各章奇数号习题参考答案
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高等数学下册第十二章习题答案详解1.写出下列级数的一般项: (1)1111357++++;2242468x x +++⋅⋅⋅⋅;(3)35793579a a a a -+-+.解:(1)121n U n =-;(2)()2!!2n n xU n =;(3)()211121n n n a U n ++=-+; 2.求下列级数的和: (1) 23111555+++;(2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑;(3)1n ∞=∑.解:(1) 因为21115551115511511145n n n n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=,即级数的和为14. (2)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211nS x x x x x x xx x n x nx n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-=⎪++++⎝⎭因此()1lim 21nn S x x →∞=+,故级数的和为()121x x +(3)因为nU =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=所以lim 1n n S →∞=13.判定下列级数的敛散性:(1)1n ∞=∑;(2)1111166111116(54)(51)n n +++++⋅⋅⋅-+;(3)231232222(1)3333nn n --+-+-+;(4)1155n ++.解:(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞,故级数发散.(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=,故原级数收敛,其和为15.(3)此级数为23q =-的等比级数,且|q |<1,故级数收敛.(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠,故级数发散. *4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1)11(1)n n n +∞=-∑;(2)1cos 2n n nx ∞=∑; (3)()0111313233n n n n ∞=+-+++∑.解:(1)当P 为偶数时,()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时,()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而,对于任何自然数P ,都有12111n n n p U U U n n++++++<<+, ∀ε>0,取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,则当n >N 时,对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立,由柯西审敛原理知,级数()111n n n +∞=-∑收敛.(2)对于任意自然数P ,都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n pn n n p n p n p n U U U xn p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是, ∀ε>0(0<ε<1),∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当n >N 时,对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.(3)取P =n ,则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++-⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=,则对任意的n ∈N ,都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>,由柯西审敛原理知,原级数发散.习题12-21.用比较判别法法判别下列级数的敛散性: (1)1114657(3)(5)n n ++++⋅⋅++; (2)22212131112131nn +++++++++++;(3)π1sin 3n n ∞=∑;(4)n ∞=; (5)11)1(0nn aa ∞=+>∑; (6)11(21)nn ∞=-∑.解:(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛,由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛. (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n ∞=∑发散,由比较审敛法知,原级数发散.(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=而1π3n n ∞=∑收敛,故1πsin 3n n ∞=∑也收敛.(4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛,故1n ∞=收敛.(5)当a >1时,111n n nU a a =<+,而11n n a ∞=∑收敛,故111n n a∞=+∑也收敛. 当a =1时,11lim lim022n n n U →∞→∞==≠,级数发散.当0<a <1时,1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+,级数发散.综上所述,当a >1时,原级数收敛,当0<a ≤1时,原级数发散.(6)由021lim ln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n ∞=∑发散,由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散.2.用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)213n n n ∞=∑;(2)1!31n n n ∞=+∑; (3)232233331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅; (4) 12!n n n n n ∞=⋅∑. 解:(1) 23n n n U =,()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<,由比值审敛法知,级数收敛.(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散.(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散.(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛.3.用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1)1531nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑; (2)()11ln(1)n n n ∞=+∑; (3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑; (4)1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑,其中,,,()n n a a n a b a →→∞均为正数.解:(1)55lim1313n n n n →∞==>+,故原级数发散. (2) ()1lim01ln 1n n n →∞==<+,故原级数收敛.(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==<⎪-⎝⎭, 故原级数收敛.(4) lim limn n nb b a a →∞==, 当b <a 时,b a <1,原级数收敛;当b >a 时,b a >1,原级数发散;当b =a 时,ba=1,无法判定其敛散性.习题12-31.判定下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1) 1+;(2)111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑;(3)2341111111153555333⋅-⋅+⋅-⋅+;(4)112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑; (5)11ln (1)n n n n∞-=-⋅∑; (6)()11113∞--=-∑n n n n; *(6)1(1)111(1)23nnn n∞=-++++⋅∑. 解:(1)()11n n U-=-,级数1n n U ∞=∑>0n =,由莱布尼茨判别法级数收敛,又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数,所以1nn U∞=∑发散,故原级数条件收敛. (2)()()111ln 1n n U n -=-+,()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数,且()()11ln ln 12n n >++,()1lim0ln 1n n →∞=+,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以,1nn U∞=∑发散,所以原级数条件收敛.(3)()11153n n nU -=-⋅,显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑,而113n n ∞=∑是收敛的等比级数,故1nn U∞=∑收敛,所以原级数绝对收敛.(4)由()121!+=-nn n u n2122=<==⨯⨯,由正项级数的根值判别法知,2!n n 收敛,则级数()1121!∞+=-∑nn n n 收敛,112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑绝对收敛. (5)函数()ln =xf x x在[)e,+∞为单调递减函数,则当n 充分大时()ln 1ln 1+>+n n n n ,且ln lim 0→∞=n n n ,由莱布尼兹判别法知交错级数收敛,又ln 1>n n n ,而调和级数11∞=∑n n是发散的,则11ln (1)n n nn∞-=-⋅∑条件收敛. (6)111310333+-+---=-=>n n n n nn n n n u u ,则1+>n n u u ,又1lim 03-→∞=n n n,根据莱布尼兹判别法知()11113∞--=-∑n n n n 收敛,又由比较判别法知1131133-+=<+n n nn n n ,则级数()11113∞--=-∑n n n n 收敛,则级数()11113∞--=-∑n n n n绝对收敛. *(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n ∞=∑发散,由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散. 记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭,则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又11111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由1111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=,由莱布尼茨判别法,原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛,而且是条件收敛. 2.如果级数23111111122!23!2!2nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的和用前n 项的和代替,试估计其误差.()()()()()()()12121211111=1!22!211111!21!21111=11!222111=11!21211!2n n n n n n nn n n n n n n σ++++++⎛⎫⎛⎫++⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+⎝⎭-=+<3.若2lim n n n u →∞存在,证明:级数1n n u ∞=∑收敛.221211lim =lim ,.1n n n n n n n u n u nnu ∞→∞→∞=∞=∑∑存在而收敛所以也收敛*4.证明:若21nn u∞=∑收敛,则1nn u n ∞=∑绝对收敛. 222211111110221,2.n n n n n n n n n n n n u u u n n nu u n n u un n∞∞∞===∞∞===≤+∑∑∑∑∑<而和都收敛,由比较审敛法得知收敛从而收敛,即绝对收敛习题12-41.求下列函数项级数的收敛域: (1)11x n n∞=∑;(2)()1111n xn n ∞+=-∑.2.求下列幂级数的收敛半径及收敛域: (1)2323nx x x nx +++++;(2)1!nnn n x n∞=∑; (3)21121n n x n ∞-=-∑;(4)21(1)2nn x n n∞=-⋅∑. 解:(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===,所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1),而当x =±1时,级数变为()11nn n ∞=-∑,由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散,所以级数的收敛域为(-1,1).(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==,收敛区间为(-e,e).当x =e 时,级数变为1e !∞=∑n n n n n,()()()()11111!11!11e e e e +++++++⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+n n nnn n n nnn n n n u n n u n n n 11e =⎛⎫+ ⎪⎝⎭nn , 在→+∞n 的过程中,11+>n nu u ,又0>n u ,则e =x 时,常数项级数为单调递增函数,1e =u ,则lim 0→∞≠n n u ,由级数收敛的必要条件,级数的一般项不趋于零,则该级数必发散,同理在e =-x 时,()1e !∞=-∑nnn n n 变为交错级数,其中!lim e →∞n n n n n依旧不等于0,,则在e =-x 时也发散,则其收敛域为(),e e -.(3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时,级数收敛,x 2>1即|x |>1时,级数发散,故收敛半径R =1.当x =1时,级数变为1121n n ∞=-∑,当x =-1时,级数变为1121n n ∞=--∑,由1121lim 012n n n→∞-=>知,1121n n ∞=-∑发散,从而1121n n ∞=--∑也发散,故原级数的收敛域为(-1,1). (4)令t =x -1,则级数变为212nn t n n∞=⋅∑,因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1.收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时,级数3112n n ∞=∑收敛,当t =-1时,级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.所以,原级数收敛域为 0≤x ≤2,即[0,2] 3.利用幂级数的性质,求下列级数的和函数:(1)11n n nx∞-=∑;(2)2221n n x n ∞+=+∑. ()()()()1112111111111n n n n n n n n nx x x S x nx x x x x x ∞-=∞∞∞-==='''⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑∑∑解:()可求得函数在<时收敛,<(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知,原级数当|x |<1时收敛,而当|x |=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1),记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑,易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1),记()211021n n x S x n +∞==+∑,则()212011nn S x x x ∞='==-∑, 故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x+-=-,()100S =,所以()()()11ln 121x xS xS x x x x+==<-习题12-51.将下列函数展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间: (1)()()ln 2f x x =+; (2)()2cos f x x =; (3)()()()1ln 1f x x x =++; (4)()2x f =(5)()23f x xx =+;(6)()e e)12(x x f x -=-; 解:(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑,(-1<x ≤1)故()()11ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑,(-2≤x ≤2) 因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑,(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2xf x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑,(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑,(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑,(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n n n n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1) 故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑,x ∈(-∞,+∞)得()01e !n nxn x n ∞-=⋅-=∑,x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑2.将()2132x x f x ++=展开成()4x +的幂级数.()()()()()()20100102101113212111114x+4141343333134713111114414224222212462241323nn nn n nn nn n nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞=∞+=∞=∞+=∞+==-+++++⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=---+⎛+⎫⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=--+=-++∑∑∑∑∑解:而<<<<<-从而()()()10110421146223nn n n n n n x x x ∞+=∞++=++⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭∑∑<<3.将函数()f x 1()x -的幂级数. 解:因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑4.利用函数的幂级数展开式,求下列各数的近似值: (1) ln3(误差不超过10.000); (2) cos2︒(误差不超过10.000).解:(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭,x ∈(-1,1) 令131x x +=-,可得()11,12x =∈-, 故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦- 又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯. 因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯;48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos 2110.00060.99942!⎛⎫ ⎪⎝⎭≈-≈-≈ 5.将函数()d 0arctan x tF x t t=⎰展开成x 的幂级数. 解:由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx nn n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰(|x |≤1)6.求下列级数的和函数: (1) 2121n n x n ∞+=+∑;(2)10(1)!n n nx n ∞-=-∑(提示:应用e x 的幂级数展开式);解:(1)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,原级数发散.记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x∞='==-∑ ()200111d d ln 121xxx S x x x x x +'==--⎰⎰,即()()11ln 021xS S x x+-=-,S (0)=0 所以()11ln 21xS x x+=-,(|x |<1)(2)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞).记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xx n n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰,所以()()()e 1e x x S x x x '==+,(-∞<x <+∞)7.试用幂级数解法求下列微分方程的解:222(1)0;(2)0;(3)1;(4)(1);(5)(1)2.y x y y xy y y xy x x y x y x y x x y '''''-=++=''--=-=-'+=-+()()()()()()()()()1220120220120223405121,,11212021=210320435421nn n nn n n n n n n n nnn n n n nnn n n n n n y a x y na xy n n a xn n a x n n a x xa xn n a x a x a a a a a a n n a a ∞∞∞∞--+====∞∞+==∞∞+-==+-'''===-=++++-=++====++=∑∑∑∑∑∑∑∑解:()设则代入原方程得即比较同次幂系数,得一般地()()()()222001423456785801910111291134243042,3,210,,,0,3445783478,0,894589111234781112,12134589121303478414n n k k k n a a n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k-+++==++===================-即所以有所以()()()14145121481221,2,1,2,4589441134347834781112145458945891213k k a a k k k x x x y C x x x C x +===+⎛⎫=++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎛⎫+++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭因此是方程的解()()()()()()()()()212120222220210211021100,1,2,10,1,2,2111122222n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n k k y a x a n n xx a nxa x n n a n a x n n a n a n a a n n a a a k k k ∞=∞∞∞--===∞+=++-=-++=++++=⎡⎤⎣⎦++++===-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑()设为该方程的解,代入该方程得即故即从而()()()()01212112242000021351111!2111112121213135211111!22!2!211313513521kk k k nnk k a k a a a a k k k k a a a y a x x x n a a x a x x k +-+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪⎪ ⎪++-⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡-+++-+⎢⋅⋅⋅⋅⋅-⎣因而()()()()()()22222202135135212011221211111!22!2!2111131351352111313513521121!!n k k x n nn x x x x a n x a x x x k x x x a e a x k y C eC x n ++-+-⎤⎥⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+-+++-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=+-+-+-+⎢⎥+⎣⎦-=+-故原方程的通解为11n n ∞-=∑()()()101110111120210001234567213,=,112120111111,,,,,,23243524611,,3571nn n n n n n n nn n n n nn n n y a a x y na x na xx a a x x a a a x a n a x a a a a a a a a a a a ∞∞-==∞∞-==∞++=-'=+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭-+--+-++=⎡⎤⎣⎦+++======⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∑∑∑∑∑()设方程的解为从而代入方程得即因而()()()()()()023521242000023521222001,352124621113!!5!!21!!24!!2!!111113!!5!!21!!22!!2!!2n n n n n a a n n a a a x x x y a x x x x n n x x x x x x a x a n n --+=⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤+++=+++++++++++⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此()()()()()()()222321200032120212113!!21!!113!!21!!121!!x n x n x n x x a a a e x n x x a e x n x y Ce n ---⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+++++++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=++-++++⎢⎥-⎣⎦=+-+-故方程的通解为()()()()()()01210210102321102311110,20,3=1,11041,0,,32234521123431n n n n nn n n n n n n n n n n n y a x x na xx a x n a n a x x a a a a a n a n a n a a a a n n n n n a a n n n n n y C ∞=∞∞-==∞+=+-=-=-++-=⎡⎤⎣⎦+==-+--=≥=-==-----==---=∑∑∑∑(4)令是该方程的解,代入该方程得即比较系数得以及故因而()()3412.31n n x x x n n ∞=-++-∑是方程的解()()()()10112011121101102231102315,=,2120,22,3111032,1,311nn n n n n n n n nnn n n n n n n n n n n n y a x y na x na x na xa a x x xna n a a x a a x xa a a a a n a n a n a a a a n a n ∞∞-==∞∞∞-===∞+=++'=+--=-++-+-=-⎡⎤⎣⎦-==-+=-++=≥==-=-=-+∑∑∑∑∑∑()设方程的解为则代入方程得即比较系数得从而()()()()()()()()()()()1344331234121242114641131141412411.31n n n n n n n n n n n n n a a a n n n n a n n n n n a n n n y C x x x x n n ----∞-=-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--- ⎪⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=-≥++=-≥-=+-++--∑即因而原方程的通解为8. 试用幂级数解法求下列方程满足所所给定初始条件的解:2222(1)(2)2(1)20,(0)(1)1;(2),(0)0;(3)cos 0,(0),(0)0.x x y x y y y y dyx y y dx d xx t x a x dt '''-+-+====+='+===()()()()12122212121,,12121201.nn n n n n n n n n n n n n n n n n y a x y na xy n n a x xx n n a x x na x a x y x x ∞∞∞--===∞∞∞--==='''===---+-+==-+∑∑∑∑∑∑()设则代入原方程得比较同次项系数,由初始条件可得方程的解为()1001211125,,00,0..11220nn n n n n n n n n n n y a x y na x y a na x a x xy x x ∞∞-==∞∞-=='====⎛⎫-= ⎪⎝⎭=++∑∑∑∑(2)设则由得代入原方程得比较同次幂系数得方程的解为()()()()21220120123423456246230123232345(3),,10,00,,0232435465102!4!6!23243546nn n n n n n n n dx d x x a t na t n n a t dt dt x a x a a a a a t a t a t a t t t t a a t a t a t a a t a t a t ∞∞∞--======-'====+⋅+⋅+⋅+⋅+⎛⎫+++++-+-+= ⎪⎝⎭++++∑∑∑设则由初始条件所以代入原方程得即4602240012123420310421530264010213024502!2!2!4!203204302!5402!6502!4!,0,220322!434!a t a a a a a a t a t a t a t a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a aa a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⋅+=⋅+-=⋅+-=⋅+-+====-=-=-=⋅-+==⋅比较系数得又得到1350024246867824682!0549552!4!2!4!6,0,,656!878!1295512!4!6!8!a a a a a a a a a a a a a t x a t t t t -+==⋅-+--+-+==-===⋅⋅⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭所以习题12-61.设()f x 是周期为π2的周期函数,它在(,ππ-⎤⎦上的表达式为ππ. 32,0,(),0x f x x x -<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩试问()f x 的傅里叶级数在πx =-处收敛于何值?解:所给函数满足狄利克雷定理的条件,x =-π是它的间断点,在x =-π处,f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+ 2.写出函数ππ. 21,0,(),0x f x x x --<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的傅里叶级数的和函数.解:f (x )满足狄利克雷定理的条件,根据狄利克雷定理,在连续点处级数收敛于f (x ),在间断点x =0,x =±π处,分别收敛于()()00122f f -++=-,()()2πππ122f f -++-=,()()2πππ122f f -+-+--=,综上所述和函数.()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩3. 写出下列以π2为周期的周期函数的傅里叶级数,其中()f x 在),ππ-⎡⎣上的表达式为: (1)π,0π4()π,π04x f x x ⎧≤<⎪=⎨⎪--≤<⎩ ;(2)()2()f x x πx π=-≤<;(3)ππ,π22ππ(),22ππ,π22x f x x x x ⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩ ; (4)()ππcos ()2f x x x=-≤≤. 解:(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件,x =n π,n ∈z 是其间断点,在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==,在x ≠n π,有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,从而f (x )cos nx 为偶函数,f (x )sin nx 为奇函数,于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰,2π20-π12πd π3a x x ==⎰, ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以,f (x )的傅里叶级数展开式为:()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x ≠(2n +1)π时,由f (x )为奇函数,有a n =0,(n =0,1,2,…)()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0(n =1,2,…),()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为:()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π] 4. 将下列函数()f x 展开为傅里叶级数: (1)()πππ(2)4x xf x =-<<-;(2)()π2sin (0)f x xx =≤≤.解:(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续, 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx xn x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nxf x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 5. 设()π1(0)f x x x =+≤≤,试分别将()f x 展开为正弦级数和余弦级数. 解:将f (x )作奇延拓,则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓,则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 6. 将()211()f x xx =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.解:f (x )在(-∞,+∞)内连续,其傅里叶级数处处收敛,由f (x )是偶函数,故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑,x ∈[-1,1]取x =0得,()2211π821n n ∞==-∑,故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n ∞==∑ 7. 将函数()12(0)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.解:将f (x )作偶延拓,作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)8. 设11,02()122,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩,()01cos π,2n n a a n x s x x ∞==-∞<∞+<+∑,其中πd 102()cos n a f x n x x =⎰,求()52s -.解:先对f (x )作偶延拓到[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x ),延拓后f (x )在52x =-处间断,所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭9.设函数()21(0)f x x x =≤<,而()1sin π,n n n x b s x x ∞==-∞<<+∞∑,其中()πd 1,2,3,102()sin n f x n x xb n ==⎰.求()12s-.解:先对f (x )作奇延拓到,[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞),并将f (x )展开成正弦级数得到s (x ),延拓后f (x )在12x =-处连续,故. 211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10. 将下列各周期函数展开成为傅里叶级数,它们在一个周期内的表达式分别为: (1)()2111 22f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭ ;(2) 3. 21,30,()1,0x x f x x +-≤≤⎧=⎨≤<⎩解:(1) f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x ),由于f (x )为偶函数,有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰, ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑(-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x xn x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1),k =0,±1,±2,…处间断,故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x≠3(2k +1),k =0,±1,±2,…)习题十二1. 填空题:(1)级数1211()1n n n ∞=+∑的敛散性是 发散(2)级数1()21nn n n ∞=-∑的敛散性是 收敛 (3)已知幂级数级数级数1(2)04nn n a x x x ∞=+==-∑在处收敛,在处发散,则幂级数1(3)nn n a x ∞=-∑的处收敛域为 (1,5](4) 设函数()1()f x x x ππ=+-<<的傅里叶级数的和函数为(),(5)S x S π则等于 1(5)设函数2()(0)f x x x π=≤≤的正弦函数1sin nn bnx ∞=∑的和函数(),(,2)()S x S x ππ∈=则当x 时, 2(2)x π--2. 选择题:(1) 正项级数1nn a∞=∑收敛的充分条件是( C )。
《单片机原理及应用》习题答案第一章计算机基础知识1-1 微型计算机主要由哪几部分组成?各部分有何功能?答:一台微型计算机由中央处理单元(CPU)、存储器、I/O接口及I/O设备等组成,相互之间通过三组总线(Bus):即地址总线AB、数据总线DB和控制总线CB来连接。
CPU由运算器和控制器组成,运算器能够完成各种算术运算和逻辑运算操作,控制器用于控制计算机进行各种操作。
存储器是计算机系统中的“记忆”装置,其功能是存放程序和数据。
按其功能可分为RAM和ROM。
输入/输出(I/O)接口是CPU与外部设备进行信息交换的部件。
总线是将CPU、存储器和I/O接口等相对独立的功能部件连接起来,并传送信息的公共通道。
1-3 什么叫单片机?其主要由哪几部分组成?答:单片机(Single Chip Microcomputer)是指把CPU、RAM、ROM、定时器/计数器以及I/O接口电路等主要部件集成在一块半导体芯片上的微型计算机。
1-4 在各种系列的单片机中,片内ROM的配置有几种形式?用户应根据什么原则来选用?答:单片机片内ROM的配置状态可分四种:(1)片内掩膜(Mask)ROM型单片机(如8051),适合于定型大批量应用产品的生产;(2)片内EPROM型单片机(如8751),适合于研制产品样机;(3)片内无ROM型单片机(如8031),需外接EPROM,单片机扩展灵活,适用于研制新产品;(4)EEPROM(或Flash ROM)型单片机(如89C51),内部程序存储器电可擦除,使用更方便。
1-5 写出下列各数的另两种数制的表达形式(二、十、十六进制)1-6 写出下列各数的BCD参与:第二章MCS-51单片机的硬件结构2-1 8052单片机片内包含哪些主要逻辑功能部件?答:8052单片机片内包括:①8位中央处理器CPU一个②片内振荡器及时钟电路③256B数据存储器RAM。
④8KB片内程序存储空间ROM⑤21个特殊功能寄存器SFR⑥4个8位并行I/O端口(32条线)⑦1个可编程全双工串行口⑧可寻址64KB的外部程序存储空间和外部数据存储空间⑨3个16位的定时器/计数器⑩6个中断源、2个优先级嵌套中断结构2-2 8052的存储器分哪几个空间?如何区别不同空间的寻址?答:⑴8052的存储器分为6个编址空间:①片内ROM的容量为8KB,其地址为0000H~1FFFH;②可扩展片外ROM的容量为64KB,其地址为0000H~FFFFH;片内RAM的容量为256B,其地址为00H~FFH分为二块:③地址00H~7FH共128B 为片内RAM低区,④另128B为片内RAM高区,其地址空间为80H`FFH,其地址空间与SFR功能寄存器地址重叠;⑤可扩展片外RAM的容量为64KB,其地址为0000H~1FFFH;⑥特殊功能寄存器SFR的空间为128B,其地址为80H~FFH,但实际只定义了26B单元,这26B单元分散在80H`F0H。
微机原理第二章习题参考答案微机原理第二章作业参考答案:1.(2字节)a.指由8个二进制位组成的通用基本单元(6时钟周期)b.是cpu指令执行时间的刻度(10软件配置管理空间)c.cpu所要出访的存储单元数,与cpu地址总线条数有关(11实际地址)d.唯一能代表存储空间每个字节单元的地址,用5位16进制数表示(7总线周期)e.cpu执行访问存储器或i/o操作所花时间(12逻辑地址)f.由段基址和段偏转地址共同组成,均用4十一位16十进制则表示(4基本指令继续执行时间)g.指寄存器乘法指令继续执行所花掉时间(3指令)h.顺利完成操作方式的命令(1字长)i.指cpu在交换、加工、存放信息时信息位的基本长度(5指令执行时间)j.各条指令执行所花时间,不同指令值不一(8cache)k.为减轻cpu与主存储器间互换数据的速度瓶颈而建立的高速缓冲存储器(9虚拟存储器)l.cpu执行程序时看见的一个速度吻合内存却具有外存容量的假想存储器2.(1)mhz频率单位,可以用来表示cpu的主频1mhz=1000000hz(2)ghz频率单位,可以用来表示cpu的主频1ghz=1000000000hz(3)μs时间单位,可以用来表示基本指令执行时间1μs=10s(4)mips每秒百万条指令,用来表示基本指令执行速度(5)kb用以则表示存储器容量、软件配置管理空间或者存储空间的一种单位1kb=2bytes(6)mb用以则表示存储器容量、软件配置管理空间或者存储空间的一种单位1mb=2bytes(7)gb用以则表示存储器容量、软件配置管理空间或者存储空间的一种单位1gb=2bytes(8)tb用以则表示存储器容量、软件配置管理空间或者存储空间的一种单位1tb=2bytes3.eu的共同组成部件:(3)alu(7)状态标志寄存器(9)掌控单元(12)通用寄存器组与biu的共同组成部件:(1)地址部件au(2)段界检查器(4)20十一位地址产生器(5)20十一位物理地址加法器(6)指令队列(8)总线掌控逻辑(10)段寄存器组(11)指令指针4.标志sf(b符号标志)cf(d位次标志)af(h辅助位次标志)df(i方向标志)tf(a陷阱标志)of(c外溢标志)pf(f奇偶标志)if(g中断容许标志)zf(e零标志)类型sssccsscs为0时则表示的状态两个带符号数运算结果就是正数两个并无符号数经alu运算后并无位次或者借位产生两个数运算时,两个高4十一位运算并无位次或者借位产生数据串成操作方式的增量地址为自动递减正常调试两个带符号数运算后没产生外溢运算结果数据高8位中二进制存有奇数个1中断屏蔽数据运算时结果不为零403020?6107.首地址pa=62d87h末地址pa=62d87h+28h(则表示40字节)-1h=62daeh8.实际地址:99a40h9.实际地址:3ba00h10填写下列个状态下的有效信号状态总线操作类型t1t2t3t4最小模式下总线存储器读操作最小模式下总线存储器写操作11.特点方式最小模式最大模式12.00130h:00131h:00135h:00136h:13.0dah31h7fh5ehmn/mx引脚高电平低电平处理器个数12个以上总线控制信号的产生8086828834h00230h:2dh00231h:0abh00232h:00233h:67h14.55h00330h:20h00331h:00332h:45h00333h:20h00334h:53h00335h:20h00336h:54h00337h:20h00338h:43h15.(1)ds:11a7es:11a7ss:21becs:31b8ds,es段顶:11a70hss段顶上:21be0hss段底:22ca8hcs段顶上:31b80hds,es段底:21a6fhcs段底:41b7fh(2)of=0df=0if=1sf=0zf=0zf=0pf=0cf=016.5ch20a28h:00h20a29h:7ah20a2ah:20a2bh:20a2ch:20a2dh:20a2eh:20a2fh:20a30h:20a31h:53h42h0ffh12h00h5bh0ah入栈完毕时,(ss)=20a0h(ip)=0028h17.8086系统中:(1)8284a时钟产生器的作用是:为8086cpu提供时钟,产生cpu所需的系统时钟信号(2)8282/8283地址锁存器的作用是:锁存8086地址总线中的信息(3)8286/8287总线收发器的作用是:传送8086数据总线中的信息(4)8288总线控制器的促进作用就是:在最小工作模式下产生8086系统所需的掌控信号18.8086寻址i/o端口时,使用16条地址线,可寻址32k个字端口,或64k个字节端口。
《测量学》习题及其参考答案(第1~11章共79题习题11.什么叫大地水准面它有什么特点和作用2.什么叫绝对高程、相对高程及高差3.测量上的平面直角坐标系和数学上的平面直角坐标系有什么区别4.什么叫高斯投影高斯平面直角坐标系是怎样建立的5.已知某点位于高斯投影6°带第20号带,若该点在该投影带高斯平面直角坐标系中的横坐标y=-306579.210m,写出该点不包含负值且含有带号的横坐标y及该带的中央子午线经度L。
6.什么叫直线定线标准方向有几种什么是坐标方位角7.某宾馆首层室内地面±的绝对高程为45.300m,室外地面设计高程为-l.500m,女儿墙设计高程为+88.200m,问室外地面和女儿墙的绝对高程分别为多少8.已知地面上A点的磁偏角为-3°10′,子午线收敛角为+1°05′,由罗盘仪测得直线AB的磁方位角为为63°45′,试求直线AB 的坐标方位角=α并绘出关系略图。
AB答案:1.通过平均海水面的一个水准面,称大地水准面,它的特点是水准面上任意一点铅垂线都垂直于该点的曲面,是一个重力曲面,其作用是测量工作的基准面。
2.地面点到大地水准面的垂直距离,称为该点的绝对高程。
地面点到假设水准面的垂直距离,称为该点的相对高程。
两点高程之差称为高差。
3.测量坐标系的X轴是南北方向,X轴朝北,Y轴是东西方向,Y 轴朝东,另外测量坐标系中的四个象限按顺时针编排,这些正好与数学坐标系相反。
4、假想将一个横椭圆柱体套在椭球外,使横椭圆柱的轴心通过椭球中心,并与椭球面上某投影带的中央子午线相切,将中央子午线附近(即东西边缘子午线范围)椭球面上的点投影到横椭圆柱面上,然后顺着过南北极母线将椭圆柱面展开为平面,这个平面称为高斯投影平面。
所以该投影是正形投影。
在高斯投影平面上,中央子午线投影后为X 轴,赤道投影为Y 轴,两轴交点为坐标原点,构成分带的独立的高斯平面直角坐标系统。
第一章 多项式1. 用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r : 1)123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ; 2)2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1)由带余除法,可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ; 2)同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+32|1, 2)q px x mx x ++++242|1。
解 1)由假设,所得余式为0,即0)()1(2=-+++m q x m p ,所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2)类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ,于是当0=m 时,代入(2)可得1+=q p ;而当022=--m p 时,代入(2)可得1=q 。
综上所诉,当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时,皆有q px x mx x ++++242|1。
3.求()g x 除()f x 的商()q x 与余式:1)53()258,()3f x x x x g x x =--=+; 2)32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1)432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-;2)2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4.把()f x 表示成0x x -的方幂和,即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式:1)50(),1f x x x ==;2)420()23,2f x x x x =-+=-;3)4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
第一章 §11 证明:n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证: )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证: b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数,因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,,由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00,由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 (y x ,为任意整数) b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证:作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ,使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时,若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==,则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=,则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时,若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=,则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ,则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时,设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时,t s ,不唯一,举例如下:此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证:令此和数为S ,根据此和数的结构特点,我们可构造一个整数M ,使MS 不是整数,从而证明S 不是整数(1) 令S=n14131211+++++,取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k≤2最大整数,p 是不大于n 的最大奇数。
《测量学》习题及其参考答案(第1~11章共79题习题11.什么叫大地水准面它有什么特点和作用2.什么叫绝对高程、相对高程及高差3.测量上的平面直角坐标系和数学上的平面直角坐标系有什么区别4.什么叫高斯投影高斯平面直角坐标系是怎样建立的5.已知某点位于高斯投影6°带第20号带,若该点在该投影带高斯平面直角坐标系中的横坐标y=-306579.210m,写出该点不包含负值且含有带号的横坐标y及该带的中央子L。
午线经度6.什么叫直线定线标准方向有几种什么是坐标方位角7.某宾馆首层室内地面±的绝对高程为45.300m,室外地面设计高程为-l.500m,女儿墙设计高程为+88.200m,问室外地面和女儿墙的绝对高程分别为多少8.已知地面上A点的磁偏角为-3°10′,子午线收敛角为+1°05′,由罗盘仪测得直线AB的磁方位角为为63°45′,试求直线AB的坐标方位角=α并绘出关系略图。
AB答案:1.通过平均海水面的一个水准面,称大地水准面,它的特点是水准面上任意一点铅垂线都垂直于该点的曲面,是一个重力曲面,其作用是测量工作的基准面。
2.地面点到大地水准面的垂直距离,称为该点的绝对高程。
地面点到假设水准面的垂直距离,称为该点的相对高程。
两点高程之差称为高差。
3.测量坐标系的X轴是南北方向,X轴朝北,Y轴是东西方向,Y轴朝东,另外测量坐标系中的四个象限按顺时针编排,这些正好与数学坐标系相反。
4、假想将一个横椭圆柱体套在椭球外,使横椭圆柱的轴心通过椭球中心,并与椭球面上某投影带的中央子午线相切,将中央子午线附近(即东西边缘子午线范围)椭球面上的点投影到横椭圆柱面上,然后顺着过南北极母线将椭圆柱面展开为平面,这个平面称为高斯投影平面。
所以该投影是正形投影。
在高斯投影平面上,中央子午线投影后为X 轴,赤道投影为Y 轴,两轴交点为坐标原点,构成分带的独立的高斯平面直角坐标系统。
第10章习题答案1.解 (1)设G 有m 条边,由握手定理得2m =∑∈Vv v d )(=2+2+3+3+4=14,所以G 的边数7条。
(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数,由握手定理的推论知,它们都不能成为图的度数列。
(3) 由握手定理得∑∈Vv v d )(=2m =24,度数为3的结点有6个占去18度,还有6度由其它结点占有,其余结点的度数可为0、1、2,当均为2时所用结点数最少,所以应由3个结点占有这6度,即图G 中至多有9个结点。
2.证明 设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人,以1v 、2v 、…、n v 为结点,当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边,这样得到一个简单图G 。
由握手定理知∑=nk kv d 1)(=3n 必为偶数,从而n 必为偶数。
3. 解 由于非负整数列d =(d 1,d 2,…,d n )是可图化的当且仅当∑=ni i d 1≡0(mod 2),所以(1)、(2)、(3)、(5)能构成无向图的度数列。
(1)、(2)、(3)是可简单图化的。
其对应的无向简单图如图所示。
(5)是不可简单图化的。
若不然,存在无向图G 以为1,3,3,3度数列,不妨设G 中结点为1v 、2v 、3v 、4v ,且d(1v )=1,d(2v )=d(3v )=d(4v )=3。
而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻,设1v 与2v 相邻,于是d(3v )=d(4v )=3不成立,矛盾。
4.证明 因为两图中都有4个3度结点,左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接,而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接,所以这两个无向图是不同构的。
5. 解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个,如图所示,其中(8)~(16)为其生成子图。
6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。
(1)(3)(5)(6)(9)(10)(13)(14)(2)图(8)~(18)是G 的所有生成子图。
第2章部分习题参考解答1、试述MCS-51单片机内部有哪些主要逻辑部件并说出其功能,画出片内结构图。
MCS-51单片机的内部除包含CPU外,还包含程序存储器、数据存储器、定时器/计数器、并行I/O接口、串行I/O接口、总线控制逻辑和中断控制逻辑等逻辑部件,其结构框图如图所示:其中,CPU是单片机的最核心部分,它是整个单片机的控制和指挥中心,完成所有的计算和控制任务。
振荡器和时序逻辑,产生CPU工作所需要的内部时钟。
中断控制逻辑用来应付一些临时到达的突发事件,并能保证当有多个突发事件发生时,CPU能够有序地为这些事件进行服务,所有突发事件服务完成后CPU 还能继续以前的工作。
并行I/O接口和串行I/O接口作为CPU与外部设备通信的信息传输通道。
程序存储器用于存放单片机的程序。
数据存储器用于存放内部待处理的数据和处理后的结果。
定时器/计数器主要是完成对外部输入脉冲的计数或者根据内部的时钟及定时设置,周期性的产生定时信号。
64K总线控制逻辑,用于产生外部64KB存储空间的有关读写控制信号。
2、MCS-51单片机有4个8位并行口(P0、P1、P2、P3),哪个口可作为地址/数据利用总线?P0口可作为地址/数据复用总线口。
3、P0口作为通用I/O口使用时,在输出状态下应注意什么?在输入状态下应注意什么?P0口作为通用I/O口使用时,输出级是漏极开路的,因此在输出状态下外部应加上拉电阻。
在输入状态下应先向端口锁存器写入1,这样引脚便处于悬浮状态,可作高阻抗输入。
5、MCS-51单片机的最大寻址空间是多少?为什么?MCS-51单片机,程序存储器空间采用片内、片外统一编址的方式,共有64KB,地址范围为000OH~FFFFH。
片内有256字节数据存储器地址空间,地址范围为00H~FFH。
片外数据存储器空间有64KB,其地址范围也是000OH~FFFFH。
7、MCS-51单片机片内低128字节的RAM中,分了几个基本区域?说出这些区域的名称。
1 思考与练习奇数号《参考答案》 第一章 1.1 答 ⑴ 时间序列含义可三个方面来理解:从统计角度看,将某一个指标在不同时间上的不同数值,按照时间的先后顺序排列而成的数列;从数学角度看,是随机过程的样本实现;从系统角度看,某一系统在不同时间(地点、条件等)的响应。 ⑵ 时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻划某一现象与其他现象之间的内在数量关及其变化规律性,达到认识客观世界之目的。而且运用时序模型还可以预测和控制现象的未来行为,修正或重新设计系统以达到利用和改造客观之目的。 ⑶经济时间序列:经济学家观察某种物价指数波动----物价指数时间序列。逐日股票价格、逐月人均收入、逐月产品进口总额、逐年公司利润等。自然科学中时间序列,自然科学家观察气候的变动,可得到逐日降雨量,逐时、逐月平均气温等时间序列。 1.3 ⑴时间序列分析的目的:①预测 ②说明③描述④过程控制⑤政策评估 ⑵我们把用来实现上述目的的整个方法称为时间序列分析方法。 ⑶时间序列分析方法有两类:确定性时间序列方法和随机性时间序列分析方法。 1.5 从三个角度进行描述:从时间变化角度来考察,随机过程X(t)是依赖于时间t的一族随机变量;从试验结果来看,若对事物变化的全过程进行一次观测,得到的结果是一个时间t的函数,但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观测,所得的结果是不相同的,则称这种变化过程为随机过程;从数学角度看,设E是随机试验,S是它的样本空间,如果对于每一个e∈S,我们总可以依某种规则确定一时间t的函数与之对应(T是时间t的变化范围),于是,对于所有的e∈S来说,就得到一族时间t的函数,我们称这族时间t的函数为随机过程,而族中每一个函数为这个随机过程的样本函数(或一次实现、现实)。
随机序列是离散型随机过程,即为整数ZZtXt,,,要对随机序列 2
进行研究,就必须对随机过程进行观测,其一次观测结果是一普通实数数列Ttxt,为随机序列的一个实现或样本。
1.7 ⑴均值函数,ttEX反映了时间序列,ttTX的每时每刻的平均水平;(2)方差函数,TtDXt,,用来反映序列值围绕其均值做随机波动时平均的波动程度;⑶自相关函数与自协方差函数,描述同一事件在两个不同时期之间的相关程度,形象地讲就是度量自己过去的行为对自己现在的影响。 1.9 ⑴宽平稳时间序列的统计特性有以下特性:
① 常数均值 ,XtE对一切Tt,为常数;
方差齐性 TtDXt,0 ② 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关。任取,,,Tkst且,Ttsk有XXXXtskksttskkstEE
,,
第二章 2.1 (a) 3
Sequence number3533312927252321191715131197531V1220210200190 (b)
XT_1220210200190XT220
210200190 (c) 4
XT_2220210200190XT220210200190 从图形可以看出该序列存在一定的一阶自相关。 2.3 二阶自回归模型的基本假设为:tX仅与1tX和2tX有直接关系,而
在1tX和2tX已知的条件下,tX与)4,3(jXjt无关;ta是一个白噪声序列。
第三章 3.1 (a) aBXtt5.01 (b) BBaXtt24.03.11 (c) )4.03.11(5.012BBaBXtt 3.3 (略),注意 jjG1 3.5 3.1中模型 (a)渐进稳定 (b)稳定 (c)渐进稳定 3.5中模型 (a)稳定 (b)稳定 (c)临界稳定 (d)不稳定 (e)不稳定 5
3.7 3.1中模型 (a)可逆 (b)可逆 (c) 可逆 3.5中模型 (a) 可逆 (b) 可逆(c) 可逆(d) 可逆(e) 可逆
3.9 (a) 解、 G0=1, Gj=0.4*)(9.01j,j1
011110.4*0.40.90.40.90.910.90.90.9tjtjtjtjjjjttjjjttjttBBGaaGaXaaBaaaa 因此: 110.90.5ttttaaXX (b)略 3.11解 由aXXXtttt215.0可知5.0,5.0,1221
a,所
以该过程的Yule_Walker方程式为
20120
1121
0.510.50.5a
解得 56,61,32221X 第四章 6
4.1 略。 4.3 序列适合的模型为AR(2)。
4.5残差自相关函数满足22.080/96.1ˆk;统计量
07.11)128(96.3205.01Q,因而ARMA(2,1)模型是适合的。
第五章 5.1 最小均方误差预测就是使预测误差的方差达到最小的预测。 5.3 (1)不正确(2)正确(3)不正确(4)正确
第六章 6.1 答:一、利用序列图进行判断 二、利用样本自相关函数k进行平稳性判断 三、 利用单位根检验进行判断
6.3 答:略
6.5 股价 38 24.32 39 23.1 40 23.7 7
第七章 7.1参考答案: 说明:因为时间序列444(1)(1)(1)ttBBXBa,令
4(1)ttWBX,则44(1)(1)ttBWBa,该模型是一个疏系数的
ARMA(1,4)模型,其自相关函数应该拖尾。 因为44(1)(1)ttBWBa,利用迭代的方法可得
1440()jttjtjjWaa
(11)
则tW的自协方差函数为: ()cov(,)ttssWW 14414400()()jitjtjtsitsijiEaaaa
11444400()()jitjtjtsitsijiEaaaa
2()21444444400()ijtjtsitjtsitjtsitjtsijiEaaaaaaaa
7.3参考答案:B。 选择A的差分是针对长期趋势,而且趋势通常为二次曲线的情形; 选择C的差分是针对双月度资料的季节性时间序列去掉季节趋势; 选择D的差分在实际中很难遇到;
正确的答案为B,半年度数据的周期为2,所以季节差分为2(1)B。 7.5参考答案:A。 因为24的移动平均过程为
1、12344XXXX 8
2、23424XXXX 3、12342345442XXXXXXXX 123451111184448XXXXX
所以权数为11111,,,,84448。
第八章 8.1 (1) 8.3 这种说法不准确。一个时间序列的GARCH模型从形式上看是其平方序列的ARMA模型,与ARMA模型不同的是其残差序列是异方差的。 8.5 (1)(2)
第九章 9.1题参考答案:不正确。因为传递函数模型稳定的要求同时包含两个部分。其一要求传递函数部分的稳定性,其二要求干扰项部分的平稳性。所以,要求特征方程
110rrr
的根在单位圆之内。同时,特征方程 110ppp
的根也在单位圆之内。而不是“或”,而是“和”。 9.3题参考答案:A。因为模型的脉冲响应函数j在3j时有显著为零,那么延迟参数不可能为1和2。因为系统的延迟参数b是第一个显著不为零的可 9
能是3,所以b可能等于3。 9.5题参考答案: 因为1251010.7ttYXB
所以110.71010.725ttBYBX
110.7325tttYYX-++
t a b 输入tX 输出tY 输入tX 输出tY 0 0 0 0 0 1 1 3.0000 1.5 3.0000 2 0 30.1000 0.5 42.6000 3 0 24.0700 2.0 82.8200 4 0 19.8490 1.0 85.9740 5 0 16.8943 -2.5 0.6818 6 0 14.8260 0.5 15.9773 9.7题参考答案:A。
第十章 10.1 略 10.3 答:以下几种可能存在的主要模型。一、新息异常值模型(Innovational