高中数学函数的极大值和极小值

典例剖析题

型一 函数极值的求法

例1 已知3

2

()f x x ax bx c =+++在1x =与2

3

x =-

时，都取得极值． (1) 求,a b 的值； (2)若3

(1)2

f -=，求()f x 的单调区间和极值；

分析：可导函数在0x 点取到极值时，0)(0=x f ；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。

解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0．

由题设，x ＝1，x ＝－2

3

为f ′(x )＝0的解．

－23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．∴a ＝－12，b ＝－2． （2）f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝3

2，c ＝1．

∴f (x )＝x 3－1

2

x 2－2 x ＋1．

x （－∞，－2

3

）

（－2

3

，1）

（1，＋∞）

f ′(x )

＋

－

＋

∴f (x )的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－2

3

，1）．

当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－1

2．

评析：列表求单调区间和极值不容易出错。

题型二

例2 设函数3

2

()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，（1）求,,a b c 的值；（2）求函数的递减区间．

分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）

点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。

分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。 解：（1）函数的图象经过（0，0）点

∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2+2ax +b ∴ 0=3×02+2a ×0+b ，得b =0 ∴ y =x 3+ax 2，'y =3x 2+2ax

当a x 32-

<时，0'y <，当a x 32

->时，0'y > 当x =a 32

-时，函数有极小值－4

∴ 4)3

2()32(2

3-=+-a a a ，得a =－3

（2）'y =3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2）

评析：求出,,a b c 的值后，利用导数就可求出单调区间。

备选题

例3：已知函数21

)(x

x f =+lnx, 求)(x f 的极值.

解;因为f '

(x)=-3

23212x

x x x -=+, 令f '

(x)=0，则x=2± 注意函数定义域为（0，∞+），所以驻点是x=2, 当x ∈(0,

2)时f '(x)<0, )(x f 为减函数，

当x ∈(2，+∞)时f '(x)>0, )(x f 为增函数， 所以x=2是极小值点，)(x f 的极小值为f(2)=2

1

(1+ln2),没有极大值。 评析：注意函数的定义域

点击双基

1、函数y=1+3x-x 3有 （ ）

A ．极大值1，极小值-1，

B 。极小值-2，极大值2

C ．极大值3 ，极小值 –2，

D 。极小值-1，极大值3 2、函数y=3+mx+x 3有极值的充要条件是 ( )

A m>0

B m<0

C m ≤0 D, m ≥0

3、 f '

(x)在区间（a,b ）的图像如右

则f(x) 在区间（a,b ）内有极大值点（ ） A 2个 B 。3个 C 4个 D 1个 x

4、y=x+

x

4

的极大值为＿＿＿＿＿＿极小值为＿＿＿＿＿＿＿＿ 5、若函数2

f x x x c 在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

课外作业

一．选择题

1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．必要非充分条件

2、函数93)(2

3-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则=a ( )

A.2

B.3

C.4

D.5 3、函数)(x f =-x 3+3x 2-3x+6有 （ ） A.极大值5 B 极小值5 C 极小值1 D 无极值

4、函数a x x x f +-=2

3

32)(的极大值为6，那么a 等于（ ） A.6 B.0 C.5 D.11

5、下列四个函数，在0=x 处取得极值的函数是（ ）

①3

x y = ②12

+=x y ③||x y = ④x

y 2= A.①②

B.②③

C.③④

D.①③

6、函数)(x f =ax 3+3x 2

+(a-1)x-5有极值的充要条件是（ ） A a=-3或a=4 B -34或a<-3 D a ∈R 7、如右图是函数)x (f y =的导数)(x f '的图象，则)(x f 有( ) A,唯一极值点x=1 B x=0极大值点，x=2是极小值点 C x=0极小值点，x=2是极大值点 D 无极值 8、函数)(x f =2sinx-x 则有 ( )

A x=3π是极小值点,

B x=6π

是极小值点 C x=3π是极大值点, D x=6

π

是极大值点,

二．填空题 9、函数32

3922y

x x x x 的极大值为

10、函数)(x f =-x-x

2

的极大值为 11、函数y =31x 3－4x +3

1

的极小值为 三．解答题