八年级数学下册《分式》课件 北师大版
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北师大版数学八年级下册5.1认识分式课件(共24张PPT)
3
10
3÷4= 4 , 10 ÷ 3= 3 ,
2、在代数式中，整式的除法也可以类似地表示。
试用用类似分数的形式表示下列整式的除法：
90
⑴ 90÷x 可以用式子
x 60 来表示。
60÷(x-6)可以用式子 x 6 来表示。
(2) n公顷麦田共收小麦m吨,
m
平均每公顷产量可以用式子 n 吨来表示.
从环境保护说起
③分母不能为零。
分式无意义的条件 分母等于零
三个条件 分式有意义的条件 分母不等于零
分式的值为零的条件 分子等于零 且分母不等于零
强调： 中，B 中一定要有字母
作 所以当 x≠- 时，
这些式子与分数一样都是 (即A÷B)的形式 例2：把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一起，可以调制成一种混合饮料。 我们知道：除数不能为0，那么分式中的分母应满足什么条件呢？ 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
叫做分式（fraction），其中A是分式的分
子，B是分式的分母。
1)分母中含有字母是分式的一大特点！
2)分式比分数更具有一般性，如：分数 5 仅表示
x 5÷3的商，而分式 y
则可以表示任意3两个整式
相除的商（除式不等于零），其中包括 5÷3 .
例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)1;(2)x;(3) 2xy;(4)2xy.
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱
200
形容器中,水面的高度为 33
cm;把体积为v
的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面的高度为
V
S
cm.
议一议 分式、有理式的定义
1、上面的问题出现了代数式:
分式的加减法课件数学北师大版八年级下册
x －y
x －y
4 x－y
4
.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－
b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－
1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)
－
－
－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)
－ 1；
+
a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)
( －)
－
；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .
x －y
4 x－y
4
.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－
b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－
1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)
－
－
－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)
－ 1；
+
a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)
( －)
－
；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .
分式方程课件数学北师大版八年级下册
(3)
－
1
3 x－3
x－1
解：方程两边都乘以3(x－1)，
得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，
解得x= . 当x= 时，3(x－1)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=
.
感悟新知
知2－练
4
7
6
(4) 2
＋ 2
2
x ＋2 x x －4 x －2 x
4
7
6
解：原方程可化为 x x＋2 ＋ x＋2 x－2 x x－2 .
第五章
分式与分式方程
5.4
分式方程
学习目标
1 课时讲授
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的应用
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知1－讲
知识点 1 分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .
分母中是否含有未知数是区分分式方程和
整式方程的根据 .
感悟新知
感悟新知
知3－讲
x=_________
.
6
－
若式子
的值是
－
2，则
感悟新知
知2－练
2-3. 解下列方程：
(1)
=1 －
－
；
－
解：方程两边乘(x－2)，
得2x＝x－2＋1，解得x＝－1.
当x＝－1时，x－2≠0，
∴原分式方程的解为x＝－1.
感悟新知
知2－练
(2) +
－
1
3 x－3
x－1
解：方程两边都乘以3(x－1)，
得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，
解得x= . 当x= 时，3(x－1)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=
.
感悟新知
知2－练
4
7
6
(4) 2
＋ 2
2
x ＋2 x x －4 x －2 x
4
7
6
解：原方程可化为 x x＋2 ＋ x＋2 x－2 x x－2 .
第五章
分式与分式方程
5.4
分式方程
学习目标
1 课时讲授
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的应用
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知1－讲
知识点 1 分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .
分母中是否含有未知数是区分分式方程和
整式方程的根据 .
感悟新知
感悟新知
知3－讲
x=_________
.
6
－
若式子
的值是
－
2，则
感悟新知
知2－练
2-3. 解下列方程：
(1)
=1 －
－
；
－
解：方程两边乘(x－2)，
得2x＝x－2＋1，解得x＝－1.
当x＝－1时，x－2≠0，
∴原分式方程的解为x＝－1.
感悟新知
知2－练
(2) +
北师大版八年级数学下册：分式方程课件
所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
四、随堂练习
1.勤洗手，戴口罩.小明第一次用120元买了若干包口罩,第二次用240元 在同一商家买同样的口罩,这次商家每包优惠4元,结果比上次多买了20包, 求第一次买了多少包口罩?若设第一次买了x包口罩,列方程正确的是( D.).
A. 240 120 4 x 20 x
3
x
11x 3
15
30 15 5. 11x x
3
30
三、典例分析
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3， 则今年居民
用水的价格为
1
1 3
x 元/m3.
30
根据题意，得：
1
1
x
15 x
5.
3
解得：
x3 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
整理
45 15 5.
2x x
3 1 1 2 元 / m3 23
所有房屋出租的租金第一年为9.6万元， 第二年为10.2万元.
第一年所有房屋出租的租金=9.6万元 第二年所有房屋出租的租金=10.2万元
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
找等量 关系
第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金+ 500.
第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数.
发掘隐含条件！
在“火神山”医院的建造过程中，有两个工程队共同参其中一项搬运工程，
甲队单独施工1天完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工 作了半天天，总工程全部完成. 乙单独干这项工程需要多长时间？
解:设小亮每小时各加工x个，则小明每小时各加工(x+10)个.
根据题意，得：
150 120 . x 10 x
北师大版八年级下册认识分式——分式的基本性质课件
师生互动 应用新知
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) a ac c 0
2b 2bc
分子分母都 乘c
(2) x3 x2
xy y
分子分母都除以x
(3)
x 1x 1 xyx 1
x 1 xy
分子分母都除以(x-1)
例题讲授 应用深化
例1、 化简下列分式:
（1） 25a2bc3 15ab2c
情境引入 唤醒认知
老师将一块蛋糕平均分成6份，将其中的一 份给了甲同学；老师又将同样的一块蛋糕平均分 成12份，将其中的2份给了乙同学；
请问：老师偏心了吗？给哪位同学的蛋糕多？
类比推理 探索新知
类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？ 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等
于零的整式，分式的值不变.
归纳总结 自我评价
❖ 1、本节课你学到了什么？
❖ 2、 在小组合作学习的过程中你 有什么感想？
布置作业
习题5.2 1题，2题
x2 9 x （2） 2 6x 9
分子和分母中没有公因式的分式称 为最简分式。
化简分式时，通常要使结果成为最 简分式或整式。
巩固训练 应用提升
化简下列分式：
(1)
7m2n 35mn 2
(2)
3a2 ab
9a2 b2
主体参与 视察发现
问题：当分式中有1个负号时，结果是怎样的？有2 个负号呢？有3个负号呢？
用脑思考， 用心揣摩， 用行动证实。
鲁班造锯
鲁班在这里就运用 “类比”的思想方 法，“类比”也是 数学学习中常用的
一种重要方法。
北师大版八年级数学下册
认识分式（2）
——分式的基本性质
5.2分式的乘除法 课件 30张PPT 北师大版 八年级数学下册
B．xy5
的结果是（ A ）
C．x2y5
D．x2y6
3．下列计算正确的是（ B ）
A．a÷ ＝1
C．a÷a·＝a
B． · ＝
D．
−
��
＝－a3b6
4．计算：
+
(1) · ＝ −
−
(2) −
＝
(1)
＝
＝
− 2
(2)(
)＝
(3)
· ＝
；
．
；
基础巩固
1．计算 ÷ 的结果是（
A．
B．
D）
C．2xy
D．
2．(2023·河北)化简x3·
A．xy6
·
(1)解：原式＝－ ＝－ .
·
−
(2)
· .
−+
· + −
(2)解：原式＝
− ·
+
＝ .
−
例2
计算：
(1) ÷ ；
·
(1)解：原式＝ · ＝
+
答：甲的单价是乙的单价的 倍．
−
)．
− + = ，
= −，
北师大版数学八年级下册5.1认识分式课件(共19张PPT)
1.下列代数式中： 1 x x y y;(2 )x2 3 1 ;(3 )3 x 1 2 ;(4 )x2 x x y y2;(5 )a 3 .b 1 4
中，整式有 (3)(；5)分式有 (1)（( 只2 填)(4序)号）
2.若分式 x 2 的4 值为零，则x的值等于 。 2
x 2
3.当x= 1时，分式 x无 意1 义。
所以当x =2时，分式
| x | 2 2x 4
的值是零.
对于分式 （x+3)(x-1) x21
1、当 x 1时，分式无意义;
2、当 x 时1，分式有意义;
3、当 x 时3，分式值为零。
请你写出一个分式，同时满足下列条件：
1、分式含有字母a;
2、当a=2或-2时，分式无意义；
3、当a=3时，分式的值为0。
当a 1呢？
当 a2时 , a1211 2
2a1 221
当 a1时 , a1 11 0 2a1 2(1)1
2、当a=2或-2时，分式无意义；
(1)无意义？(2) 有意义? (3)分式的值为零?
（1）由分子、分母与分数线构成；
分式无意义 1、当
时，分式无意义;
例2:当x为何值时，分式
的值为零。
分母等于零
北师大版八年级数学下册
第五章 分式与分式方程
1 、认识分式
你能判断下列哪些式子是整式吗？
x2+xyy2
xy
-3x2y3
y
5x-1
a
2
a
m
m 9a 1 3
m
答： x2+xy-y2 -3x2y3 5x-1 a
3
1、十一中到九中的距离为s千米，乘车的速度为30
北师大版八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程教学说课复习课件
②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
探究新知
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎
样的方程？
1400 1400
9
x
2.8 x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h．那么y满足怎
样的方程？
1400
1400
2.8
y
y9
探究新知
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号
1. 理解分式方程的概念和意义，掌握解分式
方程的基本思路和解法.
探究新知
知识点
分式方程的概念及列分式方程
问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比
乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车
的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
90
60
=
30 + 30 −
方程各分母的最简公分母是：(30+x)(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
x=6是原分式
90(30-x)=60(30+x)，
成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面积比原计
划多30公顷；提前4个月完成原任务.
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.
探究新知
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎
样的方程？
1400 1400
9
x
2.8 x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h．那么y满足怎
样的方程？
1400
1400
2.8
y
y9
探究新知
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号
1. 理解分式方程的概念和意义，掌握解分式
方程的基本思路和解法.
探究新知
知识点
分式方程的概念及列分式方程
问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比
乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车
的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
90
60
=
30 + 30 −
方程各分母的最简公分母是：(30+x)(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
x=6是原分式
90(30-x)=60(30+x)，
成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面积比原计
划多30公顷；提前4个月完成原任务.
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.
北师大版八年级下册数学课件5.1认识分式 (共21张PPT)
叫做分式.
分母不等于0
①分子=0 ②分母≠0 ③最后答案
a＋1 ＝ 2a - 1
-
2? (
1＋1
1)-
＝0； 1
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义.
由分母2a
－1＝0，得a＝
1. 2
所以，当a≠
1 2
时，分式 2aa＋－11有意义.
小试牛刀
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1) 8 ; x- 1
1
(2) x2 -
. 9
因为分式4xx－＋53的值为－1，所以这个分式的分子、分母互为相反 数，即(4x＋3)＋(x－5)＝0，解得 x＝25.当 x＝25时，x－5＝25－5 ＝－253≠0，故当 x＝25时，分式4xx－＋53的值为－1.
今天我们学了什么？
分式的定义 分式有意义 分式的值为0
整式A、B相除可写 为 的形式，若分 母中含有字母，那么
－3a2，x＋2 2
，a＋2b π＋2
，3.
a＋1 例2 (1)当a＝1，2，－1时，分别求分式 2a－1 的值.
a＋1 (2)当a取何值时，分式 2a－1 有意义？
解：
(1)当a＝1时，
a＋1 ＝ 2a - 1
1＋1 2? 1
＝2； 1
当a＝2时，2aa＋- 11＝
2＋1 2? 2
＝1； 1
当a＝－1时，
8．已知分式2xx＋－nm，当 x＝2 时，分式的值为 0；当 x＝1 时，分
式无意义，则 m＋n＝______3__．
由题意得
4－m＝0， 2＋n≠0， 解得 1＋n ＝0，
m＝4， n＝－1.
故 m＋n＝4＋(－1)＝3.
分母不等于0
①分子=0 ②分母≠0 ③最后答案
a＋1 ＝ 2a - 1
-
2? (
1＋1
1)-
＝0； 1
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义.
由分母2a
－1＝0，得a＝
1. 2
所以，当a≠
1 2
时，分式 2aa＋－11有意义.
小试牛刀
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1) 8 ; x- 1
1
(2) x2 -
. 9
因为分式4xx－＋53的值为－1，所以这个分式的分子、分母互为相反 数，即(4x＋3)＋(x－5)＝0，解得 x＝25.当 x＝25时，x－5＝25－5 ＝－253≠0，故当 x＝25时，分式4xx－＋53的值为－1.
今天我们学了什么？
分式的定义 分式有意义 分式的值为0
整式A、B相除可写 为 的形式，若分 母中含有字母，那么
－3a2，x＋2 2
，a＋2b π＋2
，3.
a＋1 例2 (1)当a＝1，2，－1时，分别求分式 2a－1 的值.
a＋1 (2)当a取何值时，分式 2a－1 有意义？
解：
(1)当a＝1时，
a＋1 ＝ 2a - 1
1＋1 2? 1
＝2； 1
当a＝2时，2aa＋- 11＝
2＋1 2? 2
＝1； 1
当a＝－1时，
8．已知分式2xx＋－nm，当 x＝2 时，分式的值为 0；当 x＝1 时，分
式无意义，则 m＋n＝______3__．
由题意得
4－m＝0， 2＋n≠0， 解得 1＋n ＝0，
m＝4， n＝－1.
故 m＋n＝4＋(－1)＝3.
北师大版八年级数学下册同步精品5.2 分式的乘除法(课件)
例4.
2
6
计算:(1)3xy2÷ ;
解:(1)原式=3xy · 2=
2
6
−1
2 −1
(2) 2
÷
.
−4+4 2 −4
2
2·
1 2
= x.
2
6
2
-1
(2)原式= 2-4 +4·
2 -4
( -1)( 2 -4)
( -1)( +2)( -2)
+2
2 -1=(a2 -4 +4)( 2 -1)=( -2)2( -1)( +1)=( -2)( +1).
归纳总结
分式的除法运算
(1)除号变乘号（把除式的分子和分母位置颠倒过来）
(2)① 分子分母是单项式，能约分和约分；
②分子或分母是多项式，能分解因式的先分解因式；
(3)运用分式乘法法则计算，结果应化为最简分式或整式.
探究新知
核心知识点二： 分式的乘方
a n an
（ b） 与
有什么关系？与大家交流一下.
a c ac
A.
b d bd
x y yx
C.
x+ y y x
D )
2a 2
4a 2
B.(
) 2
a b
a b2
m 4 n4
m
D. 5 ． 3
n m
n
随堂练习
6.计算.
3a 2y2
（1） 2
4y 3a
a+2
1
（2）
2
a-2 a 2a
3a 2y2
解： 2
4y 3a
14
2
6
计算:(1)3xy2÷ ;
解:(1)原式=3xy · 2=
2
6
−1
2 −1
(2) 2
÷
.
−4+4 2 −4
2
2·
1 2
= x.
2
6
2
-1
(2)原式= 2-4 +4·
2 -4
( -1)( 2 -4)
( -1)( +2)( -2)
+2
2 -1=(a2 -4 +4)( 2 -1)=( -2)2( -1)( +1)=( -2)( +1).
归纳总结
分式的除法运算
(1)除号变乘号（把除式的分子和分母位置颠倒过来）
(2)① 分子分母是单项式，能约分和约分；
②分子或分母是多项式，能分解因式的先分解因式；
(3)运用分式乘法法则计算，结果应化为最简分式或整式.
探究新知
核心知识点二： 分式的乘方
a n an
（ b） 与
有什么关系？与大家交流一下.
a c ac
A.
b d bd
x y yx
C.
x+ y y x
D )
2a 2
4a 2
B.(
) 2
a b
a b2
m 4 n4
m
D. 5 ． 3
n m
n
随堂练习
6.计算.
3a 2y2
（1） 2
4y 3a
a+2
1
（2）
2
a-2 a 2a
3a 2y2
解： 2
4y 3a
14
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值为零的条件：A=0，且B≠0
基本性质
约分和通分
分式
运算
乘除
法则：分子分母各自乘，颠倒除式 变乘法。
步骤：乘、分、约
法则
加减 注意：运算结果要化简
解法：化、解、验、答
分式方程
应用：找、设、列、解、验、答
【约分和通分】
系数是最大公约数，相同字
公因式：母、多项式，次数都取最低
约分
次
步骤：分、找、约
通分
则 分 式 的 值
（A）
A．扩大3倍 B．扩大9倍C．扩大4倍y) x2 xy
(x y )
xy
解下列方程：
1、 5 7 x x2
4
x1
2、
x2
1 1
x
1
3、 x21x31x261
【教学反思】
• 1、学生对三个分式的乘除有点吃力。应 加强练习。
• 2、增根问题是难点。 • 3、应用题是重点、难点。 • 4、课上要讲学生不会的题型，提高课堂
效益。
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第三章 分式
回顾与思考
【教学目标】
• 1、让学生自己归纳本章知识与方法，形 成 自己的知识体系。
• 2、查缺补漏。 • 3、能熟练、合理地进行分式四则运算。 • 4、正确熟练地解分式方程。 • 5、会分析题意，列出分式方程解应用题。
知识结构
定义：BA (A,B都是整式， B≠0)
概念 有意义的条件：B≠0
最简公分母：
系数是最小公倍数， 所有字母、多项式，
次数都取最高次
步骤：分、找、通
【典型例题】
二、分式的基本性质
1.若把分式 2 x 的y x 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
A．扩大2倍 B不变 C缩小2倍 D．缩小2倍
2.若 把 分 式xy 中 的 x和 y的 值 都 扩 大 3倍 ， xy