高一数学试卷带答案解析

2023-2024学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |x ≥3}，则A ∩B ＝（ ） A ．[2，4）B ．[3，+∞）C ．[3，4）D ．[2，3）2．已知sin(π+α)=35，则sin α＝（ ）A ．45B ．35C ．−45D ．−353．已知函数f(x)={3x −1，x ≤1，12f(x −1)，x ＞1，则f （3）＝（ ）A ．14B ．12C ．2D ．44．已知a ，b ，m ∈（0，+∞），则“a ＞b ”是“b+m a+m ＞ba”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知α，β都是锐角，cos(α+β)=2√55，sinα=√1010，则cos β＝（ ） A ．9√210B ．7√210C ．√22D ．√2106．设函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，则下列函数是奇函数的是（ ） A ．f （x +1）+2B ．f （x ﹣1）+2C ．f （x ﹣1）﹣2D ．f （x +1）﹣27．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，A ，B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且|OB |＝3|OA |，则（ ）A ．f(6)=√22B ．f （1）+f （9）＝0C ．f （x ）在（3，5）上单调递减D ．函数f （x ）的图象关于点(−52，0)中心对称8．已知函数f （x ）＝e x +x ，g （x ）＝lnx +x ，若f （x 1）＝g （x 2）＝t ，则x 1+x 2+2−t 2的最大值为（ ） A ．94B ．2C ．2e−12D ．3e−1e 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。

2024-2025学年第一学期福建省部分优质高中期中联考高一数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．答题时，选择题部分用2B 铅笔填涂.非选择题部分用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上答题无效.3．考试结束，考生上交答题卡，试题卷带回自行保管.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|32A x x =∈-<<Z ，{}|12B x x =-<，则A B = （ ）A. {}2,0,1-B. {}2,1,0--C. {}0 D. {}0,1【答案】D 【解析】【分析】求得{}2,1,0,1A =--，将A 中的元素代入|1|2x -<中，可求结A B ⋂.【详解】由{}{}|322,1,0,1A x x =∈-<<=--Z ，将集合A 中的元素代入|1|2x -<中，可得{}0,1A B = .故选：D2. 设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（ ）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简命题q ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】解不等式得：13x -<<，即:13q x -<<，显然{|13}x x -<<￿{|3}x x <，所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：C3. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（ ）A. A B C ⋂⋂B. ()I A C B⋂⋂ðC. ()I A B C ⋂⋂ð D. ()I B C A⋂⋂ð【答案】B 【解析】【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.【详解】解：如图所示，A. A B C ⋂⋂对应的是区域1；B. ()I A C B ⋂⋂ð对应的是区域2；C. ()I A B C ⋂⋂ð对应的是区域3； D. ()I B C A ⋂⋂ð对应的是区域4.故选：B4. 若命题“[]1,3a ∃∈，()2220ax a x +-->”是假命题，则x 不能等于（ ）A. 1-B. 0C. 0.5D. 1【答案】D 【解析】【分析】转化为命题的否定“[]1,3a ∀∈，()2220ax a x +--≤”为真命题，用关于a 的一次函数来考虑，即可求解.【详解】根据题意，知原命题的否定“[]1,3a ∀∈，()2220ax a x +--≤”为真命题.令2()()22f a x x a x =+--，故22(1)20(3)3()220f x x f x x x ⎧=--≤⎨=+--≤⎩，解得213x -≤≤.故选：D.5. 已知()12,1,1.x x f x x -⎧<=≥若()1f a =，则实数a 值为（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 2【答案】B 【解析】【分析】分1a <和1a ≥，求解()1f a =，即可得出答案.【详解】当1a <时，()121a f a -==，则10a -=，解得：1a =（舍去）；当1a ≥时，()1f a ==2=，解得：4a =.故选：B .6. 函数()1f x x x=-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用单调性、最值结合图象可得答案.【详解】当0x >时，()1f x x x=-，为减函数，排除AD ；的当0x <时，()12f x x x =-≥=-，当且仅当=1x -时，()f x 取得最小值2，故排除C.B 选项的图象符合题意.故选：B .7. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ）A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得.【详解】因为f (1+x )=f (1―x )，所以()()()()1111f x f x ++=-+，即f (2+x )=f (―x )，又f (―x )=―f (x )，函数()f x 的定义域为R ，所以，()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，()()2f x f x =-+，所以，()()24f x f x +=-+，故()()()24f x f x f x =-+=+，所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以()()()20245064000f f f =⨯+==.故选：A8. 已知正数a ，b 满足3a b +=，若55a b ab λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A. 81,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B. 27,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 81,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D. 27,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】先参变分离得44a b b a λ+≥，再利用13a b +=，与44a b b a+相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.【详解】依题意，44a b b aλ+≥．又3a b +=，而44554444()33a b a b a b a b b a a b b a b a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭+==()222222224422222333a b a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭≥==2224222()27=3124a b ab a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭≥=，当且仅当a b =，即32a =，32b =时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以λ的取值范围为27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9. 下列命题为真命题的有（ ）A. 若0a b c >>>，则b b ca a c+<+B. 不等式()22122x y x y ++>+-对任意的x ，y ∈R 恒成立C. 已知实数a ，b 满足1a b +=，则114a b+≥D. 若关于x 的不等式220x mx ++>的解集是()(),1,n -∞+∞ ，则1m n +=-【答案】ABD 【解析】【分析】对AB 利用作差法即可判断；对C 举反例即可；对D ，利用一元二次方程的根与系数关系即可判断.【详解】A 选项中，()()()0()()b b c b a c a b c c b a a a c a a c a a c ++-+--==<+++，所以b b c a a c+<+，即A 选项正确；B 选项中，由222212(2)(1)(1)30x y x y x y ++-+-=-+-+>，知2212(2)x y x y ++>+-对任意的,x y ∈R 恒成立，所以B 选项正确；C 选项中，若1,2a b =-=，代入111122+=--，则结论不成立，所以C 选项错误；D 选项中，知方程220x mx ++=有两个根1和n ，所以280m ∆=->，且1,2n m n +=-=，所以3,2m n =-=符合要求，故D 选项正确.故选：ABD.10. 已知函数()1xf x x =-，则（ ）A. 3324f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()f x 为奇函数C. ()f x 在区间11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D. 集合(),4ax f x a x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭的元素个数为4【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 直接计算即可，对于B 验证()()f x f x -=-，对于C 先证明10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，再根据奇偶性得到 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调性，对于D 把问题转化方程20x a x a -+=解的个数的判断.【详解】对A ，33324f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ，()f x 的定义域为1x ≠±，关于原点对称，()()11x xf x f x x x ---===----，所以()f x 为奇函数，故B 正确；对C ，当102x <<时，()1111111x x f x x x x -+===+---，10x -<，根据1y x =-单调递增，所以()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，又因为()f x 是奇函数，所以()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，且()00f =，所以()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，(),4af x a x=>得：2201x a x a x a x x =⇒-+=-，当0x ≥时，方程20x a x a -+=可化为20x ax a -+=，因为4a >，此时()2440a a a a ∆=-=->，方程的两根满足12120,0x x a x x a +=>=>，可以说明12,0x x >，所以当0x ≥时，20x a x a -+=有两个不相等正根，当0x <时，方程20x a x a -+=可化为20x ax a ++=，因为4a >，此时24(4)0a a a a ∆=-=->，方程的两根满足34340,0x x a x x a +=-<=>，可以说明34,0x x <，所以当0x <时，20x a x a -+=有两个不相等的负根，综上所述，方程20x a x a -+=有四个不相等的实数解，即集合有4个元素，故D 正确.故选：ABD11. 已知函数(),y f x x D =∈．若对于给定的非零常数m ，存在非零常数T ，使得()()f x T m f x +=⋅对于x D ∈恒成立，则称函数()y f x =是D 上的“m 级类周期函数”，周期为T ，则下列命题正确的是（ ）A. 函数()2x f x =是R 上的“2级类周期函数”，周期为1B. 函数2()f x x =不可能是“m 级类周期函数”C. 已知函数()y f x =是[0,)+∞上周期为1的“m 级类周期函数”，当[0,1)x ∈时，2()f x x =-+，若()f x 在[0,)+∞上单调递减，则m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 若函数()y f x =是R 上周期为2的“2级类周期函数”，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，对任意(,]x n ∈-∞，都有()32f x ≤，则n 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据“m 级类周期函数”的定义即可判断A ；假设函数2()f x x =是“m 级类周期函数”，再根据定义即可判断B ；由题意当[)*,1,N x k k k ∈+∈时，()()kf x m f x k =-，则()()112k k m k k m k k --++≥-++，进而可判断C ；根据题意可得()()22f x f x +=，再结合当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，分析即可判断D .【详解】对于A ，对于函数()2x f x =，因为1222x x +=⨯，因为函数()2x f x =是R 上的“2级类周期函数”，所以函数()2x f x =是R 上的“2级类周期函数”，周期为1，故A 正确；对于B ，假设函数2()f x x =是“m 级类周期函数”，则存在非零常数T ，使得()()f x T m f x +=⋅成立，即()22x T mx +=，整理得2222x Tx T mx ++=，所以21200mT T =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得10m T =⎧⎨=⎩，又因为0T ≠，所以函数2()f x x =不可能是“m 级类周期函数”，故B 正确；对于C ，因为函数()y f x =是[0,)+∞上周期为1的“m 级类周期函数”，所以()()1f x mf x +=，因为当[0,1)x ∈时，2()f x x =-+，所以()()()()2102,212f mf m f mf m ====，所以当[)*,1,N x k k k ∈+∈时，()()()()()21121k k f x mf x m f x m f x k m f x k -=-=-==-+=- ，而()()()()1111,2k k k k mf x k m x k m f x k m x k ---+=-++-=-++，因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以()()112k k mk k m k k --++≥-++，解得12m ≤，若0m <，()()2120,220f m f m =<=>，与题意矛盾，所以m 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎝⎦，故C 错误；对于D ，因为函数()y f x =是R 上周期为2的“2级类周期函数”，所以()()22f x f x +=，因为当2(]0,x ∈时，[]()(2)0,1f x x x =-∈，所以当0x ≤时，()1f x ≤，故当2x ≤时，3()2f x ≤恒成立，当(]2,4x ∈时，(]20,2x -∈，则()()()()()()()2222222224232f x f x x x x x x =-=---=--=--+⎡⎤⎣⎦，此时，令()()232322f x x =--+≤，解得522x <≤或742x ≤≤，当5722x <<时，()32f x >，综上所述，对任意(,]x n ∈-∞，都有3()2f x ≤，则n 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 不等式13|12|x -≥的解集为________．【答案】1112,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】将13|12|x -≥，转化为不等式组112,3120,x x ⎧-≤⎪⎨⎪-≠⎩求解即可.【详解】因为13|12|x -≥，所以112,3120,x x ⎧-≤⎪⎨⎪-≠⎩所以1121,331.2x x ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即12,331,2x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩所以不等式的解集为1112,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ ．故答案为：1112,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．13.函数y =的单调减区间为______；【答案】(],5-∞-【解析】【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令245u x x =+-，则y =可以看作是由y =与245u x x =+-复合而成的函数.令2450u x x =+-≥，得5x ≤-或1x ≥.易知245u x x =+-在(],5-∞-上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，而y =在[)0,+∞上是增函数，所以y =的单调递减区间为(],5-∞-.故答案为：(],5-∞-.14. 已知函数()22f x x ax =-，()3g x ax a =+-，R a ∈.若对R x ∀∈，()0f x >或()0g x >，则a 的取值范围为_____________．【答案】(),3-∞【解析】【分析】利用或命题的真假，结合一次函数、二次函数的性质分类讨论即可.【详解】若0a =，则()()2,3f x x g x ==，显然符合题意；若0a >，则()0f x ≤时有[]0,2x a ∈，而()g x 为单调递增函数，要满足题意则需()()20302230g a g a a a ⎧=->⎪⎨=-+>⎪⎩，解之得()0,3a ∈；若0a <，则()0f x ≤时有[]2,0x a ∈，而()g x 单调递减函数，要满足题意则需()()20302230g a g a a a ⎧=->⎪⎨=-+>⎪⎩，显然恒成立；综上所述：(),3a ∈-∞.故答案为：(),3-∞【点睛】思路点睛：将或命题的真即()0f x >与()0g x >有一个真即可，利用一次函数与二次函数的性质分类讨论即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设全集为R ，集合{}36A x x =≤<，{}29B x x =<<．（1）分别求A B ⋂，R ()B A ð；（2）已知{}1C x a x a =<<+，若C B B = ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|36}A B x x =≤< ，R ()B A = ð{|2x x ≤或36x <≤或9}x ≥；（2）28a ≤≤.【解析】【分析】（1）应用集合交并补运算求集合；（2）根据题设有C B ⊆且集合C 非空，进而列不等式组求参数范围.【小问1详解】由题设{|36}A B x x =≤< ，且R {|2B x x =≤ð或9}x ≥，为所以R ()B A = ð{|2x x ≤或36x <≤或9}x ≥.【小问2详解】由题意C B ⊆，显然集合C 非空，所以219a a ≥⎧⎨+≤⎩，可得28a ≤≤.16. 设函数()21x f x x =+．（1）判断函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，并用定义证明结论；（2）若1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()()()22f x g x f x =的值域．【答案】（1）函数()f x 在[]1,1-上单调递增；证明见解析 （2）50,241⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）通过定义法即可判断；（2）由()422244212()11211x x x g x f x x x ++==+=+++，由复合函数的单调性知函数()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，即可求解．【小问1详解】函数()f x 在[]1,1-上单调递增；证明：任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为1211x x -£<£，所以12120,10x x x x -<->，所以()()120f x f x -<，得()()12f x f x <，所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增；【小问2详解】解：因为()21x f x x =+，则()2241x f x x =+，()224221x f x x x ⎡⎤=⎣⎦++，所以()422244212()11211x x x g x f x x x ++==+=+++，由（1）证明过程知，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，所以由复合函数的单调性可得，函数()2f x 在[0,1]上单调递增，在[1,)+∞上单调递减，所以当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，所以()max ()112(1)2g x g f ==+=，又()11255012(312(9)241741g f g f ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭，，显然25501741>，故m i n 50()41g x =，所以函数()g x 的值域为：50,241⎡⎤⎢⎥⎣⎦17. 对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本()C x 万元，已知()249,0501440051870,5010021ax x x C x x x x ⎧+<⎪=⎨+-<⎪+⎩……，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润=销售额-成本）为()L x 万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. 1.41)≈（1）年利润()L x （单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？的【答案】（1）21250,0504()14400620,5010021x x x L x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪--+<⎪+⎩…… （2）当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.【解析】【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解；（2）当(0x ∈，50]时，求得max y 万元；当(50x ∈，100]时，结合基本不等式，即可求.【小问1详解】当基底产出该中药材40吨时，年成本为16004940250a +⨯+万元，利润为5040(16004940250)190a ⨯-+⨯+=，解得14a =-，则21250,0504()14400620,5010021x x x L x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪--+<⎪+⎩…….【小问2详解】当(0x ∈，50]，()212504L x x x =+-，对称轴为20x =-<，则函数在(0，50]上单调递增，故当50x =时，max 425y =，当(50x ∈，100]时，()14400144002114400620620620.5620.5451.32121221x L x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=--+=-++=-+-≈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭…当且仅当2114400221x x +=+，即184.12x =-≈时取等号，因为425451.3<，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.18. 若实数,,x y m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m .（1）若2比34x -远离1，求x 的取值范围；（2）设21x y x +=+，其中)x ∈+∞U ，判断：x 与y？并说明理由.（3）若2x y +=，试问：y 与22x y +哪一个更远离12？并说明理由.【答案】（1）423x <<；（2）x 比y（3）22x y +比y 更远离12，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意得21341x ->--，解不等式可求得结果；（2）若x 比y ，则x -（3）222()22x y x y ++≥=，可得22221122x y x y +-=+-，然后分类判断12y -与2212x y +-的大小关系即可.【小问1详解】根据题意可得：21341x ->--，所以351x -<，解得423x <<；【小问2详解】x比y ,理由如下：要证x 比y ,只要证x -即证x因为)x ∈+∞U ，所以0x ，所以只要证1，即证11x +>-，因为)x ∈+∞U ，所以11)1,)x +∈+∞U ，所以111x +>>，所以x 比y ；【小问3详解】因为()22222x y x y ++≥=，当且仅当1x y ==时等号成立，所以22221122x y x y +-=+-，从而222211112222y x y y x y ⎛⎫--+-=--+- ⎪⎝⎭，①12y ≥，22222211112222y x y y x y y x y ⎛⎫--+-=--+-=-- ⎪⎝⎭()22225722542048y y y y y y ⎛⎫=---=-+-=---< ⎪⎝⎭，即221122y x y -<+-； ②12y <时，222222*********y x y y x y y x y ⎛⎫⎛⎫--+-=--+-=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222315212332048y y y y y y ⎛⎫=----+=-+-=---< ⎪⎝⎭，即221122y x y -<+-，综上：221122y x y -<+-，即22x y +比y 更远离12.【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对x 比y 远离m 的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题.19. 已知函数()f x ，若存在非零常数k ，对于任意实数x ，都有()()f x k f x x ++=成立，则称函数()f x 是“k M 类函数”．（1）若函数()f x ax b =+是“1M 类函数”，求实数,a b 的值；（2）若函数()g x 是“2M 类函数”，且当[]0,2x ∈时，()(2)=-g x x x ，求函数()g x 在[]2,6x ∈时的最大值和最小值；（3）已知函数()f x “k M 类函数”，是否存在一次函数()h x Ax B =+（常数,A B R ∈，0A ≠），使得(2)()F x k F x +=，其中()()()F x f x h x =+，说明理由．【答案】（1）11,24a b ==- （2）max ()3g x =，min 1()4g x =-. 是（3）存在1()2h x x B =-+，使得函数()()()F x f x h x =+.【解析】【分析】（1）由题知，对于任意实数x ，有(21)20a x a b -++=成立，解方程组21020a a b -=⎧⎨+=⎩即得解；（2）求出2()56g x x x =-+，[2,4]x ∈，2()1022g x x x =-+-，[4,6]x ∈，再利用二次函数求得最值，即得解；（3）求出()()(21)2F x k F x A x Ak B ++=+++，得到12A =-时，()(2)F x F x k =+，即得解.【小问1详解】由题得，对于任意实数x ，都有(1)()f x f x x ++=，即(1)a x b ax b x ++++=，所以ax a b ax b x ++++=，即(21)20a x a b -++=，所以21020a a b -=⎧⎨+=⎩.所以11,24a b ==-【小问2详解】由题得，对于任意实数x ，都有(2)()g x g x x ++=，(2)(2)g x x x x ∴++-=，2(2)g x x x ∴+=-，因为[0,2]x ∈，所以2[2,4]x +∈，设2[2,4]t x t =+∈，，所以2x t =-，所以22()(2)(2)56g t t t t t =---=-+，[2,4]t ∈，所以2()56g x x x =-+，[2,4]x ∈，对称轴为52x =，()g x 在52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；同理2()1022g x x x =-+-，[4,6]x ∈，对称轴为5x =，()g x 在[]4,5x ∈上单调递增，在[]5,6x ∈上单调递减；由题得51(2)0,,(5)3,(6)224g g g g ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，所以max ()3g x =，min 1()4g x =-.小问3详解】由题得()()f x k f x x ++=，因为()()()()F x f x h x f x Ax B =+=++，所以()()F x k f x k Ax Ak B +=++++，所以()()()()22F x k F x f x k f x Ax Ak B ++=+++++，所以()()22F x k F x x Ax Ak B ++=+++，所以()()(21)2F x k F x A x Ak B ++=+++，令12A =-得，1()()22F x k F x k B ++=-+，1()(2)22F x k F x k k B +++=-+，所以()(2)F x F x k =+，所以()F x 是周期函数.所以12A =-，所以1()2h x x B =-+.所以存在1()2h x x B =-+，使得函数()()()F x f x h x =+.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“k M 类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题.【。

2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，与是同一函数的是()A. B. C. D.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.4.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.若，，则的值为()A. B. C. D.6.下列函数中，满足对任意的，，都有的是()A. B. C. D.7.已知，，，则A. B. C. D.8.“角与的终边关于直线对称”是“”的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间单位：年之间的关系为其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为参考数据：，A.20B.16C.12D.710.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为()A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.函数的定义域为__________.12.设，则的最小值为__________.13.已知，若，则__________.14.在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为__________.15.已知函数，则_______________用“>”“<”“=”填空；的零点为__________.16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数，给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

高一数学试题及答案解析高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的答案填在指定位置上。

）1.XXXα、β满足−90°<α<β<90°，则是（）。

A。

第一象限角B。

第二象限角C。

第三象限角D。

第四象限角2.若点P(3,y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα=1/2，则tanα=（）。

A。

−1B。

−√3C。

√3D。

13.设f(x)=cos(30°x)，g(x)=2cos2x−1，且f(30°)=3/4，则g(x)可以是（）。

A。

cosxB。

sinxC。

2cosxD。

2sinx4.满足tanα≥cotα的一个取值区间为（）。

A。

(0,π)B。

[0,π/4)C。

(π/4,π/2)D。

[π/2,π)5.已知sinx=−√2/2，则用反正弦表示出区间[XXXπ,−π/2]中的角x为（）。

A。

arcsin(−√2/2)B。

−π+arcsin(−√2/2)C。

−arcsin(−√2/2)D。

π+arcsin(−√2/2)6.设|α|<π/4，则下列不等式中一定成立的是（）。

A。

sin2α>sinαB。

cos2α<cosαC。

tan2α>tanαD。

cot2α<cotα7.△ABC中，若cotAcotB>1，则△ABC一定是（）。

A。

钝角三角形B。

直角三角形C。

锐角三角形D。

以上均有可能8.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t的函数：IA=Isinωt，IB=Isin(ωt+2π/3)，IC=Isin(ωt+4π/3)，且IA+IB+IC=0，π/3≤ϕ<2π/3，则ϕ=（）。

A。

πB。

高一年级数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1,0,1,2,3U =-，{}13,N A x x x =-<<Î，则U A =ð（ ）A. {}1,3- B. {}1,2C. {}1,0,3- D. {}0,1,2【答案】A【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}13,N 0,1,2A x x x =-<<Î=，{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð.故选：A.2. 若π1cos 22a æö+=ç÷èø，则sin a =（ ）A. 12 B. 12- C. D. 【答案】B【解析】【分析】由诱导公式化简条件即可求解.【详解】因为π1cos sin 22a a æö+=-=ç÷èø，所以1sin 2a =-，故选：B3. 函数()22log x f x x =+的零点所在区间为（ ）A. 10,4æöç÷èø B. 11,42æöç÷èø C. 13,24æöç÷èø D. 3,14æöç÷èø【答案】B【解析】【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.【详解】函数()22log x f x x =+是定义域()0,¥+上的增函数，又1412204f æö=-<ç÷èø，1102f æö=>ç÷èø，所以11042f f æöæö×<ç÷ç÷èøèø，所以函数()22log x f x x =+的零点所在区间为11,42æöç÷èø.故选：B .4. 挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】根据分针与时针的特点求解即可.【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时，根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内，因此从1时开始，每个小时分针与时针会重合1次，所以一共会重合13次.故选：C.5. 已知幂函数()n f x mx =的图象过点，设()a f m =，()b f n =，()0.8c f =，则（ ）A. c b a<< B. c a b<< C. b c a << D. a b c <<【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出,m n 的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小.【详解】因为幂函数()n f x mx =的图象过点，所以n ìïí=ïî，解得13m n =ìí=î，所以幂函数的解析式为()3f x x =，函数()f x 为R 上的单调递增函数，又0.813<<，所以()()()0.813f f f <<，即c a b <<.故选：B.6. 已知a 终边经过点ππsin ,cos 66P æö-ç÷èø，则a 可能是（ ）A. 5π6 B. π6 C. π3- D. π3【答案】C【解析】【分析】先由题意推出a是第四象限角，接着求出tan a =即可得解.【详解】因π1πsin ,cos626=-=，所以1,2P æççèP 在第四象限，则由题意a 是第四象限角，又因为tan a =所以a 可能是π3-.故选：C.为7. 已知0a >，0b >，211a b +=且a b m +³恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. (,3-¥+B. (],6-¥C. (],7-¥D. (,3-¥+【答案】A【解析】【分析】结合基本不等式与不等式求解a b +最小值即可得实数m 的取值范围，【详解】因为0a >，0b >，211a b +=，所以a b +=()21233b a a b a b a b æö++=++³+ç÷èø，当且仅当2b a a b=，即a =时等号成立，所以()min 3a b +=+，若a b m +³恒成立，则(,3m ¥Î-+.故选：A.8. 已知函数()222,02,0x x x f x x x x ì-³=í--<î在(),1m m +上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (][),21,-¥-+¥U B. []2,1-C. (][),12,-¥-È+¥ D. []1,2-【答案】A【解析】【分析】作出分段函数的函数图象，由图象得到单调区间，建立不等式，得出m 取值范围.【详解】画出分段函数()222,02,0x x x f x x x x ì-³=í--<î的图象，如图所示，所以要使函数()f x 在(),1m m +上单调递增，则1m ³或11m +£-，解得1m ³或2m £-，所以实数m 的取值范围为(][),21,-¥-+¥U ．的故选：A二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题“2:,220p x x x $Î++<R ”，则命题p 的否定是“2,220"Î++³R x x x ”B. “11x y>”是“x y <”的必要不充分条件C. 命题“2,0x x "Î>Z ”是假命题D. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】ACD【解析】【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A ；利用不等式的性质确定选项B ；利用全称量词命题的真假判断选项C ；利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】对于A ：命题p 的否定是x "ÎR ，2220x x ++³，故A 正确；对于B ：11x y >不能推出x y <，例如1123>-，但23>-；x y <也不能推出11x y >，例如23-<，而1123<-；所以“11x y>”是“x y <”的既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ：当0x =时，20x =，故C 正确；对于D ：关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->ìÛÛ<í<î，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确.故选：ACD.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若角a 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)(0)P a a a -¹，则2cos()sin(π)a a -++=（ ）A. 25- B. 2- C. 25 D. 2【答案】BD【解析】【分析】由三角函数定义以及诱导公式即可得解.【详解】由题意34cos ,sin 55a a a a a a -===，所以3cos 54sin 5a a ì=ïïíï=-ïî或3cos 54sin 5a a ì=-ïïíï=ïî，所以2cos()sin(π)2cos sin 2a a a a -++=-=±.故选：BD.11. 给出定义：若()1122m x m m -<£+ÎZ ，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论，其中正确的是（ ）A. 函数()y f x =值域为10,2éùêúëûB. 函数()y f x =是偶函数C. 函数()y f x =在11,22éù-êúëû上单调递增D. 函数()y f x =图象关于直线()2k x k =ÎZ 对称【答案】ABD【解析】【分析】根据{}x 的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据{}x 的定义知函数()y f x =的定义域为R ,又{}x m =，则{}{}11,22x x x -<£+即{}11,22x x -<-£所以{}10,2x x £-£故函数()y f x =值域为10,2éùêúëû，A 正确；函数()y f x =的图象如下图所示，有图可知函数()y f x =是偶函数，B 正确；函数()y f x =在11,22éù-êúëû上有增有减，C 错误；由图可知()y f x =的图象关于()2k x k =ÎZ 对称，D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得弧EC 、连结AC 、AE ，则图中阴影部分的面积为______.【答案】2π【解析】【分析】结合正六边形的性质及等腰三角形，直角三角形求得,AC EAC Ð，应用扇形面积公式即可求解.【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴2AB BC ==，()621801206ABC BAF -´Ð=Ð==o o ，∵180ABC BAC BCA Ð+Ð+Ð=o∴()()111801*********BAC ABC Ð=-Ð=´-=o o o o ，过B 作BH AC ^于H ，∴AH CH =112122BH AB ==´=，在Rt ABH △中，AH ===，∴AC =，同理可证，30EAF Ð=o ，∴120303060CAE BAF BAC EAF Ð=Ð-Ð-Ð=--=o o o o ，∴2πCAE S ==扇形，∴图中阴影部分的面积为2π.故答案为：2π.13. 若关于x 的不等式 21208kx kx ++£的解集为空集，则实数k 的取值范围是__________【答案】[)0,1【解析】【分析】先对k 进行分类讨论，当0k =时，108£，符合题意；当0k ¹时，若想不等式解集为空集，必有0Δ0k >ìí<î，解之可得k 的范围.【详解】由题意得，关于x 的不等式 21208kx kx ++£的解集为空集，当0k =时，108£，符合题意；当0k ¹时，则须满足0Δ0k >ìí<î，即20Δ0k k k >ìí=-<î，解得01k <<，综上所述，k 的取值范围是01k £<，故答案为：[)0,114. 已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ì++³ï=íæö-<ïç÷èøî的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+¥，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x æö=-çÎ-¥÷èø．因为()f x 的值域为R ，则当0x ³时，min ()3f x £．当0x ³时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+¥，上单调递增，min ()=(0)3f x f \£，即2log 3a £，解得08a <£，即a 的最大值为8．故答案为：8．四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知集合12324x A x ìü=££íýîþ，{}22440,R B x x x m m =-+-£Î.（1）若3m =，求A B Ç；（2）若存在正实数m ，使得“x A Δ是“x B Δ成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.【答案】（1）[]1,5A B =-∩（2）[)4,+¥【解析】【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合,A B ，然后由交集定义计算；（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；【小问1详解】[]12322,54x A x ìü=££=-íýîþ因0m >，则()(){}[]22,R 2,2B x x m x m m m m éùéù=---+Î=-+ëûëû.当3m =时，[]1,5B =-，所以[]1,5A B =-∩.【小问2详解】因“x A Δ是“x B Δ成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集.所以[)002244,253m m m m m m m ¥>>ììïï-£-Þ³ÞÎ+ííïï+³³îî，经检验“=”满足.所以实数m 的取值范围是[)4,+¥.16. 如图，以Ox 为始边作角a 与π0π2b b a æö<<<<ç÷èø，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q的坐标为x æççè.（1）求2sin 5cos 3sin 2cos b b b b+-的值；（2）若OP OQ ^，求P 的坐标.【答案】（（2）P æçè【解析】【分析】（1）首先由点Q 在单位圆上，求x ，再根据三角函数的定义求sin ,cos b b ，即可求解；（2）利用诱导公式求sin a ，cos a ，再根据三角函数的定义求点P 的坐标.【小问1详解】因为点Q 在单位圆上且02b p <<，所以221x +=，得x =即Q ，且由三角函数定义知，sin b =cos b =，1tan 2y x b ==故1252sin 5cos 2tan 521213sin 2cos 3tan 2322b b b b b b ´+++===---´-.【小问2详解】由题意：πsin sin cos 2a b b æö=+==ç÷èø，πcos cos sin 2a b b æö=+=-=ç÷ø，故P æçè17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<£ìï=í+->ï-î.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()()25090,0208000201950,201x x x W x x x x ì-+-<£ï=í-+->ï-î（2）20，1350【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<£ìï=í+->ï-î，.所以()()()25090,02050908000201950,201x x x W x G x x x x x x ì-+-<£ï=--=í-+->ï-î；【小问2详解】当020x <£时，()()225090451975W x x x x =-+-=--+，由函数性质可知当45x £时单调递增，所以当20x =时，()max 1350W x =，当20x >时，()()()8000400201950201193011W x x x x x éù=-+-=--++êú--ëû，由不等式性质可知()()4002011930202193011301W x x x éù=--++£-´+=êú-ëû，当且仅当40011x x -=-，即21x =时，等号成立，所以()max 1130W x =，综上当20x =时，()max 1350W x =.18. 已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性（3）若对任意的t R Î，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）减函数，证明见解析（3）13k <-【解析】【分析】(1)由题意结合()00f =确定实数a 的值即可；(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；(3)由题意结合函数单调性和函数的奇偶性脱去f 符号，结合恒成立的结论求解实数k 的取值范围即可.【详解】（1）由题设，需()()1200112xxf a f x -=\=\=+．经验证，()f x 为奇函数，1a \=（2）减函数.证明：任取1212,,x x R x x Î<，()()()()()1221212121222121212121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，121222x x x x <\<Q ，的的()()210f x f x \-<，所以()f x 在R 上是减函数.（3）由()()22220f t t f t k -+-<得()()2222f t t f t k -<--，()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t \-<-，由（2）知()f x 在是减函数，故原问题可化为2222t t k t ->-即：2320t t k -->对任意t R Î恒成立，4120k \=+<V ，解得13k <-.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题.19. 设函数y =f (x )的定义域为M ，且区间I M Í．若函数()y f x x =+在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质A ；若函数()y f x x =-在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质B ．（1）试证明：“函数()f x 在区间I 上具有性质B ”是“函数()f x 在区间I 上单调递增”的充分不必要条件；（2）若函数()kf x x=在区间[)2,+¥上具有性质A ，求实数k 的取值范围；（3）若函数()32f x x x=+在区间[],1+a a 上同时具有性质A 和性质B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）{}4k k £（3）{1a a £-∣或a ³【解析】【分析】（1）根据题意结合单调性的定义以及充分、必要条件分析判断；（2）分析可知()()kg x f x x x x=+=+在区间[)2,+¥上单调递增，结合单调性的定义分析求解；（3）分析可知13y x x æö=+ç÷èø在区间[],1+a a 上单调递增，3y x x=+在区间[],1+a a 上单调递增，结合对勾函数单调性分析求解.【小问1详解】若函数()f x 在区间I 上具有性质B ，对任意12,x x I Î且12x x <，由条件可知()()2211f x x f x x ->-变形可得()()21210f x f x x x ->->，即()()210f x f x ->，所以()f x 在区间I 上单调递增，即充分性成立；若函数()f x 位区间I 上单调递增，如()f x x =在任意区间I 上单调递增，但()0f x x -=，故不符合性质B ，即必要性不成立；所以“()f x 在区间I 上具有性质B ”是“()f x 在区间I 上单调递增”的充分不必要条件.【小问2详解】若具有性质A ，即可知()()kg x f x x x x=+=+在区间[)2,+¥上单调递增．对任意[)12,2,x x Î+¥，且12x x <，则()()()()1212212121120x x k x x kk g x g x x x x x x x --æö-=+-+=>ç÷èø，因为122x x £<，则12120,40x x x x ->，可得12k x x <恒成立，则4k £，所以实数k 的取值范围是{}4k k £．【小问3详解】由条件可知，()f x 具有性质A ，即()13y f x x x x æö=+=+ç÷èø在区间[],1+a a 上单调递增；由条件可知，()f x 具有性质B ，即()3y f x x x x=-=+在区间[],1+a a 上单调递增；由对勾函数可知：13y x x æö=+ç÷èø的增区间为(][),1,1,¥¥--+，3y x x=+的增区间为(),,¥¥-+，要使得条件成立，需要1a +£或a ³解得1a £-或a ³所以实数a 的取值范围是{1a a £-∣或a ³．。

银川市唐徕中学2024～2025学年度第一学期10月月考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2,2,1,0,1,2,3A x x B =<=--，则R ()A B = ð（ ）A. {}2,1,0,1,2--B. {}0,1,2,3 C. {}1,2,3 D. {}2,3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，R {|2}A x x =≥ð，所以R (){2,3}A B = ð.故选：D2. 函数y =的定义域是（ ）A. []22-, B. ()2,2- C. [)(]2,00,2-U D. [)(]4,00,4-⋃【答案】C 【解析】【分析】由240x -≥且0x ≠可求得结果.【详解】由题意得2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得22x -≤≤且0x ≠，所以函数的定义域为[)(]2,00,2-U .故选：C 3. 不等式312x ≤+的解集为（ ）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}xx -<≤∣C. {2xx ≤-∣或1}x > D. {2xx <-∣或1}x ≥【答案】D 【解析】【分析】转化为求解()()12020x x x ⎧-++≤⎨+≠⎩即可.【详解】312x ≤+，即102x x -+≤+，即()()12020x x x ⎧-++≤⎨+≠⎩，解得1x ≥或2x <-.故选：D.4. 已知集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x a x a =-≤≤+，则“1a =”是“A B ⊆”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】当1a =时，{}12B x x =-≤≤，此时A B =，即1a =可以推出A B ⊆，若A B ⊆，所以112a a -≤⎧⎨+≥⎩，得到1a ≥，所以A B ⊆推不出1a =，即“1a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件，故选：A.5. 若a 、b 、c ∈R ，a b >，则下列不等式成立的是（ ）A.11a b< B. 22a b > C.2211a bc c >++ D. ||||a cbc >【答案】C 【解析】【分析】利用不等式的性质依次分析选项即可求解.【详解】对于A ，B ，取1a =，2b =-，则11a b >，22a b <，故A ，B 错误；对于C ，因为a b >，211c +>，所以2211a bc c >++，故C 正确；对于D ，取0c =，则a c b c =，故D 错误；故选：C6. 若0a >，0b >，412ab a b =++，则ab 的取值范围是（ ）A. {}018x x <≤ B. {}036x x <≤C. {}18x x ≥ D. {}36x x ≥【答案】D 【解析】【分析】根据题意利用基本不等式可得120ab --≥.【详解】因0a >，0b >，由基本不等式可得4121212ab a b =++≥=+，即120ab --≥6≥2≤-（舍去），即36ab ≥，当且仅当436b a ab =⎧⎨=⎩，即312a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故ab 的取值范围是{}36x x ≥．故选：D ．7. 已知集合2{|320}M x x x =-+=、集合2{|350}N x x ax a =-+-=，若M N M ⋃=，则实数a 的取值集合为（ ）.A. ∅ B. {}210，C. {|210}a a ≤<D. {|210}a a <≤【答案】C 【解析】【分析】利用集合之间的包含关系求解即可.【详解】{}{|(1)(2)0}12M x x x =--==，，∵M N M ⋃=，∴N M ⊆，当N =∅时，有2Δ4(35)0a a =--<，解得210a <<，当{1}N =时，有2Δ4(35)01350a a a a ⎧=--=⎨-+-=⎩，解得2a =，当{2}N =时，有2Δ4(35)042350a a a a ⎧=--=⎨-+-=⎩，方程组无解，为当{}1,2N =时，有3352a a =⎧⎨-=⎩，方程组无解，综上所述，实数a 的取值集合为{|210}a a ≤<.故选：C.8. 已知{|12}A x x =≤≤，命题“x A ∃∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A. 0a ≥ B. 2a ≥ C. 0a ≤ D. 2a ≤【答案】B 【解析】【分析】先根据“x A ∃∈，20x a -≤”求a 的取值范围，再根据充分不必要条件的判定方法进行选择.【详解】因为“x A ∃∈，20x a -≤”， {|12}A x x =≤≤，所以()2mina x≥，所以1a ≥结合选项及充分不必要条件知“2a ≥”是“1a ≥”的充分不必要条件.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()f x x =和()g x =B. ()1f x x =+和()211x g x x -=+C. ()()1,01,0x xf xg x x x >⎧==⎨-<⎩和D. ()f x =和()g x =【答案】AC 【解析】【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案.【详解】A：()||g x x ==与()f x x =定义域和对应法则都相同，为同一函数；.B ：()2111x g x x x -==-+定义域为{|1}x x ≠-，而()1f x x =+定义域为R ，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数；C ：1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩与()g x 定义域和对应法则都相同，为同一函数；D ：()g x =={|1}x x ≥，而()f x =定义域为{|1x x ≥或1}x ≤-，它们定义域不同，不为同一函数.故选：AC10. 下列不等式恒成立的是（ ）A. 296a a+≥ B. 若0a ≠，则12a a+≥C. 若0ab >，则2b aa b+≥ D. 若,0a b >，则22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于ACD ，利用基本不等式分析判断，对于B ，举例判断.【详解】对于A ，222936a a a +=+≥，当且仅当3a =时取等号，所以A 正确.对于B ，若1a =-，则122a a +=-<，所以B 错误.对于C ，因0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，所以C 正确.对于D ，因为,0a b >，所以2a b+≥，当且仅当a b =时取等号，所以22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以D 正确.故选：ACD11. 下列命题中是真命题的是（ ）A. “1x >”是“21x >”的充分不必要条件B. 命题“0x ∀≥，都有210x -+≥”的否定是“00x ∃<，使得2010x -+<”为C. 不等式3021x x -≥+成立的一个充分不必要条件是1x <-或4x >D. 当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解【答案】ACD 【解析】【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可.【详解】解：对A ，“1x >”可以推出“21x >”，而“21x >”推出1x >或者1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故A 正确；对B ，命题“0x ∀≥，都有210x -+≥”的否定是“00x ∃≥，使得2010x -+<”，故B 错误；对C ，不等式3021x x -≥+成立，即3x ≥或12x <-，所以不等式3021x x -≥+成立的一个充分不必要条件是1x <-或4x >，故C 正确；对D ，当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩等价于32103210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以方程组有无穷多解，故D 正确.故选：ACD.12. 已知集合(){}(){},0,,1P x y x y Q x y xy =-===∣∣，则（ ）A. P Q =RB. ()(){}1,1,1,1P Q ⋂=--C. (){},1,1P Q x y x y ⋂==±=±∣D. P Q ⋂有3个真子集【答案】BD 【解析】【分析】由集合的表示与运算逐一判断．【详解】由题意得集合P 表示直线y x =上所有的点，集合Q 表示1y x=上所有的点，P Q ⋃是点集，故A 错误，由1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故()(){}1,1,1,1P Q ⋂=--，故B 正确，C 错误，P Q ⋂有3个真子集，∅，{(1,1)},{(1,1)}--，D 正确，故选：BD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是______，只参加田径一项比赛的人数是______.【答案】 ①. 9②. 2【解析】【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.【详解】如图所示：设U ={参加比赛的学生}，A ={参加游泳比赛的学生}，B ={参加田径比赛的学生}，C ={参加球类比赛的学生}，依题意，()()()()28,15,8,14n U n A n B n C ====，()()()3,3,0n A B n A C n A B C ⋂=⋂=⋂⋂=，于是()281581433n B C =++---⋂，解得()3n B C ⋂=，所以只参加游泳比赛的人数为()()()15339n A n A B n A C -⋂-⋂=--=，只参加田径比赛的人数()()()8332n B n A B B C -⋂-⋂=--=.故答案为：9，214. 已知a ，()0,1b ∈，记M ab =，1N a b =+-，则M 与N 的大小关系是________．【答案】M N >【解析】【分析】直接由作差法即可比较大小.【详解】因为()()111M N ab a b b a -=--+=--，且a ，()0,1b ∈，所以0M N M N ->⇒>．故答案为：M N >.15. 已知()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，若()1f x =，则x =______.【答案】1或1-【解析】【分析】分别令分段函数()f x 中的每一段解析式的函数值为1列方程，由此解得x 的值.【详解】由21,1x x +=≤-，得1x =-；由2121,x x =-<≤， 得1x =；由21,2x x =>，得12x =（舍）；综上1x =-或1x =.故答案为：1或1-.16. 若命题：“R x ∃∈，210ax x ++<”为假命题，则实数a 的取值范围为____________.【答案】1[,)4+∞【解析】【分析】分析可知命题“2R,10x ax x ∀∈++≥”为真命题，对实数a 的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，题“2R,10x ax x ∀∈++≥”为真命题，当0a =时，由10x +≥可得1x ≥-，不符合题意，当0a ≠时，根据题意知不等式恒成立则0Δ140a a >⎧⎨=-≤⎩，解之可得1a 4≥.故答案为：1[,)4+∞四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合{|51},{|125}A x x B x a x a =->=-<<+.（1）当1a =时，求R ,A A B ⋂ð；（2）若A B ≠∅ ，求a 的取值集合.【答案】（1）{|4}A x x =≥R ð，{|04}A B x x ⋂=<< （2）{|65}a a -<<【解析】【分析】（1）根据题意，求得{|4}A x x =<，结合补集的运算，求得A R ð，再结合集合交集的运算，即可求解.（2）由A B ≠∅ ，列出不等式组，即可求解实数a 的取值集合.【小问1详解】解：由不等式{|51}{|4}A x x x x =->=<，可得{|4}A x x =≥R ð，当1a =时，集合{|07}B x x =<<，则{|04}A B x x ⋂=<<.【小问2详解】解：由集合{|51},{|125}A x x B x a x a =->=-<<+，因为A B ≠∅ ，则满足12514a a a -<+⎧⎨-<⎩，解得65a -<<，所以实数a 的取值集合是{|65}a a -<<.18. 已知关于x 的不等式2120ax bx +-≥的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥．（1）求a b 、的值；（2）求关于x 的不等式260bx ax ++≥的解集．【答案】（1）1,1a b ==- （2）{}|23x x -≤≤【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可；（2）代入参数，解一元二次不等式即可.【小问1详解】关于x 的不等式2120ax bx +-≥的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥，∴0a >，且3-和4是方程2120ax bx +-=的两实数根，由根与系数的关系知，341234b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得1,1a b ==-；【小问2详解】由（1）知，1,1a b ==-时，不等式260bx ax ++≥为260(2)(3)0x x x x -++≥⇒+-≤⇒23x -≤≤，∴不等式260bx ax ++≥的解集是{}|23x x -≤≤.19. 已知函数()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩（1）求()()()5ff f 的值；（2）画出函数()f x 的图象．【答案】（1）1- （2）图象见详解【解析】【分析】（1）利用函数()f x 的解析式由内到外可逐层计算出()()()5f f f 的值；（2）根据函数()f x 的解析式可画出该函数的图象.【小问1详解】因为()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，则()5523f =-+=-，()()()53341f f f =-=-+=；所以()()()251211ff f =-⨯=-.【小问2详解】函数()f x 的图象如下图所示：20. 已知函数6()5(0)f x x x x=-->.（1）求函数()f x 的最大值；（2）求不等式()0xf x <的解集．【答案】（1）5-（2）{02x x <<或}3x >【解析】【分析】（1）借助基本不等式即可得；（2）解一元二次不等式即可得.【小问1详解】()665555f x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当6x x=，即x =时，等号成立，故函数()f x 的最大值为5-；【小问2详解】()()26()556230xf x x x x x x x x ⎛⎫=--=-+-=---< ⎪⎝⎭，0x >，即()()230x x -->，解得2x <或3x >，又0x >，故02x <<或3x >，即不等式()0xf x <的解集为{02x x <<或}3x >.21. （1）已知1260a <<，1536b <<，求2a b -的取值范围．（2）已知0x >，0y >且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．【答案】（1）60230a b -<-<；（2）16m ≤【解析】【分析】（1）根据不等式的性质通过乘积及和的运算得出式子范围即可；（2）通过基本不等式1的活用得出最小值即可转化恒成立问题求参.【详解】（1）因为1536b <<，所以72230b -<-<-．又1260a <<，所以127226030a b -<-<-，即60230a b -<-<．（2）由191x y+=，则()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭．当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16．若x y m +≥恒成立，则16m ≤．22. 已知二次函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x x +=++，（1）求函数()f x 的解析式；（2）求关于x 的不等式2()(2)0(R)f x m x m m +-->∈的解集．【答案】（1）()21122f x x x =+ （2）答案见解析【解析】【分析】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，根据所给条件求出c ，再由()()11f x f x x +=++得到方程组，求出a 、b ，即可得解；（2）依题意可得()()10x m x +->，分1m =-、1m <-、1m >-三种情况讨论，分别求出不等式的解集.小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()00f =，所以有0c =，即()()20f x ax bx a =+≠，又因为()()11f x f x x +=++，所以()()22111a x b x ax bx x +++=+++，【所以()()22211ax a b x a b ax b x ++++=+++，所以211a b b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得12a b ==．所以()21122f x x x =+；小问2详解】不等式2(2)0(R)x x m x m m ++-->∈可化为()()10x m x +->．当1m =-时，不等式为()210x ->，解得1x ≠，此时不等式的解集为{}1x x ≠；当1m <-时，解得x m >-或1x <，此时不等式的解集为{1x x <或}x m >-；当1m >-时，解得x m <-或1x >，此时不等式的解集为{x x m <-或x >1}．综上可得：当1m =-时不等式的解集为{}1x x ≠；当1m <-时，不等式的解集为{1x x <或}x m >-；当1m >-时，不等式的解集为{x x m <-或x >1}．【。

2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高一（上）月考数学试卷（10月份）✥一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各组对象中不能组成集合的是()A.2023年男篮世界杯参赛队伍B.中国古典长篇小说四大名著C.高中数学中的难题D.我国的直辖市2.设命题p：，，则p的否定为()A.，B.，C.，D.，3.若，则下列命题正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.若集合中有且只有一个元素，则m值的集合是()A. B. C. D.5.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为()A. B. C. D.6.已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是()A.或B.或C. D.7.学校举办运动会时，高一班有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛的人数是()A.3B.4C.5D.68.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A.，B.有些梯形的对角线相等C.菱形的对角线互相垂直D.任何实数都有算术平方根10.下列四个命题：其中正确的命题为()A.已知集合，集合，则B.集合的非空真子集有2个C.已知集合，且，则m的取值构成的集合为D.记，，则11.若实数，且，则()A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.）1.9090αβ<<<，则2β-A．第二象限角C．第三象限角2.α终边上的一点，且满足A．3.设()g x1 (30)2=，则A1sin2x．2sin4.α的一个取值区间为（）A．5.A．6.设A．C．7.ABC∆中，若cot cot1A B>，则ABC∆一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能8.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t的函数：2sin sin()sin()3A B C I I t I I t I I t πωωωϕ==+=+且0,02A B C I I I ϕπ++=≤<，则ϕ=（） A ．3πB ．23πC ．43πD ．2π9.当(0,)x π∈时，函数21cos 23sin ()sin x x f x x++=的最小值为（）A ．．3C ．．410.()f x =的A ．1112131415的映射:(,)()cos3sin3f a b f x a x b x→=+.关于点(的象()f x 有下列命题：①3()2sin(3)4f x x π=-； ②其图象可由2sin3y x =向左平移4π个单位得到； ③点3(,0)4π是其图象的一个对称中心④其最小正周期是23π⑤在53[,124x ππ∈上为减函数 其中正确的有三．解答题（本大题共5个小题，共计75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）24)t ≤≤经长期观察，()y f t =的曲线可近似的看成函数cos (0)y A t b ωω=+>.（1）根据表中数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1m 时才对冲浪者开放，请根据（1）中的结论，判断一天中的上午8：00到晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者运动？20．（本题满分13分）关于函数()f x 的性质叙述如下：①(2)()f x f x π+=；②()f x 没有最大值；③()f x 在区间(0,2π上单调递增；④()f x 的图象关于原点对称.问：（1）函数()sin f x x x =⋅符合上述那几条性质？请对照以上四条性质逐一说明理由.（221.0)(0,)+∞上的奇函数)x 满足(1)f =cos 2m θ-（1（2的最大值和最小值；（3N . 的两个不等实根，函数22()1x tf x x -+的（1（2（3123。

2024-2025学年辽宁省普通高中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“，”的否定为()A.，B.，C.，D.，2.若集合，，且，则()A.0或2B.2C.0D.3.三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆.该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”3个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.将12写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为()A.7B.C.D.5.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是()A.或B.或C.或D.或6.若，，，则()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，P，Q均是平面内的动点，集合，，则的元素个数为()A.1B.4C.2D.88.对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若AD为的一条中线，则“是等腰三角形”的一个充分不必要条件可以是()A. B.C. D.10.已知关于x的不等式的解集为，则()A. B. C. D.11.我们将数集S的任意一个非空子集中的各元素之和称为S的一个子集和若S的子集只有一个元素，则该元素为S的一个子集和若有限数集S中的元素均为正整数，且S的任何两个子集和均不相等，则称S 为异和型集，下列结论正确的是()A.集合的一个子集和可能为5B.存在含有4个元素的异和型集N，其元素均小于9C.集合为异和型集D.任意一个含有n个元素的异和型集S，其元素之和不小于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.方程组的解集为______.13.9月10日，在第10届女子世界消防救援锦标赛女子手拾机动泵出水打靶比赛中，中国女队首次夺得冠军.深受中国夺冠女队的影响，某消防队为提高消防员的业务水平，举行了全员手拾机动泵出水打靶训练.该训练分为水泵启动、水带连接、水枪射击3项.已知参与水带连接的有14人，参与水枪射击的有7人，同时参与水带连接和水枪射击的有4人，参与水泵启动的有3人，且这3人不参与其他2项训练，则该消防队共有______人.14.已知关于x的不等式对恒成立，且，则______，的最小值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。