1、有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止
自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）设场点到球心距离为r 。以球心为中心，以r 为半径作一球面作为高斯面。
由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r 处场强大小相同。
当1r r <时，01=D ， 01=E 。
当21r r r <<时， f r r D r ρππ)(3
4
431322
-=
2
3
1323)(r r r D f
ρ-=∴ ， 231323)(r r r E f ερ-= ，
向量式为 r E 3
3
1323)(r
r r f
ερ-= 当2r r >时， f r r D r ρππ)(3
44313232
-=
2313233)(r r r D f ρ-=∴ 2
0313233)(r
r r E f
ερ-= 向量式为 r E 3
03
13233)(r
r r f
ερ-=
（2）当21r r r <<时，
)()(20
2202D D E D P ε
εερ-
⋅-∇=-⋅-∇=⋅-∇=p f ρε
ε
εε)1()1(020--=⋅∇-
-=D 当1r r =时，
0)1()()(1
2020212=--=-
⋅-=-⋅-==r r p D D D n P P n ε
ε
εεσ
当2r r =时，
f r r p r r r ρεεε
ε
σ2
2
3
13202
023)1()1(2
--=-=⋅==D P n 2、内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流f J ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。
解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径
为r 。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 1r r < 时，由安培环路定理得：0,011==B H
当 21r r r << 时，由环路定理得：)(22
122r r J rH f -=ππ
所以 r r r J H f 2)
(2122-=
， f J r r r B 2)
(2122-=
μ
向量式为 r J e B ⨯-=-=
f f r r r J r r r 2
21221222)
(ˆ2)(μμθ 当 2r r > 时，)(22
1223r r J rH f -=ππ
所以 r
r r J H f 2)
(21223-=
， f J r
r r B 2)
(212203-=
μ
向量式为 r J e
B ⨯-=-=
f f r
r r J r
r r 2
212202122032)
(ˆ2)
(μμθ
（2）当 21r r r << 时，磁化强度为
r J H M ⨯--=-=f r
r r 2
2120202)()1()1(μμ
μμ 所以 f M J H H M J )1()1(])1[(0
2020-=⨯∇-=-⨯∇=⨯∇=μμ
μμμμ 在 1r r = 处，磁化面电流密度为
⎰
=⋅=
0d 21
1l M r M πα 在 2r r = 处，磁化面电流密度为
⎰---=⋅-=f M
J r r r r 222122022)()1(d 210μμ
παl M 向量式为 f M
r r r J α2
2
212202)()1(---=μμ 3、在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变数法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q. 解答：
（1）当导体上接有电池，与地保持电势差0Φ时。以地为电势零点。本问题的定解条件有
0φφ=内 )(0R R =
02
＝外ϕ∇ )0R R >（
且 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=→∞→00
00
|cos |φϕϕθϕR R R R E 外外
其中0ϕ是未置入导体球前坐标原点的电势. 根据题意设
∑∞
=++
=0
1
)(cos )(n n n n
n n P R b R a θϕ外 根据边界条件可求得
00ϕ=a ， 01E a -=， )1(0>=n a n ， 0000)(R b ϕφ-=， 2001R E b =， )1(0>=n b n
所以有
)
(cos )(cos 023
000000R R R R E R R R E >+-+-=θ
ϕφθϕϕ外
（2）当导体球上带总电荷Q 时，定解问题存在的条件：
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎧==∂∂-+-==>=∇<=∇⎰
→∞→→)
(|cos ||)(0)(000000
02
020R R Q ds R R E R R R R R R R R 外外内外内外内＝有限φεφφϕθφφφφ 根据边界条件设
∑=0
)(cos n n n n P R a θφ＝内
∑
=++-=0
1
00)(cos cos n n n n
P R b R E θθϕφ外 根据边界条件可以求得
)R (R 4000
0<-=
ϕπεφR Q 内
)R (R cos cos 4002
30
00>-+=θθπεφR E R
R E R Q
外
5、真空中有电场强度为0E 的均匀电场，将半径为R 的一个均匀介质球放到这个电场中。已知球的电容率为ε，求各处的电场强度和极化电荷。
解：先求电势ϕ，然后由电势求得电场强度E ，再求极化电荷。
由于没有自由电荷，电势ϕ满足拉普拉斯方程。以球心为原点，0E 方向为极轴方向，取球坐标。根据对称性可知，电势ϕ只是r 和θ的函数。因为所考虑的区域包括极轴（0θθπ==和）在内，电势ϕ在极轴上应该是有限值，所以所求电势ϕ可写为如下形式
10
(,)()(cos )l l
l l l n B r A r P r
ϕθθ∞
+==+
∑，剩下的问题就是由边界条件定出各个系数 由于球内外是两个不同的区域，电势ϕ的表达式不同，令球内的电势为i ϕ，球外的电势为0ϕ，再由边界条件分别定出他们的系数。 （1）无穷远处的边界条件
在无穷远处，电场应该趋向于原来的电场0E ，即0
0cos r E r ϕθ→∞
=-
