专题训练(三) 全等三角形的基本模型

图3－ZT－7
证明：∵AB＝AC，BD＝CE， ∴AB－BD＝AC－CE，即 AD＝AE. 在△ABE 和△ACD 中，A∠BA＝＝A∠CA，，
AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴BE＝CD.
6．如图3－ZT－8，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点 N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.试证明下列结论：①∠1＝ ∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.
BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(SAS)． ∴∠ACB＝∠F. ∴AC∥DF.
模型二 轴对称模型
常见的轴对称模型：
图3－ZT－4
3．如图3－ZT－5，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能 判定△ABC≌△BAD的是( ) A A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
图3－ZT－12
证明：∵∠ABE＝∠1－∠BAD，∠CAF＝∠BAC－∠BAD，∠1＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠CAF. ∵∠AEB＝180°－∠1，∠CFA＝180°－∠2， ∠1＝∠2， ∴∠AEB＝∠CFA. 在△ABE 和△CAF 中，∠ ∠AAEBBE＝ ＝∠ ∠CCFAAF，，
AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF(AAS)．
图3－ZT－10
证明：如图，过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F. ∴∠PEC＝∠PFD＝∠PEO＝∠PFO＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，
∠PEO＝∠PFO， ∴∠POE＝∠POF.在△POE 和△POF 中，∠POE＝∠POF，
OP＝OP，
∴△POE≌△POF.∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°. ∵∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.
图3－ZT－8
证明：∵∠E＝∠F＝90°，∴∠B＋∠BAE＝90°，∠C＋∠CAF＝90°.
又∵∠B＝∠C，∴∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAN＝∠CAF－∠CAN， 即∠1＝∠2.即①成立．
∠E＝∠F＝90°， 在△ABE 和△ACF 中，∠B＝∠C，
AE＝AF， ∴△ABE≌△ACF(AAS)． ∴AB＝AC，BE＝CF.即②成立．
9．(1)已知：如图3－ZT－13①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB ＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为 D，E.求证：DE＝BD＋CE.
图3－ZT－13
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A， E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α 为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立， 请你给出证明；若不成立，请说明理由．
∠PCE＝∠PDF， 在△PCE 和△PDF 中，∠PEC＝∠PFD，
PE＝PF，
∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.
模型四 一线三等角模型
常见的一线三等角模型：
图3－ZT－11
8．如图3－ZT－12，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BC 边上，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.求证： △ABE≌△CAF.
∠C＝∠D， [解析] C．在△ ABC 和△ BAD 中，∠ABC＝∠BAD，
AB＝BA， ∴△ABC≌△BAD(AAS)，故本选项正确；
BC＝AD， D．在△ ABC 和△ BAD 中，∠ABC＝∠BAD，
AB＝BA， ∴△ABC≌△BAD(SAS)，故本选项正确．
故选 A.
第十二章 全等三角形
专题训练(三) 全等三角形的基本模型
第十二章 全等三角形
专题训练(三) 全等三角形的基 本模型
模型一 平移模型
常见的平移模型：
图3－ZT－1
1．如图3－ZT－2，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC， 点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE＝BF.求证： ∠ADE＝∠BCF.
4．如图3－ZT－6，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于 点F，OA＝OB，则图中有_____3___对全等三角形．
图3－ZT－6
OA＝OB， [解析] ∵OP 平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP.在△OAP 和△OBP 中， ∠AOP＝∠OFP，
OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP(SAS) ． ∴AP ＝ BP.∵PE⊥OM ， PF⊥ON ， ∴∠OEP ＝ ∠OFP ＝ 90°. 在
图3－ZT－5
[解析] A 已知条件：∠ABC＝∠BAD，AB＝BA. A．已知∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，即由“SSA”不能得到 △ABC 与△BAD 全等，故本选项错误；
∠ABC＝∠BAD， B．在△ABC 和△BAD 中，AB＝BA，
∠CAB＝∠DBA， ∴△ABC≌△BAD(ASA)，故本选项正确；
模型五 混合Fra Baidu bibliotek型
平移＋旋转模型：
图3－ZT－14 平移＋对称模型：
图3－ZT－15
10．如图3－ZT－16，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在 同一条直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使 △ABC≌△DEF，添加的条件可以是___A_B_＝__D_E_(答__案_不__唯_一_)(只需写 一个，不添加辅助线)．
解：(2)成立．证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠EAC＝180°－α. ∴∠DBA＝∠EAC. 在△ADB 和△CEA 中，∠ ∠DBDBAA＝ ＝∠ ∠EAAECC， ，
AB＝AC， ∴△ADB≌△CEA(AAS)． ∴BD＝AE，AD＝CE. ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
在△ACN 和△ABM 中，∠ ACC＝AAN＝ B，∠∠BACM＝，∠B， ∴△ACN≌△ABM(ASA)即③成立．
模型三 旋转模型
常见的旋转模型：
图3－ZT－9
7．如图3－ZT－10，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线， 三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB 交于点C，D.求证：PC＝PD.
图3－ZT－13
解：(1)证明：∵BD⊥直线 m，CE⊥直线 m， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°. 又∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD. 在△ADB 和△CEA 中，∠∠ABDBDA＝＝∠∠CAAECE，，
AB＝AC， ∴△ADB≌△CEA(AAS)． ∴BD＝AE，AD＝CE. ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
图3－ZT－16
[解析] 添加 AB＝DE. ∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC， 即 BC＝EF. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.
AB＝DE， 在△ABC 和△DEF 中，∠B＝∠E，
BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(SAS)．
11．如图3－ZT－17，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝ DF，AC＝DE，∠A＝∠D. (1)求证：AC∥DE； (2)若BF＝13，EC＝5，求BC的长．
图3－ZT－17
解：(1)证明：在△ABC 和△DFE 中， AB＝DF， ∠A＝∠D，∴△ABC≌△DFE(SAS)． AC＝DE， ∴∠ACB＝∠DEF.∴AC∥DE.
(2)∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF. ∴BE＝CF＝12(BF－EC)＝4. ∴BC＝BE＋EC＝9.
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∠OEP＝∠OFP， △OEP 和△OFP 中， ∠EOP＝∠FOP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴PE＝PF.
OP＝OP，
在 Rt△AEP 和 Rt△BFP 中，APEP＝＝PBFP，，∴Rt△AEP≌Rt△BFP(HL)．
5．如图3－ZT－7，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝ CE.求证：BE＝CD.
图3－ZT－2
证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CBF.
AD＝BC， 在△DAE 和△CBF 中，∠DAE＝∠CBF，
AE＝BF， ∴△DAE≌△CBF(SAS)． ∴∠ADE＝∠BCF.
2．如图3－ZT－3，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求证： AC∥DF.
图3－ZT－3
证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC，即 BC＝EF. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF. 在△ABC 和△DEF 中，∠ABB＝＝D∠ED，EF，