高一数学必修1-函数的概念及基本性质

§1·函数的概念

（一）函数的有关概念

设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作

)(x f y =， x ∈A

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:

这里 A, B 为非空的数集.

（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ，

x ∈A ， y ∈B

（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域

1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函x

k

x f =

)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2

)()0(≠a :定义域R

值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0

⎩

⎨⎧-≤a b ac y y 44|2

（三）函数的值：关于函数值 )(a f

例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=2

2+3×2+1=11

注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样

2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”

3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数

（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数

（五）区间的概念和记号：

在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.

设a,b ∈R ,且a

①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a

③满足不等式a ≤x

这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x

例1 判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？

(1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2

＝1 (3)1

x x 1y --= (4)y=x -1x +-

例2 求下列函数的定义域： （1

）()f x = (2)x

x x x f -+=

0)1()(

例3 已知函数)(x f =32

x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).

例4 已知⎪⎩

⎪⎨⎧+=10

)(x x f π )0()0()0(>=

讨论：函数y=x 、y=(x )2

、y=23

x

x 、y=44x 、y=2x 有何关系？

例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ⑴3

)

5)(3(1+-+=

x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y

练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.

② ()f x = x ； ()g x ③ ()f x = x 2

；()g x = 2(1)x +.

④ ()f x = | x | ；()g x 例6 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2

,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].

复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2

-12x +11）为复合函数

例7求下列函数的值域（用区间表示）：

（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =

（3）y ＝53x -+； （4）2

()3

x f x x -=+.

例8 ※ 动手试试

1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .

2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .

练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.

函数的概念习题：

1．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )

（D ）