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14.2.1平方差公式-人教版八年级数学上册教案一、教学目标1.理解平方差公式的意义和应用。
2.掌握平方差公式的推导方法和计算应用。
3.拓展应用，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
二、教学重点1.掌握平方差公式的推导方法。
2.理解平方差公式的应用。
三、教学难点1.灵活运用平方差公式解决实际问题。
四、教学过程4.1 发散认知1.引入问题：已知a+b=6，a2+b2=20，求a和b的值。
2.分钟思考，尝试寻找解题方法。
3.点名回答，整理出几种思路，比较不同思路的优缺点。
4.2 学习导入1.导入平方差公式的概念：a2−b2=(a+b)(a−b)。
2.展示平方差公式的求证过程，从几何角度和代数角度进行分析。
3.针对平方差公式的推导过程，进行简单的演示和讲解。
4.3 探究练习1.按照一定的难度，给学生分配练习题，让学生独立思考问题解决方法。
2.鼓励学生在解题过程中理性思考，讨论解题思路和解题方法，并且向其他同学提供帮助和建议。
3.应根据学生的完成情况，对存在疑惑的问题进行带领示范。
4.4 巩固拓展1.呈现一些应用实例，对学生进行拓展应用和思考提问。
2.教师应引导学生将平方差公式与实际问题相联系，通过实例的讲解，让学生逐步理解所学知识。
3.鼓励学生自己发掘应用过程中的不足和问题，并提出自己的建议与看法。
4.5 总结归纳1.由学生自主提出平方差公式及其应用的应用场景并进行讲解。
2.总结平方差公式的定义、证明和应用，并归纳理解。
3.帮助学生归纳硬核知识点及考点，提供复习方法并督促学生按照要求进行复习。
五、教学反思本次教案中，我们注重对平方差公式的意义和应用两个方面的深度剖析，让学生根据不同的套路去思考解题的方法，鼓励他们相互合作，共同讨论解决问题的思路和方案，培养他们的自学和发现问题的能力。
在教学过程中，借助实例的讲解，使学生更好地理解知识点，形成对知识点的应用理解。
同时，也帮助学生归纳吸收金点或难点，从而更好地应用知识。
14.2.1平方差公式教学反思平方差公式的教学目标是：1、会推导公式（a+b）（a-b）=a2-b2，2. 理解平方差公式，了解公式的几何背景，并简单计算；通过教学，我对本节课的反思如下：反思本节课有以下成功之处：活动1：自主探究尝试发现计算下列各题，并观察其运算结果有什么特点：(1)、=x＝；1(x+)1-)((2)、=2(mm＝；)(-+)2(3)、=12(xx＝；2)(+-)1活动2：观察猜想发现规律问题1：（1）等号左边相乘的两个式子中分别是什么运算？（2）参与运算的两组数分别有什么特点？（3）等号右边的式子和等号左边的式子中的两组数有什么联系？问题2：你发现了什么运算规律？你能通过它直接写出下式的结果吗？猜想：(a+b)(a-b) =教学功效“教师引导学生读一读上面的问题先独立思考，自主探究，再分组讨论，进行交流，教师巡视，适时点拨、最后学生展示交流，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，抓住学生的好胜性，放手让学生探究、讨论、猜想，凸显学生学习的主体地位活动3：数形结合验证新知1. 代数验证：(a+b)(a-b) = =2. 几何验证：等面积教学功效：师生互动、感知代数、几何的统一，突出数形结合思想例1 运用平方差公式计算：（1）(3x+2)(3x-2) 变式1：(-3x+2y)(-3x-2y)分析：判断：满足公式中两数和与两数差的特征吗？分析：1.和（1）相比发生什么变化相同项是，相反数的项是。
2.能运用公式吗？哪项是公式中的a,b? 3. 相同项是，相反数的项是教师板书： 4. 哪数是公式中的a、b(3x+2)(3x-2)＝(3x)2-22＝9x2-4 5. 板书(a＋b) (a-b) ＝ a2 －b2变式2： (2y+3x) (3x-2y)变式3：(3x-2y)( -2y-3x) 一.判断分析：1.变式2和（2）相比发生什么变化二.把“a”放在前2.能运用公式吗？三.套用公式3.强调交换位置依据加法交换律四.化简4. 哪项是公式中的a、b5.套用公式并化简总结归纳解题步骤变式4：(3x+2y)(-3x-2y)教学功效：并不是所有多项式乘法都能运用平方差公式，平方差公式是对于符合公式形式的多项式乘，法的简便方法，不符合公式的乘法仍可以运用多项式相乘的法则解决教师提出问题后，学生独立思考，并回答问题，在此环节中，对于重点难点学生在展示出现问题时，教师及时地引导、点拨，通过一题多变进行拓展，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上认识解决问题。
第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式一、教学目标【知识与技能】会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.【情感、态度与价值观】通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】(1)体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.(2)平方差公式的几何意义.【教学难点】从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.五、课前准备教师：课件、直尺、平方差公式结构图等。
学生：练习本、钢笔或圆珠笔、铅笔。
六、教学过程（一）导入新课某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？（出示课件2）这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.（二）探索新知1.创设情境，探究平方差公式教师问1：对于下面的算式，你想怎样计算呢？(1)2001 ×1999；(2)998×1002；(3)403×397.学生回答：直接计算或者利用乘法分配律进行计算.教师问2：有没有其他巧妙地方法呢？观察这三个式子有什么共同特征？学生讨论后回答：都在某个整百整千的附近.教师讲解：今天我们将进行新的学习，通过学习你将能快速地计算出结果.教师问3：哪位同学说一下前面学的多项式与多项式是如何相乘的？学生回答：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（出示课件4）教师问4：二项式乘以二项式结果一定是四项吗？学生回答：结果不一定是四项.教师问5：想一想(a＋b)(m＋n)该怎么计算？学生回答：(a＋b)(m＋n)=am+an+bm+bn教师问6：如何计算(x ＋3)( x＋5)？学生回答：(x＋3)( x＋5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15.教师问7：观察图形，思考两个正方形的面积差变了吗？（出示课件5）学生讨论后回答：变化之前面积表示为：a2-52=a2-25；变化之后面积表示为（a+5）×（a-5）= a2 -5a+5a-52= a2-25.变化前后图形面积相等。
课题：14.2.1平方差公式广州市白云区三元里中学何小敏平方差公式两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差. 用式子表示，即：(a+b)(a−b)=a2−b2平方差公式的几何背景请同学们思考如何用几何图形来验证平方差公式的？通过学生的动手实践，让学生体会到“数形结合”的数学方法和图形的切割，拼接，和整体构成的思想活动三初识平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2结构特征：1)左边两个二项式是相同两项的和与差的乘积2)右边是乘式中两项的平方差3) 公式中的a和b 可以代表数或式让学生熟悉平方差公式的结构特征活动四例题讲解例1 利用平方差公式计算：(1)(5+6x)(5−6x)；(2) (b+2a)(b−2a); (3) (−x+2y)(−x−2y)进一步熟透平方差公式的应用以及解题的规范。
活动五平方差公式的分层练习运用平方差公式计算：(-4a-1)(4a-1)．解法一：解法二：通过平方差公式的应用，让学生感受到此公式在整式乘法中所起到的简便作用，同时培养学生敏捷的思维能力，让学生在应用中积累解题的经验和体会成功的喜悦活动六（1）32×28=(30+2)×(30-2)=302-22=896（2）98×102=(100-2)×(100+2)=1002-22=10000-4=9996活动七拓展练习1.（5+a）()=25-a²2.（)（）=n2-m小结与作业15.2.1《平方差公式》教案及说明一、教学内容地位与作用乘法公式在学习整式乘法的基础上得到的．从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程的范例，对它的学习和研究，既丰富了教学内容，也拓宽了学生的视野．乘法公式的应用十分广泛，是本单的重点内容之一．乘法公式的得出过程，一般都是从数的运算，归纳得到公式的运算性质，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程．在性质和公式发生过程的教学中，我们应重视上述归纳过程的教学，使学生在这个过程中理解和掌握性质和公式，并能用代数式和文字语言正确地表述这些性质、公式．平方差公式是乘法公式中的其中一个．本节教材以“探究”的形式安排了３个题目，这些题目按照多项式的乘法法则计算并不难，通过总结三个题目结果的共同点．我们选取上述形式的多项式乘法并直接写出结果，把它们作为公式．教学时，我们要注意引导学生进行观察、分析，使学生掌握这公式的结构特征，理解这个公式的代数意义和几何意义，能正确地运用这公式．正确运用这一公式的关键，除了要掌握它们结构特征外，还要理解公式中字母的广泛含义．在例题的学习中，要让学生观察题目是否符合公式的条件，即两数是什么，是不是这两个数的和与差相乘，然后再按公式计算．如例２的第（１）小题102×98，经过仔细观察，首先把原式变形102×98=（100+2）（100-2），才能确定a、b分别对应100、2，所以通过观察识别两个数，是运用平方差公式的关键．二、教学目标知识技能：经历平方差公式的探究过程，理解平方差公式，以及运用平方差公式进行简化运算．数学思考：能从探究过程中体会“从特殊——一般”“探索→发现→归纳→抽象”以及数形结合的数学思想和方法．问题解决：通过例1、例2的学会运用平方差公式进行符合平方差公式形式和乘法运算，培养学生简化运算的能力．情感态度：通过公式的探究过程让学生产生探究的欲望和乐趣、以及数学式子简化美感、建立学生自信心．端正学习态度．培养学习兴趣．三、教学重点、难点重点：1、探究、归纳、理解平方差公式．2、能运用平方差公式进行简化乘法运算．难点：1、平方差公式的几何意义的理解．2、能从题中准确确定“a”“b”再利用公式直接写出结果．四、教学准备：多媒体、纸板拼图教学流程安排五、教学过程：活动一 开门见山、探究新知1.直接引入课题师：老师知道前面同学们学习了整式的乘法，且学得很好．我想考考大家． 2.探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）_______;)1)(1(=-+x x （2）_______;)2)(2(=-+m m （3）._____)2)(2(=-+y x y x师：请三个同学道黑板上来板演，其他同学在课堂本上完成． 生：板演师:请同学们评价运算结果正确情况 生：评价师:我们一起来观察这些式子和它们的结果，它们有什么联系？结构上有什么特征？生：①式子是两数和与这两数差的积的结构．②一对相同数，一对相反数．③结果只有两项，为两数平方差的形式．师：你能试着用通顺的述语描述这个式子吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 3.推广到一般，得出平方差公式师:是否所有符合这样两数和与这两数差的积的式子都有类似的结果？师:一般地，如果我们分别用a 、b 表示以上二项式的前项和后项，则上式可以写成形如))((b a b a -+的式子．我们来计算上式可以得到：22))((b ab ab a b a b a --+=-+ 22b a -=我们去掉其中间运算过程，即可得到： 22))((b a b a b a -=-+两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．师:上式从结构上与前面的三个式子及结构相一致，与一般的两个二项式相乘的结果相比，由原来的四项（或三项）变成二项．这样一来，我们对于这样特殊形式的多项式相乘，就不必要进行繁锁的运算，而直接套用结果，从而使运算过程大大简化．由于上式简洁明了、实用，我们就确定它为“平方差公式”．（出示课题）活动二 归纳抽象，延伸验证师：这个公式我们也可以从另外一个角度加以验证，观察下图，思考：你能根据图15、2－1中的面积说明平方差公式在这个图形中也成立吗？22))((b a b a b a -=-+师：为了大家更好理解，我把这个图形分成以下两个图形．并请分别用含有a 、b 的式子表示它的面积．师：动手操作，演示将左边的图形拼成右边的图形． 生：观察、思考、交流．师：以上我们从多个角度都说明了这个公式是成立的．活动三 小试牛刀，巩固应用1.教师组织学生举能用公式的示例，以及直接套公式解题师：我们一起来举出几个能用上述公式的示例．例如：)23)(23(-+x x 、)2)(2(b a b a -+．请你也说出一个可以用这个公式的例子，同学之间交流．师：上述中“a ”代表什么？“b ”代表什么？可以写出什么样的结果？ 即：（3x +2）（3x －2）=（3x ）2－22（a +b ） a －）＝ a 2 － b 2师：从这里我们就知道在符合公式条件的情况下，直接写出结果可使运算简化．2.组织学生变式进一步理解公式特征，并解题．师：①我们再看式子)2)(2(b a a b -+这个式子还能用这个公式计算吗？在运用公式前先要做什么事？②请在课堂本上完成这个计算过程师：①将式子这样变一变“)2)(2(b a a b --+”还可以用这个公式吗？②应怎样修改就可以用这公式？生：(b ＋2a )(2a －b )、(b －2a )(－2a －b )、(－b －2a )(2a －b )、(b －2a )(2a ＋b ) ③请写出运算结果并说明理由 生：完成运算师：通过以上几个题目的练习，你能总结一下解这类问题时需要注意什么吗？生：①先观察式子结构是否符合公式的结构②正确确定公式中的“a ”、“b ” ③套用公式直接写结果3.组织学生进行找朋友、改错的活动师：根据以上经验我们来玩个找朋友的游戏．下列式子中，哪两个可以构成能用“平方差公式”的式子的条件，请找出来． （y +2） （－y +2） （－3－2a ） （－3a +2） （3a －2） （－3+2a ）改错：下列各式的计算对不对？如果不对应当怎样改正？1、4)4)(4(2-=-+x x x （2）49)23)(23(2-=---n n n师：错在哪，怎样改正？ 活动四 灵活应变，提升能力组织学生完成例题2师：以上我们学习了直接用公式的示例，但有些题目不能直接套用公式，需要对公式进行变形，我们当怎样来处理呢？计算：（1）98102⨯ （2）)5)(1()2)(2(+---+y y y y（3）)12)(12(-+++b a b a师：请同学们在认真观察上述两题的基础上认真思考，写出解题过程，并与同桌交流。
人教版八年级数学上册第十四章
14.2.1 平方差公式教学设计
玉林高级中学附属初中 王申芬
一、教材背景
本节课是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般
到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以
后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式的学习提供了方法.因此，平
方差公式在教学中具有很重要地位.所以学好这部分的内容至关重要.
二、教学目标
（一）知识目标
掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决简单的实际问题.
（二）能力目标
经历平方差公式产生的探究过程，培养观察、猜想、归纳、概括、推理的能力和符号感，感受利用转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题的策略.
（三）情感态度与价值观
通过探究平方差公式,形成学习数学公式的一般套路，体会成功的喜悦，培养团结协助的意识，增强
学生学数学、用数学的兴趣.
三、教学方法
自主探究和合作交流
四、教学重难点
（一）教学重点：掌握平方差公式.
（二）教学难点：灵活运用平方差公式简化并计算解决简单的实际问题.
五、教学过程
等于它们的平方差.
几何推导：
下列各式中,能用平方差公式运吗？①
②
③
④
⑤
例1 运用平方差公式计算：
对，应当怎样改正？
2.运用平方差公式计算.。
教师达标课学与教设计
新授15分
练习24分
小结1分例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：计算：
（1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
（1）（a+b）（-b+a）（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
总结本课的所学的知识点，你体验学习了什么？
计算及体验公式
的简介性
教师在学生答题
的时候进行激励
和指导。
发现问题及时处
理，让学生会处
理计算当中和应
用当中的问题，
及时的掌握、解
题的正确方法
板书设计
§15．3．1 平方差公式
一、1．用简便方法计算
（1）2001×1999 2．计算：（1）（x+1）（x-1）
二、探究、归纳规律──平方差公式；文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 1．例1：例2：
作
业设计练习卷，课堂，及课后作业
课
后
反
思。
教师姓名祁航航单位名称阿克苏市第四中学填写时间2020年8月30日学科数学年级/册八年级（上）教材版本人教版
课题名称14.2.1平方差公式
难点名称用公式的结构特征判断题目能否适用公式
难点分析从知识角度分析为
什么难
本节课的知识点比较集中，难点在于用公式的结构特征判断题目能否适用公
式，以及对公式的灵活运用
难点教学方法对于较复杂的题目通过应当仔细观察、适当变形、合理加括号，正确找出公式中的相同项和相反相，代入公式求出结果。
教学环节教学过程
导入一、激趣导入：
小霞同学去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克，小霞同学马上说：“应付99.96元。
”售货员很惊讶：“你真是个神童！”小霞同学说：“过奖了，我只是利用了数学上刚学过的一个公式而已！”
知识讲解（难点突破）二、合作探究
观察等式：比较等号两边别的式子，等号的左边有什么特征？等号的右边有什么特征？（x+1）(x-1)=
(m-2)(m+2)=
(2x+1)(2x-1)=
验证：(a+b)(a-b) =
(a+b)(a-b)=
平方差公式 (a+b)(a-b)=-
两数和 两数差 两数平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
x2-12
m2-22
(2x)2-12
a2-b2
a2 −ab+ab-b2=a2-b2
↑↑
↑↑
小结五、课堂小结：
1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
2、运用平方差公式的几点注意事项：
（1）、题要符合公式的特征
（2）、正确找出题中的相同项和相反相
（3）、结果：相同项2-相反相2。
教师姓名麦孜兰木·司马义单位名称伊宁市第十七中学填写时间2020年8月11日学科数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称14.2.1平方差公式难点名称理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征难点分析从知识角度分析为什么难了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．难点教学方法1.通过代数法和几何法证明平方差公式，让学生跟直观的理解公式2.通过理解乘法公式的结构特征，让学生观察找出“相同项”和“相反项”，并能灵活运用平方差公式．教学环节教学过程导入我们以前学过正方形面积公式，圆面积公式，今天我们一起来学习平方差公式。
首先我们一起来玩儿一个数字游戏，大家能最快的速度回答出来吗？11 × 9 =？51 × 49 =？102 × 98 =？我相信，通过学习今天这一节课大家很快就能计算以上形式的计算题。
知识讲解（难点突破）观察上述算式，你能发现什么规律？(1)(x＋1)(x－1)；(2)(m＋2)(m－2)；(3)(2x＋1)(2x－1)．1.教师引导：通过多项式乘多项式法则计算。
2.找出上题式子中具有的共同特征，并说出它们的共同特征：等号的左边：两个数的和与差的积等号的右边：是这两个数的平方差.3．猜想：计算(a＋b)(a－b)．让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.4.用代数法验证：(a+b)(a-b) = a2-b2(a+b)(a-b)= a2-ab +ab-b2= a2-b25.用几何法验证：6.归纳结论教师系统总结平方差公式．两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.(a+ b)(a - b)= a2- b2相同项 相反项 平方差 (相同项)2-(相反项)2口号：两数和乘两数差，等于两数平方差。
课堂练习（难点巩固）1.判断题：下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？(1) (x+2)(x-2) = x2 - 2(2) (-3a-2)(3a-2) = 9a2 - 42.数字游戏揭秘计算:(1) 51×49 (2) 102×98=（50+1）（50-1） = （100+2）（100-2）=2500-1 = 10000 - 4=2499 = 9996小结过本节课的学习你有哪些收获？1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.2.学会运用平方差公式进行计算.。
14.2.1平方差公式教学设计教学目标：（一）知识目标1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力。
2、了解公式的几何背景，体会数形结合的思想方法，并能运用公式进行计算3、通过乘法公式的运用，掌握公式的结构特征，培养学生运用公式的计算能力（二）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，能从交流中获益。
（三）教学重点和难点重点：能运用平方差公式进行简单的计算。
难点：会推导平方差公式教学过程教学过程设计如下：〈一〉、提出问题【探究1】计算下列多项式的积,你能发现什么规律?算一算：（1）(x+1)(x-1)=___________;（2）(m+2n)(m-2n)=__________;（3）(3x+y)(3x-y)=_________【方法】：分析问题，分组交流、讨论、学生回答（1）原式的特点。
（2）结果的项数特点。
（结论;二项式与二项式的积，结果任然是二项式）〈二〉、新知建模【方法】：概括特点，一般化结论，板书公式平方差公式：(a+b) (a + b)=a2 - b2【方法】：回到课本，熟悉公式结构特点，找出关键点和易错点验一验：请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？举例：计算(8+x) (8- x)【探究2】下列各式能用平方差公式计算吗?(1)(a-b)(a+b) ; (2)(-b+a)(a+b)(3) (-x+y)(-x-y); (4) (-x-y)(x-y)(5)(a+b)(c-b) ; (6) (-x+y)(y-x)结论：l两个二项式相乘，如果有一项相同，一项相反，则就可以用平方差公式计算，相同项是a,相反项是b.〈三〉、运用公式，解决问题看例题：自学课本例题，学习解题步骤，有问题提问题，指出需要注意的地方练一练:叫四名学生上黑板做1.运用平方差公式计算.（1）(a+3b) (a-3b); （2）(3+2a) (-3 + 2a) ;(3) 51×49; (4) (3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2).拓展运用2.计算20162-2015×2017;3.请利用平方差公式求出(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)的值〈四〉、课堂检测；测试卷板书设计：14.2.1平方差公式1.公式:(a+b) (a + b)=a2 - b22.举例〈五〉反思小结：经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力。
