北 京 交 通 大 学
2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）
学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师
一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数
(
)
2
2
4
z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；
（4）
（5） 若∑==0n n n
2nz )(z f ，则其收敛半径 ；
（6） 计算留数：⎪⎭
⎫
⎝⎛0,z cosz Res 3 ；
（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件
为
；
（8） 曲线y x :=C 在映射z
1
)(=
z f 下的像是 ；
（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算
()⎰-C
n
a z dz
（n 为正整数）
； （10） 判断n
1n 25i 1∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .
二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰C
Rezdz 其中积分路径C 为：
①连接由原点到1+i 的直线段；
②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.
(2)、已知：()()
3
z e 1zsinz
z f -=
求：]0),z (f [Re s
(3)、计算
()()10dz z 1ln r
z <<+⎰
=r
（4）、计算()()dz i z z 9z
C
2
⎰
+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 1
2
⎰
=.
三、求积分()
dz 1z z e 4
z 2
2
z
⎰
=-（7分）
四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.
（7分）
五、验证()()0x x
y
arctg
y ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中2
2y x ∂∂+∂∂=
∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）
六、（8分）求函数()()()
2z 1z 1
z f --=
分别在如下区域展成洛朗展式
（1）.1|1|0<-z 2i
+=
ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨
⎧>≤=δδ
δ
的傅立叶变换（7分） 一、(1)直线y=x
(2)i
32k 2e
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+ππ
(3)一;二 (4)()()3i 12
;2
;3i 123
13
2
3
1--+-
-
(5)2 (6)2
1-
(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微
②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩
⎨
⎧>=1n ,01
n ,i 2π
(10发散
二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：
z=(1+i)t 1)t (0≤≤
故
⎰C
Rezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1
++⎰
=()⎰
+1
tdt i 1
=
2
i
1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,
连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,
故
⎰C
Rezdz =()[]⎰⎰++1
10idt it 1Re Retdt
=⎰
⎰+1
10
dt i tdt
=
i 2
1+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。 将被积函数展为罗朗级数
()
3
232323
3z 2!z 1!3z 1z z !2z
z !3z z z e 1zsinz ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-⋅-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-ΛΛΛΛ， 后面那个分式在z=0为解析，故可展为z 的幂级数： Λ++z a 11 （其中1a 及以下各项不需关心） 于是在z=0的去心邻域内有
由此即得
故由留数定理，原积分等于π2-i.
(3)因为()z 1ln +在积分区域内解析，在边界连续， 故由柯西积分定理 原积分等于0。
(4)因为z=-i 在积分区域内，
所以 原积分=()
dz i z z 9z C 2
⎰--- =5|z
9z i 2i
z 2π
π=-⋅
-=
