量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-1
- 格式：doc
- 大小：615.01 KB
- 文档页数：15
下载文档原格式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章： 对称性及守恒定律
P248设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H
+=μ
。 （１） 证明
V r p p r dt
d ∀⋅-=⋅
μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2
（证明）（１）z y x p z p y p x
p r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅
，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：
]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p r
dt d
⋅=⋅
]ˆ,ˆˆ[H p r =⋅
=)],z y （２） ˆ[r
⋅ x x x x p x p p x p p x
ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[23
2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ22
23-+-= x x x x x p p x p p p x
ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i p i =+= （４）
],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p x
x x x x x x =-=-=
x
V x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：
}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222z
V z y V y x V x i p p p i H p r
z y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r p
i ∀⋅+=
μ
代入（１），证得题给公式：
V r p
p r dt d ∀⋅-=⋅ μ
2ˆ)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=⋅p r dt d 由前式
P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n
2,==
（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：
∑=ijk
k
j i ijk z y x C z y x V ),,( （１）
此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：
n k j i =++ （定数）
ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
根据前一题的结论：
V r
T ∇⋅=ˆ2 （２） 现在试行计算本题条件下V r ∇⋅
的式子及其定态下平均值。 z
V z y V y x V x
V r ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅
直接看出=n z z y y x x 321μωμωμω⋅+⋅+⋅=
V z y x 2)(2
32221=++=ωωωμ
V V r 2=∇⋅
，由（３）式可知V T =
（２）库仑场 2
2
2
1z
y x V ++=
直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2
但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：
z
V z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅
2
/32222/32222/3222)()()(z y x z
z z y x y y z y x x x ++-⋅+++-⋅+++-⋅
=
V z y x -=++-
=2
221 V V r -=∇⋅
V r =∇⋅
x =)2()1222z z y n
⋅++-
n =由（２）得
P260（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符)(ˆt A
应满足：
]ˆ,ˆ[1ˆH A i dt A d = （１） 又对于自由粒子，有μ
2ˆˆ2p H =（p ˆ 不随时间t 变化）
令)(ˆ)(ˆt x t A
=为海氏表象座标算符；代入（１）
]2ˆ),(ˆ[1)(ˆ2μ
p
t x i dt t x d =
]ˆ),(ˆ[21
)(ˆ2p t x
i
dt t x d μ= （２） 但 x p p x p t x
ˆˆˆˆ]ˆ),(ˆ[222-= x p p p x p p x p p p x
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ-+-= p i p x p p p x
ˆ2]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[ =+= （３）
代入（２）积分得 将初始条件t
P260
]2
)(ˆ2)(ˆ),(ˆ[1)(ˆ222t x t p t x i dt t x d μωμ+= （２） 将等式右方化简，用前一题的化简方法：
μ
μωμμωμ)(ˆ]ˆ,ˆ[2]ˆ,ˆ[21]2,ˆ[1222222t p x x i p x i x p x i =+=+∂
)(ˆ1)(ˆt p
dt t x
d μ
= （３）
但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p ˆ与t 有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：
]2
)(2)(ˆ),(ˆ[1)(ˆ222t x t p
t p i dt t p d μωμ+= 化简右方
}ˆˆˆˆ{2]2)(),([1222
22p x x p hi
t x t p hi -=μωμω =
}ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ{22
p x x x p x x x p
hi
--μω =
)(ˆ]}ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ{[2222
t x x p x x x p
hi
μωμω-=-
x
i p x x
∂∂=
= )0(ˆˆ)0(ˆ
c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley
5.1设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明
[][]H H A A dt d ,,2
2
2
=-