二次型在中学数学中的应用

二次型的应用在数学的学习和应用中,二次型的理论是十分重要的.它不仅是代数中的重要理论,更是连接代数与几何的有力桥梁事实上,二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题.学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解,也可以对几何有更为形象的认识.因此,掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的.应用一 二次型理论在二次曲面分类上的应用1. 应用实例例1 判别方程124322=++z xy x 所代表的二次曲面的类型.解 方程左边为一三元二次型,不妨设22(,,)342f x y z x xy z =++,则f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002023A易求得A 的特征值为1,2,4321-===λλλ.由（8）式知所求曲面的标准方程为()()11212121221221=-+zy x 因此,该曲面是单叶双曲面,如图1.图1 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形例2 判别方程0122222=-+-++y x yz xz xy 所代表的二次曲面的类型.解 记 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A,0B ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,x U y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则原方程可写为10T T U AU B U +-=A 的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：21=λ,)11,1,1T Q =；)(12二重-=λ,)21,1,0T Q =-,)31,1,2TQ =-令()123,,0Q Q Q Q ⎫⎪⎪⎪==⎪⎪ 则有)1,1,2(--=diag AQ Q T ,(0,2,0)T B Q d =-作正交变换U QV =,其中111(,,)T V x y z =,则（9）式化为(2,1,1)10T V diag V dV --+-=即01221212121=----y z y x配方,得0)1(2212121=-+-z y x作平移变换12x x =,112+=y y ,12z z =,得02222222=--z y x这就是原曲面方程的标准方程,它表示一个顶点在原点,旋转轴为x 轴的圆锥面,如图2.图2 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形应用二 二次型理论在多元函数极值问题中的应用应用实例例1 求函数32(,)31512f x y x xy x y =+--的极值 解 (,)f x y 的几何描述如图3.图3 的几何图形),(y x f(,)f x y 在2R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yfx f即⎩⎨⎧=-=-+01260153322xy y x 得到四个驻点：（2,1）,（-2,-1）,（2,1）,（-1,-2） .进一步计算得x yfy y x f x x f 6,6,622222=∂∂=∂∂∂=∂∂即63()36x y H X y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭矩阵()1262,1612H ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵,故（2,1）是极小值点,此时极值为-28；矩阵126(2,1)612H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭是负定矩阵,故（-2,-1）是极大值点,此时极值为28；矩阵612(1,2)126H ⎛⎫= ⎪⎝⎭,612(1,2)126H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭都是不定矩阵,故（1,2）,（-1,-2）都不是极值点.例2 求函数222(,,)23264f x y z x y z x z y =+++-+的极值.解 (,,)f x y z 在3R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组000fx fy f z⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩ 即220440660x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩得到驻点为（-1,-1,1）. 进一步计算得22222,0,0f f fx x y x z∂∂∂===∂∂∂∂∂22220,4,0f f fy x y y z ∂∂∂===∂∂∂∂∂ 22220,0,6f f fz x z y z∂∂∂===∂∂∂∂∂ 即200()040006H X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而()H X 是正定的,所以(,,)f x y z 在（-1,-1,1）点取得极小值,此时极值为-6.(,,)f x y z 的几何描述如图4.图4 ),,(z y x f 的三维切面图应用三 半正定二次型在不等式证明中的应用举例该方法证明不等式的基本思路是：首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件.判断二次型(矩阵)为半正定,从而得到不等式[7].例１ 设,a b R ∈,试证222a b ab +≥.证 要证明的不等式可写成2220a b ab +-≥,所以只需证矩阵1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭半正定.由于A 的一阶、二阶主子式分别10>,0A =,所以A 半正定,从而二次型()22(,),2a f a b a b A a b ab b ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭半正定.(,)f a b 的几何描述如图5.图5 ),(b a f 的几何图形例2 已知ABC ∆的三边分别为,,a b c ,面积为S ,试证222a b c ++≥. 证 利用余弦定理及面积公式,将问题转化为2222(,)2cos sin f a b a b a b ab C C =+++--22222(cos )a b ab C C =+-22224sin()6a b ab C π=+-+其矩阵为22sin()62sin()26C A C ππ⎛⎫-+ ⎪= ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭由于A 的一阶、二阶主子式分别20>, 22664[1sin ()]4cos ()0A C C ππ=-+=+≥,所以A 半正定,从而二次型(,)f a b 半正定,即结论成立.例3（Cauchy 不等式） 设,(1,2,,)i i a b i n = 为任意实数,则))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a证 记22122112112122121)()(2)()(),(x b x x b a x a x b x a x x f ni i ni i i ni i ni i i ∑∑∑∑====++=+=因为对于任意1x ,2x ,都有0),(21≥x x f ,故关于1x ,2x 的二次型),(21x x f 是半正定的.因此,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即0121112≥∑∑∑∑====ni i ni ii ni ii ni ibb a ba a故得))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a .例4 证明2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n .证 记221211(,,,)()n nT n i i i i f x x x n x x X AX ===-=∑∑ ,其中12(,,,)T n X x x x = ,111111111n n A n ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭经过初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n A 00000110~ , 于是A 的特征值为10,,,n n n -,于是A 为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得12(,,,)0n f x x x ≥ ,即2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n应用四 二次型在统计中的应用4.1 关于统计距离许多统计问题都涉及到样本点距某中心的距离,在大多数情况下,通常的欧氏距离是不能令人信服的[8].考察p 维变量12(,,,)T n X x x x = 对应p 维空间的点),,,(21p x x x M ,假设M 的位置可以变化,为了体现各个变量在变差大小上的不同以及有时存在的相关性,需要建立统计距离.定义 4.1 设p p B ⨯为正定矩阵,称12(0,)()Td M X BX =为一种距离,对于不同的B 的选择,可得到不同的统计距离.如回归诊断中使用较多的Mahalanabis 距离,Cook 距离等.为考虑问题的方便,考察2(0,)T d M X BX =,而T X BX 为正定矩阵B 的二次型.4.2 二次型在求自由度中的应用在统计学中,自由度是指总体参数估计量中变量值独立自由变化的个数.它产生于利用样本量估计参数的时候.实际上自由度也是对随机变量的二次型（也可以称为二次统计量）而言的.∑ji j i ij x x ,α的秩的大小反映了n 个变量中能自由变动的无约束变量的多少,因此我们所说的自由度就是二次型的秩[9].例1 求统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度.解∑∑==-=-ni i n i i x n x x x 12212)(21121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i x n x∑∑==-+-=n i j i ni i x x n x n 112)1()11(AXX T其中)(21n x x x X =,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=n n nn n n n n nA 111111111111我们可以通过矩阵的初等变换求得A 的秩为1-n ,所以统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度为1-n .应用五 二次型理论在耦合谐振子问题中的应用在量子力学、固体物理、量子光学、分子光谱等领域,经常遇到一系列的耦合谐振子问题,因此,研究耦合谐振子的解也就显得尤为重要,解决此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦,可以利用二次型理论构造一幺正交变换矩阵精确求解质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的能谱[10].质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的哈密顿量为2121222212112221212222p p x x m x m m p m p H γλωω+++++=式中λ和γ分别为坐标耦合强度和动力耦合强度,上式的哈密顿量就是一个二次型.H 的矩阵为122112121202120020022002m A m m m γγωλλω⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ 关于H ,详细的分析和讨论请参阅参考文献[10].。

（ ｘ） ｄｘ） ２≤
ｂ２
∫φ（ ｘ） ｄｘ·
ｂ２
∫ψ（ ｘ） ｄｘ等 号 仅 当
φ（ ｘ）
（或
ψ（ ｘ）
）≡
ａ
ａ
ψ（ ｘ） φ（ ｘ）
常数时成立。
ｂ
２
证 明 ： 取ｆ（ｔ）＝ ∫［ ｔφ（ ｘ） ＋ψ（ ｘ） ］ ｄｘ， 则ｆ（ｔ）对 任 意 ｔ都 是 非 负
ａ
２ｂ ２
ｂ
的。即ｆ（ｔ）是半正定二次型。由ｆ（ｔ）＝ｔ ∫φ（ ｘ） ｄｘ＋２ｔ ∫φ（ ｘ） ψ（ ｘ）
所满足的条件恰为所要证明的不等式。
例２ 证明
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
ｎ Ｘｉ ≥（ Ｘｉ） 。
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
证明 令ｆ＝ｎ Ｘｉ － （ Ｘｉ）
ｉ＝１
ｉ＝１
则ｆ为二次型， 其矩阵为
&ｎ－ １ － １ Λ － １ )
Ａ＝’’－Ｍ１
ｎ－ １ Ｍ
Λ Ｏ
－１ * －１ *
(－ １ － １ Λ ｎ－ １+ｎ×ｎ
二次型是线性代数的基本内容， 其用途十分广泛， 下面我
们 介 绍 它 在 证 明 不 等 式 、化 二 次 曲 面 方 程 为 标 准 型 、求 多 元 函
数极值三个方面的应用。
一 、利 用 二 次 型 的 正 定 性 证 明 不 等 式
ｂ
例 １ 设 ａ＜ｂ，φ（ ｘ） 与 ψ（ ｘ） 在 ［ ａ，ｂ］ 上 连 续 ， 证 明 （ ∫φ（ ｘ） ψ ａ
ΘＡ的 顺 序 主 子 式 大 于 或 等 于 零
∴Ａ是 半 正 定 的
∴二 次 型 ｆ是 半 正 定 的

浅谈“二次型”在高中数学中的应用作者：吴明廉来源：《新教育时代·教师版》2017年第45期摘要：高中数学很多考察模块中都含有“二次型”，我总结了几个类型题供参考，主要有求解不等式，求参数取值范围，求数列的最大项，求函数值，恒成立问题，方程的根的个数，单调区间问题等。

关键词：“二次型” 一元二次方程二次函数纵观高中数学的教学过程，我发现在高中的解不等式、指数函数、三角函数、数列、极值、值域、单调性等多个领域都有广泛应用。

本文中所提到的是广义范围内的，包括二次函数、一元二次方程、一元二次不等式。

很多同学在高中的数学学习过程中，由于不掌握解题的关键，无法完美解决问题。

针对这类现象，我急学生所想，急学生所急，积累了几个例子，配以详细的分析解答过程，以期和大家共勉。

[例1 ]已知不等式ax+bx+c3，求不等式bx+ax+c>0的解分析：此题要结合二次函数y=ax+bx+c，（a≠0），一元二次方程ax+bx+c=0，考虑二次函数的图象，一元二次方程的根，结合韦达定理找到系数a，b，c之间的关系，在通过化简整理的过程，从而达到解出不等式bx+ax+c>0的目的。

解：由不等式ax+bx+c3，可构造相应二次函数y=ax+bx+c，借助图象可知a0可变为-5ax+ax+6a>0，由于a0，因式分解可得不等式bx+ax+c>0的解为x。

[例2 ]若关于x的方程1-2cos2x-sinx+a=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A（-∞，） B[-2，] C[0，] D[-1，]分析：此题通过三角函数公式把cosx化归为sinx形式，观察出以sinx为主要元素，构造一个以sinx为主的二次函数，通过配方法，再通过换元法，结合二次函数的图象求出二次函数的最大值、最小值。

解：因为，以sinx为主要元素配方可得a=sinx-2sin2x+1=-2（sinx-）2+用换元法令t=sinx，可得-1≤t≤1由a=f（t）=-2（t-）2+，（-1≤t≤1）图象开口向下，由t的范围可知当t=时a有最大值为，当t=-1时a有最小值为-2。

二次型化为标准型的方法及其应用二次型是高中数学中的一个重要概念，它在代数学、线性代数以及物理学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍二次型的基本概念，探讨将二次型化为标准型的方法，并讨论其在实际问题中的应用。

一、二次型的基本概念二次型是指多元二次方程的一种特殊形式。

具体而言，给定n个变量$x_1, x_2, ..., x_n$以及实数系数$a_{ij}$，则形如$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$的函数称为二次型。

二次型的矩阵形式可以表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，其中$\boldsymbol{x}$是一个$n$维列向量，$\boldsymbol{A}$是一个$n\times n$的实对称矩阵。

二、二次型的标准型将二次型化为标准型是研究二次型性质的重要一步。

标准型是指一个二次型经过线性变换后的简化形式，其中只含有平方项，不含交叉项。

二次型化为标准型的方法主要有以下两种：1. 特征值法利用矩阵的特征值和特征向量的性质，可以将二次型对应的矩阵对角化，从而达到化简的目的。

具体而言，设$\boldsymbol{A}$是一个实对称矩阵，其特征值和特征向量分别为$\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n$和$\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, ...,\boldsymbol{P}_n$，满足$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_i=\lambda_i\boldsymbol{P}_i$，则对应的二次型可以通过线性变换$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{x}$转化为标准型$Q(\boldsymbol{y})=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n ^2$。

二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。

本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。

一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。

1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。

1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。

（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。

（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。

如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。

二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。

数学中的二次型和正交矩阵的应用数学作为一门抽象的学科，涉及到各种各样的数学概念和数学工具。

其中，二次型和正交矩阵在数学中具有很重要的作用，可以应用于各种各样的问题中。

一、二次型二次型是指形如 $q(x) = x^TAx$ 的二次多项式，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 的实数矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。

二次型在各种领域中都有广泛应用，例如在物理学中，二次型被用于描述能量函数和拉格朗日方程；在经济学中，二次型被用于描述效用函数和收益函数。

在矩阵理论中，二次型的概念很重要。

它可以用来描述和分析矩阵的性质，例如矩阵的正定性、半正定性和负定性等。

当二次型 $q(x)$ 是正定的时，表示 $A$ 是正定的。

当二次型 $q(x)$ 是半正定的时，表示 $A$ 是半正定的。

当二次型 $q(x)$ 是负定的时，表示 $A$ 是负定的。

这些性质在数学和物理中都有很多应用。

二、正交矩阵正交矩阵是指一个 $n \times n$ 的实数矩阵 $Q$，满足$Q^TQ=I$，其中 $Q^T$ 表示 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 表示 $n$ 维单位矩阵。

正交矩阵被用于描述线性变换，它可以将一个向量从一个余弦系转化成另一个余弦系中。

例如，在三维空间中，我们可以将一个坐标系转换为另一个坐标系中，通过引入一个正交矩阵，从而将向量在不同坐标系中的表示互相转换。

这种转换在计算机图形学中非常重要，可以用来进行三维旋转和平移等操作。

正交矩阵还有一个非常重要的性质，就是它保持向量的长度和角度不变。

也就是说，如果一个向量在一个正交矩阵的作用下变换为另一个向量，那么这两个向量之间的长度和角度是不变的。

这个性质在很多领域中都有应用，例如在图像处理中，我们可以用正交矩阵来描述图像的旋转和平移操作，从而实现图像的变形和缩放。

三、应用实例二次型和正交矩阵在各种领域中都有广泛的应用。

例如，在量子力学中，二次型被用于描述自由粒子的能量函数和哈密顿量；在统计学中，二次型被用于描述方差和协方差矩阵；在机器学习中，正交矩阵被用于描述特征之间的相关性和协方差矩阵，从而可以进行特征选择和降维。

二次型的标准型及其应用二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。

在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。

本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。

一、二次型的定义和性质首先，我们来定义什么是二次型。

二次型是指一个关于n个变量x1, x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。

在这个定义下，二次型有以下几个性质：1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。

也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P 为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等价的。

2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。

3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。

4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。

5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。

6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。

二、二次型的标准型在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。

标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。

对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。

设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) =y^TP^TAPy = y^TDy。

标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。

三、二次型的应用二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。

a22x22 2a23x2x3 2a2nx2xn ann xn2
nn
aij xi x j
i1 j1
(aij aji ,i, j 1, 2,, n)
称为数域 P 上的一个 n 元二次型, 简称二次型. 当 aij 为实数时, 称 f 为实二次型. 当 aij 为复数时,
称 f 为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即
关于二次型的一般理论, 可参看文献[1-3，5-6], 一些专题研究可参看文献[7-9].
1 二次型及其有关定义
在这一节, 我们首先回顾《高等代数》中关于二次型的一般理论. 设 P 是一个数域, aij P , n 个文
字 x1, x2,, xn 的二次齐次多项式
f (x1, x2,, xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1nx1xn
y3 2
y4 ) ( y3
2 y4 ) 2 y4
2 y1
2 y2
2 y3
.
所含字母 y1 , y2 , y3 均在平方中出现, 属于定理(2.1.1)中的情况, 存在最小值. 对变换后的多项式配方, 得
y12
2 y22
y32 2
2 y1
2 y2
2 y3
3
( y1
1)2
2( y2
1)2 2
( y3
2
2)2
1 2
故当 y1 1, y2
1 2
,
y3
2
时,
上式有最小值 1 . 2
将 y1, y2, y3 代入 X
PY 中,
当
x1
7 2
2 y4 ,
x2
1 2
y4 ,
x3

二次型的基本概念及其在代数中的应用二次型是代数中的重要概念之一。

其定义为一个关于一组变量的二次多项式，这个多项式的系数称为二次型的系数。

在这篇文章中，我们将深入探讨二次型的基本概念以及它在代数中的应用。

一、二次型的基本概念二次型的定义我们已经了解了，接下来我们来看一些二次型的基本概念。

1. 正定、负定、不定如果一个二次型在它的所有自变量非零的取值下都大于0，那么这个二次型就是正定的；如果在所有自变量非零的取值下都小于0，那么这个二次型就是负定的；如果既有正的取值，又有负的取值，则这个二次型就是不定的。

2. 极化恒等式极化恒等式是二次型理论中的一个重要结论。

它表示任何一个二次型都可以由一个对称矩阵表示，并且对称矩阵的元素可以由二次型的系数计算得出。

同时，任何对称矩阵所表示的二次型都可以通过极化恒等式得到。

3. 规范形采用正交变换可以将任何二次型转化为一个规范形的二次型，使得这个二次型只包含主对角线上的非零项。

这个规范形可以通过矩阵的相似变换得到。

二、二次型在代数中的应用二次型作为一种数学结构，在代数中有着广泛的应用。

下面我们来分别介绍它在线性代数、微积分、数学物理中的应用。

1. 线性代数在线性代数中，二次型可以用来描述向量空间的内积关系。

比如，我们可以通过矩阵对称性证明对称矩阵所表示的二次型是正定、负定或不定的。

此外，我们还可以使用矩阵的特征值和特征向量来判断二次型的正定性。

2. 微积分在微积分中，二次型可以用来描述二元函数的曲面。

具体而言，我们可以通过二次型的规范形（主轴坐标系）来得到曲面的方程。

这个方程可以展示曲面的主要特征，比如正定二次型的曲面是一个椭球面。

3. 数学物理在数学物理学中，二次型可以用来描述物理系统的能量关系。

比如，我们可以将一个物理系统的能量构成一个二次型，然后通过对称矩阵和规范形来判断系统的状态。

此外，通过变换和对称性，我们还可以得出系统的简化模型和本征频率。

三、总结综上所述，二次型是代数中的重要概念之一。

二次型的应用与思想方法二次型在数学和工程领域具有广泛的应用，其思想方法是通过研究二次型的性质和特征来解决实际问题。

首先，二次型在数学领域中有着重要的应用。

在线性代数中，二次型是由平方项和交叉项组成的多项式，一般形式为Q(x)=x^TAX，其中x是n维向量，A是一个n×n对称矩阵。

研究二次型的主要目的是通过矩阵的特征值和特征向量，对二次型进行分析、求最值和优化等问题。

其次，二次型在工程领域中也有广泛的应用。

例如在机械工程中，二次型可以用来描述物体的动能和势能。

在电气工程中，二次型可以用来描述电磁场的能量分布和传输。

在控制工程中，二次型可以用来描述系统的能量耗散和稳定性。

在计算机科学中，二次型可以用来描述图像、音频和视频等信号的特征。

在经济学中，二次型可以用来描述供给与需求的关系和市场均衡等。

这些应用说明了二次型在工程实践中的重要性和实用性。

在解决实际问题时，二次型的思想方法是通过对二次型的各种性质和特征进行分析和运用。

首先，通过求解二次型的标准型，可以简化二次型的形式，使得问题更加易于处理。

其次，通过研究二次型矩阵的特征值和特征向量，可以得到关于二次型的重要信息，如最值、正定性、正交性等。

特别是在优化问题中，二次型的正定性是一个重要的判别条件，可以保证优化问题的解的存在性和唯一性。

最后，通过构造二次型的等价变换，可以得到等价的二次型，从而将复杂的问题转化为简单的问题。

总之，二次型在数学和工程领域中具有广泛的应用和重要性。

通过研究二次型的性质和特征，可以解决实际问题，提供了一种有效的思想方法。

这些应用和思想方法的研究，不仅推动了数学和工程领域的发展，也为实际问题的解决提供了有力的工具和理论基础。

二次型的标准形及其在几何中的应用
二次型的标准形是数学领域中的重要概念，其在几何中也有广泛的应用。

一、二次型的标准形
二次型的标准形指的是可以用下面的式子表示的函数：
f(x)＝ax2 ＋ bx ＋ c
其中a、b、c是常数，常常取a ≠ 0。

当a、b、c全都为0时，这就是最简单的函数f(x)＝0，叫做二次型的常数形式。

此外，一般地，二次型标准形也包括以下式子形式：
f(x)＝ax2＋ bx＋ c
f(x)＝x2＋ bx＋ c
f(x)＝ ax2＋ bx
f(x)＝ax2＋ c
f(x)＝ax2
二次型的标准形的概念已经出现在17世纪，得到了开普勒、斯特林等科学家的研究，并且在数学方面有着非常广泛的应用，其本质就是一个函数，可以用来求解一些数学问题。

二、二次型的标准形在几何中的应用
二次型标准形在几何中也有着广泛的应用。

如在绘图学中，可以使用二次型的标准形来描述曲线；另外在几何学中，二次曲线可以通过一些几何性质，如对称和对称轴等来刻画，从而使几何图像的描述更加清楚。

此外，在计算机图形学中，二次曲线还可以用来描述图形图像，用来识别和操作图像等，它可以帮助我们更加精细地描述图形以及形成平滑的曲线。

三、结论
从上述内容可以看出，二次型的标准形是数学领域中的重要概念，它有着广泛的应用，并且在几何学和计算机图形学中也有重要的地位。

它不仅可以帮助我们更准确地描述图形，而且可以求解一些典型的数学问题。

师学院本科毕业论文题目二次型的正定性及其应用学生王倩柳指导教师王军讲师年级2012级数学专接本专业数学与应用数学系别数学与信息科学系师学院数学与信息科学系2014 年5月重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师王军的指导下独立撰写完成的。

如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。

特此重声明。

毕业论文（设计）作者（签名）：2014 年月日目录摘要 (1)前言 (1)1 二次型的历史及概念 (2)1.1二次型的历史 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (2)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3)3 二次型的应用 (6)3.1 多元函数极值 (6)3.2 证明不等式 (12)3.3 因式分解 ............................................... (错误!未定义书签。

)3.4 二次曲线 (13)结论 (14)参考文献 (15)致 (14)二次型的正定性及其应用学生：王倩柳指导老师：王军摘要：二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。

在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。

因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。

关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrix and itsapplicationsStudent: Wang qianliuInstructor: Zhang wangjunAbstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。

二次型在中学数学中的应用摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。

二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。

二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。

在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。

此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。

关键词 二次型 标准形 对称矩阵1. 引言二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。

二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。

二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。

最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。

2. 正文二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下：文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。

定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。

定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。

或秩等于1．定理 3 对于实二次型12(,,,)'n f x x x X A =X ，其中A 是实对称的，下列条件等价：1) 12(,,,)n f x x x 是半正定的;2) 它的正惯性指数与秩相等地;3) 有可逆矩阵C ，使321'd d d AC C=,n i d i .....2,1,0,0=≥，其中;4) 有实数矩阵C ，使得'A C C =;5) A 的所有主子式皆大于或等于零(所谓主子式即行与列指标相同的子式)。

ｎ － ４ ｎ ， ． ． ａｌ ｏ ｏ ＝（ ２ｘ １ ０ ０ ‘ ＿ ４× ２ ， ｓ ＝ ４， 解 得 ａ ＝ ２， ｂ ＝ － ４， ｃ ＝ Ｏ ． ８ ２
＝
ｎ
ａ ， ｂ ， ｃ ２ ５ 间的关 系 ， 再通过化简整理， 从而达 到解 出不等式ｂ ｘ ％
ａ ｘ ＋ ｃ ＞ Ｏ 的 目的．
５ ｘ ‘ 一ｘ 一 ６ ＞０
，
例６ ： 已知 ｍ≤ｘ ‘２ ｘ ＋ ２ ， ０ ≤ｘ ≤３ 恒成立 ， 求ｍ的 取值 范 围． 分析 ： 此 题 可 看 出 题 干 中ｘ 一 ２ ｘ ＋ ２ 符合 二次 函数 的形 式 ， 提 示 我 们设 出一 个 对 应 的二 次 函数 和 一 个 常 函数 先 在 坐标 系 中 画 出 二次 函数 的 图像 ， 求出二次函数的值域 ， 再 结 合 已知 条 件 的恒 成立 的要 求 可 得 ｍ的取 值 范 围 ． 解： 构 造 函数 ｖ ＝ｘ 。２ ｘ ＋ ２ ， ０ ≤ｘ ≤３ ， ｙ ＝ ｍ， 画 出ｙ ＝ ｘ ２ ｘ ＋ ２ ， Ｏ ≤Ｘ ≤３ 的 图像 ， 可知１ ≤Ｙ ≤５ ， 画 出ｙ ＝ ｍ的 图像 ． ‘ ． ｍ≤ １ ． 例７ ： 对 于 ｍ的不 同 取 值 ， 讨论方程 ｘ ＇ － ４ １ ｘ ｌ ＋ ５ ＝ ｍ的 实 数 根
的个 数 ．
可得不等式ｂ ｘ ‘ ＋ ａ Ｘ ＋ ｅ ＞ ０ 的 解 为ｘ ＜一 １ 或ｘ ＞ ．
５
例２ ： 若方程 １ － ２ ｃ ｏ ｓ ｘ — ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ａ ＝ Ｏ 有 实 数解 ， 则 实数 ａ 的 取 值 范围是（ ）
解析 ： 此 题 可 看 出方 程 的 左 侧 ｘ ＇ － ４ １ ｘ ｌ ＋ ５ 符合“ 二次型” 的 形式 ， 构造 函数Ｙ ＝Ｘ ‘ － － ４ １ ｘ １ ＋ ５ 和ｙ ＝ ｍ， 两 个 函数 图像 的 交 点 的个 数 就 是 方 程 实 数根 的个 数 ． 先 画 出 二 次 函 数ｖ ＝ｘ ＇ － ４ ｘ ＋ ５ ， 截取 Ｙ 轴 右 侧 的 图像 ， 再 关 于ｖ 轴 对 称 画 出ｖ 轴 左侧 的 图像 ， 注 意ｘ ＝ ０ 时 ｙ ＝ ５ ． Ｒｇ ￣ ｄ ， 值ｙ ＝ １ ． 把 坐标 系 中 的 函数ｖ ＝ ｘ ‘ － ４ １ ｘ １ ＋ ５ 的图 像 看 出 背 景布 ． 接 下 来 使 用 运 动 变化 的观 点 作 为 指 导 思 想 ， 从 上 至 下 画 ｙ ＝ ｍ的 图像 ． 观察 两 个 图像 的交 点 个 数 如何 变 化 ． 先 是 有 两 个 交点 ， 再 是 有 三个 交 点 ， 再 到 有 四个 交 点 ， 再 到有两个交点 ， 最 后 到 没有 交 点 ． 综上所 述 ， 可知： （ １ ） 当 ｍ＞ ５ 或ｍ ＝ ｌ 时 两 个 图 像 有 两个交点 ， 方程有 两个解 ； （ ２ ） 当ｍ ＝ ５ 时 两 个 图像 有 三 个 交 点， 方 程有 三个解 ； （ ３ ） 当１ ＜ ｍ＜ ５ 时两 个图像 有 四个交 点 ， 方 程有 四个 解 ： （ ４ ） 当ｍ＜ ｌ 时两个图像有０ 个交点 ， 方程有Ｏ 个 解．

二次型的几何应用原理1. 简介在数学领域中，二次型是一个重要的概念。

它在几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次型的几何应用原理，并通过列举一些实际应用案例来说明其重要性。

2. 二次型的定义二次型可以定义为一个多元二次函数，可以用矩阵和向量来表示。

其一般的形式可以表示为：\[ Q(x_1, x_2, …, x_n) = x^T A x \]其中，\(Q\) 是一个实数的函数，\(x_1, x_2, …, x_n\) 是实数的变量，\(A\) 是一个 \((n \times n)\) 的实数矩阵。

这个函数的值可以表示为一个二次型。

3. 二次型的几何意义二次型的几何意义在于它可以表示一个二次曲面。

通过对二次型进行变换，我们可以得到不同形状的二次曲面，如椭圆、双曲线、抛物线等。

这些二次曲面在几何学中有着重要的应用。

4. 二次型的几何应用4.1. 椭圆的方程一个二次型可以表示一个椭圆的方程。

通过对二次型进行矩阵的特征值分解，我们可以得到椭圆的主轴和离心率等信息。

这在椭圆的几何学中非常重要。

4.2. 二次型的正定性与几何意义对于一个二次型，它的正定性与其几何意义有着密切的联系。

如果一个二次型是正定的，那么它表示的曲面是一个椭球面；如果是半正定的，那么它表示的曲面是一个椭圆柱面；如果是负定的，那么它表示的曲面是一个双曲抛物面。

4.3. 四面体体积的计算二次型还可以用于计算四面体的体积。

由于二次型表示的曲面可以包围该四面体，利用二次型的性质可以计算出该四面体的体积。

4.4. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它的基本思想是将实际观测到的数据拟合到一个二次型函数中。

通过求解最小二乘问题，可以得到最符合观测数据的二次型函数。

4.5. 机器学习中的二次型在机器学习领域，二次型在支持向量机（SVM）和核方法中有着重要的应用。

通过使用二次型函数，可以更好地对数据进行分类和回归分析。

4.6. 图像处理中的二次型在图像处理领域，二次型可以用于图像增强、图像去噪和图像分割等任务。

其 中 ａ ∈Ｒ， ， ＝１， ，， ＝（ ｌ 匏 ， ， ） ０ ｉＪ Ｌ，ｌ Ｘ ， … ，
ａ ｌ ｌ ａ１ ２
Ｌ
Ｌ
口。 １
ａ １ ２
Байду номын сангаасａ２ ２
Ａ＝ Ｍ Ｍ Ｏ Ｍ
。
Ｌ
为 ．高等代 数 的学 习对他们 将来 的 中学或 中学数 学 教 学工 作 没 有 什 么帮 助 。找 不 到二 者 的相 通 之处 ． 许多 同学在 学 习 中 ，只是 片面孤 立地 搪塞知 识 ，不 注重 相关知 识 的对照 联系 。不注重 相关 学科 的交叉
ｏ ｎｏ ｍ ｎ ｉ ｃｉ ｇ ｄｕ ｉ ｒｉｅ． ｕｌ ｅ ｆ ｅｓ ｄｎｓａｅｍ ｒ ｄｍｏｅｗ ｒ ｉｇ Ｌ ｗ ｅｕａ ｏ ｋ ｓ ｔ ｅｔ ｌａ ｆ ｒｌ ｅｔｎ ｏ ｅｅ ａ ｎｖ ｓ ｓ Ｑ ａ ｆｓｏ ｔ ｅ ｔ ｒ ｏ ａ ｒ ｏｒ ｎ ． ａ ｃｔ ｎｍ ｅ ｕ ｎ ｒ ｅ ｌ ｌ ｓｎ ｅ ｔ ｉ ｉ ｉ ｈ ｔ ｕ ｅｎ ｙ ｄ ｉ ｓｄ ｓｅｎ
第２ ８卷
第 １ 期
太 原 大 学 教 育 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＥＮ Ｆ ＤＵＣ Ｉ Ｌ Ｓ Ｉ ｒ ＡＬ Ｏ Ｅ ＡＴ ＯＮ Ｔ ＴＬ￣ Ｎ ＯＦ Ｔ Ｉ Ｕ Ａ Ｙ ＡＮ Ｉ Ｅ ￣Ｉ ＵＮ Ｖ Ｉ ＴＹ
Ｖ １ ８Ｎ ． ０． ｏ ２ Ｙ
Ｍａ．Ｏ Ｏ ｒ ｌ ２
２１ ０ ０年 ３月
＋ ２ 口 ２ ＋ ＋ 口２ Ｌ ２ ｎ ２ ＋ ＋ ｎ Ｌ 口 ｎ Ａ ，
二 次型是 高 等代数 的重要 内容之 一 ，其 理 论在 解 析 几 何 、微 积 分 、物理 及 力 学 中有 广 泛 的应 用 ．
多 项式 因式 分解 、判 断二次 曲线 的形 状及计 算椭 圆 面 积 等 内容在 中学 数 学 中 占有 非 常重 要 的 地位 ． 然 而 ，多年 的教 学获知 ，师 范类 大专 的大部 分学生 认

二次型的性质及应用二次型是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。

二次型具有多种性质和应用，下面我将从定义、性质以及应用三个方面进行详细介绍。

一、二次型的定义和性质首先，我们来定义二次型。

设有n个变量x_1, x_2, \ldots, x_n，对于任意的实数a_{ij}和b_i，称函数Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j +\sum_{i=1}^n b_ix_i为n元二次型。

其中，a_{ij}和b_i是实数。

二次型的性质如下：1. 对称性：如果a_{ij}=a_{ji}，则二次型称为对称二次型。

2. 非负定性：若二次型对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})\geq 0，则称二次型为半正定二次型。

若对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})>0，则称二次型为正定二次型。

若对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})<0，则称二次型为负定二次型。

3. 二次型的规范形：通过合适的坐标变换，可以将任意二次型化为规范形。

规范形为Q(x_1, x_2, \ldots,x_n)=\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\ldots+\lambda_nx_n^2，其中\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n为实数，且\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n满足\lambda_1\geq \lambda_2\geq \ldots \geq\lambda_n。

4. 最大值和最小值：对于二次型Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}，其中A是一个对称矩阵。

若对任意向量\mathbf{x}\neq \mathbf{0}，有Q(\mathbf{x})\leq k，其中k为常数，则称k为二次型的上界。