正态分布与经典习题集和答案解析汇总教学文案

1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。

2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。

3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。

4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。

5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。

讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。

正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。

正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。

- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。

- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。

- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。

- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。

要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。

解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。

2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。

例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。

对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。

通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。

同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。

1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

1.若龙〜MO, 1),求(1)F(-2・32J<1・2)： (2)P(;r>2). 解:(1)尸(-2・ 32<x<l.2)二①(1・ 2)-①(-2・ 32)=0(1. 2)-[1-①(2・ 32)1=0. 8849-(1-0. 9898)=0. 8747.(2) P(x>2)=l-P(jr<2) =1-O (2) =1-0. 9772=0. 0228. •2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(l,4)下，求F(3) •(2)在N ( u , o ')下，求F ( 11 — o , u + o )；3 — 1解：(1 ) F(3) = e(—)=<!> (1) =0. 84132(2 ) F ( u + 0 ) =e(" + b_〃)=(p (1) =0. 8413bF ( u-0 ) =©("_b_“)= e (-1) = 1 一①(1) = 1 -0. 8413=0. 1587bF ( M-0 , U + o ) = F ( u 4- o ) - F ( n - 0 ) =o. 8413-0. 1587 = 0. 68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为亠，求总体落入区V2/r间(-1.2, 0.2)之间的概率•[①(0.2) =0. 5793,①(1.2) =0. 8848]解：正态分布的概率密度函数是于(朗=「^幺它是偶函数，说明M=0,广(X)的最大值为所以。

=1,这个正态分布就是标准正态分J2/TCT布•P(-1.2 <x<0.2) = 0(0.2)-①(一1.2) = 0(0.2) 一[1 一①(1.2) J =①(0.2)+0(1.2) 一1=0.5793 + 0.8848 一1= 0.4642 • 4.某县农民年平均收入服从“二500元，o■二200元的正态分布•(1)求此县农民年平均收入在500-520元间人数的百分比；(2)如果要使此县农民年平均收入在(“―d,“ + d)的概率不少于0.95,则a 至少有多大？[O (0.1) =0.5398, 0> (1.96) =0.975]解：设歹表示此县农民年平均收入，则§〜"(500,2002) •520 _ 500 500 — 500P(500<(<520) = 4)( ——)-<^(：——)=4)(0.1)-0(0) = 0.5398-0.5 = 0.0398 ( 2 ) V200 200-avgv“ + a) =①(上-)一①(一—)=2①(上-)一1 > 0.95 ,200 200 200•••①(丽),0.975 ・査表知：硕汀96»沁・1设随机变量X ~N (3,1),若P(X >4) = /?,,则P(2〈X〈4)二【答案】C 因为P(X>4) = P(X v2) = p ,所以P(2<X<4) =1— P(X >4) — P(X v2) = l — 2/儿选C・2.(2010-新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A. 100B. 200C. 300D. 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为则？~3(1 000,0.1),所以E©二I 000X0.1二100 f而X 二2Q 故£(X)二E(2g)二2E© 二200 .故选B.3.设随机变量？的分布列如下:■1 0 1P a h c苴中“，b, C成等差数列，若£(<;)=!，则D0=()［解析］由条件“ r b t c•成等差数列知，2b = a + c r由分布列的性质知“十”。

正态分布习题与详解(非常有用,必考点)(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1. 若x ～N (0,1),求(l)P <x <；(2)P (x >2). 解：(1)P <x <=?-? =?-[1-?]==.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-?(2)==. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－＝Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝－＝ 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－，）之间的概率 [Φ（）=, Φ（）=]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 （1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于，则a 至少有多大[Φ（）=, Φ（）=] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则P(2<X<4)=( A)12p + ( B)l —pC ．l-2pD ．12p -【答案】C 因为(4)(2)P X P X p >=<=,所以P(2<X<4)=1(4)(2)12P X P X p ->-<=-,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，，所以E (ξ)＝1 000×＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)＝( )B ．－19[答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫－1－132＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝59.4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝?7－x ??6－x ?42，P (ξ＝1)＝x ·?7－x ?C 72＝x ?7－x ?21， P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x ?x －1?42，∴0×7－x ??6－x ?42＋1×x ?7－x ?21＋2×x ?x －1?42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )[答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧E ?ξ?＝4，D ?ξ?＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np ?1－p ?＝2，解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128，P (ξ＝1)＝C 81×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125，∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫128－⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －?x －μi ?22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”; ②若lg a lg b lg(a b )+=+,则a b +的最大值为4;③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则6f ()的值为0; ④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则3019P().ζ≤-=;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”;所以①正确.②若lg a lg b lg(a b )+=+,则lg ab lg(a b )=+,即,0,0ab a b a b =+>>.所以2()2a b ab a b +=+≤,即2()4()a b a b +≥+,解得4a b +≥,则a b +的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则(4)()f x f x +=,且(0)0f =,即函数的周期是4.所以(6)(2)(0)0f f f ==-=;所以③正确.④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则(5)1(5)10.810.19P P ζζ>=-≤=-=,所以35019P()P().ζζ≤-=>=;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间[1,1]-上任取两数m 和n ,则关于x 的方程220x mx n ++=有两不相等实根的概率为___________.【答案】14 由题意知11,1 1.m n -≤≤-≤≤要使方程220x mx n ++=有两不相等实根,则22=40m n ∆->,即(2)(2)0m n m n -+>.作出对应的可行域,如图直线20m n -=,20m n +=,当1m =时,11,22C B n n ==-,所以11111[()]2222OBC S ∆=⨯⨯--=,所以方程220x mx n ++=有两不相等实根的概率为122122244OBC S ∆⨯==⨯.8、下列命题: ` (1)221211134dx x x=-=⎰; (2)不等式|1||3|x x a ++-≥恒成立,则4a ≤;(3)随机变量X 服从正态分布N(1,2),则(0)(2);P X P X <=> (4)已知,,21,a b R a b +∈+=则218a b+≥.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1)22111ln ln 2dx x x==⎰,所以(1)错误.(2)不等式|1||3|x x ++-的最小值为4,所以要使不等式|1||3|x x a ++-≥成立,则4a ≤,所以(2)正确.(3)正确.(4)21212222()(2)41529b a b aa b a b a b a b a b +=++=+++≥+⋅=,所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（ ）A ．26B ．25C ．23D ．18【答案】D 样本的平均数为23,所以样本方差为222221[(1923)(2023)(2223)(2323)(3123)]185-+-+-+-+-=,选 D ．3有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在[)8,10内的频数为（ ）A ．38B ．57C ．76D ．95【答案】C 样本数据在[)8,10之外的频率为(0.020.050.090.15)20.62+++⨯=,所以样本数据在[)8,10内的频率为10.620.38-=,所以样本数据在[)8,10的频数为0.3820076⨯=,选C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为1324100111()()244x x dx x x -=-=⎰,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为14,选 B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

专题：正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

【典型例题】例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1答案：B 。

解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。

解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。

解析：设两数之积为X ，∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.例3X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 答案：（1）a=0.3,b=0.4; （2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX 6.0,855.0==DY DX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。

【知识网络】1 、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2 、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题;例1 : （ 1）已知随机变量 X 服从二项分布，且 E （ X ）=，V （ X ）=，则二项分布的参数 n , p 的值为（ ）A n=4，p=B . n=6,p= C. n=8, p= D. n=24, p=答案：B 。

解析：EX n p 2.4 , V X n p （1 p ） 1.44。

（2） 正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为（）。

A 95%B . 50%C . %D .不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3） 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是 （）A 32B 16C8D20答案： B 。

解析 :数学成绩是 X — N(80,10 2)，P(80 X 90)P 80 8010 Z 90 8010P(0 Z 1) 0.3413,48 0.3413 16。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ___________________ 答案：。

解析：设两数之积为 X ，X 23456810121520P••• E(X)=.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为 1,1（x ），2 为 2 2（X ），答案：V ，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

正态分布讲义3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图）【典型例题】，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对 2题才算合格.(I)求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望； (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率p (A )=C ；C 4 C ；=60 202 , P (明 C ；C ； C ；56 56 14C ；01203’ C ,o120 15因为事件A 、B 相互独立， 方法一：例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其甲答对试题数E 的数学期望1 9 L1 31 E E =0 12 -3 . 30 10 26 5(n)设甲、 乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则E 01 2 3P:1 3 1 :1 30 1026•••甲、乙两人考试均不合格的概率为 P A•••甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 方法二：•••甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为2 P P A B P A B P A B -3 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1 15 一 一 一2 14 1 B P A P B1 - 13 15 45_ _1 44P 1 P A B 145 454445 °1 X2 兰 443 15 3 15 454445' 答案：解：(I)依题意，甲答对试题数E 的概率分布如下: (2)比较两名射手的水平答案：（1）a=,b=;(2) EX 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3, EY 1 0.3 2 0.4 3 0.3 2DX 0.855, DY 0.6所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定..例4 :一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白, 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的•很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”答案：设取出的红球数为C k C6 kX,则X—H( 6, 6, 12), P(X k) C6 C6，其中k-0,1,2，…,6 C12设赢得的钱数为Y,则Y的分布列为••• E（Y）100馬507720侖1002°29・44,故我们不该“心动”【课内练习】1.标准正态分布的均数与标准差分别为（）。

4321-1-4-22421专题：正态分布例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为A ．n=4，p=0.6B ．n=6,p=0.4C ．n=8，p=0.3D ．n=24，p=0.1答案：B 。

解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。

解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。

解析：设两数之积为X ，X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ， 则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于）答案：＜，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A ．0与1B ．1与0C ．0与0D ．1与1答案：A 。

解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

1. 若x ～N 0,1,求l P <x <；2Px >2. 解：1P <x <=- =-1-==.2Px >2=1-Px <2=1-2==. 2利用标准正态分布表,求标准正态总体1在N1,4下,求)3(F 2在N μ,σ2下,求Ｆμ－σ,μ＋σ； 解：１)3(F ＝)213(-Φ＝Φ1＝ ２Ｆμ＋σ＝)(σμσμ-+Φ＝Φ1＝Ｆμ－σ＝)(σμσμ--Φ＝Φ－1＝１－Φ1＝１－＝Ｆμ－σ,μ＋σ＝Ｆμ＋σ－Ｆμ－σ＝－＝3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为π21,求总体落入区间－,之间的概率 =, Φ=解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ,它是偶函数,说明μ＝0,)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21,所以σ＝1,这个正态分布就是标准正态分布 4.某县农民年平均收入服从μ=500元,σ=200元的正态分布 求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；2如果要使此县农民年平均收入在a a +-μμ,内的概率不少于,则a 至少有多大Φ=, Φ=解：设ξ表示此县农民年平均收入,则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=2∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥,查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥ 1设随机变量3,1,若,,则P2<X<4= ABl —p C ．l-2pD ． 答案C因为,所以P2<X<4=,选 C ．2．2010·新课标全国理某种种子每粒发芽的概率都为,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为A．100B．200C．300D．400答案 B解析记“不发芽的种子数为ξ”,则ξ～B1 000,,所以Eξ＝1 000×＝100,而X＝2ξ,故EX ＝E2ξ＝2Eξ＝200,故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a,b,c成等差数列,若EξB．－错误!答案 D解析由条件a,b,c成等差数列知,2b＝a＋c,由分布列的性质知a＋b＋c＝1,又Eξ＝－a ＋c＝错误!,解得a＝错误!,b＝错误!,c＝错误!,∴Dξ＝错误!×错误!2＋错误!错误!2＋错误!错误!2＝错误!.4．2010·上海松江区模考设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为错误!,则口袋中白球的个数为A．3 B．4 C．5 D．2 答案 A解析设白球x个,则黑球7－x个,取出的2个球中所含白球个数为ξ,则ξ取值0,1,2, Pξ＝0＝错误!＝错误!,Pξ＝1＝错误!＝错误!,Pξ＝2＝错误!＝错误!,∴0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!,∴x＝3.5．小明每次射击的命中率都为p,他连续射击n次,各次是否命中相互独立,已知命中次数ξ的期望值为4,方差为2,则pξ>1＝答案 C解析由条件知ξ～Bn,P,∵错误!,∴错误!,解之得,p＝错误!,n＝8,∴Pξ＝0＝C80×错误!0×错误!8＝错误!8,Pξ＝1＝C81×错误!1×错误!7＝错误!5,∴Pξ>1＝1－Pξ＝0－Pξ＝1＝1－错误!8－错误!5＝错误!.5已知三个正态分布密度函数φi x＝错误!e－错误!x∈R,i＝1,2,3的图象如图所示,则A．μ1<μ2＝μ3,σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3,σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3,σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3,σ1＝σ2<σ3答案 D解析正态分布密度函数φ2x和φ3x的图象都是关于同一条直线对称,所以其平均数相同,故μ2＝μ3,又φ2x的对称轴的横坐标值比φ1x的对称轴的横坐标值大,故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“瘦高”,由图象可知,正态分布密度函数φ1x和φ2x的图象一样“瘦高”,φ3x明显“矮胖”,从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________请把所有真命题的序号都填上.答案①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.答案由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` 1;2不等式恒成立,则;3随机变量X服从正态分布N1,2,则4已知则.其中正确命题的序号为____________.答案23 1,所以1错误.2不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以2正确.3正确.4,所以4错误,所以正确的为23.2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为A．26 B．25 C．23 D．18答案D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为A ．B ．C ．D ．答案C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．B ．C ．D ．答案 答案B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选 B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.答案25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

专题：正态分布[知识网络]1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题；3、通过实际问题,借助直观〔如实际问题的直观图〕,认识正态分布、曲线的特点与曲线所表示的意义. [典型例题]例1：〔1〕随机变量X 服从二项分布,且E 〔X 〕=2.4,V 〔X 〕=1.44,如此二项分布的参数n,p 的值为 〔 〕 A ．n=4,p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8,p=0.3 D ．n=24,p=0.1答案：B.解析：()4.2==np X E ,()44.1)1(=-=p np X V .〔2〕正态曲线下、横轴上,从均数到∞+的面积为< >.A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定〔与标准差的大小有关〕 答案：B.解析：由正态曲线的特点知.〔3〕某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是 〔 〕A 32B 16C 8D 20 答案：B.解析:数学成绩是X —N<80,102>,80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭. 〔4〕从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为___________.∴E<X>=8.5.〔5〕如图,两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ,2为)(22x σμϕ,如此1μ2μ,1σ2σ〔填大于,小于〕答案：＜,＞.解析：由正态密度曲线图象的特征知.例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试,在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备中随机抽出3题进展测试,至少答对2题才算合格.〔Ⅰ〕求甲答对试题数ξ的概率分布与数学期望； 〔Ⅱ〕求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：〔Ⅰ〕依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. 〔Ⅱ〕设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,如此P <A >=310361426C C C C +=321202060=+,P <B >=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立, 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 例3X 和Y,其分布列如下： 〔1〕求a,b 的值； 〔2〕比拟两名射手的水平. 答案：〔1〕a=0.3,b=0.4; 〔2〕23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX所以说甲射手平均水平比乙好,但甲不如乙稳定.．"心动〞..答案：设取出的红球数为X,如此X —H 〔6,6,12〕,666612()k kC C P X k C -⋅==,其中k=0,1,2,…,6设赢得的钱数为Y,如此Y 的分布列为∴1675100()100502010029.4446277154231E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-,故我们不该"心动〞. [课内练习]1．标准正态分布的均数与标准差分别为< >. A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A.解析：由标准正态分布的定义知.2．正态分布有两个参数μ与σ,< >相应的正态曲线的形状越扁平. A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C.解析：由正态密度曲线图象的特征知.3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ,那么()∑=-ni i x x n 121是指A ．σB ．μC ．2σD ．2μ〔 〕 答案：C.解析：由方差的统计定义知.4．设),(~p n B ξ,()12=ξE ,()4=ξV ,如此n 的值是.答案：4.解析：()12==np E ξ,()4)1(=-=p np V ξ5．对某个数学题,甲解出的概率为23,乙解出的概率为34,两人独立解题.记X 为解出该题的人数,如此E 〔X 〕=.答案：1712.解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231(2)342P X ==⨯=. ∴15117()012212212E X =⨯+⨯+⨯=. 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,如此如下结论正确的答案是. <1>)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξ <2>)0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξ <3>)0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξ <4>)0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：<1>,<2>,<4>.解析：(||)0P a ξ==.7．抛掷一颗骰子,设所得点数为X,如此V 〔X 〕=.答案：3512.解析：1(),1,2,,66P X k k ===,按定义计算得735(),()212E X V X ==.8．有甲乙两个单位都想聘任你,你能获得的相应的职位的工资与可能性如下表所示：根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位并说明理由. 答案： 由于E 〔甲〕=E 〔乙〕,V 〔甲〕<V 〔乙〕,应当选择甲单位.解析：E 〔甲〕=E 〔乙〕=1400,V 〔甲〕=40000,V 〔乙〕=160000.9．交5元钱,可以参加一次摸奖.一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽2球的钱数之和〔设为ξ〕,求抽奖人获利的数学期望.答案：解：因为ξ为抽到的2球的钱数之和,如此ξ可能取的值为2,6,10.4528)2(21028===C C P ξ,4516)6(2101218===C C C P ξ,451)10(21022===C C P ξ 设η为抽奖者获利的可能值,如此5-=ξη,抽奖者获利的数学期望为 故,抽奖人获利的期望为-75.10．甲乙两人独立解某一道数学题,该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92. 〔1〕求该题被乙独立解出的概率；〔2〕求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.答案：解：〔1〕记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1,乙为P 2. 1 2222()(0 1.4)0.08(1 1.4)0.44(2 1.4)0.480.15680.07040.17280.4V ξ=-⨯+-⨯+-⨯=++=,或利用22()()() 2.36 1.960.4V E E ξξξ=-=-=. [作业本]A 组1．袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X 表示取出球的最大,如此E 〔X 〕等于 〔 〕A 、4B 、5C 、4.5D 、4.752．如下函数是正态分布密度函数的是 〔 〕 A ．()σσπ2221)(r x ex f -=B ．2222)(x e x f -=ππ C ．()412221)(-=x ex f πD ．2221)(x e x f π=答案：B.解析：选项B 是标准正态分布密度函数.3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 〔 〕 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B.解析：22()x f x -=.4．正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5,那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点. 答案：0.2.解析：正态曲线关于直线x μ=对称,由题意知0.2μ=.5．一次英语测验由40道选择题构成,每道有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,总分为120分,某学生选对一道题的概率为0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为.答案：84；75.6.解析：设X 为该生选对试题个数,η为成绩,如此X ～B 〔50,0.7〕,η=3X ∴E<X>=40×0.7=28 V<X>=40×0.7×0.3=8.4故E<η>=E<3X>=3E<X>=84 V<η>=V<3X>=9V<X>=75.66．某人进展一个试验,假如试验成功如此停止,假如实验失败,再重新试验一次,假如试验三次均失败,如此放弃试验,假如此人每次试验成功的概率为32,求此人试验次数X 的分布列与期望和方差. 解：X 的分布列为故22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=,22211338()149()399981V X =⨯+⨯+⨯-=.7．甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,假如他们独立的射击两次,设乙命中10环的次数为X,如此EX=34,Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值与Y 的分布列与期望.答案：解：由可得),2(~s B X ,故32,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0,1,2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯,甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯,甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯,甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ,故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P所以 Y 的期望是E 〔Y 〕=9.8．一软件开发商开发一种新的软件,投资50万元,开发成功的概率为0.9,假如开发不成功,如此只能收回10万元的资金,假如开发成功,投放市场前,召开一次新闻发布会,召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元,召开新闻发布会成功的概率为0.8,假如发布成功如此可以销售100万元,否如此将起到负面作用只能销售60万元,而不召开新闻发布会如此可能销售75万元.〔1〕求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. 〔2〕求开发商盈利的最大期望值. 答案：解：〔1〕设A="软件开发成功〞,B="新闻发布会召开成功〞 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P<AB>=P<A>P<B>=0.72. 〔2〕不召开新闻发布会盈利的期望值是5.189.0)5075()9.01(401=⨯-+-⨯-=E <万元>； 召开新闻发布会盈利的期望值是8.249.010)5060()8.01(9.072.0)50100()9.01(402=⨯--⨯-⨯+⨯-+-⨯-=E 〔万元〕故开发商应该召开新闻发布会,且盈利的最大期望是24.8万元..B 组1．某产品的废品率为0.05,从中取出10个产品,其中的次品数X 的方差是 〔 〕 A 、0.5 B 、0.475 C 、0.05 D 、2.5答案：B.解析：X —B 〔10,0.05〕,()100.050.950.475V X =⨯⨯=.2．假如正态分布密度函数()212(),()x f x x R --=∈,如下判断正确的答案是 〔 〕A ．有最大值,也有最小值B ．有最大值,但没最小值C ．有最大值,但没最大值D ．无最大值和最小值 答案：B.3．在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布)36,100(,那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是 〔 〕A ．0．6826B ．0．3174C ．0．9544D ．0．9974 答案：C.解析：由X —N 〔100,36〕,故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=.4．袋中有4个黑球,3个白球,2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球得0分,每取到一个白球得1分,假如取到一个红球如此得2分,用X 表示得分数,如此E 〔X 〕=________；V<X>= _________.答案：14；165.解析：由题意知,X 可取值是0,1,2,3,4.易得其概率分布如下：E<X>=0×6+1×3＋2×36＋3×6＋4×136＝149V<X>= 20×16+21×13＋22×1136＋23×16＋24×136－2914⎪⎭⎫ ⎝⎛＝162165注：要求次品数的数学期望与方差,应先列出次品数X 的分布列.5．假如随机变量X 的概率分布密度函数是())(,221)(82,2R x ex x ∈=+-πϕσμ,如此)12(-X E =.答案：-5.解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-.6．一本书有500页,共有100个错字,随机分布在任意一页上,求一页上错字个数X 的均值、标准差. 解：∵X —B 1111(100,),()1000.2,()100(1)0.1996500500500500E X V X ∴=⨯==⨯⨯-=X 的标准差0.04468σ==.7．某公司咨询热线 共有10路外线,经长期统计发现,在8点至10点这段时间内,外线同时使用情况如下表所示：假如这段时间内,公司只安排2位接线员〔一个接线员只能接一部 〕. 〔1〕求至少一路 号不能一次接通的概率；〔2〕在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这一时间至少一路 不能一次接通,那么公司形象将受到损害,现在至少一路 不能一次接通的概率表示公司的"损害度〞,,求这种情况下公司形象的"损害度〞； 〔3〕求一周五个工作日的时间内,同时打入 数X 的数学期望.答案：解：〔1〕只安排2位接线员如此至少一路 号不能一次接通的概率是 1-0.13-0.35-0.27=0.25； 〔2〕"损害度〞51245)43()41(2335=C ； 〔3〕一个工作日内这一时间内同时打入 数的期望是4.87,所以一周内5个工作日打入 数的期望是24.35..8．一批电池〔一节〕用于手电筒的服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？答案：解：电池的使用X —N<35.6,4.42>如此35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4X P X P P Z P Z --≥=≥=≥=-≤=即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587.。