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拟Hopf-模上的Rota-Baxter代数程腾;王顶国;程诚【摘要】Let H be a Hopf algebra,the main aim of this paper is to extend the theorem of Hopf(co) quasigroup.Let H be a Hopf quasigroup and (M,φ)be an right quasi H-Hopf module algebra,then (M, P )is a Rata-Baxter algebra of weight-1 .%把 Run-qiang Jian文中的H 为 Hopf代数的情况推广到H 为 Hopf(余)拟群,其主要结论：设H是 Hopf拟群,(M,φ)是一右拟H-Hopf模代数,则(M,P)是权为-1的 Rota-Baxter代数。
【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】4页(P1-4)【关键词】Hopf代数;Rota-Baxter代数;Hopf (余)拟群;扭碎积【作者】程腾;王顶国;程诚【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院，273165，山东省曲阜市;曲阜师范大学数学科学学院，273165，山东省曲阜市;曲阜师范大学数学科学学院，273165，山东省曲阜市【正文语种】中文【中图分类】O153.30 引言Hopf代数的一般化有相当长的历史，Drinfeld G V在文献［1］中弱化了（余）结合性，定义了拟Hopf代数.Van Daele在文献［2］中弱化了单位，定义了乘子Hopf代数.Bohm、Nill和Szlachanyi在文献［3］中定义了弱Hopf代数，即不要求单位满足余结合律和余单位不满足结合律.Klim和Majid在文献［4］中介绍了Hopf（余）拟群.Brzezinski在文献［5］中定义了Hopf（余）拟群（quasigroups）上的Hopf模，并证明了这样一个事实：对任意的Hopf（余）拟群H，左、右H－Hopf模范畴等价于向量空间范畴.本文主要是将文献［6］中H为Hopf代数的情况推广到H为Hopf（余）拟群，并得到一系列结果.其主要结论：设H是Hopf拟群，（M，φ）是一右拟H－Hopf模代数，则（M，P）是权为－1的Rota－Baxter代数.本文I表示恒等映射，余模结构映射记为余积模结构映射ρM（m⊗h）＝m·h，1H表示H的单位元.1 预备知识定义1.1［4］设H是一向量空间，且H是一有单位的代数，有余单位的余代数，其乘积为μ：H⊗H→H，单位为η：K→H，余积为Δ：H→H⊗H，余单位为ε：H→K且Δ，ε是代数同态.称H为Hopf拟群，如果Δ是余结合的且存在线性映射S：H→H，使得称H为Hopf余拟群，如果μ是结合的且存在线性映射S：H→H，使得定义1.2［5］设H是一Hopf拟群，M是一有余结合律和余单位的右H余模，其余作用记为ρM，且M是一有单位的右H模，其作用记为ρM，称M为右H－Hopf模，若引理1.3［5］设H是Hopf拟群，且M是右H－Hopf模，则对任意的m∈M，h∈H有证明定义1.4［5］设H是Hopf余拟群，H是一有余单位的右H－余模，其余作用记为ρM，且M是一具有结合律和单位的右H－模，其作用记为ρM，称M为右H －Hopf模，若2 主要结果2.1 H为Hopf拟群时定义2.1.1 设H是Hopf拟群，右拟H－Hopf模代数是一右H－Hopf模M，且M有一结合乘法φ：M⊗M→M，使得对任意h∈H和m，n∈M，有其中mn＝φ（m⊗n）.引理2.1.2 定义P：M→M，P（m）＝m（0）·S（m（1）），则有P2＝P，且P 是M到MH的投射，其中MH＝｛m∈M｜ρM（m）＝m⊗1H｝.证明 P2（m）＝P（m（0）·S（m（1））＝ρM（I⊗S）（（m（0）·S（m （1）））⊗1H）＝m（0）·S（m（1）），即有P2＝P.由引理1.3得定义2.1.3 设K为域，λ∈K，称有序对（R，P）为一个权为λ的Rota－Baxter代数，若R是代数，P是R的线性自同态，且满足称P为Rota－Baxter算子.定理2.1.4 设H是Hopf拟群，（M，φ）是一右拟H－Hopf模代数，则（M，P）是权为－1的Rota－Baxter代数（P为引理2.1.2中的定义）.证明对任意m，n∈M，有定义2.1.5 设（M，φ）是一右拟H－Hopf模代数，定义M与H的扭碎积以M⊗H为底空间，运算为其中m，n∈M.h，k∈H.定理2.1.6 设（M，φ）是一右拟H－Hopf模代数，μ满足结合律，其中H为Hopf拟群，则有M#H是右拟H－Hopf模代数，其作用如下其中m，n∈M.h，k∈H.因此有P（m#h）＝m#ε（h）1H是权为－1的幂等的Rota－Baxter代数.证明首先证M#H是右H－Hopf模，由条件可知M#H是一有余结合律和余单位的右H余模，且M#H是一有单位的右H模，下证模的相容条件：∀：m，n∈M，h，k∈H，即（1）式左边成立.同理有（1）式右边成立.因H是Hopf拟群，即有Δ是代数同态，故有（2）式成立.最后证构成右拟H－Hopf模代数的相容条件.对∀：m，n∈M，h，k∈H，l∈H，2.2 H为Hopf余拟群时引理2.2.1 设H为Hopf余拟群，且M是H－Hopf模.对任意m∈M，有证明类似于引理1.3.定义2.2.2 设H为Hopf余拟群，定义余拟H－Hopf模代数是一右H－Hopf模M，且M有一结合乘法φ：M⊗M→M，使对任意h∈H，m，n∈M有其中mn＝φ（mn）.引理2.2.3 定义P：M→M，P（m）＝m（0）·S（m（1）），则有P2＝P，且P 是M到MH的投射，其中MH＝｛m∈M｜ρM＝m⊗1H｝.证明类似于引理2.1.2.定理2.2.4 设H是Hopf余拟群，（M，φ）是一右余拟H－Hopf模代数，则（M，P）是权为－1的Rota－Baxter代数，其中P为引理2.2.3中定义.证明类似于定理2.1.4.定理2.2.5 设（M，φ）是一右余拟H－Hopf模代数，其中H为Hopf余拟群，ε满足余结合律，则有M#H右余拟H－Hopf模代数，其作用如下，对∀：k，h∈H，m∈M，因此有P（m#h）＝m#ε（h）1H是权为－1的幂等的Rota－Baxter算子.证明（I⊗μ）（I⊗I⊗S）（ρM#H⊗I）ρM#H（m#h）＝（I⊗μ）（I⊗I⊗S）（m#h（1）⊗h（2）⊗h（3））＝m#h（1）⊗h（2）S（h（3））＝m#h（1）⊗ε（h（2））＝m#h.因为ε是余结合的.其余部分类似于定理2.1.6的证明.参考文献：［1］Drinfeld G V.Quasi－Hopf algebras［J］.Leningrad Math，1990，1：1419－1457.［2］Van Daele A.Multilier Hopf algebras［J］.Trans Amer Math Soc，1994，342：917－932.［3］Bohm G，Nill F，Szlachanyi K.Weak Hopf algebras I.Integral theory and C＊－structure［J］.Algebra，1999，221：385－438.［4］Klim J，Majid S.Hopf quasigroups and the algebras 7－sphere ［J］.Algebra，2010，323：3067－3110.［5］Tomasz Brzezinski.Hopf modules and the fundamental theorem for Hopf（co）quasigroups［J］.International Electronic Journal of Algebra vol，2010，8：114－128.［6］Run－qiang Jian.Construction of Rota－Baxter algebras via Hopf module algebras.arXiv：1307.6966v2.。
关于余模代数的Hopf—Jacobson根的一些结果
魏俊潮
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】1998(018)002
【摘要】设Ｈ是Ｈｏｐｆ代数，Ａ是右Ｈ－余模代数，若（，）满射，则Ｊ（Ａ＾ｃｏＨ）＝Ｌ＾Ｈ（Ａ）∩＾ｃｏＨ，而且，若Ｊ（Ａ）是余模理想，则Ｊ（Ａ＾ｃｏＨ）＝Ｊ＾Ｈ（Ａ）∩Ａ＾ｃｏＨ。
【总页数】4页(P125-128)
【作者】魏俊潮
【作者单位】扬州大学工学院
【正文语种】中文
【中图分类】O153.3
【相关文献】
1.扭余模代数的一些性质 [J], 居腾霞
2.关于BCI-代数的余模糊理想的一些结果 [J], 王伟;辛小龙
3.拟三角Hopf代数的一些特殊性质 [J], 任北上;谢芬芳;刘君伟;金帅;陈娟
4.量子余交换余代数的Smash余积余代数的余模范畴 [J], 魏德宾;王蕊
5.π-余模代数的π-余模理想 [J], 衡美芹;孙建华
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容许性余代数的必要条件范中平【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2016(031)002【总页数】8页(P225-232)【关键词】余代数; 容许性; Hopf代数; 分类; 块系统【作者】范中平【作者单位】浙江大学数学科学学院浙江杭州310027【正文语种】中文【中图分类】O153本文属于有限维Hop f代数分类的研究范畴.基域k是一个特征为零的代数闭域.在下面的讨论中，如不另作说明，空间都是指k上的线性空间，映射也都是k上的线性映射.有限维Hopf代数的分类问题由于其重要的数学意义和物理意义，一直是Hop f 代数研究的中心问题之一.而作为Hop f代数的基本结构，余代数在此类问题的研究中有重要作用.考虑余根的性质，可以把Hop f代数分为三种类型：余半单的（cosem isim p le），点态的（pointed），以及非余半单非点态的（non-cosem isim p le non-pointed）.目前余半单pq2型和pqr型Hop f代数及点态pq2型Hop f代数的分类已经由Natale和Andruskiew itsch等完成［1-3］.非余半单非点态2p2型Hop f代数的分类由Hilgem ann和Ng完成［4］.本文从余代数的角度研究Hop f代数的结构.称一个余代数C是容许的（adm issib le），如果C上存在一个代数结构，使得C成为一个Hopf代数.Kaplansky 最先提出了余代数的容许性问题［5］，他猜测一个余代数具有容许性等价于其任意有限维子空间都包含于一个具有容许性的有限维余子代数.虽然Larson给出了反例证明这个猜测是错的，却由此引起了Hopf代数研究者的兴趣：究竟怎样的余代数才具有Hop f代数结构？显然研究这个问题对有限维Hop f代数的分类有极其重要的作用.作者通过给出一系列余代数具有容许性的必要条件（定理3.1和定理3.2），部分回答了这一问题.将余代数的余根分解给出的双余模结构和余根滤链给出的分层结构结合起来，构造了余代数的树结构（定义2.1）和块系统（定义2.3），并自然的推广到Hopf代数上.通过研究非余半单Hop f代数的块系统中各个“块”之间的联系，给出了纯非余半单Hopf代数（定义3.1）的基本块和维数下界（命题4.1和命题4.2）.应用上述结果到45维（推论4.1）和105维（推论4.2）Hopf 代数上，简化了此维数的Hopf代数分类情形，对非余半单非点态pq2型和pqr 型Hopf代数的分类工作做出了贡献.本节构造余代数的树结构和块系统，为接下来的讨论做准备.对非余半单余代数（C，Δ，ε），由［6，Theorem5.4.2］给出的余根分解知，存在一个余理想I和一个C到其余根C0的投射π：C→C0，使得C=C0⊕I和kerπ=I.固定这个余理想I，并定义容易验证，（C，ρL，ρR）成为一个C0-双余模.记C的余根滤链为｛Cn｝n≥0；对n≥0，令Pn=Cn∩I.令bC为C的单余子代数的指标集.对τ∈bC，存在正整数dτ，使得dimDτ=dτ2.方便起见，记类群元g∈G（C）生成的单余子代数为Dg，且Dg在bC中的指标就为g.对d≥1，设对τ∈，固定一组Dτ的标准基｛eτi，j｝i，j∈｛1，···，dτ｝，结构如下：Dτ有唯一的单右余模同构类Vτ和唯一的单左余模同构类V∗τ，且已知C0-双余模范畴C0MC0是半单的.设M∈C0MC0，对τ，µ∈，记Mτ，µ为M的同构于Vτ∗⊗Vµ的单C0-双余子模的和，则有容易验证，对n≥1，有（Pn，ρL，ρR）∈C0MC0.则注意到Pn-1⊆Pn是一个C0-双余子模.那么存在一个Pn的C0-双余子模Qn，使得这里注意Qn的选取不是唯一的.对存在一个指标集Λτ，µ，n，使得这里同构于Vµ的Qn的单C0-双余子模.有下式成立：定义2.1称（8）式中的直和为C的一个树结构.对任意由（4）式，存在C0-双余模同构显然Wn为Qn的一组基.对n=0，记C的单余子代数的标准基全体为显然W0为C0的一组基.记由式（8）知，W是余代数C的一组基，并完整刻画了C的树结构.定义2.2对余代数C，称式（15）给出的W为C的一组由W0和I诱导的树结构基.设映射：C→I⊗I如下：(对w∈W，如果w∈W∩Pn，n≥1，有这里kw′，w1，w2∈k且只有(有限个非零.由式（16），定义将树结构中有内在联系的直和项合并起来，得到以下结构.定义2.3对n≥0，称为余代数C的由I和Qn诱导的块.显然C=⊕n≥0，d1，d2≥1 Bd1，d2n，并称此直和为余代数C的由I和｛Qn｝n≥1诱导的块系统.命题2.1若存在n＞1和d1，d2≥1，使得Bd1，d2n/=0，则存在一正整数集合｛b1，···，bn-1｝使得对所有的i=1，···，n-1，有Bd1，bii/=0和Bbi，d2n-i/=0.证对τ，µ∈bC，n≥1，每个非零Qτ，µn都对应一个非零块Bd1，d2n，这里d1=dτ，d2=dµ.容易验证，Pτ，µnPn-1等价于Qτ，µn/=0.由［7，Lemm a 3.2］，命题得证.本文将余代数的块系统推广到Hop f代数上，由此给出非余半单余代数具有容许性的必要条件.设（H，m，u，Δ，ε，S）是一个非余半单的Hopf代数.不妨设H=C，并继承上一节的符号.讨论H的块之间的联系，由此来刻画H的结构.命题3.1对任意n≥0和d1，d2≥1，有dim被dim整除.证当n=0时，由Nichols-Zoeller定理知是自由的k G（H）-右模.所以dim能被|G（H）|整除.当n≥1时，显然（Hn-1，Δ，m）是（H，k G（H））-右Hopf 模.容易验证，⊕ H是（H，k G（H））-右Hop f模.同样由N ichols-Zoeller定理知，H和Bd1，d2⊕H是自由的k G（H））-右模.则是自由的k G（H））-右模.所以dim Bd1，d2n能被|G（H）|整除.命题得证.命题3.2对任意n≥1，d≥1，有d im Bnd，1和dim Bn1，d都能被d|G（H）|整除.证由块的定义知对任意的h∈G（H），有由式（7）和（12）知d的倍数.所以d im是d|G（H）|的倍数.命题得证.引理3.1对u∈WH∩I，（i）如果ρL（u）=1⊗u且对任意的v∈WH有u∈/R（v），那么u∗是H∗的一个左积分且存在g∈G（H）使得ρR（u）=u⊗g；（ii）如果ρR（u）=u⊗1且对任意的v∈WH有u∈/L（v），那么u∗是H∗的一个右积分且存在h∈G（H）使得ρL（u）=h⊗u.证证明（ii）与证明（i）类似.所以只证明（i）.对任意的w∈WH，考虑卷积w∗∗u∗.对任意的v∈WH，由u∈/R（v）成立知，(因此w∗∗u∗=w∗（1）u∗.由w的任意性，w∗取遍W∗H中的所有基元.对任意的f∈H∗，有f∗u∗= f（1）u∗，使得u∗是一个H∗的左积分.已知H的左积分空间是一维的.由式（10）知，存在类群元g，使得ρR（u）=u⊗g.引理得证.对H的形如B1，1n的块，记由以上几个命题，得到非余半单余代数具有容许性的必要条件如下：定理3.1如果一个非余半单余代数具有容许性，那么此余代数的块系统一定满足命题2.1，命题3.1，命题3.2，命题3.3，命题3.4和命题3.5所述.定义3.1设C是一个非余半单余代数.称C是纯非余半单的，如果C没有非退化的斜本原元.沿用上一节的记号.设H是一个有限维非余半单Hop f代数.称H是纯非余半单Hop f代数，如果H作为余代数是纯非余半单的.容易验证，H是纯非余半单Hop f代数等价于dim B1，11=0.一般地，非余半单Hop f代数的结构分成点态部分和非点态部分来考虑.点态部分由Andruskiew itsch的提升方法可以较清楚的了解其结构.本文更关心的是非点态的部分.讨论纯非余半单Hopf代数有非常重要的意义.由［3，Proposition 1.8］知，H是纯非余半单Hop f代数的等价条件是H的点态Hop f子代数都包含于G（H）.这就是说其点态部分的结构是平凡的，由此可以更直接的研究其非点态的部分.注3.1在一些特定维数下，非余半单Hop f代数如果存在，则都是纯非余半单Hopf代数.由［9，Lemma 2.8］知，如果（|G（H）|，dim H/|G（H）|）=1成立，那么H是纯非余半单Hop f代数.更近一步，对任意的g∈G（H），如果ord（g）的平方不能整除dim H，则H是纯非余半单Hopf代数.举例来说，维数中没有平方因子的非余半单Hop f代数都是纯非余半单Hopf代数.命题3.7设H是一个纯非余半单Hop f代数.如果mH＜mH，那么存在b1，b2＞1和l＞m H＞1，使得Bb1，1l/=0和B 1，b2l/=0.证由于H没有非退化的斜本原元，有B1，11=0且mH＞1.已知的左积分.由引理3.1（i）知，存在如果由命题3.3知，满足题设要求.如果的定义知s≥mH，所以有由H没有非平凡的本原元知，b′＞1.显然且由命题命题得证.总结纯非余半单余代数具有容许性的必要条件如下：定理3.2如果一个纯非余半单余代数有Hop f代数结构，那么此余代数的块系统一定满足定理3.1，命题3.6和命题3.7.应用容许性的必要条件，得到了纯非余半单Hop f代数的维数下界，给出了45维和105维Hop f代数的简化分类结果.命题4.1如果H是纯非余半单Hop f代数，设|G（H）|=r，那么有证由命题3.6知，存在d＞1和k＞1，使得H的块系统中一定有以下6个非零块：已知则dim H≥（2d+2）r+2lcm（d2，r）.命题得证.为方便起见，对d＞1，r≥1，记η（r，d）=（2d+2）r+2lcm（d2，r）.命题4.2设H是纯非余半单Hop f代数，|G（H）|=r.如果mH＜mH，那么有证由命题3.6和命题3.7知，存在b1，b2＞1和l＞mH＞1，k＞1，使得H的块系统中一定有以下10个非零块：与命题4.1的证明类似，有dim H≥（2b1+1）r+lcm（b1b2，r）+η（r，b2）.命题得证.从［10，Theorem 2］的证明可知，如果H是一个奇数维的Hop f代数，则有|G （H）|＞1或推论4.1设A是一个45维Hop f代数，如果A是非余半单非点态的，且|G（A）|＞1，那么有（i）|G（A）|=3；（ii）存在Hopf子代数T⊂A，使得T～=T3，这里T3是32维的Taft代数；（iii）A的多维单余子代数有相同维数d2，并且d=2或3.证可以证明A一定不是纯非余半单Hopf代数.假设A是纯非余半单Hop f代数.如果|G（A）|=5，9，15，由命题4.1知，dim A＞45，矛盾.如果|G（H）|=3，容易验证mA＜mA，由命题4.2知，dim A＞45，矛盾.所以A一定不是纯非余半单Hopf代数.已知A包含非退化的斜本原元，由［3，Proposition 1.8］知，这些非退化的斜本原元生成一个pq2型的A的点态Hop f子代数T.由Nichols-Zoeller定理知，dim T整除45.则dim T=32. Andruskiew itsch和Schneider在［11］证明了p2型的非余半单Hop f代数都是Taft代数.所以有T～= T3.（ii）得证.考虑A的块系统中块的维数.对d≥4，已知dim能被lcm（d2，3）整除，而lcm （d2，3）≥lcm（42，3）=48＞45-9=36，则A中没有4维和4维以上的单余子代数.对d=2，3的情形，容易验证，A的块系统一定是以下形式之一：其中不能同时成立.（iii）得证.推论4.2设A是一个105维Hopf代数，且|G（A）|＞1.如果|G（A）|/=3，那么A是余半单的.证假设A是非余半单的，则|G（A）|/=105.由注3.1知，A是纯非余半单Hop f代数.由命题4.1给出的维数下界知，|G（A）|/=15，21，35.如果|G（A）|/=5，7，容易验证mA＜mA，由命题4.2知，d im A＞105，矛盾.则只有|G（A）|=3，与题设矛盾.所以A是余半单的.【相关文献】［1］Natale Sonia.On sem isim ple Hop f algebras of dimension pq2，II［J］.A lgebrasand Rep resentation Theory，2001，4（3）:277-291.［2］Etingof Pavel，N ikshych Dm itri，Ostrik V ictor.W eak ly group-theoretical and solvable fusion categories［J］.Advances in M athematics，2011，226（1）:176-205. ［3］Andruskiew itsch Nicol´as，Natale Sonia.Counting arguments for Hop f algebras of low dim ension［J］.Tsukuba Jou rnal of M athem atics，2001，25（1）:187-201.［4］Hilgemann M ichael，Ng Siu-Hung.Hopf algebras of dimension 2p2［J］.Journal of the London Mathematical Society，2009，80（2）:295-310.［5］Kap lansky Irving.Bialgebras［A］，Lecture Notes in Mathematics［C］.University of Chicago Press，Chicago，Ill.，1975.［6］Montgomery Susan.Hop f algebrasand their actions on rings［A］，CBMSLecture Notes82［C］. American Mathematical Society，1993.［7］Fukuda Daijiro.Structure of corad ical filtration and its app lication to Hop f algebrasof dimension pq［J］.G lasgow M athematical Journal，2008，50（2）:183-190.［8］Beattie Margaret，Garc´ıa Gast´on And r´es.Techniques for classifying Hopf algebras and app lications to d im ension p3［J］.Communications in A lgeb ra，2013，41（8）:3108-3129.［9］Beattie M argaret，Garc´ıa Gast´on Andr´es.C lassifying Hop f algeb ras of a given dim ension［J］. Hopf A lgebras and Tensor Categories，Contem porary M athematics，2013，585:125-152.［10］Zhu Yongchang.Hop f algebras of p rime dimension［J］.International Mathematics Research Notices，1994（1）:53-59.［11］Andruskiew itsch Nicol´as，Schneider Hans-J¨urgen.Hop f algebra s of order p2andbraided Hopf algebras of order p［J］.Journal of A lgebra，1998，199（2）:430-454. M R Su b jec t C lassifica tion:16T 05；16T 15。
量子群U_q(f(K,K))的弱Ore扩张及其弱Hopf代数结构孙秋媚;李蒙;高改良
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2012(36)3
【摘要】构造了一个新代数结构Uq(f(K,K)),由满足一定关系的元E,F,K,K生成的结合代数,通过对其上的结构以及基本性质的讨论证明了Uq(f(K,K))是诺特环k[K,K]的弱Ore扩张,从而证明了Uq(f(K,K))是诺特环,并且进一步在弱Hopf代数意义下给出了Uq(f(K,K))具有弱Hopf代数结构的充要条件.
【总页数】7页(P223-229)
【关键词】弱Hopf代数;弱Ore扩张;量子Casimir元;类群元
【作者】孙秋媚;李蒙;高改良
【作者单位】军械工程学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O153.3
【相关文献】
1.An型非标准量子群的弱Hopf代数结构 [J], 程诚;杨士林
2.弱量子超代数wHdq(g)的弱Hopf代数结构 [J], 梅雪峰;叶丽霞
3.弱量子代数wUq(g)上的弱Hopf代数结构和模 [J], 叶丽霞;梅雪峰
4.弱量子代数wUq((g))的弱Hopf代数结构 [J], 叶丽霞; 吴志祥
5.对应于U_q(sl_n)的弱Hopf代数的分类 [J], 程东明
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