，重叠部分矩形周长为6，则______ ．19.20.如图，直线与x轴、y轴分别交于M、N两点，的半径为2，将以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间______ 秒时，直线MN恰好与圆相切．21.如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，，，将向右平移得到，则向右平移过程扫过的面积是______ ．22.如图，中，，，，将沿射线BC的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离为______ ，旋转角的度数为______ ．23.24.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的位置如图所示顶点是网格线的交点请画出向右平移2单位再向下平移3个单位的格点；画出绕点O逆时针方向旋转得到的并求出旋转过程中点B到所经过的路径长．25.如图，将沿着射线BC方向平移至，使点落在的外角平分线CD上，连结．判断四边形的形状，并说明理由；在中，，，，求的长．26.27.如图，在直角坐标系中，请写出各点的坐标．若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出、、的坐标，并在图中画出平移后图形．求出三角形ABC的面积．28.29.如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．请在图中，画出向左平移6个单位长度后得到的；以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在图中y轴右侧，画出，并求出的正弦值．。

[单元训练(七) 图形与变换][时间：45分钟]一、选择题1．[2017·盐城]下列图形中，是轴对称图形的为()图D7－12．[2017·天门]如图D7－2是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是()A．传B．统C．文D．化D7－2图D7－33．[2017·酒泉]某种零件模型可以看成如图D7－3所示的几何体(空心圆柱)，该几何体的俯视图是()图D7－44．如图D7－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB边上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于()A．25°B．30°C．35°D．40°D7－5图D7－65．如图D7－6是某个几何体的三视图，该几何体是()A．圆锥B．三棱锥C．圆柱D．三棱柱6．如图D7－7，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到△DEF，若△ABC的周长为8 cm，则四边形ABFD的周长为()A．8 cm B．9 cmC．10 cm D．11 cmD7－7D7－87．如图D7－8，点A、B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是()A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤二、填空题8．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图D7－9所示的零件，则这个零件的表面积是________．图D7－99．如图D7－10，A点的坐标为(－1，5)，B点的坐标为(3，3)，C点的坐标为(5，3)，D点的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心坐标是________．D7－1010．如图D7－11是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为________．图D7－11D7－1211．如图D7－12，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为________．三、解答题12．画出下面立体图形的三视图．图D7－1313．如图D7－14，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π)．图D7－1414．如图D7－15，将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α时，判断四边形A1BCE的形状，并说明理由．图D7－1515．[2017·黑龙江龙东改编]已知△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH.(1)如图①所示，求证：OH＝12AD且OH⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图②，图③所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．图D7－16参考答案1．D[解析] 选项A仅是中心对称图形；选项B、C既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；选项D仅是轴对称图形．2．C[解析] 这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“扬”与面“统”相对，面“弘”与面“文”相对，面“传”与面“化”相对．3．D[解析] 几何体的俯视图是指从上面看所得到的图形．此题由上向下看是空心圆柱，看到的是一个圆环，中间的圆要画成实线．故选D.4．D5．D[解析] 根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选D.6．C[解析] 将周长为8 cm的△ABC沿BC向右平移1 cm得到△DEF，∴AD＝1 cm，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC.∵AB＋BC＋AC＝8 cm，∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝10 cm.7．B8．249．(1，1)或(4，4) [解析] 先根据点A 的坐标建立坐标系，当A 和D 、B 和C 为对应点时如图①，旋转中心坐标是(4，4)；当A 和C 、B 和D 为对应点时如图②，旋转中心坐标是(1，1)．10．(225＋25 2)π [解析] 该几何体是同底圆柱和圆锥的组合体，底面半径为5，圆锥的高为5，圆柱的高为20，所以圆锥的母线长为5 2，∴表面积＝πrl ＋πr 2＋2πrh ＝(225＋25 2)π. 11.33π [解析] 在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°， ∴cos ∠ABC ＝BCAB ，∴BC ＝2cos30°＝2×32＝3， ∵△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ， ∴∠BCB ′＝60°，∴弧BB′的长＝60·π·3180＝33π.故答案为33π. 12．解：如图所示：13．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2BC 2即为所求．BC ＝22＋32＝13，∠CBC 2＝90°，线段BC 旋转过程中所扫过的部分是一个扇形，因此扇形面积S ＝90π×（13）2360＝134π.14．[解析] (1)根据等腰三角形的性质得到AB ＝BC ，∠A ＝∠C ，由旋转的性质得到A 1B ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠A 1＝∠C ，∠A 1BD ＝∠CBC 1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF ≌△BA 1D ；(2)由旋转的性质得到∠A 1＝∠A ，根据平角的定义得到∠DEC ＝180°－α，根据四边形的内角和为360°得到∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C －∠A 1EC ＝180°－α，证得四边形A 1BCE 是平行四边形，由于A 1B ＝BC ，即可得到四边形A 1BCE 是菱形．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ，∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B ＝AB ＝BC ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠A 1BD ＝∠CBC 1. 在△BCF 与△BA 1D 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠A 1，BC ＝A 1B ，∠CBF ＝∠A 1BD ，∴△BCF ≌△BA 1D.(2)四边形A 1BCE 是菱形．理由如下：∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴∠A 1＝∠A ，∵∠ADE ＝∠A 1DB ， ∴∠AED ＝∠A 1BD ＝α， ∴∠DEC ＝180°－α， ∵∠C ＝α， ∴∠A 1＝α，∴∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C －∠A 1EC ＝180°－α， ∴∠A 1＝∠C ，∠A 1BC ＝∠A 1EC ， ∴四边形A 1BCE 是平行四边形， 又∵A 1B ＝BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形． 15．解：(1)证明：如图①，∵△OAB 与△OCD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°， ∴OC ＝OD ，OA ＝OB.∵在△AOD 与△BOC 中，⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠AOD ＝∠BOC ，OD ＝OC ，∴△AOD ≌△BOC(SAS)，∴∠ADO ＝∠BCO ，∠OAD ＝∠OBC ，AD ＝BC. ∵点H 为线段BC 的中点， ∴OH ＝12BC ，∴OH ＝12AD.∵OH ＝HB ，∴∠OBH ＝∠HOB ＝∠OAD ，又∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠ADO ＋∠BOH ＝90°，∴OH ⊥AD.(2)结论：图②，图③中都是OH ＝12AD ，OH ⊥AD.证明：如图②，延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连接BE.易证△BEO ≌△ODA.∴OE ＝AD ， ∴OH ＝12OE ＝12AD.由△BEO ≌△ODA ，知∠EOB ＝∠DAO ，∴∠DAO ＋∠AOH ＝∠EOB ＋∠AOH ＝90°，∴OH ⊥AD.如图③，延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连接BE ，延长EO 交AD 于G.易证△BEO ≌△ODA ，∴OE ＝AD ， ∴OH ＝12OE ＝12AD.由△BEO ≌△ODA ，知∠EOB ＝∠DAO ，∴∠DAO ＋∠AOG ＝∠EOB ＋∠AOG ＝90°， ∴∠AGO ＝90°，∴OH ⊥AD.。

（1）选择题1. （2002年浙江金华、衢州4分）圆锥的轴截面是【】(A)梯形(B)等腰三角形 (C)矩形(D)圆2. （2003年浙江金华、衢州4分）在下列几何体中，轴截面是等腰梯形的是【】A．圆锥B．圆台C．圆柱D．球3. （2003年浙江金华、衢州4分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是【】4. （2004年浙江金华4分）圆柱的轴截面是【】A、等腰三角形B、等腰梯形C、矩形D、圆5. （2004年浙江金华4分）将一张矩形纸片纸对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是【】A、三角形B、矩形C、菱形D、梯形6. （2004年浙江金华4分）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（）7. （2005年浙江金华4分）圆柱的侧面展开图是【】Ａ、等腰三角形Ｂ、等腰梯形Ｃ、扇形Ｄ、矩形8. （2005年浙江金华4分）如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点Ｏ是横板AB的中点，ＡＢ可以绕着点Ｏ上下转动，当Ａ端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠Ａ′OA）是【】Ａ、80°Ｂ、60°Ｃ、40°Ｄ、20°9. （2005年浙江金华4分）如图（１），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿线段ＤＥ向下折叠，得到图（２），下列关于图（２）的四个结论中，不一定成立的是【】Ａ、点Ａ落在边ＢＣ的中点Ｂ、∠Ｂ＋∠Ｃ＝180°Ｃ、△DBA是等腰三角形Ｄ、DE∥BC10. （2006年浙江金华4分）下图所示的几何体的主视图是【】11. （2006年浙江金华4分）将叶片图案旋转180°后，得到的图形是【】12. （2007年浙江金华4分）如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是【】13. （2008年浙江金华3分）在生活和生产实践中，我们经常需要运用三视图来描述物体的形状和大小。

专题提升八以图形变换为背景的作图与计算一、图形变换的作图与计算热点解读图形变换要揭示变换过程中的隐含条件；对比变换前后图形中的对应量，从而找到问题中的等量关系而求解．该题型是中考常用题型．母题呈现1．(2017·北京市海淀区模拟)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为.2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. △ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．对点训练1．如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )第1题图A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y＝34x上，则点B与其对应点B′间的距离为______________________．第2题图3．(2016·广州)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm.将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为cm.第3题图第4题图4．(2016·温州)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝度．5．(2016·内江)如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是.第5题图6．(2017·宁波)如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为____________________．第6题图7．(2016·毕节)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连结BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．第7题图二、旋转变换中探究性问题热点解读旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．用旋转来设计中考题是命题策略之一．母题呈现(2017·襄阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF 与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；(2)如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE＝4，CF＝2，求DN的长．对点训练8．(2016·丹东模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ 3.将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连结DD′，则DD′的长度为( )A. 3B. 5C.3＋1 D．2第8题图9．(2016·大连模拟)如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上(如图2)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为____________________．第9题图10．(2016·苏州模拟)如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连结EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连结DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是____________________．第10题图11．(2016·福州模拟)已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上(P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧)，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF.(1)如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证：DG＝2PC；②求证：四边形PEFD是菱形；(2)如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．第11题图12.现有一副直角三角板，已知含45°角的直角三角板的斜边恰与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合(如图1)．即△C′DA′的顶点A′、C′分别与△BAC的顶点A、C 重合．现在让△C′DA′固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△C′DA′的直角顶点D.(1)如图2，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α(0°＜α＜180°)，使BC边经过点D，则α＝____________________°；(2)如图3，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D.试说明：BC∥A′C′；(3)如图4，若将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，已知AB ＝2，求m 的值．第12题图参考答案专题提升八 以图形变换为背景的作图与计算一、图形变换的作图与计算【母题呈现】1.62．(1)如图，△AB ′C ′即为所求． (2)∵AB ＝42＋32＝5，∴扫过区域的面积为：90·π·52360＝254π.【对点训练】1.A 2.4 3.13 4.46 5.10 6.2177．(1)由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠CAE ＝∠DAB ，AC ＝AB ，∴△AEC ≌△ADB (SAS )； (2)∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°，由(1)得：AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝22，∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2. 二、旋转变换中探究性问题【母题呈现】(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°，∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠DCE ＝∠DCF ，CD ＝CD ，∴△DCE ≌△DCF ，∴DE ＝DF ；(2)①∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CF CD，即CD 2＝CE ·CF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ，∴CD ＝12AB ，∴AB 2＝4CE ·CF ； ②如图，过D 作DG ⊥BC 于G ，则∠DGN ＝∠ECN ＝90°，CG ＝DG ，当CE ＝4，CF ＝2时，由CD 2＝CE ·CF 得CD ＝22，∴在Rt △DCG 中，CG ＝DG ＝CD ·sin ∠DCG ＝22×sin45°＝2，∵∠ECN ＝∠DGN ，∠ENC ＝∠DNG ，∴△CEN ∽△GDN ，∴CN GN ＝CEDG＝2，∴GN ＝13CG ＝23，∴DN ＝GN 2＋DG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22＝2103. 【对点训练】8．A 9.105° 10.1.511．(1)证明：①作PM ⊥DG 于M ，如图1，∵PD ＝PG ，∴MG ＝MD ，∵四边形ABCD 为正方形，∴PCDM 为矩形，∴PC ＝MD ，∴DG ＝2PC ； ②∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ，∵四边形ABPM 为矩形，∴AB ＝PM ，∴AD ＝PM ，∵DF ⊥PG ，∴∠DHG ＝90°，∴∠GDH ＋∠DGH＝90°，∵∠MGP ＋∠MPG ＝90°，∴∠GDH ＝∠MPG ，在△ADF 和△MPG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠GMP ，AD ＝PM ，∠ADF ＝∠MPG ，∴△ADF ≌△MPG (ASA )，∴DF ＝PG ，而PD ＝PG ，∴DF ＝PD ，∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，∴∠EPG ＝90°，PE ＝PG ，∴PE ＝PD ＝DF ，而DF ⊥PG ，∴DF ∥PE ，即DF ∥PE ，且DF ＝PE ，∴四边形PEFD 为平行四边形，∵DF ＝PD ，∴四边形PEFD 为菱形； (2)四边形PEFD 是菱形．理由如下：作PM ⊥DG 于M ，如图2，与(1)一样同理可证得△ADF ≌△MPG ，∴DF ＝PG ，而PD ＝PG ，∴DF ＝PD ，∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，∴∠EPG ＝90°，PE ＝PG ，∴PE ＝PD ＝DF ，而DF ⊥PG ，∴DF ∥PE ，即DF ∥PE ，且DF ＝PE ，∴四边形PEFD 为平行四边形，∵DF ＝PD ，∴四边形PEFD 为菱形．第11题图12．(1)15 (2)如图3，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵∠C ＝30°，∴AH ＝12AC ，∵AD ＝22AC ，∴DH ＝AD 2－AH 2＝12AC ，∴AH ＝DH ，∴∠HAD ＝45°，∴∠HAC ′＝∠HAD ＋∠DAC ′＝90°，∴HA ⊥AC ′，∴BC ∥A ′C ′；(3)如图4，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为H ，∵AB ＝2，∴AC ＝A ′C ′＝2×3＝6，∴HC ′＝DH ＝12A ′C ′＝62，∴HC ＝62×3＝322，所以m 的值为：HC－HC ′＝322－62.第12题图13．(1)∵正方形ABCD 和正方形DEFG ，∴AD ＝CD ，DE ＝DG ，∠ADC ＝∠EDG ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，在△AED 和△CGD 中，∵AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDG ，DE ＝DG ，∴△ADE ≌△CDG ，∴AE ＝CG ，∴AE ∶CG ＝1∶1； (2)成立．∵正方形ABCD 和正方形DEFG ，∴AD ＝CD ，DE ＝DG ，∠ADC ＝∠EDG ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，在△AED 和△CGD 中，∵AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDG ，DE ＝DG ，∴△ADE ≌△CDG ，∴AE ＝CG ，∴AE ∶CG ＝1∶1； (3)∵矩形ABCD 和矩形DEFG ，∴∠ADC ＝∠EDG ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∵AD DE ＝42＝2，CD DG ＝63＝2，∴AD DE ＝CDDG，∴△ADE ∽△CDG ，∴AE ∶CG ＝AD ∶DC ＝4∶6＝2∶3.。

第二部分题型研究题型五几何探究题类型二平移变换问题针对演练1. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2.边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数解析式，并求出y的最大值．第1题图2. (2017攀枝花)如图①，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点M(6，0)、N(0，23)，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点 A恰好落在线段MN上．将等边△ABC从图①的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F(如图②所示)，设△ABC平移的时间为t(s)．(1)等边△ABC的边长为________；(2)在运动过程中，当t＝________时，MN垂直平分AB；(3)若在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动，当点P运动到C时即停止运动，△ABC也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似，求t的值；②当点P在线段AC上运动时，设S△PEF＝S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P的坐标．第2题图答案1. 解：(1)四边形APQD 为平行四边形；(2)OA ＝OP ，OA ⊥OP ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝PQ ，∠ABO ＝∠OBQ ＝45°，∵OQ ⊥BD ，∴∠PQO ＝45°，∴∠ABO ＝∠OBQ ＝∠PQO ＝45°，∴OB ＝OQ ，在△AOB 和△OPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝PQ ∠ABO ＝∠PQO BO ＝QO，∴△AOB ≌△POQ (SAS )，∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ，∴∠AOP ＝∠BOQ ＝90°，∴OA ⊥OP ；(3)过O 作OE ⊥BC 于E .①如解图①，当P 点在B 点右侧时，第1题解图①则BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋22， ∴y ＝12×x ＋22·x ， 即y ＝14(x ＋1)2－14， 又∵0≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值2;②如解图②，当P 点在B 点左侧时，则BQ ＝2－x ，OE ＝2－x 2， ∴y ＝12×2－x 2·x ， 即y ＝－14(x －1)2＋14， 又∵0≤x ≤2，∴当x ＝1时，y 有最大值为14； 综上所述，当x ＝2时，y 有最大值为2.第1题解图②2. 解：(1)3，【解法提示】∵点M (6， 0)，N (0，23)，∴OM ＝6，ON ＝23，∴MN ＝62＋（23）2＝43，∴sin ∠NMO ＝12，∠NMO ＝30°，∵∠ABC ＝60°， ∴∠BAM ＝90°，即AB ⊥MN ，∴AB ＝12OM ＝3，即等边三角形边长为3. (2)3，【解法提示】由等边三角形的性质易知当MN 垂直平分AB 时，C 点与M 点重合，∵等边三角形ABC 的边长为3，∴BC ＝3，∵OM ＝6，∴MB ＝3，∴OB ＝OM －MB ＝3，即t ＝3.(3)①当P 点在线段AB 上运动时，则OB ＝t ，BP ＝2t ，则BM ＝6－t ，PA ＝3－2t ，△PEF 与△MNO 相似分为△PEF ∽△NOM 或△PEF ∽△MON 两种对应情况， 当△PEF ∽△MON 时，如解图①，第2题解图①则∠EPF ＝∠EFA ＝∠EMB ＝30°，∴AE ＝12AF ＝14AP ＝3－2t 4， BE ＝12BM ＝6－t 2， 又BE ＝AB －AE ＝3－3－2t 4，∴3－3－2t 4＝6－t 2，解得t ＝34； 当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段BE 上，如解图②，第2题解图②则∠PFE ＝∠NMO ＝30°，则PF ∥OM ,∴△PAF 是等边三角形，∴EF 垂直平分PA ，∴BE ＝BP ＋12PA ＝t ＋32， 又BE ＝12MB ＝6－t 2， ∴32＋t ＝6－t 2，解得t ＝1； 当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段AE 上，则P 点与A 点重合，即t ＝32； 综上所述：t ＝34或1或32； ②当点P 在线段AC 上运动时，则BM ＝6－t ，PC ＝6－2t ，32≤t ≤3. ∴BE ＝12BM ＝3－t 2，即AE ＝t 2，∴EF ＝3AE ＝32t ，AF ＝2AE ＝t ， ∴CF ＝AC －AF ＝3－t ，∴PF ＝PC －CF ＝3－t . 如解图③，作PH ⊥EF 于H 点，由∠AFE ＝30°，第2题解图③可知PH ＝12PF ＝3－t 2， S △PEF ＝12EF ·PH ＝12×32t ×3－t 2＝－38t 2＋338t ＝－38(t －32)2＋9332 ∴当t ＝32时，S 最大＝9332， 此时点P 坐标为(3，332)．。

第二部分题型研究题型五几何探究题类型二平移变换问题针对演练1. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2.边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数解析式，并求出y的最大值．第1题图2. (2017攀枝花)如图①，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点M(6，0)、N(0，23)，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上．将等边△ABC从图①的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F(如图②所示)，设△ABC平移的时间为t(s)．(1)等边△ABC的边长为________；(2)在运动过程中，当t＝________时，MN垂直平分AB；(3)若在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动，当点P运动到C时即停止运动，△ABC也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似，求t的值；②当点P在线段AC上运动时，设S△PEF＝S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P的坐标．第2题图答案1. 解：(1)四边形APQD 为平行四边形；(2)OA ＝OP ，OA ⊥OP ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝PQ ，∠ABO ＝∠OBQ ＝45°，∵OQ ⊥BD ，∴∠PQO ＝45°，∴∠ABO ＝∠OBQ ＝∠PQO ＝45°，∴OB ＝OQ ，在△AOB 和△OPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝PQ ∠ABO ＝∠PQO BO ＝QO，∴△AOB ≌△POQ (SAS )，∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ，∴∠AOP ＝∠BOQ ＝90°，∴OA ⊥OP ；(3)过O 作OE ⊥BC 于E .①如解图①，当P 点在B 点右侧时，第1题解图①则BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋22， ∴y ＝12×x ＋22·x ， 即y ＝14(x ＋1)2－14， 又∵0≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值2;②如解图②，当P 点在B 点左侧时，则BQ ＝2－x ，OE ＝2－x 2， ∴y ＝12×2－x 2·x ， 即y ＝－14(x －1)2＋14， 又∵0≤x ≤2，∴当x ＝1时，y 有最大值为14； 综上所述，当x ＝2时，y 有最大值为2.第1题解图②2. 解：(1)3，【解法提示】∵点M (6，0)，N (0，23)，∴OM ＝6，ON ＝23，∴MN ＝62＋（23）2＝43，∴sin ∠NMO ＝12，∠NMO ＝30°，∵∠ABC ＝60°， ∴∠BAM ＝90°，即AB ⊥MN ，∴AB ＝12OM ＝3，即等边三角形边长为3. (2)3，【解法提示】由等边三角形的性质易知当MN 垂直平分AB 时，C 点与M 点重合，∵等边三角形ABC 的边长为3，∴BC ＝3，∵OM ＝6，∴MB ＝3，∴OB ＝OM －MB ＝3，即t ＝3.(3)①当P 点在线段AB 上运动时，则OB ＝t ，BP ＝2t ，则BM ＝6－t ，PA ＝3－2t ，△PEF 与△MNO 相似分为△PEF ∽△NOM 或△PEF ∽△MON 两种对应情况， 当△PEF ∽△MON 时，如解图①，第2题解图①则∠EPF ＝∠EFA ＝∠EMB ＝30°， ∴AE ＝12AF ＝14AP ＝3－2t 4， BE ＝12BM ＝6－t 2， 又BE ＝AB －AE ＝3－3－2t 4，∴3－3－2t 4＝6－t 2，解得t ＝34； 当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段BE 上，如解图②，第2题解图②则∠PFE ＝∠NMO ＝30°，则PF ∥OM ,∴△PAF 是等边三角形，∴EF 垂直平分PA ，∴BE ＝BP ＋12PA ＝t ＋32， 又BE ＝12MB ＝6－t 2， ∴32＋t ＝6－t 2，解得t ＝1； 当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段AE 上，则P 点与A 点重合，即t ＝32； 综上所述：t ＝34或1或32； ②当点P 在线段AC 上运动时，则BM ＝6－t ，PC ＝6－2t ，32≤t ≤3. ∴BE ＝12BM ＝3－t 2，即AE ＝t 2，∴EF ＝3AE ＝32t ，AF ＝2AE ＝t ， ∴CF ＝AC －AF ＝3－t ，∴PF ＝PC －CF ＝3－t . 如解图③，作PH ⊥EF 于H 点，由∠AFE ＝30°，第2题解图③可知PH ＝12PF ＝3－t 2， S △PEF ＝12EF ·PH ＝12×32t ×3－t 2＝－38t 2＋338t ＝－38(t －32)2＋9332 ∴当t ＝32时，S 最大＝9332， 此时点P 坐标为(3，332)．。