最新高二下学期第三次月考数学(理)试卷

2021-2022学年内江市球溪高级中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．下列语句是命题的是（ ）①三角形的内角和等于180︒；②23>；③2x >；④这座山真险啊！ A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④【答案】A【分析】能够判断真假的陈述语句是命题，据此判断即可.【详解】①三角形的内角和等于180︒是命题；②23>是命题；③2x >不能判断真假，故不是命题；④这座山真险啊！不是陈述句，因此不是命题. 故选：A.2．过椭圆225x + 29y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长是（ ） A ．20 B ．18 C ．10 D ．16【答案】A【分析】根据椭圆的定义求得正确选项. 【详解】依题意5a =，根据椭圆的定义可知，三角形2ABF 的周长为420a =. 故选：A3．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥【答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断. 【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x ，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B. 当1x =时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，1x =-，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即⌝p 任意x ∈R ，均有210x x ++≥，故正确； 故选：C4．已知命题:p 垂直于同一平面的两直线平行；命题:q 平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∨ D ．p q ∨【答案】D【分析】判断命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项. 【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题p 为真命题， 平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题q 为假命题， 所以，()()p q ⌝∧⌝、p q ∧、()p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题. 故选：D.5．已知椭圆C ：2212516x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，上顶点为P ，则（ ）A ．12PF F △为锐角三角形B ．12PF F △为钝角三角形C ．12PF F △为直角三角形D ．P ，1F ，2F 三点构不成三角形【答案】A【分析】根据题意求得1212,,PF PF F F ，要判断12PF F △的形状，只需要看12F PF ∠是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆C ：2212516x y +=，得22225,16,9a b c ===，则()()()123,0,3,0,0,4F F P -， 则12125,6PF PF F F ===， 所以1221PF F PF F ∠=∠且为锐角，因为2221212252536140PF PF F F +-=+-=>， 所以12F PF ∠为锐角， 所以12PF F △为锐角三角形. 故选：A.6．已知椭圆2222135x y m n+=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 A ．15x y = B ．15y = C ．3x y = D ．3y x = 【答案】D【详解】试题分析：∵椭圆和双曲线有公共焦点，∴22223m 5n 2m 3n -=+，整理得22m 8n =，∴双曲线的渐近线方程为y=223n 3132m 28x x ±=±⨯=，故选D ．【解析】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质．点评：基础题，先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c ，令二者相等即可求得m 和n 的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．7．双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，下列结论不正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为53B ．该双曲线的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为32 【答案】D【分析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a ＝3，b ＝4，c ＝5，22169169144x y -=⨯=， 故离心率e 53=，故A 正确；由双曲线的性质可知，双曲线线221916x y -=的渐近线方程为y ＝±43x ，故B 正确；设P （x ，y ），则P 到两渐近线的距离之积为22169434316914455252525x y x y x y --+⨯⋅===，故C 正确；若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得2221212||||100PF PF F F +==，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝6（不妨取P 在第一象限），∴2221212()||PF PF PF PF -=+-2|PF 1|⋅|PF 2|＝100﹣2|PF 1|⋅|PF 2|，解得|PF 1|⋅|PF 2|＝32，可得12121162PF F S PF PF =⨯⨯=，故D 错误. 故选：D8．已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率等于（ ）A 5B 2C 53D 35【答案】C【分析】由等比中项定义求得m ，根据m 的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率．【详解】由已知228m =⨯，4m =±，当4m =-时，方程为2214y x +=，曲线为椭圆， 224,1a b ==，413c -3e =当4m =时，方程为2214y x -=，曲线为双曲线，221,4a b ==，415c =+=为5e = 故选：C ．9．已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．12【答案】A【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得. 【详解】如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，易知1PHF PHQ ∽，所以|PF 1|＝|PQ |.根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，即|PF 2|－|PQ |＝2， 从而|QF 2|＝2.在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，则|OH |＝1. 故选：A.10．已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（ ） A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x > C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > D ．[],x a b ∀∈，()()f x g x > 【答案】C【分析】先解读选项ABC ，D 选项是12M M >成立的充分不必要条件，再判断得解. 【详解】解：A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值； B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值；C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件；D 选项是12M M >成立的充分不必要条件． 故选：C11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，且1F AB 23-P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ）A ．[]1,2B ．2,3⎡⎣C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,4【答案】D【分析】由已知和面积得到2a =，3c 1211PF PF +进行化简，配方求最值. 【详解】由已知的22b =，故1b =.∵1F AB 23-∴()1232a c b --=，∴23a c -=又∵222()()1a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，3c =∴()2212121111||112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+， 又12323PF ≤，∴2211114(2)44PF PF PF ≤-+=--+≤， ∴121114PF PF ≤+≤.∴1211PF PF +的取值范围为[]1,4. 故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题. 12．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于A ，B 的动点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，则OP OQ ⋅=（ ） A ．16 B ．9 C ．4D ．3【答案】B【分析】设动点0(M x ，0)y ，由双曲线方程可得A ，B 的坐标，求出AM ，BM 所在直线方程，可得P 与Q 的坐标，求得202016·16y OP OQ x =-，再由动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，得2200169(16)y x =-，则||||OP OQ ⋅的值可求. 【详解】解：设动点0(M x ，0)y ，由双曲线方程22:1169x y C -=得(4,0)A -，(4,0)B ， 则004AM y k x =+，004BM y k x =-，所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++，直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--， 由此得004(0,)4y P x +，004(0,)4y Q x --， 所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--. 因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，所以22001169x y -=，所以2200169(16)y x =-，则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--. 故选：B. 二、填空题13．命题“9的平方根是3”是________命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假【分析】根据9的平方根是3±判断即可.【详解】解：因为9的平方根是3±，所以命题“9的平方根是3”是假命题. 故答案为：假14．经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 . 【答案】22188y x -=【详解】设双曲线的方程为：22x y λ-=，将(1,3)A -代入可得，8λ=-，所以等轴双曲线的方程为：22188y x -=.15．若斜率为k 的直线l 与椭圆22:132x y C +=交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为11,23⎛⎫⎪⎝⎭，则k =___________. 【答案】-1【分析】根据给定条件设出点A ，B 的坐标，再借助“点差法”即可计算得解. 【详解】依题意，线段AB 的中点11,23⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 内，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：()()()()12121212032x x x x y y y y -+-++=， 而121221,3x x y y +=+=，于是得1212033x x y y --+=，即12121y y k x x -==--， 所以k =1-. 故答案为：1-16．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为两点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“出租车距离”．给出下列四个结论：①若点()0,0O ，点()1,2A ，则(),3d O A =；②到点()0,0O 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点()1,2A ，点B 是圆221x y +=上的动点，则(),d A B 的最大值是32+．其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③【分析】理解“出租车距离”的定义，根据定义写出有关代数式即可求解. 【详解】对于①，根据定义(),10203d O A =-+-= 故正确； 对于②，根据定义，设目的地为(),A x y ， 则(),001d O A x y x y =-+-=+≤…① ，当A 点在第一象限时，①式即为1x y +≤ ，第二象限时为1x y -+≤ ， 以此类推得如下图形（阴影部分）：其面积为：12222⨯⨯= ，故错误；对于③，设(),B x y ，(),11d A B x y =-+- ，∵B 在圆221x y += 上，∴1,1x y ≤≤ ，(),123d A B x y x y =-+-=-- ，()3,y x d A B =-+- ，为在区域为221x y +=，目标函数为(),3d A B x y =--求最大值的 线性规划问题，， 如下图：显然当直线()3,y x d A B =-+-为圆221x y +=在第三象限的切线时，(),d A B 最大， 为32，故正确； 故答案为：①③. 三、解答题17．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求离心率2e =()5,3M -的双曲线标准方程． 【答案】（1）22195x y +=；（2）2211616x y -= 【分析】（1）根据题意直接得出,a c 后求解 （2）待定系数法设双曲线方程，列方程组求解【详解】（1）由题意得3,2a c ==，故2945b =-=，椭圆标准方程为22195x y +=（2）①若双曲线焦点在x 轴上，设其方程为22221x y a b-=，由题意2c a =而222c a b =+故a b =，由222591a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩解得2216a b ==，故双曲线标准方程为2211616x y -= ②若双曲线焦点在y 轴上，设其方程为22221y xa b-=，同理a b =，此时将()5,3M -代入后方程无解综上，双曲线标准方程为2211616x y -= 18．已知命题p ：函数()3log f x x a =-在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点；命题q ：[]00,2x ∃∈，使得30035x x a -+-＜0成立.（1）若p 和q 均为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 和q 其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()3,+∞；（2）(][],22,3-∞-⋃.【分析】先求出当命题p 为真时，解得2a ≤-或2a ≥；再求出当命题q 为真，解得3a >.（1）先判断命题p ，q 均为真命题，再求出实数a 的取值范围为(3,)+∞；（2）先判断p ，q 一真一假，最后实数a 的取值范围为(,2][2,3]a ∈-∞-. 【详解】（1）函数()f x =3log x a -在区间1,99⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，p 为真命题∴()f x =3log x a -在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点∴311log 2099f a a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭或者()39log 920f a a =-=-≤得2a ≤-或2a ≥令()335(02)f x x x a x =-+-≤≤∴()f x '=233x -当()f x '＞0时，得12x ≤≤，当()f x '＜0时，得0≤x ＜1∴()f x 最小值为()13f a =- q 为真∴a ＞3（1）p ，q 均为真命题∴a 的取值范围是()3,+∞ （2）p ，q 一真一假若p 真，q 假，则223a a a ≤-≥⎧⎨≤⎩或，解得a 的范围是(][],22,3-∞-⋃；若p 假，q 真，则223a a -⎧⎨⎩＜＜＞，解得无解； ∴a 的取值范围是(][],22,3-∞-⋃.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，一条渐近线方程为20x y -=(1)求双曲线C 的标准方程； (2)已知倾斜角为34π的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．【答案】(1)2214y x -=(2)3y x =-+【分析】（1）由实轴长得到a ，由渐近线斜率得到ba，即可得到方程；（2）由倾斜角得到直线斜率，设直线方程，联立双曲线方程，消去x ，利用韦达定理即可表示线段AB 的中点的纵坐标，解出参数即可.【详解】(1)由题，22a =，由20x y -=得，222by x b a=∴=∴=,,，所以双曲线C 的标准方程为：2214y x -=(2)直线斜率3tan 14k π==-，设直线为y x m =-+，联立得2214y x my x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440y my m -+-=，设,A B 两点坐标分别为()11x y ,、()22x y ,，线段AB 的中点的纵坐标为4，则1282483my y +==⨯=，3m ∴=∴,直线方程为3y x =-+.20．已知5:21p x ≥+，22:20q x mx m --≤，其中0m >． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)是否存在m ，使得p ⌝是q 的必要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)m 1≥(2)不存在，理由见解析【分析】（1）解不等式，由充分条件的定义得出实数m 的取值范围；（2）由p ⌝是q 的必要条件得出不等关系，结合0m >作出判断.【详解】(1)由521x ≥+得2301x x -≤+，故有3:12p x -<≤． 由2220x mx m --≤得()()20x m x m -+≤，即:2q m x m -≤≤．若p 是q 的充分条件，则p q ⇒成立，即1322m m -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩得m 1≥. (2)因为3:12p x -<≤，所以:1p x ⌝≤-或32x >． 若p ⌝是q 的必要条件，则q p ⇒⌝成立，则21m ≤-或32m ->， 显然这两个不等式均与0m >矛盾，故不存在满足条件的m ．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为226. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求AB 的最大值.【答案】(1)2213x y +=； 6.【分析】（1）由题设可得222c =6c a 结合椭圆参数关系求2b ，即可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 为y x m =+，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由0∆>求m 的范围，再应用韦达定理及弦长公式求AB 关于m 的表达式，根据二次函数性质求最值即可.【详解】(1)由题设，222c =6c a 2c =3a =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22:13x C y +=. (2)设直线l 为y x m =+，联立椭圆C 并整理得：2246330x mx m ++-=，所以2223616(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，可得22m -<<，且32A B m x x +=-，23(1)4A B m x x -=， 所以22229|23(1)64|(11)4A B m m x x m AB k ---=-=+⋅(2,2)m ∈-， 故当0m =时，max 6AB =22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，过双曲线C 的右焦点()2,0F 的直线1l 与双曲线C 分别交于左、右两支上的A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)过原点O 作直线2l ，使得21//l l ，且与双曲线C 分别交于左、右两支上的点M 、N ．是否存在定值λ，使得MN MN AB λ⋅=？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213y x -= (2)存在，2λ=【分析】（1）由题意得到3b a =2c =，结合222c a b =+，求得,a b 的值，即可求得双曲线的方程；（2）由MN 与AB 同向，所以2MNAB λ=，设直线1:2l x ty =+，联立方程组，结合韦达定理求得121222129,3131t y y y y t t -+==--，利用弦长公式求得()226131t AB t +=-，根据21//l l ，设2:l x ty =，联立方程组求得()22212131t MN t +=-，进而求得λ的值，得出结论.【详解】(1)解：因为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =， 所以3b a=3b a =． 又因为右焦点F 的坐标为()2,0，所以2c =，又由222244c a b a =+==，解得1a =，所以3b =所以双曲线C 的方程为2213y x -=． (2)解：存在定值2λ=，使得MN MN AB λ⋅=．因为MN 与AB 同向，所以2MNAB λ=，由题意，可设直线1:2l x ty =+，联立方程组22213x ty y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22311290t y ty -++=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，可得121222129,3131t y y y y t t -+==--， 由直线1l 分别交双曲线C 的左、右两支于A 、B 两点，可得()()()222212310Δ12363136100t t t t x x ⎧-≠⎪⎪=--=+>⎨⎪<⎪⎩，即()()()221223103422031t t ty ty t ⎧-≠⎪⎨-+++=<⎪-⎩，可得2310t ->， 所以2121AB t y =+-()22121214t y y y y =++-()2222226112361313131t t t t t t +-⎛⎫+- ⎪---⎝⎭由21//l l ，可设2:l x ty =， 由2233x ty x y =⎧⎨-=⎩，整理得()22313t y -=． 设00(,)M x y ，则()00,N x y --，所以202331y t =-， 则()()()()222222000212111431t MN t y t y t +=+--=+⋅=-，所以22MNAB λ==，故存在定值2λ=，使得MN MN AB λ⋅=．。

2022-2023学年云南省曲靖市高二下学期月考（三）数学试题一、单选题1．设集合{}|24A x x =-≤≤，{}|2,B x x n n ==∈N ，则A B = （）A ．{}2,0,2,4-B ．{}2,4C ．{}24x x ≤≤D ．{}0,2,4【答案】D【分析】{}0,2,4,6,8,B = ，再计算交集得到答案.【详解】{}0,2,4,6,8,B = ，∴{}0,2,4A B = .故选：D.2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1D ．1-【答案】D【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-，所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2P X ≤=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】C【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+= ．故选：C ．4．已知数列{}n a 是等差数列，且237820a a a a +=--，则5a =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据数列的下标和性质，对原式进行转化即可求得.【详解】因为237820a a a a +=--，所以()()283720a a a a +++=，5420a =，解得55a =.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.5．2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则()P BA =∣（）A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A【分析】根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】依题意()()()()()12132,,23243P AB P A P AB P BA P A ==∴===∣，故选：A6．已知随机变量(,)X B n p ，且()4,()2E X D X ==，则(1)P X ==（）A ．312B ．412C ．512D ．612【答案】C【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出,n p 的值，进而可求.【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：()()()412E X np D X np p ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得1,82p n ==，则1718851181(1)2222P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b<c<a C ．c<a<b D ．c b a<<【答案】C【详解】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>，2ln6lne 2c =<=，所以c a b <<；故选C.8．关于函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞.下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,-∞-+∞ 【答案】D【解析】根据函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x e x -=∈-∞+∞，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确；令22x t =-，在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，又t y e =在(,0]-∞单调递增，则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t ∈-∞可得(0,1]y ∈，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e -->222x ->-，则24x <，22x -<<故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对复合函数的单调性的判断，并由此应用到求值域和解不等式.二、多选题9．已知抛物线2:4x yΓ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（）A ．点F 坐标为(1,0)B ．抛物线Γ的准线方程为1y =-C ．线段MN 长为4D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切【答案】BC【解析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A 不正确，B 正确；令1y =，可得求得4MN =，可判定C 正确；联立方程组，根据∆<0，可判定D 不正确.【详解】由抛物线2:4x yΓ=，可得24p =，即2p =，且焦点在y 轴上，所以焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，所以A 不正确，B 正确；令1y =，可得24x =，解得2x =±，所以4MN =，所以C 正确；联立方程组224y x x y=-⎧⎨=⎩，整理得2480x x -+=，可得2(4)480∆=--⨯<，所以直线2y x =-与抛物线没有公共点，所以D 不正确.故选：BC.【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.10．已知函数()33sin2cos222f x x x =+，则下列选项正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 的最大值为3D ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称【答案】CD【分析】利用三角函数辅助角公式化简可得()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求得周期，判断A ；结合正弦函数的最值判断C ；结合正弦函数的对称性判断B ，D.【详解】由题意得函数()33πsin2cos23sin 2226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；由于πππ33sin 203362f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线()y f x =不关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；由于()π3sin 2,R 6f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故max ()3f x =，故C 正确；由于πππ3sin 23666f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为函数最值，则曲线()y f x =关于直线π6x =对称，故D 正确，故选：CD.11．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）A ．共有60种不同的坐法B ．空位不相邻的坐法有72种C ．空位相邻的坐法有24种D ．两端不是空位的坐法有18种【答案】ACD【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A ，3554360A =⨯⨯=，故A 正确；对于B ，相当于先排好这3个人有33A 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有24C 种插法，234336C A =，故B 错误；对于C ，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中，134324C A =，故C 正确；对于D ，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有123318C A =种，故D 正确；故选：ACD.12．设函数()e ln xf x x=，则下列说法正确的是()A ．()f x 定义域是()()0,11,+∞ B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有两个极值点【答案】ABC【分析】直接根据函数解析式即可判断A 、B ；求f (x )的导数，利用导数即可研究函数的单调性、极值点，由此即可判断C 、D.【详解】对A 选项，()e ln xf x x =需满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，∴()e ln xf x x=的定义域为()()0,11,+∞ ，故A 正确；对B 选项，由()e ln xf x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，∴()f x 在()0,1上的图像都在x 轴的下方，故B 正确；对C 选项，()21e ln (ln )x x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭='，令()1ln g x x x =-，∵()2110g x x x '=+>，∴()g x 在()0,∞+单调递增，∵()12ln 202g =->，∴x ＞2时，g (x )＞0，()0f x ¢>，∴()f x 存在单调递增区间，故C 正确；对D 选项，由B 可知，()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方；当x ＞1时，∵g (x )在()0,∞+单调递增，且()11ln1101g =-=-<，()12ln 202g =->，∴存在唯一的()01,2x ∈使g (x )＝0，即()00f x '=，当()00,x x ∈时，g (x )＜0，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，g (x )＞0，()0f x ¢>，()f x 单调递增，∴f (x )只有一个极小值点，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．若向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，且a b ∥ ，则x =___________.【答案】13【分析】利用向量平行的充要条件列方程求x .【详解】因为向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，a b ∥ ，所以()()53221x x -=-，解得：x =13.故答案为：1314．41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为__________．【答案】2【分析】根据二项式定理求出4(1)x +通项，再求2x 项的系数.【详解】因44411(1)(1)(1)(1)x x x x x-+=+-+，只需要求4(1)x +的展开式中含23,x x 项的系数．又4(1)x +的展开式的通项为14C r rr T x +=，则含23,x x 项的系数分别是2443C 62⨯==，34C 4=，()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344C C 642-=-=.故答案为：2.15．网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程.某同学有一圆锥状的木块，想把它打磨成“车珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为396πcm ，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积的最大值是__________3cm .【答案】36π【分析】根据圆锥体积求出圆锥的高和母线长，利用轴截面面积求得珠子的半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的高为cm h ，则21π696π,83h h ⋅⋅=∴=，故圆锥的母线长为228610(cm)l =+=，作圆锥轴截面和其内切圆，此时珠子的体积最大，设内切圆的半径为r ，则()11128101012,3(cm)22r r ⨯⨯=⨯++⨯∴=，故该珠子的体积最大值是33)4π336π(cm 3⋅=，故答案为：36π四、双空题16．已知函数()()221x f e x x x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】10x y +-=(],0-∞【解析】（1）求出()0f '，可得出所求切线的斜率，并求出切点的坐标，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用参变量分离法得出()f x a x≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()f xg x x=，利用导数求出函数()g x 在区间()g x 在区间()0,∞+上的最小值，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()()221x e x f x x =-+ ，()()()()2221221x x x f x e x x e x e x '∴=-++-=-，所以()01f '=-，又因为()01f =，所以切线方程为1y x =-+，即10x y +-=；（2）由题可得：()≥f x a x在()0,∞+恒成立，设()()12xe g xf x x x x⎛⎫=+- ⎝=⎪⎭，则()()()2211x e x xx x g -+'=，因为0x >，所以当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以当1x =时，()g x 有最小值()10g =，所以0a ≤.故答案为：10x y +-=；(],0-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且236,1,a a a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足n b =11n n a a +，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)32n a n =-(2)n T =31+n n 【分析】(1)运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式.(2)求得n b =1311()3231n n --+，用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】（1）由53535S a ==，得37a =，由236,1,a a a +成等比数列，得()2263164a a a =+=，即()()33364a d a d -⋅+=，整理得2314150d d -+=，又因为公差d 为整数，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-；（2）n b =11n n a a +=1(32)(31)n n -+=1311()3231n n --+，所以123n n T b b b b =++++= 11111111[(1)()()()]34477103231n n ⨯-+-+-++--+ =11(1)331n ⨯-+=31+n n ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①()3cos sin a b C b C -=，②()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=这两个条件中任选一个，并解答：（1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，3b =，求ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）3B π=；（2）312.【分析】（1）若选①：根据正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，化简成3cos sin sin sin B C B C =，即可得解；若选②：由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-，结合余弦定理即可求解；（2）结合（1）利用余弦定理求出13ac =，即可得到三角形面积.【详解】（1）若选①：因为()3cos sin a b C b C -=，由正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，即()3sin sin cos sin sin B C B C B C +-=⎡⎤⎣⎦，3cos sin sin sin B C B C =，又因为B ，()0,C π∈，所tan 3B =，即3B π=若选②：()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-化简得：222a c b ac +-=，又由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得1cos 2B =，又因为()0,B π∈，得3B π=·（2）由余弦定理得2222cos3=+-b a c ac π∴()223b a c ac =+-，又2a c +=，3b =，代入得13ac =，所以13sin 212S ac B ==.19．在如图所示几何体中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，AB CD ∥，AF BE ∥，AB AD ⊥，AB AF ⊥，且平面ABCD ⊥平面ABEF ．已知2==AB AF ，1AD CD BE ===．(1)证明：BC FC ⊥；(2)求直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)105【分析】（1）由面面垂直的性质得到AF ⊥平面ABCD ，即可得到BC AF ⊥，再连接AC ，即可得到BC AC ⊥，从而得到BC ⊥平面AFC ，即可得证；（2）建立直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，又AB AF ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC AF ⊥，连接AC ，在梯形ABCD 中，由2AB =，1AD =，1CD =，AD AB ⊥，所以45DCA BAC ∠=∠=︒，所以45CBA ∠=︒，所以BC AC ⊥，因为BC AC ⊥，BC AF ⊥，,AC AF ⊂平面AFC ，AC AF A ⋂=，所以BC ⊥平面AFC ，因为FC ⊂平面AFC ，所以BC FC ⊥（2）解：分别以AB 、AF 、AD 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()1,0,1C ，()0,2,0F ，()2,1,0E ，所以()1,0,1BC =- ，()0,1,0BE = ，()2,1,0EF =- ，设平面BEC 的法向量为(),,n x y z = ，平面BEC 与直线EF 所成的角为θ，则00n BE y n BC x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩ ，令1x =，则1z =，0y =，所以()1,0,1n = ，所以()2222210sin 52111n EF n EFθ⋅-===⋅-+⋅+ ，所以直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值为105；20．2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组[30,35)，第二组[35,40)，第三组[40,45)，第四组[45,50)，第五组[50,55)，第六组[55,60]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求实数a 的值；（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）0.036a =（2）①310p =②见解析【分析】（1）根据频率和为1列方程，解方程求得a 的值.（2）利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数.①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】解：（1）直方图中的组距为5，可得0.024520.035520.0451a ⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，得0.036a =.（2）从直方图中可得第四组的人数为0.04520040⨯⨯=（人），第五组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），第六组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率111433310310C C C p C ⋅⋅==；②ξ的可能取值为0，1，2，3，()0346310106C C P C ξ===，()2164310112C C P C ξ===，()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===，ξ的分布列为ξ0123P 1612310130()11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图有关的计算，考查古典概型，考查超几何分布，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P (0，3)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，1432y x =±+.【分析】（1）点()2,1代入椭圆方程，得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，解出a ，b ，进而得出方程.（2）分两种情况讨论，斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，斜率存在时设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，结合韦达定理和2PB PA = ，分析斜率，进而写出方程.【详解】解：（1）由已知点代入椭圆方程得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，由以上两式解得a 2=4，b 2=2，所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，所以设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，1221212k x x k +=-+①，1221412x x k =+②△=(12k )2﹣4×14×(1+2k 2)>0，274k >，设所求直线与椭圆相交两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知条件2PB PA = 可得x 2=2x 1③，综合上述①②③式子可解得27724k =>符合题意，所以所求直线方程为：1432y x =±+.【点睛】本题考查椭圆的方程，以及直线和椭圆相交问题，属于中档题.22．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的定义域和导数()1f x a x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析()f x '在()0,∞+上导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数()y f x =有两个零点，则0a >且有10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，知函数()y f x =在()0,∞+内单调递增；②当0a >时，由()0f x ¢>，即10a x ->得10x a<<；由()0f x '<，即10a x-<得1x a >.所以，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.因此，当0a ≤时，()y f x =在()0,∞+内单调递增；当0a >时，()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减；（Ⅱ）当0a ≤时，则函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =最多一个零点，不合乎题意，舍去；当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，则11ln1ln10f aa a⎛⎫=-=-->⎪⎝⎭，即ln1a<-，解得10ae<<.因此，实数a的取值范围是1 0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。

郑州四中2021-2022学年下期高二年级期末模拟考试理科数学命题人 审题人一､单选题（共60分）1.已知复数i z =，则复数1iz-的模是（ ）A.2 D.32.已知函数()f x 满足()()()221202x f x f e f x x -=-+'，则()f x 的单调递减区间为（ ） A.(),0∞- B.()1,∞+ C.(),1∞- D.()0,∞+3.已知随机变量ξ的分布列如下表，()D ξ表示ξ的方差，则()32D ξ+=（ ）A.2 B.2 C.2 D.1324.5位大学生在若假期间主动参加,,A B C 三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（ ）A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数,x y 满足2x y +=，则下列结论的证明更适合用反证法的是（ ） A.证明1xy ≤ B.证明,x y 中至少有一个不大于1 C.证明222x y +≥ D.证明,x y 可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：cm ）和臂展（单位：cm ）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的线性回归方程为ˆˆ1.234uv =-，则下列结论不正确的是（ ）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据回归方程可估计身高为160cm 的人的臂展为158cm 7.下列有关线性回归分析的六个命题：①在回归直线方程20.5ˆyx =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位 ①回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ①当相关性系数0r >时，两个变量正相关①如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 就越接近于1①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 ①甲､乙两个模型的相关指数2R 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 其中真命题的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线2ln 3y x x x =-的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为（ ） A.420x y --= B.520x y --= C.420x y +-= D.520x y +-=9.柯西分布（Cauchydistribution ）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ~，其中当01,0x γ==时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为()()211f x x π=+.已知()(211,0,,(1312X C P X P X ~≤=<≤=，则()1P X ≤-=（ ）A.16B.23C.14D.1210.已知实数12em dx x =-⎰，则521m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为（ ） A.130 B.110 C.110- D.130-11.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代，如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后选代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（ ）12.已知0,0a b >>，且1(1)(3)b a a b ++=+，则（ ） A.1a b >+ B.1a b <+ C.1a b <- D.1a b >-二､填空题（共20分）13.类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆222:C x y r +=有性质：过圆C 上一点()00,M x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=.类比上述结论，过椭圆22:1124x y E +=的点()3,1P -的切线方程为__________.14.现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有种__________.15.已知函数()32ln 1,042,0x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩，若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.三､解答题（共70分）17.已知122i,34i z a z =+=-（其中i 为虚数单位）（1）若12z z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若2023122iz z -<+（其中2z 是复数2z 的共轭复数），求实数a 的取值范围.18.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；①若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4：1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，__________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项.19.已知函数()()24ln 1,f x ax x a =-+为常数.（1）若()f x 在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）若()f x 在[]2,3上是增函数，求实数a 的取值范围. 20.已知数列{}n a 的前n 项和112n n na S a =+-，且0,n a n N +>∈. （1）求123,,a a a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升.1至5月，其售价（元/只）如下表所示：（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为：袋子里有颜色为红､黄､蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠.方案二：线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头､剪刀､布”视频比赛.客户和机器人每次同时､随机､独立地选择“石头､剪刀､布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头.手势相同视为平局，不分胜负.客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠.请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X 表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X 的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠.参考公式：()()()()nnii ii xx y y xx y y r ----==∑∑，ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 6.5≈， 2.08y =，()()516.4i i i x x y y =--=∑，()5214.208i i y y =-=∑.22.已知函数()cos f x x x =⋅.（1）当()0,x π∈时，求证：()sin f x x <； （2）求证：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()210f x -=有且仅有2个实数根. 参考答案：1.B 【解析】先求出z ，进而根据复数的除法运算法则进行化简，最后求出模即可. 【详解】由题可得i z =，则)()i 1i 1i 2z+=-，所以1i z ==-故选：B. 2.A 【解析】 【分析】对()f x 求导得到关于()2f '､()0f 的方程求出它们的值，代入原解析式，根据0f x 求单调减区间.【详解】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为（-∞，0）.故选：A 3.C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a ，根据公式求出()D ξ，再根据方差的性质可求出结果. 【详解】根据分布列的性质得11214a a +-+=，得14a =，所以111()2101424E ξ=⨯+⨯+⨯=，所以222111()(21)(11)(01)424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯12=，所以9(32)9()2D D ξξ+==. 故选：C 4.D 【解析】 【分析】每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案.因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况.若是1，2，2，则共有1223542322C C C A 90A ⨯=（种）； 若是1，1，3，则共有1133543322C C C A 60A ⨯=（种）， 所以共有6090150+=（种）不同的方法. 故选：D. 5.B 【解析】 【分析】根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断. 【详解】实数,x y 满足2x y +=，观察四个选项，更适合用反证法的是B ， 原因是：假设1x >且1y >，则2x y +>，与已知矛盾，故原结论成立， 其它选项均不适合. 故选：B 6.C 【解析】 【分析】利用平均值､极差､线性回归方程的特征进行逐项判断. 【详解】 解：对于选项A ：因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确.对于选项B ：因为1.20>，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 正确. 对于选项C ：因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.217634177.2cm ⨯-=，故C 错误.对于选项D ：若一个人的身高为160cm ，则由回归方程ˆˆ1.234uv =-，可得这个人的臂展的估计值为158cm ，故D 正确. 故选：C 7.B 【解析】 【分析】对于①，根据回归直线方程的特点即可判断；对于①，根据回归直线的几何意义即可判断；对于①，根据相关指数大于0，可得两变量正相关即可可判断；对于①，根据相关系数r 与变量的相关性的关系即可可判断；对于①，根据残差图的特点即可判断；对于①，根据模型的2R 与效果的关系即可判断. 【详解】对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程ˆ20.5y x =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，故①正确； 对于①，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确.回归直线也可能不过任何一个点；故①不正确；对于①，当相关性系数0r >时，两个变量正相关，故①正确；对于①，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 的绝对值就越接近于1；故①不正确； 对于①，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故①不正确； 对于①，甲､乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故①不正确， 则正确的个数为2. 故选：B. 8.D 【解析】 【分析】设出切点坐标()20000,ln 3x x x x -，根据导数的几何意义写出切线方程，将点()0,2代入求出0x 的值，进而得切线方程. 【详解】函数2ln 3y x x x =-的定义域为()0,∞+，设切点坐标为()20000,ln 3x x x x -，因为ln 61y x x '=-+，则切线斜率为00ln 61x x -+，所以切线方程为()()2000000ln 3ln 61y x x x x x x x -+=-+-，将点()0,2代入切线方程并整理得200320x x --=，解得01x =，或023x =-（舍去），所以这条切线的方程为()351y x +=--，即520x y +-=. 故选：D. 9.C 【解析】 【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】 因为21()()π(1)f x f x x -==+，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，由P （|X |=23，可得1(03P X <<=，因为P （1X <≤=112，所以111(01)3124P X <<=-=，因此1(10)4P X -<<=，所以111(1)244P X ≤-=-=， 故选：C 10.C 【解析】 【分析】由微积分基本定理求解m ，将5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭看作5个因式22(1)x x +-相乘，要得到21x ，分析每个因式所取项的情况. 【详解】1ee122ln |2(ln e ln1)2m dx x x=-=-=--=-⎰， 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式22(1)x x +-相乘，所以其展开式中含21x 的项为1个因式中取22x ，4个因式取1-，或者2个因式中取x ，2个因式取22x ，1个因式取1-所得到的项， 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为()()412225532C 12C C 1110-+-=-. 故选：C. 11.C 【解析】 【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得. 【详解】设最大正三角形的边长为1a ，则127a =，其内部迭代出的正三角形的边长分别为237,,,a a a ⋅⋅⋅，由余弦定理得2222111112222cos 333333a a a a a a π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理得22226237,,33a a a a =⋅⋅⋅=，①62271113a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，①最小的正三角形的面积77711sin 1232S a a π=⨯⨯⨯=⨯=.故选：C. 12.B 【解析】 【分析】根据题意，两边取对数整理得()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++，进而构造函数()()()ln 10x f x x x+=>，利用单调性来比较自变量a 与1b +的大小. 【详解】 解：因为()()113b aa b ++=+，0a >，0b >，所以()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++. 设()()()ln 10x f x x x +=>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=.设()()()ln 101x g x x x x =-+>+，则()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++， 所以()g x 在()0,∞+上单调递减.当0x →时，()0g x →， 所以()0g x <，即()0f x '<，故()f x 在()0,∞+上单调递减. 因为()()1f a f b >+，所以1a b <+. 故选：B. 13.40x y --= 【解析】 【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=，然后可得.【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=.所以，，过椭圆22:1124x y E +=上的点()3,1P -的切线方程为31124x y -+=，即40x y --=. 将4y x =-代入221124x y+=得：2690x x -+=，解得3x = 所以直线40x y --=和椭圆22:1124x y E +=有唯一交点()3,1P -，即直线与椭圆相切. 故答案为：40x y --= 14.420按照A B C D E →→→→的顺序进行涂色， 其中B 与D 的颜色可以相同也可以不相同，所以不同的涂色方法共有()5431322607420⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯=种.故答案为：42015.()0,1【解析】【分析】将原问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =有4个交点，分0x >和0x <两类情况讨论，利用导数判断函数()g x 的单调性求得最值，由此作出函数()y g x =的图象，利用数形结合即可求出实数a 的取值范围.【详解】方程()f x ax =有四个不等的实数根，等价于()222ln 1,024,0x x x y g x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩的图象与直线y a =有4个交点.当0x >时，()22ln 1x g x x+=，则()34ln x g x x -'=，令()0g x '<，可得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故函数()g x 在()0,∞+上的最大值为()11g =.当0x <时，()224g x x x =--，则()()3222122x g x x x x +'=+=，令()0g x '<，可得1x <-，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，故函数()g x 在(),0∞-上的最小值为()11g -=-.作出函数()g x 的图象，如图所示，要使函数()g x 图象与直线y a =有4个交点，则01a <<，故实数a 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1. 16.10113【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件A ：“李好第一枪击中目标”，事件B ：“李好第二枪击中目标”，事件C ：“李好第三枪击中目标”，事件D ：“目标被击中”，则()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++0.80.20.40.20.60.20.904=+⨯+⨯⨯=，()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()()0.08100.904113P BD P B P B D P D P D ====. 故答案为：1011317.（1）83a =（2）24a <<【解析】【分析】（1）根据题意123846i 2525z a a z -+=+，再根据纯虚数性质求解；（2）根据题意得122i z z -<-，即.（1） 由12i z a =+，234z i =-，得()()122i 34i 2i3846i 34i 252525a z a a a z +++-+===+-， 因为12z z 为纯虚数，所以38025a -=，且46025a +≠，所以83a =（2）()()()122i 34i 32i z z a a -=+-+=--， 因为2023122i z z -<+，所以122i z z -<-<即()2345a -+<，解得24a <<.18.（1）4352T x =和74254T x =（2）51T x =，4352T x =，35516T x =【解析】【分析】（1）无论选①还是选①，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.（1）二项展开式的通项公式为：211C C,0,1,2,,2rr r r r n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，①()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-（舍去），①5n =.若选①，则由题得()221111C 22141C 22n n n n n n nn n n----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，①5n =，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52r r r r r r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 当52r Z -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项， 所以展开式中所有的有理项为：51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭. 19.（1）1a =，极小值点（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出1a =，从而求出单调区间，判断出1x =是()f x 的极小值点；（2）问题转化为2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，求出2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，从而求出实数a 的取值范围. （1）①()f x 定义域为(1,)-+∞，()421f x ax x'=-+； 若()f x 在1x =处有极值，则()1220f a '=-=，①1a =，此时()()24ln 1f x x x =-+，()()()2214 211x x f x x x x+-'=-=++. ①1x >-，①20x +>，10x +>，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数.当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数.①1x =是()f x 的极小值点.（2）由条件知()0f x '≥在[]2,3x ∈上恒成立，即4201ax x -≥+， ①22a x x ≥+在[]2,3x ∈上恒成立，只需2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， ①2211[6,12]24x x x ⎛⎫+=+-∈ ⎪⎝⎭，①2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，即13a ≥，即a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.（1）11a，2a3a （2）n a .【解析】【分析】（1）赋值法进行求解；（2）猜想n a（1）令1n =得：111112a a a =+-，因为0n a >，n ∈+N ，解得：11a ，令2n =得：2122112a a a a +=+-，即2221112a a a +=+-解得：2a ，令3n =得：31233112a a a a a ++=+-，3331112a a a =+-，解得：3a（2）猜想{}n a的通项公式为n a当1n =时，11a ，成立，假设n k =时，k a =则12315321211k k S a a a k k =+++=-+-++--=则当1n k =+时，111112k k k a S a +++=+-，即111112k k k k a S a a ++++=+-1111112k k k a a a++++=+-，解得：1k a +综上：n a n *∈N 都成立.21.（1）相关系数0.98；ˆ0.640.16yx =+ （2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为14645；方案二分布列见解析；期望为446135；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出x y 、的值，带入参考公式计算即可. （2）根据（1）中线性回归方程，求得X 可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.（1）相关系数()()56.40.986.5i ix x y y r --==≈≈∑， 由于0.98接近1，说明y 与x 之间有较强的线性相关关系.()()()51521 6.4ˆ0.6410i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆ 2.08 1.920.16a =-=， 所以ˆ0.640.16yx =+. （2）由（1）可知，ˆ0.640.16yx =+，当6x =时，ˆ4y =，即6月预计售价为4元/只. X 可取的值为2.8，3.2，3.6.若选优惠方案一，1331( 2.8)39C P X ===； 1111321332( 3.2)33C C C C P X ===； 3332( 3.6)A P X ===； 此时122438146() 2.8 3.2 3.693913545E X =⨯+⨯+⨯==. 若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为132133C =，则不胜的概率为23.33311( 2.8)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；211221331212242( 3.2)3333993P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 30328( 3.6)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；此时128446() 2.8 3.2 3.627327135E X =⨯+⨯+⨯=.438446135135<，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一.22.【解析】（1）令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-，()g x 的定义域为(0)π，，()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅， 当0()x π∈，时，()0g x '<恒成立，①()g x 在(0)π，上单调递减， ①当0()x π∈，时，()(0)0g x g <=恒成立，故当0()x π∈，时，()sin f x x <；（2）设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-，()h x 的定义域为(0)2π，，()2(cos sin )h x x x x =-⋅'，设()cos sin x x x x ω=-⋅，()x ω的定义域为(0)2π，，()2sin cos x x x x ω=--⋅'，当(0)2x π∈，时，()0x ω'<恒成立，①()x ω在(0)2π，上单调递减，又(0)10ω=>，()022ππω=-<，①存在唯一的0(0)2x π∈，使据0()0x ω=，当00x x <<时()0x ω>，则()2()0h x x ω'=>，①()h x 在0(0)x ，上单调递增， 当02x x π<<时()0x ω<，则()2()0h x x ω'=<，①()h x 在0()2x π，上单调递减，①()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值，又(0)10h =-<，()104h π>，()102h π=-<，①()h x 在(0)4π，与()42ππ，上各有一个零点，即当(0)2x π∈，时，方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.。

唐山一中2022-2021学年度其次学期高二班级第一次月考数学试卷（理科） 命题人：李鹏涛 审核人：乔家焕试卷Ⅰ（共60分）一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分。

请把答案涂在答题卡上）1.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +2、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是 ( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°3.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC ( )A.内心B.外心C.重心D.垂心4. 设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上均可导，且'()'()f x g x <，则当a x b <<时，有 （ ）A. ()()f x g x >B. ()()f x g x <C. ()()()()f x g a g x f a +<+D. ()()()()f x g b g x f b +<+5.函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.32 B. 1 C. 2 D.126. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为 （ ）A ．144B ．120C ．72D ．24 7．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax b y a x 与的曲线大致是 ( )8、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 ( )A. ①和②B.②和③C.③和④D.①和④9.已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2131)(在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为 ( )A ．)6,0[πB ．],6(ππC ．],3(ππD ．2[,]33ππ10．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 （ ）A ．163B ．83C ．316D ．3811.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则 ( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<12．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-ny m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 试卷Ⅱ（共计90分）二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分，请将答案写在答题纸上）13.36的全部正约数之和可按如下方法得到:由于2236=23⨯,所以36的全部正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的全部正约数之和为_______________14．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,假如分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.15. 1121lim (1)n n n n nn →∞-++++写成定积分是_________.16．如图是y ＝f (x )的导函数的图象，现有以下四种说法：(1)f (x )在(－3，1)上是增函数；(2)x ＝－1是f (x )的微小值点；(3)f (x )在(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数； (4)x ＝2是f (x )的微小值点； 以上正确的序号为________．三、解答题（本题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，共计70分。

2023-2024学年重庆市高二下册3月月考数学质量检测试题一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-【正确答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】(){}{}{}1101A x y ln x x x x x ==+=+>=>-，{}()(){}{}26032023B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以A B ⋂{}(]131,3x x =-<≤=-，故选：B2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.55【正确答案】A【分析】在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97．故选：A ．本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n n n n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-【正确答案】A【分析】由已知结合归纳推理即可求解【详解】解：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n ，故8=24(8)4n n n n -+---满足；故选：A4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或<2x -；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭D ．()12，【正确答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解．【详解】2111151log 08484f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭211151log 04242f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭21111log 1022f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭()12110f =-=>()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，221log ()f x x x ∴=-+的零点所在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．20【正确答案】C【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+，取5x =，得ˆ652050y=⨯+=，所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－1【正确答案】B【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解．【详解】f (x )＝ax 2，则()2f x ax'=因为在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，所以()1244f a =-'=所以116a =-故选：B8．函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x xx x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【正确答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,【正确答案】A先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120xg x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A.利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<【正确答案】B【分析】利用基本不等式可得)222212b a +-≥（当且仅当222b a =时取等号），利用熟知的结论1ln x x -≥（当且仅当1x =时取等号）进行放缩可得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知条件，得到22ln ln 222b a b a +=+-，考虑到各不等式取等号的条件，解得,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.设()1ln f x x x =--,则()11f x x'=-,在(0,1)上，()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,+∞)上，()0f x '>,()f x 单调递增.故()()11100min f x f ==--=,∴()1ln f x x x =-≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.由)22222212lnln ln 2b a a b +-≥=≥+,由已知22ln ln 222b a b a +≤+-，∴22ln ln 222b a b a +=+-，且2221b a ⎧=⎪=，解得12a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,经检验只有B 正确，故选：B.本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号进行研究，得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1ln x x -≥取等号的条件，才能列出方程组求得,a b 的值.二、填空题13．函数()f x =__________．【正确答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求x 的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得0x e <≤且1x ≠.故答案为.(0,1)(1,]e ⋃14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.【正确答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1．故1．15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．【正确答案】4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出函数()f x 关于直线1x =对称，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．在(],1-∞上单调递减，再解不等式|211||31|x x --≥--即得解.【详解】因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递减．因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以|211||31|x x --≥--，即|22||2|x x -≥-，解得0x ≤或43x ≥．故4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题.16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【正确答案】(),16ln 224-∞-【分析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=，当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-.因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.故答案为.(),16ln 224-∞-本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）14m ≤-；（2）14m ≤-.（1）由题得0m <且21160∆=-≤m ，解不等式即得m 的取值范围；（2）先转化为[]2,8x ∃∈，21log m x ≥，再求21log x的最小值得m 的范围，因为p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题，所以p 真q 假，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（1）∵2,40x R mx x m ∀∈++≤，0m ∴<且21160∆=-≤m ，解得14m ≤-p ∴为真命题时，14m ≤-.（2）[2,8]∃∈x ，21log m x ≥，又[2,8]x ∈时，211[,1]log 3x ∈，13m ∴≥∵p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题∴当p真q假，有1413mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得14m≤-【点晴】方法点晴：复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占2 5．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【正确答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2）35．【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可得2×2列联表：赞成种植不赞成种植合计45岁及以下20015035045岁以上100150250合计30030060022600(200150150100)300300350250K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12017.1437.8797=≈>经查表，得()27.8790.005P K >≈，所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2:3，所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：(,)a b ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共有10种不同的结果，两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，共有6种结果．所以所求概率63105P ==．方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.【正确答案】（1）20190x y --=；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得解；（2）对函数求导，结合二次函数的性质，按照0a -≤<、a <-()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解.【详解】（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++，2()324f x x x '=++Q ，(2)20f '∴=即切线的斜率20k =，(2)21f =Q ，∴切线方程为2120(2)y x -=-即20190x y --=；（2）导函数2()324f x x ax '=++的对称轴为03a x =->，①当24480a ∆=-≤即0a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当24480a ∆=->即a <-(0)40f '=>，令2()3240f x x ax '=++=，则13a x -=，23a x -=，因为120x x <<，所以当0x <<或x >时，()0f x '>；x <<时，()0f x '<；所以()f x在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x 在33a a a a ⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.本题考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.（2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【正确答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20x f x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102x h x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102x x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦,综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e 74244e -+++⇔xx x x ，令()223e 7424()(0)e -+++=≥x x x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦x x x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎣⎦x 时，()0,()h x h x <'单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意.综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.【正确答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2))6π,)3π,2)3π,5)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.【正确答案】（1）{7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭；（2）92-．【分析】(1)将绝对值函数化为分段函数，用不同的区间对应的解析式大于2，分别解出不等式求其并集即可.(2)由分段函数求其值域即可得到最小值.【详解】1521()33425(4)x x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩⑴①由5212x x -->⎧⎪⎨<-⎪⎩解得7<-x ；②332142x x ->⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得543x <≤；③524x x +>⎧⎨>⎩解得>4x ；综上可知不等式的解集为{|7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭.⑵由(1)知，当12x <-时，()195522f x x =-->-=-；当142x -≤≤时，()33f x x =-，()992f x -≤≤；当>4x 时，()59f x x =+>；综上x ∈R 时，()92f x ≥-，所以min 9()2f x =-故函数()f x 的最小值为92-.。

高二下学期数学3月月考试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷总分150分一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）.1.有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（）A ．60B ．125C ．243D ．1202.下列求导运算正确的（）A ．211()1x x x'+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．(cos 2)sin 2x x =-'D ．(ln )ln 1x x x '=-3.某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A ．32B ．45C ．64D ．904.若二项式(12)n x +的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中2x 项的系数为（）A ．40B ．60C ．80D ．1605.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A ．40个B ．42个C ．48个D ．52个6.已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（）A ．(),1∞-B ．(),2∞-C ．()1,+∞D ．()2,∞+7.(x 2－x ＋1)5的展开式中x 3的系数为（）A ．－20B ．－24C ．－30D ．208.设函数21()4ln 2f x x x a x =-+，若函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，且不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，则t 的取值范围为（）A ．(]1-∞-，B ．(]168ln 2-∞--，C ．2e 4e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，D ．(]13-∞-，二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.漏选得部分分，错选不得分）.9.随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：929395959798,,,,,，则下列关于该样本的说法中正确的有（）A ．均值为95B ．极差为6C ．方差为26D ．第80百分位数为9710.在以下结论中正确的是（）．A ．433101011C C C +=B ．024*******10101010102C C C C C C +++++=C ．1091-不能被100整除D ．已知9(23)x -=290129(1)(1)(1)a a x a x a x +-+-++- ，则91238931a a a a a -+-++-=-+ 11.下列说法正确的是（）A ．从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有11299C C ⋅种B ．甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种C ．将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法D ．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.12.25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为.13.将,,,,a b c d e 5名实习教师全部分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中a 不去甲班，则不同的分配方案有种（用数字作答）.14.若曲线()ex xf x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为.四．解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.15.（13分）已知函数()()212ln R 2f x x ax x a =--∈.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.16.（15分）3名女生和5名男生排成一排．（最终答案化为数字！）(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?(3)如果女生不站两端，有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?17.（15分）已知*Nn∈，二项式n .(1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中2x的系数；(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.18.（17分）已知:()201221nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ,n 为常数）．（1）求|0|+|1|+|2|+...+||；（2）我们知道二项式(1)n x +的展开式0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=+++⋅⋅⋅+．若该等式两边对x 求导得：o1+p K1=1232123n n n n n n C C x C x nC x -++⋅⋅⋅+,令x=1，可得1+22+33⋅⋅⋅+B =12n n -⋅．利用此方法解答以下问题：①求12312+3...n a a a na +++；②求2222123123...n a a a n a ++++．19.（17分）已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．高二下学期数学3月月考试卷考试时间：120分钟试卷总分150分一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）.20.有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（）A ．60B ．125C ．243D ．120【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】每名学生都有3种选择方法，所以不同的报名方法的种数为53243=.故选：C21.下列求导运算正确的（）A ．211()1x x x'+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．(cos 2)sin 2x x =-'D ．(ln )ln 1x x x '=-22.某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A ．32B ．45C ．64D ．90【答案】D【分析】根据近视率求出三个年级的近视的人数，结合抽样比例可得答案.【详解】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.故选：D.23.若二项式(12)n x +的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中2x 项的系数为（）A ．40B ．60C ．80D ．160【答案】A 【分析】根据题意，令1x =可得n ，再由二项式展开式的通项，即可得到结果.【详解】令1x =，可得3243n =，则5n =，所以5(12)x +的展开式的通项为15C 2r r rr T x +=⋅⋅，令2r =，可得222235C 240T x x =⋅=.所以展开式中2x 项的系数为40.故选：A24.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A ．40个B ．42个C ．48个D ．52个【答案】D【分析】分最后一位分别为0，2，4三种情况求解即可.【详解】当最后一位是0时，共有25A 20=种情况；当最后一位是2时，共有144116C C =种情况；当最后一位4时，共有144116C C =种情况，所以共有20161652++=个.故选：D25.已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（）A ．(),1∞-B ．(),2∞-C ．()1,+∞D ．()2,∞+【答案】A【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数法结合条件，得到()g x 在R 上单调递减,利用单调性可得答案.【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<'所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f ==由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +<所以1x <故选：A 26.(x 2－x ＋1)5的展开式中x 3的系数为（）A ．－20B ．－24C ．－30D ．20【答案】C【分析】先将(x 2－x ＋1)5转化为[1＋(x 2－x )]5，则展开式的通项公式Tr ＋1＝5rC (x 2－x )r ，r ＝0，1，2，3，4，5，再求得(x 2－x )r 展开式的通项公式得到5rkrC C (－1)k ·x 2r －k ，r ＝0，1，2，3，4，5，k ＝0，1，…，r ，然后令2r －k ＝3求解.【详解】.[1＋(x 2－x )]5展开式的第r ＋1项Tr ＋1＝5rC (x 2－x )r ，r ＝0，1，2，3，4，5，Tr ＋1展开式的第k ＋1项为5rkr C C ·(x 2)r －k (－x )k ＝5rkrC C (－1)k ·x 2r －k ，r ＝0，1，2，3，4，5，k ＝0，1，…，r ，当2r －k ＝3，即2{1r k ==或3{3r k ==时是含x 3的项，所以含x 3项的系数为2152C C (－1)＋3353C C (－1)3＝－20－10＝－30.故选：C27.设函数21()4ln 2f x x x a x =-+，若函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，且不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，则t 的取值范围为（）A ．(]1-∞-，B ．(]168ln 2-∞--，C ．2e 4e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，D ．(]13-∞-，二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.漏选得部分分，错选不得分）.28.随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：929395959798,,,,,，则下列关于该样本的说法中正确的有（）A ．均值为95B ．极差为6C ．方差为26D ．第80百分位数为9729.在以下结论中正确的是（）．A ．433101011C C C +=B ．024*******10101010102C C C C C C +++++=C ．1091-不能被100整除D ．已知9(23)x -=290129(1)(1)(1)a a x a x a x +-+-++- ，则91238931a a a a a -+-++-=-+30.下列说法正确的是（）A ．从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有11299C C ⋅种B ．甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种C ．将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法D ．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法【答案】BCD三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.32.将,,,,a b c d e 5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中a 不去甲班，则不同的分配方案有种（用数字作答）【详解】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.有1人去甲班时，因为a 不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有14C 种选法，再选2人去乙班，有24C 种选法，剩下2人去丙班，有22C 种方法，这是分3步完成的，故有122442C C C 46124=⨯⨯=种方案；有2人去甲班时，因为a 不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有24C 种选法，再剩余3人分配到2个班的分法有2232C A 种方法，所以这类办法有222432C C A 63236=⨯⨯=种.故不同的分配方案有:243660+=.33.若曲线()ex x f x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为由图可知，当240e a <<时，函数y 即过点(0,)a 的切线有3条.所以实数四．解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.34.（13分）已知函数()()212ln R 2f x x ax x a =--∈.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.35.（15分）3名女生和5名男生排成一排．（最终答案化为数字！）(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?(3)如果女生不站两端，有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?36.（15分）已知*Nn∈，二项式n .(1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中2x的系数；(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.37.（17分）已知:()201221n n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ,n 为常数）．（1）求|0|+|1|+|2|+...+||；（2）我们知道二项式(1)n x +的展开式0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=+++⋅⋅⋅+．若该等式两边对x 求导得：o1+p K1=1232123n n n n n n C C x C x nC x -++⋅⋅⋅+,令x=1，可得1+22+33⋅⋅⋅+B =12n n -⋅．利用此方法解答以下问题：①求12312+3...n a a a na +++；②求2222123123...n a a a n a ++++．38.（17分）已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．。

高二下学期第三次月考数学试卷（理科）满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.设i iz ++=11，则z = A.21 B.22 C.23 D.2 2.已知命题01,:2>-+∈∀x x R x p ；命题2cos sin ,:=+∈∃x x R x q ，则下列判断中正确的是A.p ⌝是假命题B.q 是假命题C.)(q p ⌝∨是真命题D.q p ∧⌝)(是真命题3.在下列双曲线中，表示焦点在y 轴上且渐近线方程为x y 3+=的是A.1922=-y x B.1922=-y x C.1922=-x y D.1922=-x y 4、从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员,文娱委员,体育委员,其中甲,乙二人不能担任学习委员,则不同的安排种数共有A.36种B.30种C.12种D.65、若函数x kx x f ln )(-=在区间），（∞+1单调递增，则k 的取值范围是（ ）A. ]2--，（∞B. (]1--，∞ C. [)∞+，2 D. [)∞+，1 6、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）A. B. C. D7、执行如图所示的程序框图，则输出的=aA.41-B.54C.4D.5 8．两个实习生每人加工一种零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12 B ．512 C ．14 D ．169、310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是（ ）A. 297-B. 252-C. 297D. 20710.已知直线x-y-2=0与x 轴交于点M ，与抛物线)0(22>=p px y 交于A,B 两点，若MB AM 2=则p 为 A.21B.1C.2D.411已知直线l 为圆224x y +=在点处的切线，点P 为直线l 上一动点，点Q 为圆()2211x y ++=上一动点，则PQ 的最小值 （ ）A.B.12+ C. 1+ D. 1 12.已知关于x 的不等式xxe e x x m ≥+-1)2(2在]0,(-∞上恒成立,则实数m 的取值范围为A.]31,(-∞B.]21,(--∞C.),31[∞+ D.),21[∞+-二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB = ________．14、若曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________15、已知P 是抛物线上的动点,Q 在圆上,R 是P 在y 轴上的射影,则的最小值是 .16、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x <时，()()+0f x xf x '<，若()()22log log 1a f a f ⋅>，则实数a 的取值范围是 ． 二、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023-2024学年宁夏回族自治区石嘴山市高二下册3月月考数学（理）模拟试题一、单选题1．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为A ．B ．C ．D．【正确答案】D【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，符合条件的只有D 选项，故选D.本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.2．211e x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰（）A ．2e ln 2-B ．2e e ln 2--C ．2e e ln 2++D ．2e e ln 2-+【正确答案】D【分析】根据定积分的运算法则进行求解即可.【详解】()()()2222111e e ln e ln 2e ln1e e ln 2x x dx x x ⎛⎫+=+=+-+=-+ ⎪⎝⎭⎰.故选：D.3．已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,41aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．23C ．13D ．56【正确答案】D【分析】根据概率和为1，求得参数a ，再求()()1,2P X P X ==，则问题得解.【详解】因为()()()()12341261220a a a a P X P X P X P X =+=+=+==+++=，解得54a =.故()()555128246P X P X =+==+=.故选：D本题考查根据分布列求参数值，属基础题.4．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（）A ．18种B ．12种C ．9种D ．6种【正确答案】B【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，进而根据分布计数原理求得答案.【详解】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有33A 种方法，一共有332=12A ⨯种方法.故选：B.5．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5【正确答案】D根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B “小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C 则()0.4P A =，()0.5P B =，()0.2P AB =()0.2(|)0.5()0.4P AB P B A P A ===故选D.本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．6．若4m A ＝183m C ，则m 等于（）A ．9B ．8C ．7D ．6【正确答案】D【详解】由A ＝m (m －1)(m －2)(m －3)＝18·，得m －3＝3，m ＝6.7．函数()ln 25y x x =+的导数为（）A ．()ln 2525x x x+-+B ．()ln 25225x x x +++C ．()2ln 25x x +D ．25x x +【正确答案】B【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的乘法运算法则求解出原函数的导数.【详解】解析：因为()()()()ln 25ln 25y x x x x '''=⋅++⋅+，所以()()1ln 252525y x x x x ''=++⋅⋅++，所以()2ln 2525x y x x '=+++，故选：B.8．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A ．420B ．180C ．64D ．25【正确答案】B【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论．【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种，A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种，共有180种不同的涂色方案．故选：B ．本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.9．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线:40l x y +-=距离的最小值为（）A．2BC．D．【正确答案】C【分析】由题知过点P 作曲线2ln y x x =-的切线，当切线与直线:40l x y +-=平行时，点P 到直线:40l x y +-=距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：过点P 作曲线2ln y x x =-的切线，当切线与直线:40l x y +-=平行时，点P 到直线:40l x y +-=距离的最小.设切点为000(,)(0)P x y x >，12'=-y x x，所以，切线斜率为0012k x x =-，由题知00121x x -=-得01x =或0 12x =-（舍），所以，(1,1)P -，此时点P 到直线:40l x y +-=距离d ==.故选：C10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【正确答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．11．如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A ．78B ．1516C ．2324D ．45【正确答案】A【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =，∴1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=-⨯⨯⨯=，∴事件灯亮的概率78P =，故选：A.12．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l ，左右两端均为半球形，其半径为r ，若其表面积为S ，则胶囊的体积V 取最大值时r =()A 4S πB 2S πC SπD 6S π【正确答案】A【分析】由圆柱和球的表面积公式将l 用r 和S 表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V ，利用求导求出V 的最大值及此时r 的值.【详解】依题意，224422S r r rl S l rππππ-+=⇒=，故32342()323Sr V r r r l r πππ=+=-2()22S V r r π'=-，当4Sr π=()0V r '=，V 取最大值．故选：A二、填空题13．由曲线1x =-，0x =，e x y =以及x 轴所围成的面积为______．【正确答案】11e-【分析】根据定积分的几何意义即可求解区域面积.【详解】曲线1x =-，0x =，e x y =以及x 轴所围成的面积可表示：x 在()1,0-上的定积分，被积函数为e x y =，所以0001111e ee e 1ex xdx ---==-=-⎰.故答案为.11e-14．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )等于________．【正确答案】65【详解】分析：由题意知，X ～B （5，3m+3），由EX=5×3m+3=3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．详解：由题意知，X ～B （5，3m+3），∴EX=5×3m+3=3，解得m=2，∴X ～B （5，35），∴D （X ）=5×35×（1-35）=65．点晴：二项分布X ～B （n ，p ）则EX=np ．DX=np(1-p)15．已知在()()22nx y x y -+的展开式中含有24x y 项，则求24x y 的系数是______．【正确答案】70-【分析】由二项式定理展开项的特点即性质求解即可.【详解】()2nx y +展开式的通项为：()1C 2C 2n rr r r n rn r r r n n T x y x y ---+=⋅=⨯⋅⋅则()()22nx y x y -+的展开式含11C 22C 2C 22C 2r n r n r r r n r n r r r n r n r r r n rn r r n n n n x x y y x y x y x y -----+---+⨯⋅⋅-⨯⋅⋅=⨯⋅⋅-⨯⋅⋅，若其展开式中含有24x y 项，则1246n +=+=，故5n =，所以24x y 的系数为413255C 22C 2108070⨯-⨯=-=-.故答案为.70-16．若函数()()232e xf x mx x x =+-+在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】[e,)+∞【分析】求出函数的导数，结合题意可知()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立，即()21e x m x x -≤--在R 上恒成立，从而构造函数，将问题转化为求函数的最值问题即可.【详解】因为函数()()232e xf x mx x x =+-+在R 上单调递增，故()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立，即()21e xm x x -≤--在R 上恒成立，设()2()1e x g x x x =--，则()2()2e xg x x x '=+-，当<2x -或1x >时，()0g x '>，当2<<1x -时，()0g x '<，由220x x +-=，得121122x x ==，当x <x ()0g x >x <()0g x <，作出函数()2()1e xg x x x =--的大致图象如图：故1x =为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为(1)e g =-，故e,e m m -≤-∴≥，经验证，当e m =时，()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立,仅在1x =时取等号，适合题意，故实数m 的取值范围是[e,)+∞，故[e,)+∞三、解答题17．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．【正确答案】(1)60；(2)360；(3)15.【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．【详解】（1）根据题意，第一组3本有36C 种分法，第二组2本有23C 种分法，第三组1本有1种分法，所以共有3263C C 160⨯=种分法.（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有3263C C 160⨯=种分法，再将分好的三组分给3人，有33A =6种情况，所以共有606360⨯=种分法.（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有22264233C C C A =15种不同的分法．18．某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级.已知甲同学能答对其中的5道题.(1)设甲同学答对题目的数量为X ，求X 的分布列，(2)求甲同学能晋级的概率.【正确答案】(1)分布列见解析(2)57【分析】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而可求出X 的分布列，（2）甲同学能晋级的概率(2)(3)P P X P X ==+=，从而可求得结果【详解】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量X 的可能取值为0，1，2，3，则33381(0)56C P X C ===，12533815(1)56C C P X C ===，21533815(2)28C C P X C ===，35385(3)28C P X C ===，所以X 的分布列为X0123P15615561528528（2）由题意可得甲同学能晋级的概率为1555(2)(3)28287P P X P X ==+==+=19．已知(2n x +展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含2x 的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【正确答案】(1)1120；(2)第3项或第4项.【分析】(1)利用二项式系数的性质求出n 值，再求出二项展开式的通项即可求出指定项的系数；(2)利用(1)的信息根据系数最大列出不等式组即可作答.【详解】（1）依题意，26n n C C =，由组合数的性质得8n =，于是得8(2x展开式的通项88213888(2)2,,8rrr r rr r T C x C x r N r --+-=∈⋅⋅=≤，由3822r -=得4r =，则8844167012120C -⋅=⋅=，所以展开式中含2x 的项的系数为1120；（2）令Tr ＋1项的系数最大，由(1)得89188871882222r r rr r r rr C CC C-----+⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即8!8!2(8)!!(9)!(1)!8!8!2(8)!!(7)!(1)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⎪--+⎩，整理得1292181r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得23r ≤≤，而,8r N r ∈≤，从而得2r =或3r =，所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.20．已知函数()()221ln f x ax a x x =+--．(1)当12a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)讨论函数()f x 单调性．【正确答案】(1)()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；函数()f x 的极小值()1f 12=，无极大值(2)答案见解析【分析】（1）利用导数与函数的单调性、极值的关系求解，注意函数的定义域，即可得到答案；（2）利用导数与函数的单调性的关系求解，注意对a 的取值范围进行分类讨论，求解即可．【详解】（1）当12a =时，()21ln ,02f x x x x =->，则()()()111x x f x x x x+-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当1x =时，函数()f x 取得极小值()1f 12=，无极大值．（2）()()221ln ,0f x ax a x x x =+-->，则()22(21)1(1)(21)ax a x x ax f x x x+--+-='=，当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当0a >时，当102x a <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，当12x a>时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．21．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为34，小陈同学每道题答对的概率均为23，每道题是否答对互不影响.(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记X 为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)1516(2)分布列见解析，55()4E X =【分析】（1）利用对立事件及独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）先求出变量取值的概率，然后列出随机变量的分布列，利用期望公式求解即可【详解】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件A ，所以()()331511114416P A P A ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以小陈同学有机会答题的概率是1516.（2）X 的所有可能取值为0，5，10，15，20，所以()3310114416P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21233215C 1144324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2211223322321110C 1C 1144334348P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221122332322515C 1C 144343312P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2232120434P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：X05101520P 116124114851214所以11115155()051015201624481244E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，()212x x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明.21122x x x -<-【正确答案】（1）(),e +∞；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，对参数分类讨论，通过导数研究函数的零点情况，求得参数取值范围；（2）方法一：由题意得1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，令210t x x =->，两式相除得11t t x e =-，欲证21122x x x -<-，即证()212t e t t-<-，即证2222t t t e ++<，记()()2220t t t h t t e ++=>，通过导数研究函数的最值情况，即可证得不等式；方法二：令211x t x =>，代入化简得1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，将不等式转化为()21ln 2ln t t t -<-，即证()2ln 2ln 220t t t +-+<.记()()()2ln 2ln 221g t t t t t =+-+>，通过求导，并对导数中的部分函数求导研究原函数的最值情况，证得不等式.【详解】（1）解：()f x 的定义域为R ，()'x f x e a =-.①当0a ≤时，()'0x f x e >≥，所以()f x 在R 上单调递增，故()f x 至多有一个零点，不符合题意；②当0a >时，令()'0f x <，得ln x a <；令()'0f x >，得ln x a >，故()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()1,na +∞上单调递增，所以()()()min ln ln 1ln f x f a a a a a a ==-=-（i ）若0a e <≤，则()()min 1ln 0f x a a =-≥，故()f x 至多有一个零点，不符合题意；（ii ）若a e >，则ln 1a >，()()min 1ln 0f x a a =-<，由（i ）知0x e ex -≥，∴ln ln ln 0a e e a a a -=-≥，∴2ln ln 0a a a e a ->-，()()22ln 2ln 2ln 0f a a a a a a a =-=->.又∵()010f =>，0ln 2ln a a <<，故()f x 存在两个零点，分别在()0,ln a ，()ln ,2ln a a 内.综上，实数a 的取值范围为(),e +∞.（2）证明：方法1：由题意得1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，令210t x x =->，两式相除得212111x x t x x t e e x x -+===，变形得11t t x e =-.欲证21122x x x -<-，即证()212t e t t-<-，即证2222t t t e ++<.记()()2220t t t h t t e ++=>，()()()2222'220t t t t t e t t e t h t e e+-++==-<，故()h t 在()0,∞+上单调递减，从而()()02h t h <=，即2222t t t e ++<，所以21122x x x -<-得证.方法2：由题意得：1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩由（1）可知1x ，20x >，令211x t x =>，则21x tx =，则1111x tx e ax e atx ⎧=⎨=⎩，两式相除得()11t x e t -=，1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，欲证21122x x x -<-，即证()21ln 2ln t t t -<-，即证()2ln 2ln 220t t t +-+<.记()()()2ln 2ln 221g t t t t t =+-+>，()()2ln 112'2ln 2t t g t t t t t-+=⋅+-=，令()()ln 11h t t t t =-+>，()11'10t h t t t-=-=<，故()h t 在()1,+∞上单调递减，则()()10h t h <=，即()'0g t <，∴()g t 在()1,+∞上单调递减，从面()()10g t g <=，∴()2ln 2ln 220t t +-+<得证，即21122x x x -<-得证.方法点睛：通过导数研究函数零点问题，带参需要分类讨论；对于双变量问题，一般选择另一个变量对双变量进行代换，如本题中令210t x x =->或211x t x =>，然后构造新函数，通过导数研究函数的最值情况.。

泗县一中2020-2021学年第二学期第四次月考高二数学（理科）试题考试时间:2021年5月21日 试卷满分:150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数z 满足(1)1i z i -=+，则复数z 的虚部为A.1B.iC.i -D.1- 2. 随机变量X 的概率分布规律为()(1,2,...,10)P X k ak k ===，则a =A ．1110 B ．110 C ． 155D ．55 3. 设()f x 为可导函数，且满足()()131lim3x f x f x∆→+∆-=-∆，则函数()y f x =在1x =处的导数为A ．1-B ．1C ．1-1或D ．以上答案都不对 4. 函数ln y x =的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程为A. 10x ey e -+-=B. 0x ey -=C. 10x ey e +-+=D. 0x ey +=5. 621x x ⎛⎫-⎪ ⎭⎝的展开式中3x 的系数为A ．15B ．20C ．20-D ．30-6.从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式： ①； ②；③．则其中正确算式的个数是A ．3B ．2C ．1D ．07. 今日“小满”是二十四节气之一，古语言“小满小满，麦粒满满”，我县地区的冬小麦开始灌浆，并逐渐进入成熟收割的季节。

为消除秸秆焚烧隐患，切实保护生态环境，县委县政府将其中4名干部派遣到3个行政村去落实工作，每名干部只去1个村，每个村至少安排1名干部，则不同的安排方法共有( )种.A ．6B ．12C ．36D ．728. 204,sin MMM x dx T xdx -=-=⎰⎰，则T 的值为A ．2- B. 1- C. 0 D. 29. 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是A ．－1B ．1C ．2D ．8710. 在泗县申报全国文明城市之际，泗县一中积极开展“学党史，办实事，促文明”系列活动。

【新结构】2023-2024学年河北省邢台市名校联盟高二下学期第三次月考（6月）数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则()A. B. C. D.2.已知随机变量，则()A. B. C.1 D.23.的展开式中的常数项为()A.12B.8C. D.4.已知随机变量，且，则()A. B.C. D.5.已知，则()A. B. C. D.6.函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是()A. B. C. D.7.在数轴上，一质点从原点O出发，每次等可能地向左或向右平移一个单位长度，则经过11次平移后，该质点最终到达3的位置，则不同的平移方法共有()A.165种B.210种C.330种D.462种8.已知函数，则()A. B.C.11520D.23040二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列函数中是偶函数，且在上单调递减的有()A.B.C.D.10.某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是()A.晚会节目不同的安排顺序共有种B.若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种C.若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种D.若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种11.已知函数是定义在上的奇函数，，对任意的，且，均有，则()A. B. C.在I 上单调递增D.函数为常数函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.随机变量X 的分布列为X 123P则__________13.已知集合，若“”是“”的充要条件，则__________14.若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数k的最大值为__________四、解答题：本题共5小题，共77分。