2020年许昌、新乡、平顶山高考数学理科三模试卷含答案解析

2020年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学三模试卷（理

科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设复数z1=﹣1+3i，z2=1+i，则=（）

A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣i D．﹣1+i

2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

3．如图所示的程序框图，当输入n=50时，输出的结果是i=（）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A．f（x）的递增区间是（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z

B．函数f（x﹣）是奇函数

C．函数f（x﹣）是偶函数

D．f（x）=cos（2x﹣）

5．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）

A．54 B．60 C．66 D．72

6．经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）

A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣1）2+（y+1）2=4 D．（x+1）2+（y﹣1）2=4

7．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）

A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7

8．设函数f（x）对x≠0的实数满足f（x）﹣2f（）=3x+2，那么f（x）dx=（）

A．﹣（+2ln2）B． +2ln2 C．﹣（+ln2）D．﹣（4+2ln2）

9．下列命题中，真命题是（）

A．∃x0∈R，使e＜x0+1成立

B．a，b，c∈R，a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=c

C．对∀x∈R，使2x＜x2成立

D．a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件

10．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上

存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）

A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0

11．在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（）

A．372 B．180 C．192 D．300

12．设x∈（1，+∞），在函数f（x）=的图象上，过点P（x，f（x））的切线在y轴上的截距为b，则b的最小值为（）

A．e B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每题5分.共20分．

13．若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是_______．

14．如图，△ABC中，=2，=m，=n，m＞0，n＞0，那么m+2n的最小值是_______．

15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，其前n项和为S n，则_______．

16．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的范围是_______．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c；

（2）若sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=0，求A．

18．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

信息

生物化学物理数学

技术

周一

周三

周五

根据上表：

（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C﹣DE﹣F的余弦值为？若存在，确定点F

的位置；若不存在，说明理由．

20．设A1（﹣2，0），A2（2，0），P是动点，且直线A1P与A2P的斜率之积等于﹣．

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）设轨迹E的左右焦点分别为F1，F2，作两条互相垂直的直线MF1和MF2与轨迹E的交点分别为A，B和C，D，求证： +恒为定值．

21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，．

（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调区间；

（2）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．

[选修4-1；几何证明选讲]

22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．

（1）证明：△ABE∽△ADC；

（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）

（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；

（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．