2016年春九年级数学综合复习(三)

2016-2017学年度第三次水平测试九年级数学科试题（考试时间100分钟，满分120分）欢迎你参加这次测试，祝你成功！一、选择题（本大题满分42分，每小题3分） 1.-5的相反数是 A ．15 B ．5- C ．15- D ．52.下列运算中，结果正确的是A ．2a+3b=5abB ．a 2 ·a 3=a 6C ．(a+b)2=a 2+b 2D ． 2a –(a+b)=a –b 3.据报道，我省西环高铁预计2015年底建成通车，计划总投资27 100 000 000元． 数据27 100 000 000用科学记数法表示为A ．271×108B ．2.71×109C ．2.71×1010D ．2.71×10114.有意义,则x 的取值范围为A. x ≥12-B. x ≤12-C. x ≥12D. x ≤125.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为32，则黄球的个数为 A ．2 B ．4 C ．12 D ．166.如图1，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知∠1=∠2=50°，GM 平分∠HGB 交直线CD 于点M ．则∠3的度数为A ．60B ．65C ．70D ．1307.如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则BCDE的值为 A ．32 B ．21 C ．31 D ．41EB G CDM H F1 2 3 图1图28.已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是A ．10 cm 2B ．5π cm 2C ．10π cm 2D ．20π cm 2 9.已知反比例函数y ＝xa 2-的图象在第二、四象限，则a 的取值范围是 A.a ＜2 B.a ＞2 C.a ≤2 D.a ≥210.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是 A.230005000x = B.23000(1)5000x += C.23000(1)5000x +=％D.23000(1)3000(1)5000x x +++=11.二次函数2y ax bx c =++的图像如图3所示，反比例函数ay x=与正比例函数y bx =在同一坐标系内的大致图像是12.如图4，AB 是⊙O 直径，130AOC ∠=，则D ∠=A.15B.25C.35D.6513.如图5，反比例函数xk y 11=和正比例函数x k y 22=的图象交于A （-1，-3）、B （1，3）两点，若1y ＞2y ，则x 的取值范围是A. -1＜x ＜0B. -1＜x ＜1C. x ＜-1或0＜x ＜1D. -1＜x ＜0或x ＞1 14.如图6，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点．．，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1=AG ，2=BF ，︒=∠90GEF ，则GF 的长为A ．3B ．4C ．5D ．6DBOAC图 4图6D图3ADC BFG E 图5图11图10球类 40% 跳绳 其它踢毽15%二、填空题（本大题满分16分，每小题4分） 15.已知反比例函数ky x=的图象经过点（1，－2）．则k = ． 16.一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如图7所示的某个方格中（每个小方格都是边长相等的正方形），那么小鸟停在黑色方格中的概率是 ． 17.如图8，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连结OC ， 若OC =5，CD =8，则AE = .18.如图9，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC 是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）， 若以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似（全等除外），则格点P 的坐标是 ． 三、解答题（本大题满分62分） 19.（满分10分，每小题5分）（1）计算： 0123⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）解方程：2311x x =-+ 20.（满分8分）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收 集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； （2）请将图10和图11两幅统计图补充完整； （3）图10中，“踢毽”部分所对应的圆心角为 度；（4）如果全校有2000名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？ 21.（满分8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元， 问甲、乙两种商品应分别购进多少件?B图9图8图722.（满分9分）如图12，直线y =x ﹣1与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，已知点A 的坐标为（﹣1，m ）． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点P （n ，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，延长EP交直线AB 于点F ，求△CEF 的面积．23.(满分13分）如图13， □ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . （1）求证：AEF ∆∽CDF ∆； （2）求AEF ∆与CDF ∆周长之比；（3）如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积. 24.(满分14分) 如图14，直线221+-=x y 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点()0,1-A ,抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．图13ABECD F 图14图12图11图10球类 40% 跳绳 其它踢毽15%2016-2017学年度第三次水平测试九年级数学科答题卷（考试时间：100分钟 满分：110分）欢迎你参加这次测试，祝你成功！ 总分一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）请把你认为正确的答案在机读卡中填涂好. 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）15. ； 16. ； 17. ； 18. .三、解答题（本大题满分62分）19.（10分）（1）计算：123⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）解方程：2311x x =-+20.（8分）（1） ；（2）请将图10和图11两幅统计图补充完整；（3） ； （4）22.（9分）图12A BE CDF图1324.（14分）备用图2016-2017学年度第三次水平测试九年级数学科参考答案一、选择题（本大题满分42分，每小题3分） DDCAB BCCAB DBCA二、填空题（本大题满分16分，每小题4分） 15. -2 16.3117. 2 18. （１，４）或（３，４）． 三、解答题（本大题满分62分）19.(1)3 (2)x=5 （注明：每题5分，看步骤合理给分，第二小题检验1分） 20.(1)200 (2)图略 (3)54 (4)800人 （各2分）21. 解：设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件. …………1分根据题意，得 1605101100.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：10060.x y =⎧⎨=⎩ …………7分答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件. …………8分22. 解：（1）将点A 的坐标代入y =x ﹣1，可得：m =﹣1﹣1=﹣2，…………2分 将点A （﹣1，﹣2）代入反比例函数ky x=，可得：k =﹣1×（﹣2）=2， 故反比例函数解析式为：y =．…………………………………………4分 （2）将点P 的纵坐标y =﹣1，代入反比例函数关系式可得：x =﹣2，……5分 将点F 的横坐标x =﹣2代入直线解析式可得：y =﹣3，……………………6分 故可得EF =3，CE =OE +OC =2+1=3，…………………………………………7分 故可得S △CEF=CE ×EF =．…………………………………………………………… 9分 23. 解:（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ……………………………1分 ∴,AB CD AB =∥CD ………………………………3分 ∴,EAF DCF AEF CDF ∠=∠∠=∠………………………………………5分 ∴AEF ∆∽CDF ∆……………………………………… …6分 （2）由（1）得AEF ∆∽CDF ∆∴52322=+=+===∆∆EB AE AE AB AE CD AE C C CDF AEF ………9分（3）由（1）和（2）得： ∴224()525AEFCDF S S ∆∆==……………………………………………… ………11分 ∵20CDF S ∆= ∴165CDF S ∆=……………………………………………13分24.解：（1）对于直线221+-=x y ，当0=x 时2=y ，当0=y 时4=x ∴ B (4，0)，C(0，2)．…………………………………………2分 (2)∵二次函数的图象过点()2,0C ， ∴可设二次函数的关系式为22++=bx ax y 又∵该函数图象过点()0,1-A 、()0,4B∴⎩⎨⎧++=+-=.24160,20b a b a ┄4分解之，得21-=a ，23=b ∴ 抛物线的表达式213222y x x =-++． …………………………………………6分 （3）在抛物线的对称轴上存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形．……7分∴ P 1 (32，4) ．P 2 (32，52) ． ……………………9分 P 3(32，52-) ． …………………………10分 （4）过点C 作CM ⊥EF 垂足为M ,设E (a ，122a -+)，则F (a ，213222a a -++)∴ EF=213222a a -++)221(+--a =2122a a -+．（0≤a ≤4） ……………11分∴ 111222四边形CDBF BCD CEF BEF S S S S OC BD EF CM EF BN ∆∆∆=++=⨯+⨯+⨯=15222⨯⨯+[]211(2)(4)22a a a a -++-=52+211(2)422a a -+⨯ =2542a a -++．（0≤a ≤4） …………………………………12分当2a =时，CDBF S 四边形的最大值为132． ……………………………………13分此时E （2，1）． ……………………………………14分数学科试题第11页（共4页）。

大成中学2015年秋季数学期末考试数学试题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线2(0)y ax bx ca =++≠的顶点坐标为24,)24b ac b a a--（，对称轴为2bx a=-. 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，期中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1．反比例函数xky =的图像经过点A （-1,3），则k 的值为（ B ）． A.3=k B.3-=k C.6=k D. 6-=k 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ A ）A ．B ．C ．D 3. 一元二次方程220x x -=的根是（ D ）．A . 120,2x x ==-B . 121,2x x ==C . 121,2x x ==-D . 120,2x x == 4. 二次函数()122-+=x y 的图象的对称轴为（ B ）．A ．2=xB ．2-=xC ．1=xD ．1-=x5．如图，在△ABC 中，BC DE //，2=AE ,3=CE ,4=DE ,则=BC （ B ）． A ．6 B ．10 C ．5 D ．8 6. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO=30°，则∠OCB 的度数为（ B ）． A ．030 B ．060 C ．050 D ．0406题5题7.正六边形的边心距为3，这个正六边形的面积为（ C ）． A ．32B ．34C ．36D ．128．用一个圆心角为090，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则圆锥的高为（ B ）． A ．17B ．15C ．32D ．79. 如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A 的坐标是（﹣1，0）．现将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，则旋转后点C 的坐标是（ A ）．A ．（2，1）B ．（1，2）C ．（2-，1-）D ．（1-，2-）10．已知关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m 的两个根都是正整数，则整数m 的值是（ C ）．A ． 2B ． 3C ．2或3D ． 1或2或311．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE∥AC，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ： S △AOC 的值为（ D ）． A ．B ．C ．D ．12. 如图，△AOB 是直角三角形，AOB ∠=︒90，OA OB 2=，点A 在反比例函数xy 1=的图象上．若点B 在反比例函数xky =的图象上，则k 的值为（ A ） A ．4- B ．4C ．2-D ．2二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13.两个相似三角形的周长的比为32，它们的面积的比为 4：9 ．11题14．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC 的大小为 600. 15．已知点A 在反比例函数xky =的图象上，y AB ⊥轴，点C 在x 轴上，2=∆ABC s ，则反比例函数的解析式为xy 4-=.16．从3-， 1-，0，1，3这五个数中随机抽取一个数记为a ，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为b ，恰好使关于x ，y 的二元一次方程组12=+=-y ax by x 有整数解，且点()b a ,落在双曲线x y 3-=上的概率是203. 17．如图，已知A （32，2）、B （32，1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A ′（-22,22）的位置，则图中阴影部分的面积为 π87． 18．如图，若四边形ABCD 、四边形GFED 都是正方形，4=AD ,2=DE ，当正方形GFED绕D 旋转到如图的位置，点F 在边AD 上，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M.则CM 的长为1034．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上.19.已知关于x 的一元二次方程042=-+k x x 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；（2）请你在5-，4-，3-，1，2，3中选择一个数作为k 的值，使方程有两个整数根，x15题14题 17题18题并求出方程的两个整数根.【参考答案】解：（1）由已知，得()k -⨯⨯-1442＞0，解得，k ＞4-；（2）3-=k 时，方程为0342=++x x ，解得，1-=x 或3-20. 如图，从一个建筑物的A 处测得对面楼BC 的顶部B 的仰角为32°，底部C 的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD 为31m ，楼BC 的高度大约为多少？ (结果取整数）. （参考数据：sin 32°≈0.5, cos 32°≈0.8, tan 32°≈0.6） 【参考答案】解：BC=BD+CD =AD×tan32°+AD×tan45° ≈31×0.6+31×1 =49.6≈50， 故答案为50m.四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上.21.化简并求值：221443(1)21x x x x x x x -+-÷+-+--，其中x 是方程2240x x +-=的解. 【参考答案】解：原式=xx 222+由已知，得422=+x x ，原式=2122．定义新运算：对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号Max{a ，b}表示a 、b 中的较 大值，如：Max{2，4}=4.（1）填空：Max {-2，-4}= ；（2）按照这个规定，解方程}{223,2--=-x x x x Max .【参考答案】解：（1）-2（2）x ＞0时，有x x x =--2232，解得，2335+=x ， 2335-=x （舍去）x ＜0时，有x x x -=--2232，解得，1-=x ， 2=x （舍去） 20题23．寒假期间，一些同学将要到A ，B ，C ，D 四个地方参加冬令营活动，现从这些同学中随机调查了一部分同学．根据调查结果，绘制成了如下两幅统计图：（1）扇形A 的圆心角的度数为 1080 ，若此次冬令营一共有320名学生参加，则前往C 地的学生约有 64 人，并将条形统计图补充完整；（2）若某姐弟两人中只能有一人参加，姐弟俩决定用一个游戏来确定参加者：在4张形状、大小完全相同的卡片上分别写上1-，1，2，3四个整数，先让姐姐随机地抽取一张，再由弟弟从余下的三张卡片中随机地抽取一张.若抽取的两张卡片上的数字之和小于3则姐姐参加，否则弟弟参加．用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平?【参考答案】解：（1）108度，64人，去B 地方有40人 （2）列表或画树状图知：P （姐）=P （弟）=21，公平。

2016年九年级调研考试数学参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D C B B B C二、填空题（每小题5分，共40分）9、 2 10、二 11、 12、－1<x<0 13、8 14、4 15、3100400- 16、542-n三、解答题（4个小题，共40分）17、（本题满分8分）（1）单独租用42座客车需10辆，租金为320×10＝3200元;单独租用60座客车需7辆，租金为460×7＝3220元．（2）租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少．18、（本题满分8分） 解:（1）①60；②AD =BE .（2）∠AEB ＝900；AE =2CM +BE . 理由略19、（本题满分10分）解：（1）．A （8，2）B （－8，－2）．．（2）、直线CM 的解析式是． （3）、．20、 解：（1）抛物线解析式为：y=﹣x 2+x ． （2）如图1，连接AC 知AC ⊥BD ，若PQ ⊥DB ，则PQ ∥AC ，P 在BC 上时不存在符合要求的t 值，当P 在DC 上时，由于PC ∥AQ 且PQ ∥AC ，所以四边形PCAQ 是平行四边形， 则PC=AQ ，有2t ﹣6=t ，得t=2．（3）y=；（4）作点F 关于直线DB 的对称点F′，由菱形对称性知F′在DA 上，用DF′=DF=1； 作点G 关于抛物线ADC 对称轴的对称点G′，易求DG′=4，连接F′G′交DB 于点M 、交对称轴于点N ，点M 、N 即为所求的两点． 四边形FMNG 周长最小为F′G′+FG=+1．8216k =⨯=2233y x =+2a m m a p q m m -+-=-=-。

某某省某某市富顺县2016年中考数学模拟试卷（三）一.选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．在﹣3，4，﹣5，﹣6，7中，任取两个数相乘，积最大的是（）A．15 B．18 C．28 D．302．下列计算正确的是（）A．a3+a3=a6B．（x﹣3）2=x2﹣9 C． =a﹣1 D．（﹣2x）3=﹣8x33．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据：a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（）A．a，a3B．a，C． a，D．，4．把分式的x、y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（）A．不变 B．为原分式值的10倍C．为原分式值的D．为原分式值的5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣4x+8；②﹣x2﹣2x﹣1；③4m2+4m﹣1；④﹣m2+m﹣；⑤4a4﹣a2+．A．1个B．2个C．3个D．4个6．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个8．如若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则E点的坐标是（）A．B．C．D．（1，1）9．△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（）A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4）D．（2a+4，2b+6）10．已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A．B．C．D．二.填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanA的值为______．12．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P（A）=（M和D 分别表示相应区域的面积）．如图，现有一边长为a的等边△ABC，分别以此三角形的三个顶点为圆心，以一边的一半长为半径画圆与△ABC的内切圆有重叠（见图中阴影部分）；现在在等边△ABC内注射一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是______．13．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为______．14．观察下列的有序数对：（3，﹣1），，根据你发现的规律，第2016个有序数对是______．15．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b=0；⑤b2﹣4ac＜0；⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是______ （把正确的序号都填上）．三.解答题（共2个题，每题8分，共16分）16．计算：﹣2|1﹣|．17．解不等式组：，并在数轴上表示出解集．四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）18．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（2016•富顺县校级模拟）近几年我国高速公路的建设有了飞速的发展，现正在修建中的某段高速公路要招标．现有甲乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可完成任务，需要费用120万元；若甲队单独做20天，剩下的工程由乙做，还需要40天才能完成此项工程，这样需要110万元，问：（1）甲乙两队单独完成此项工程，各需多少天？（2）甲乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元．五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）20．（10分）（2016•富顺县校级模拟）在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边上的中点，点M是AB上的一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连结MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM=______ 时，四边形AMDN是矩形；②当AM=______ 时，四边形AMDN是菱形．21．（10分）（2016•富顺县校级模拟）如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．六、解答题（本题满分12分）22．（12分）（2016•富顺县校级模拟）用换元法解分式方程： =2解：设=m，则原方程可化为m﹣=2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0解得：m1=﹣1，m2=3即： =﹣1或=3；解得：x=或x=﹣经检验：x=或 x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=，x2=﹣．请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值：已知a是方程的根，并求代数式的值？七、解答题（本题满分12分）23．（12分）（2001•某某）如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否成立？请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？八、解答题（本题满分14分）24．（14分）（2009•某某）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2016年某某省某某市富顺县中考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一.选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．在﹣3，4，﹣5，﹣6，7中，任取两个数相乘，积最大的是（）A．15 B．18 C．28 D．30【考点】有理数大小比较．【分析】根据乘法法则：同号得正，异号得负计算，最大的两个正数相乘与最大的两个负数相乘，作比较，得出结论．【解答】解：﹣5×（﹣6）=30，4×7=28，故选D．【点评】本题考查了有理数的乘法和大小比较，熟练掌握乘法法则是关键；对于有理数的大小比较中，正数大于一切负数；本题属于易错题，容易漏乘．2．下列计算正确的是（）A．a3+a3=a6B．（x﹣3）2=x2﹣9 C． =a﹣1 D．（﹣2x）3=﹣8x3【考点】二次根式的性质与化简；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据二次根式的性质、完全平方公式、积的乘方，可得答案．【解答】解：A、不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故A错误；B、差的平方等于平方和减积的二倍，故B错误；C、二次根式开方是非负数，故C错误；D、积的乘方每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据法则计算是解题关键．3．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据：a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（）A．a，a3B．a，C． a，D．，【考点】中位数；算术平均数．【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可．【解答】解：由平均数定义可知：（a1+a2+a3+0+a4+a5）=×5a=a；将这组数据按从小到大排列为0，a5，a4，a3，a2，a1；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数．∴其中位数为．故选D．【点评】本题考查了平均数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．4．把分式的x、y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（）A．不变 B．为原分式值的10倍C．为原分式值的D．为原分式值的【考点】分式的基本性质．【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的结果不变，可得答案．【解答】解：分式的x、y均扩大为原来的10倍后，则分式的值变为原分式的，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，注意分母扩大了100倍，分子扩大了10倍．5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣4x+8；②﹣x2﹣2x﹣1；③4m2+4m﹣1；④﹣m2+m﹣；⑤4a4﹣a2+．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】因式分解-运用公式法．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：①x2﹣4x+8，不能；②﹣x2﹣2x﹣1，能；③4m2+4m﹣1，不能；④﹣m2+m﹣，能；⑤4a4﹣a2+，不能，则不能用完全平方公式分解的个数为3个，故选C【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】根的判别式；一次函数的图象．【分析】一次函数y=kx+b的图象，根据k、b的取值确定直角坐标系的位置．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在无实数根下必须满足△=b2﹣4ac＜0．【解答】解：一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，说明△=b2﹣4ac＜0，即（﹣2）2﹣4×n×（﹣1）＜0，解得n＜﹣1，所以n+1＜0，﹣n＞0，故一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过第三象限．故选C【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．对于一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，它的图象经过一、二、四象限．7．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【考点】由三视图判断几何体．【分析】结合三视图的知识，主视图以及左视图底面有6个小正方体，共有两层三行，第二层有2个小正方体．【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图底面有6个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是8．故选D．【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．8．如若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则E点的坐标是（）A．B．C．D．（1，1）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程-公式法；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质．【分析】在正方形ABCO中四边都相等，由反比例函数比例系数k的几何意义可得，正方形OABC的面积为1，求得OA=1．若设AD=DE=m，则OD=1+m，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，可列方程求得m的值，即可得出E点的坐标．【解答】解：依据反比例函数比例系数k的几何意义可得，正方形OABC的面积为1，∴OA的长为1，设AD=DE=m，则OD=1+m，∴E（1+m，m），将E（1+m，m）代入反比例函数y=可得，m（1+m）=1，解得，m1=，m2=（不合题意，舍去），∴1+m=，故点E的坐标是（，）．故选（B）【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据正方形的四条边都相等，并利用两正方形的边长表示出点B、E的坐标是解题的关键．在反比例函数y=图象上任取一点，过这点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，这是反比例函数比例系数k的几何意义．9．△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（）A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4）D．（2a+4，2b+6）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】观察图形，看△A1B1C1是如何从△ABC得到的，发现其变化规律．再根据位似变换，得到△A1B2C2中各点的坐标特点，从而得到P2的坐标．【解答】解：△A1B1C1是由△ABC通过平移得到的，其平移规律是右移三个单位后，再上移2个单位，所以点P移到P1的坐标为（a+3，b+2）．△A1B2C2是由三角线A1B1C1通过位似变换得到的，所以在△A1B2C2上的各点坐标，都做了相应的位似变换，即乘以了2．∴点P1的对应点P2的坐标为（2a+6，2b+4）．故选C．【点评】本题考查了平移变化和位似变化及相关知识，点的变化与平移规律和位似变化规律相一致．10．已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A．B．C．D．【考点】三角形的内切圆与内心；解一元一次方程；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出=，代入即可求出r=；设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a﹣x+b ﹣x=c，求出x即可；设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出=，代入求出y即可．【解答】解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x=，故本选项错误；B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），则△BCA∽△OFA，∴ =，∴=，解得：y=，故本选项错误；C、连接OE、OD，∵AC、BC分别切圆O于E、D，∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，∵OE=OD，∴四边形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，设圆O的半径是r，∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，∵∠AEO=∠ODB，∴△ODB∽△AEO，∴=，=，解得：r=，故本选项正确；从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x=，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．二.填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanA的值为．【考点】同角三角函数的关系．【分析】直接利用已知结合勾股定理表示出AC，BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，sinA=，∴设BC=2x，AB=3x，则AC=x，故tanA的值为： ==．故答案为：．【点评】此题主要考查了同角三角函数关系、勾股定理等知识，正确表示出AC的长是解题关键．12．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P（A）=（M和D 分别表示相应区域的面积）．如图，现有一边长为a的等边△ABC，分别以此三角形的三个顶点为圆心，以一边的一半长为半径画圆与△ABC的内切圆有重叠（见图中阴影部分）；现在在等边△ABC内注射一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是．【考点】几何概率；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心．【分析】利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐角三角函数关系得出DO，AD的长，从而可以求得△ABC的面积和内切圆的面积，本题得以解决．【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，∵等边△ABC的边长为a，∴∠OBD=30°，BD=，AD=∴OD=BD•tan30°=，∴内切圆⊙O的面积是：，等边△ABC的面积是：，∴该点落在△ABC内切圆中的概率是：，故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率以及三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质等知识，得出等边三角形与内切圆的关系是解题关键．13．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为150cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意抽象出直角三角形，利用勾股定理求得彩色丝带的长即可．【解答】解：如下图，彩色丝带的总长度为=150cm，故答案为：150cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．14．观察下列的有序数对：（3，﹣1），，根据你发现的规律，第2016个有序数对是（﹣4033，）．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先不看符号找规律：第一个数：连续奇数；第二个数是序号的倒数；再看符号的规律，最后得出答案．【解答】解：根据题意得：第一个数：3=2×1+1，﹣5=﹣（2×2+1），7=2×3+1，﹣9=﹣（2×4+1），…，所以第2016个有序数对的第一个数为：﹣（2×2016+1）=﹣4033，第二个数：﹣1，，﹣，，…，所以第2016个有序数对的第二个数为：，故答案为：（﹣4033，）．【点评】本题是数字类的变化题，此类题应该从第一个数起，分析其形成过程及与其它数的关系，找出满足条件的通项公式，并一一检验，最后确定其变化规律．15．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b=0；⑤b2﹣4ac＜0；⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是①②③④（把正确的序号都填上）．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；由抛物线和x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．【解答】解：①∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故正确；②∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，∴另一个交点的横坐标在0与﹣1之间；∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故正确；④∵对称轴x=﹣=1，∴2a+b=0；故正确；⑤∵抛物线和x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故错误；⑥如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误；∴正确的有4个．故答案为①②③④．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．三.解答题（共2个题，每题8分，共16分）16．计算：﹣2|1﹣|．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣8﹣6×+9×﹣2（﹣1）=﹣8﹣2+﹣2+2=﹣6﹣3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．解不等式组：，并在数轴上表示出解集．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据解不等式组的方法可以求得不等式组的解集，从而可以将不等式组的解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①，得x≥﹣12，解不等式②，得x＜，不等式①、②的解集在数轴上表示如下图所示，故原不等式组的解集是﹣12≤x＜．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）18．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（2016•富顺县校级模拟）近几年我国高速公路的建设有了飞速的发展，现正在修建中的某段高速公路要招标．现有甲乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可完成任务，需要费用120万元；若甲队单独做20天，剩下的工程由乙做，还需要40天才能完成此项工程，这样需要110万元，问：（1）甲乙两队单独完成此项工程，各需多少天？（2）甲乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元．【考点】二元一次方程组的应用；分式方程的应用．【分析】（1）两个等量关系为：甲工效+乙工效=；甲工效×20+乙工效×40=1．（2）两个等量关系为：（甲每天需要的工程费+乙每天需要的工程费）×24=120；甲每天需要的工程费×20+乙每天需要的工程费×40=110．【解答】解：（1）设甲队独做需a天，乙队独做需b天．建立方程组，解得a=30（天），b=120（天）经检验a=30，b=120是原方程组的解．答：甲队独做需30天，乙队独做需120天．（2）设甲队独做需x万元，乙队独做需y万元，建立方程组，解得x=135，y=60答：甲队独做需135万元，乙队独做需60万元．【点评】本题主要考查了分式方程以及二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：甲工效+乙工效=；甲工效×20+乙工效×40=1．（甲每天需要的工程费+乙每天需要的工程费）×24=120；甲每天需要的工程费×20+乙每天需要的工程费×40=110．列出方程组，再求解．五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）20．（10分）（2016•富顺县校级模拟）在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边上的中点，点M是AB上的一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连结MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM= 1 时，四边形AMDN是矩形；②当AM= 2 时，四边形AMDN是菱形．【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，又∵点E是AD边的中点∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形；故答案为：1；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴平行四边形AMDN是菱形，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．21．（10分）（2016•富顺县校级模拟）如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．【考点】垂径定理；三角形中位线定理．【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BD=BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；（2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE=AB，DE保持不变；【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=×6=3，∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3，∴OD==4，即线段OD的长为4．（2）存在，DE保持不变．理由：连接AB，如图（2），∵∠AOB=90°，OA=OB=5，∴AB==5，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=，∴DE保持不变．【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键．六、解答题（本题满分12分）22．（12分）（2016•富顺县校级模拟）用换元法解分式方程： =2解：设=m，则原方程可化为m﹣=2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0解得：m1=﹣1，m2=3即： =﹣1或=3；解得：x=或x=﹣经检验：x=或 x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=，x2=﹣．请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值：已知a是方程的根，并求代数式的值？【考点】换元法解分式方程；分式方程的解．【分析】先仿照题例，设=m，将原方程化为m2﹣m﹣2=0，然后解这个整式方程，再还元求得原方程的解，另外要注意求代数式的值时，注意a的取值之合理性．【解答】解：（）2﹣（）﹣2=0设=m，则原方程可化为m2﹣m﹣2=0，解这个整式方程得：m1=2，m2=﹣1即： =2或=﹣1；解得：x=4或x=﹣经检验：x=4或 x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=4，x2=﹣．因为a是方程的根，所以，a=4或a=﹣=÷=÷=•=则①当a=4时，原式===2；②当a=﹣时，原式===﹣1即：所求代数式的值为2或﹣1【点评】此题是换元法解分式方程，换元法解分式方程是难点，关键是换元之后把方程化成整式方程，要将所解整式方程的解还原回来，求出原分式方程的解，并要进行验根；七、解答题（本题满分12分）23．（12分）（2001•某某）如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否成立？请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？【考点】切线的判定．【分析】（1）结论仍然成立．在连接OD后，因为OD=OB，AB=AC，则有∠ABC=∠ACB=∠ODB，所以OD和AC永远平行；又DE和AC垂直，所以DE和OD也垂直，即DE是⊙O的切线．（2）当⊙O与AC相切时，若假设切点为F，⊙O与AB相交于G，则OF和AC垂直，即△AOF 是一个以AO为斜边的直角三角形；从而根据三角函数求得OF，OB的长，即可确定圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切．【解答】解：（1）结论成立．理由如下：如图，连接OD；∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠ODB，∴OD∥AC；又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．（2）当圆心O在AB上距B点为3x=时，⊙O与AC相切．如图所示，⊙O与AC相切于F，⊙O与AB相交于G．则OF⊥AC；在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；设OF=3x，AO=5x，则OB=OG=OF=3x，AG=2x，∴8x=AB=5，∴x=，此时OB=3x=时，即当圆心O在AB上距B点为3x=时，⊙O与AC相切．【点评】此题主要考查了切线的判定，以及圆中一些基本性质．八、解答题（本题满分14分）。

2016年福建省泉州市中考数学试卷一、选择题：每小题3分，共21分．每小题又四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．2．（x2y）3的结果是（）A．x5y3B．x6y C．3x2y D．x6y33．不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x＞1 C．1＜x≤2 D．无解4．如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．一组数据：2，5，4，3，2的中位数是（）A．4 B．3.2 C．3 D．26．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3 B．6 C．3πD．6π7．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y=﹣上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：每小题4分，共40分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．27的立方根为．9．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为．10．因式分解：1﹣x2=．11．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=．12．十边形的外角和是°．13．计算：=．14．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE=．16．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．三、解答题：共89分，在答题卡相应题目的答题区域内作答．18．计算：（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1．19．先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=．20．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．21．A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？22．近期，我市中小学广泛开展了“传承中华文化，共筑精神家园”爱国主义读书教育活动，某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“我最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调查，收集数据整理后，绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：最喜爱的一种活动统计表（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是多少度？（2）如果这所中学共有学生3800名，那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数．23．已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3）．（1）求该函数的解析式；（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．24．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？25．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．（1）比较与的大小；（2）若OH=2，求证：OP∥CD；（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=时，点P的位置．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；②如果∠C=60°，那么为何值时，B′P⊥AB．2016年福建省泉州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共21分．每小题又四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．【考点】绝对值．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：﹣3的绝对值是3．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（x2y）3的结果是（）A．x5y3B．x6y C．3x2y D．x6y3【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用积的乘方运算法则与幂的乘方运算法则化简求出答案．【解答】解：（x2y）3=x6y3．故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算与幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x＞1 C．1＜x≤2 D．无解【考点】解一元一次不等式组．【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】切线的性质．【分析】由切线的性质得出∠ABO=90°，由直角三角形的性质得出∠A=90°﹣∠AOB，即可得出结果．【解答】解：∵AB和⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∴∠A=90°﹣∠AOB=90°﹣60°=30°；故选：B．【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质，证出∠ABO=90°是解决问题的关键．5．一组数据：2，5，4，3，2的中位数是（）A．4 B．3.2 C．3 D．2【考点】中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：将数据由小到大排列2，2，3，4，5，中位数是3，故选：C．【点评】本题考查了中位数，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．6．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3 B．6 C．3πD．6π【考点】圆锥的计算．【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．【解答】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr=×2π×10，解得r=6．故选B．【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．7．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y=﹣上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．【分析】根据∠A 为直角，∠B 为直角与∠C 为直角三种情况进行分析． 【解答】解：如图，①当∠A 为直角时，过点A 作垂线与直线的交点W （﹣8，10）， ②当∠B 为直角时，过点B 作垂线与直线的交点S （2，2.5）， ③若∠C 为直角则点C 在以线段AB 为直径、AB 中点E （﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣的交点上．过点E 作垂线与直线的交点为F （﹣3，），则EF=∵直线y=﹣与x 轴的交点M 为（，0），∴EM=，EF==∵E 到直线y=﹣的距离d==5∴以线段AB 为直径、E （﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣恰好有一个交点．所以直线y=﹣上有一点C 满足∠C=90°．综上所述，使△ABC 是直角三角形的点C 的个数为3， 故选：C ．【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C 为直角的情况是否存在．二、填空题：每小题4分，共40分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 8．27的立方根为 3 ． 【考点】立方根． 【专题】计算题．【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为：3．【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．9．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为9.6×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将9600000用科学记数法表示为9.6×106．故答案为9.6×106．【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．因式分解：1﹣x2=（1﹣x）（1+x）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．【解答】解：∵1﹣x2=（1﹣x）（1+x），故答案为：（1﹣x）（1+x）．【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．11．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=4．【考点】三角形中位线定理．【专题】计算题．【分析】根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案．【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，∴DE=BC=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．12．十边形的外角和是360°．【考点】多边形内角与外角．【专题】常规题型．【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．【解答】解：十边形的外角和是360°．故答案为：360．【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．13．计算：=3．【考点】分式的加减法．【专题】计算题；分式．【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式===3，故答案为：3【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=5．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得答案．【解答】解：由直角三角形的性质，得CE=AB=5，故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形的性质是解题关键．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE=2：3．【考点】相交弦定理．【分析】根据相交弦定理得到AE•BE=CE•DE，于是得到结论．【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE=CE•DE，∴AE：DE=CE：BE=2：3，故答案为：2：3．【点评】此题考查了相交弦定理，熟练掌握相交弦定理是解题的关键．16．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为226．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】由0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，得出规律，即可得出a的值．【解答】解：根据题意得出规律：14+a=15×16，解得：a=226；故答案为：226．【点评】本题考查了数字的变化美；根据题意得出规律是解决问题的关键．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=15；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】（1）若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，据此求出它的面积是多少即可．（2）连接EC，延长CD、BE交于点P，证△ABE≌△DPE可得S△ABE=S△DPE、BE=PE，由三角形=S△ABE+S△CDE+S△BCE可得答案．中线性质可知S△BCE=S△PCE，最后结合S四边形ABCD【解答】解：（1）∵AB=DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的面积S=5×3=15，故答案为：15．（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，∵E是AD中点，∴AE=DE，又∵AB∥CD，∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，在△ABE和△DPE中，∵，∴△ABE≌△DPE（AAS），∴S△ABE=S△DPE，BE=PE，∴S△BCE=S△PCE，=S△ABE+S△CDE+S△BCE则S四边形ABCD=S△PDE+S△CDE+S△BCE=S△PCE+S△BCE=2S△BCE=2××BC×EF=15，∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，故答案为：=．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用及全等三角形的判定与性质，通过构建全等三角形将梯形面积转化为三角形面积去求是解题的关键．三、解答题：共89分，在答题卡相应题目的答题区域内作答．18．计算：（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】分别进行零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等运算，然后合并．【解答】解：原式=1+2﹣2﹣1=0．【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等知识，属于基础题．19．先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题；整式．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+4x+4﹣4x2﹣4x=﹣3x2+4，当x=时，原式=﹣6+4=﹣2．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．【考点】全等三角形的判定；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．【解答】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，∴△CDA≌△CEB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．21．A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．【解答】解：（1）P=；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P==，乙获胜的情况有2种，P==，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比22．近期，我市中小学广泛开展了“传承中华文化，共筑精神家园”爱国主义读书教育活动，某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“我最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调查，收集数据整理后，绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：最喜爱的一种活动统计表（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是多少度？（2）如果这所中学共有学生3800名，那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【专题】计算题；数据的收集与整理．【分析】（1）根据“演讲”的人数除以占的百分比，得到调查的总学生人数，并求出扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角度数即可；（2）求出最喜爱征文活动的学生人数占的百分比，乘以3800即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：39÷13%=300（名），则“讲故事”所占的比例为30÷300×100%=10%，所以扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是10%×360°=36°，则在这次抽样调查中，一共调查了300名学生，扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是36°；（2）根据题意得：3800×20%=760（名），则最喜爱征文活动的学生人数为760名．【点评】此题考查了扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．23．已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3）．（1）求该函数的解析式；（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．【分析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的一般形式即可确定其解析式；（2）首先确定平移后的横坐标，然后代入确定其纵坐标，从而确定沿y轴平移的方向和距离．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，∵图象经过点P（2，﹣3），∴k=2×（﹣3）=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2）∵点P沿x轴负方向平移3个单位，∴点P′的横坐标为2﹣3=﹣1，∴当x=﹣1时，y=﹣=6，∴∴n=6﹣（﹣3）=9，∴沿着y轴平移的方向为正方向．【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数的解析式及坐标的平移的知识，解题的关键时确定反比例函数的解析式．24．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）我们根据图中的信息可看出，图形经过（37，38），（39，34），（40，32），根据待定系数法可求函数关系式；（2）①根据函数的最值问题即可求解；②根据“特产”的保存时间和运输路线的影响，“特产”的销售时间最多是25天．要想使售价不低于30元/千克，就必须在最多25天内卖完，当售价为30元/千克时，销售量已经由（1）求出，因此可以根据最多进货的量÷30元/千克时的销售量≤25天，由此来列不等式，求出最多的进货量．【解答】解：（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b，则，解得．故函数关系式为y=﹣2x+112；（2）依题意有w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+324，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m千克，则≤30﹣5，解得：m≤1300．故一次进货最多只能是1300千克．【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．得出销售定价和销售量的函数关系是解题的关键．25．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．（1）比较与的大小；（2）若OH=2，求证：OP∥CD；（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=时，点P的位置．【考点】圆的综合题．【专题】综合题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PH⊥EF可判断PH平分∠FPE，然后根据圆中角定理得到=；（2）连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，先计算出PH=2，则可判断△OPH为等腰直角三角形得到∠OPQ=45°，再判断△OPQ为等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根据垂径的推理由=得到OQ⊥CD，则根据平行线的判定方法得OP∥CD；（3）直线CD交MN于A，如图，由特殊角的三角函数值得∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，则∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正弦的定义计算出PH即可．【解答】（1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，∴PH平分∠FPE，∴∠DPQ=∠CPQ，∴=；（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，∵OH=2，OP=4，∴PH==2，∴△OPH为等腰直角三角形，∴∠OPQ=45°，而OP=OQ，∴△OPQ为等腰直角三角形，∴∠POQ=90°，∴OP⊥OQ，∵=，∴OQ⊥CD，∴OP∥CD；（3）解：直线CD交MN于A，如图，∵cosα=，∴∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，而OB⊥CD，∴∠AOB=60°，∵OH⊥PQ，∴∠POH=60°，在Rt△POH中，∵sin∠POH=，∴PH=4sin60°=2，即点P到MN的距离为2．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；②如果∠C=60°，那么为何值时，B′P⊥AB．【考点】四边形综合题；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断；（2）①根据轴对称的性质进行作图即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出B′D=B′E，再设AP=a，BP=b，利用解直角三角形将DQ和CQ长用含a的代数式表示出来，最后根据CD=DQ+CQ列出关于a、b的关系式，求得a、b的比值即可．【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）①作图如下：②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，∴B′D=B′E，设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE=a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，∴B′E=b﹣a=B′D，∴C′D=a+b﹣（b﹣a）=a+a，∴直角三角形C′QD中，C′Q=a=CQ，DQ=C′Q=a，∵CD=DQ+CQ=a+b，∴a+a=a+b，整理得（+1）a=b，∴==，即=．【点评】本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质．。

江苏省南京市钟英中学2016届九年级上学期迎新年综合能力大比拼数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：(本大题共有6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在第Ⅱ卷相应位置上)1.下列事件中，必然事件是（ ▲ ）．A ．掷一枚硬币，正面朝上．B ．a 是实数，︱a ︱≥0．C ．某运动员立定跳远的成绩是3.2米．D ．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品． 【答案】B. 【解析】试题分析：A 选项事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；B 选项一个数的绝对值是非负数，所以B 选项属于必然事件；C 选项事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；D 选项事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；故本题应选B. 考点：统计与概率.2.若△ABC ∽△DEF ，它们的面积比为4：1，则△ABC 与△DEF 的相似比为（ ▲ ）． A ．2：1 B ．1 ：2 C ．4：1 D ．1：4【答案】A. 【解析】试题分析：因为相似三角形面积比是相似比的平方，若面积比为4：1，则其相似比为2：1，注意相似比有顺序性，故选A.考点：相似三角形的性质.3.已知函数2(3)21y k x x =++﹣的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ▲ ）． A ． 4k < B ．4k ≤ C ．4k <且3k ≠ D ．4k ≤且3k ≠ 【答案】B. 【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k ≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点.4.如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有（ ▲ ）． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C. 【解析】试题分析：因为截得的三角形与△ABC 相似，而截得的三角形与原三角形已有一个公共角，所以只要再作一个直角就可以.如图，过点M 作AB 的垂线，或作AC 的垂线，或作BC 的垂线，所得三角形都满足题意.即满足条件的直线共有三条.故选C.考点：相似三角形的判定.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （－4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1（O 为坐标原点），点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（ ▲ ）． ABC ．D ．3【答案】B. 【解析】第4题第5题试题分析：如图，过点O 作OP 1 ⊥AB ，过点P 1 作⊙O 的切线交⊙O 于点Q 1 ，连接OQ ，OQ 1 .当PQ ⊥AB 时，易得四边形P 1 PQO 是矩形，即PQ=P 1 O.∵P 1 Q 1 是⊙O 的切线， ∴∠OQ 1 P 1 =90.∴在Rt △OP 1 Q 1 中，P 1 Q 1 ＜P 1 O ，∴P 1 Q 1 即是切线长PQ 的最小值.∵A （－4，0），B （0，4），∴OA=OB=4.∴△OAB 是等腰直角三角形. ∴△AOP 1 是等腰直角三角形.根据勾股定理，得OP 1 =22 .∵⊙O 的半径为1，∴OQ 1 =1.根据勾股定理，得P 1 Q 1 =7-1)22(22= .故选B ．考点：1.等腰直角三角形与圆的综合知识；2.求最短距离问题.6.若一组数据x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6的平均数是2，方差是2，则另一组数据3x 1-2 , 3x 2-2 , 3x 3-2 , 3x 4-2 , 3x 5-2 , 3x 6-2的平均数和方差分别是（ ▲ ）．A ．2, 2B ．2, 18C ．4, 6D ．4, 18 【答案】D. 【解析】 试题分析：平均数=nxxx x n...321+++，则ax 1+b,ax 2+b,...ax n +b 的平均数=(ax 1+b+ax 2+b+...+ax n +b)/n=[a(x 1+x 2+...+x n )+nb]/n=a(x 1+x 2+...+x n )/n+nb/n=a ×nxxx x n...321++++b=a ×平均数+b ；方差=[(x 1-平均数)2+(x 2-平均数)2+...+(x n -平均数)2]/n ，则ax 1+b,ax 2+b,...,ax n +b 的方差={[(ax 1+b)-(a ×平均数+b)]2+[(ax 2+b)-(a ×平均数+b)]2+...+[(ax n +b)-(a ×平均数+b)]2}/n=[(ax 1-a ×平均数)2+(ax 2-a ×平均数)2+...+(ax n -a ×平均数)2]/n=a 2×[(x 1-平均数)2+(x 2-平均数) 2+...+(x n -平均数)2]/n=a 2×方差，把公式放到此题中，原数据的平均数是2，方差是2，新数据中a=3，则新的平均数=3×2-2=4，方差=32×2=18；故选D.考点：平均数与方差计算.二、填空题(本大题共有10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在第Ⅱ卷相应位置．．．．．．．上) 7.若线段a=3 cm,b=12 cm ，则a 、b 的比例中项c= ▲ cm ． 【答案】6. 【解析】试题分析：由c 是线段a,b 的比例中项可得：c 2=ab=12×3=36,因为c>0，所以c=6cm.故答案为6cm. 考点：成比例线段的计算.8.正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是 ▲ ． 【答案】18. 【解析】试题分析：因为正多边形的外角和是360度，若这个正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是360÷20=18.是正十八边形. 考点：正多边形的边角计算.9.关于x 的一元二次方程x 2+3x —m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 【答案】m>-49. 【解析】试题分析：因为此方程有两个不相等的实数根，所以b 2-4ac>0,即9+4m>0,解得：m>-49. 考点：一元二次方程根的判别式的运用.10.如图，AB 是半圆的直径，点C 、D 是半圆上两点，∠ADC = 128°，则∠ABC = ▲ ．【答案】52º. 【解析】试题分析：因为圆内接四边形对角互补，所以∠ABC +∠ADC=180º.所以∠ABC=180º-128°=52º. 考点：圆内接四边形性质.11.有五张不透明的卡片除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，第10题则抽到写着无理数的卡片的概率为 ▲ ．【答案】52. 【解析】试题分析：根据无限不循环小数是无理数，由题意可知随机抽取一张共有以上5种等可能结果，其中是无理数的有2种等可能结果，分别是352，π，所以抽到写着无理数的卡片的概率为52. 考点：求随机事件的概率.12.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为 ▲ ． 【答案】10%.考点：一元二次方程的平均变化率问题.13.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ▲ 度． 【答案】120º. 【解析】试题分析：若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，则这个圆锥的底面圆的半径是2cm ，则圆锥侧面展开图的面积等于圆锥的侧面积，等于πrl=π×2×6=12π，圆锥侧面展开图是扇形，所以12π=360360622ππn n R =，解得n=120º.故答案为120度.考点：1.圆锥的侧面积计算；2.圆锥侧面展开扇形图的有关计算.14.将抛物线：y = x 2－2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 ▲ ． 【答案】y=(x-5)2+2.试题分析：先将y = x 2－2x 写成顶点式为：y=(x-1)2-1,先向上平移3个单位后，解析式为y=(x-1)2-1+3，即y=(x-1)2+2，再向右平移4个单位后得到的抛物线是y=(x-1-4)2+2，即y=(x-5)2+2. 考点：抛物线的平移规律.15.如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D ′，点C 落在C ′处．若AB=6，AD ′=2，则折痕MN 的长为 ▲ ．【答案】210. 【解析】试题分析：由折叠可知，DM=D'M,设DM=x,则D'M=x ，AM=6-x,又因为AD ′=2，在Rt △AD'M 中，由勾股定理得D'M=310，所以DM=310，连接DN,D'N ，则DN=D'N ，即NC DC 22+=BN B D 22'+,代入相关数量有：62+NC 2=(6-2)2+(6-NC)2,解得：NC=34，所以MN 2=62+(310-34)2,即MN 2=40，所以MN=210.故折痕MN 的长为210.考点：1.勾股定理；2.折叠知识.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE=BF ；③点G 运动的路径长为π4；④CG 的最小值为52－1．其中正确的说法是▲ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）【答案】②③.第16题第15题试题分析：∵在正方形ABCD 中，对角线垂直平分相等，当E 移动到与C 重合时，BF 与BD 重合，此时AG=GE ，故①错误； ∵BF⊥AE， ∴∠AEB+∠CBF=90°， ∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE 和△BCF 中， ∠BAE=∠CBF，∠ABE=∠BCF =90º，AB=BC ，∴△ABE≌△BCF（ASA ）， ∴AE=BF ，故②正确； 根据题意，设对角线交点为O,G 点的运动轨迹是以AB 中点为圆心，以21AB 长为半径的圆弧BO 的长， ∴圆弧BO 的长=1802190⋅π=π4，故③正确； AB 的中点与C 的连线交圆弧BO 于G,此时CG 有最小值，CG 的最小值为OC ﹣OB=21-25，故④错误；综上所述，正确的结论有②③． 故答案为②③． 考点：1.动点问题；2.正方形性质；3.弧长公式.三、解答题 (本大题共88分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.解方程（本小题满分16分）．（1）2410x x -+= （用配方法）； （2）()x －12＝2()x －1；（3）x(x －6)＝2； （4）(2x ＋1)2＝3(2x －1)．【答案】（1）12x ，22x =；（2）11x =，23x =；（3）x 1=3+11 ， x 2=3－11；（4）原方程无实数解. 【解析】试题分析：（1）注意配方法步骤，先移项，把常数项移到等号右边，然后配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，写成完全平方形式，最后开方求解；（2）先移项，利用因式分解法解比较简单；（3）整理成一般形式，然后利用公式法求解；（4）先移项，然后整理成一般形式，考虑用公式法求解.试题解析：（1）先移项，把常数项移到等号右边，x 2-4x=-1,然后配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，x 2-4x+4=-1+4,写成完全平方形式，（x-2)2=3,开方求解：x-2=±3,解得：12x ，22x =；（2）先移项，()x －12-2()x －1=0，再因式分解：(x-1) [(x-1)－2]=0，即(x-1) (x-3) =0，解得：11x =，23x =；（3）原式整理成一般形式，x 2-6x-2=0,Δ=b 2-4ac=36+8=44>0,所以方程有两个不相等的实数根，x=2446±=21126±,即x 1=3+11 ， x 2=3－11；（4）先移项，(2x ＋1)2-3(2x －1)=0，然后整理成一般形式，2x 2－x ＋2=0,因为△= b 2－4ac =－15＜0．所以原方程无实数解.考点：解一元二次方程.18.（本小题满分8分）下表给出了y=x 2+bx+c 中x 与y 的一些对应值:(1)设y=x 2+bx+c,求b 和c 的值;并在表内的空格中填入适当的数； (2)将抛物线y=x 2+bx+c 做怎样的平移,使它的顶点为坐标原点?【答案】（1）b=-4, c=3；表格里依次填0,0；（2）向左平移2个单位，再向上平移1个单位. 【解析】试题分析：（1）由表格得知，x=0时，y=3,x=4时，y=3,将两点坐标代入即可求解；（2）先把一般形式的解析式化成顶点式，然后根据其顶点坐标为（0,0）对称轴是y 轴，做平移即可.试题解析：（1）根据表格，把x=0代入解析式，得c=3,再把x=4，y=3代入y=x 2+bx+3得b=-4；所以b=-4, c=3；解析式为y=x 2-4x+3，再将x=1,x=3分别带入，都得y=0，所以表格里依次填0,0；（2）此解析式为y=x 2-4x+3，写成顶点式：y=(x-2）2-1,若使它的顶点为坐标原点，将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到y=x 2.满足顶点为（0,0）.故答案为向左平移2个单位，再向上平移1个单位. 考点：1.利用表格求二次函数的解析式；2.抛物线的平移规律.19.（本小题满分6分）某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛（100米记录根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出合理的判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？ 【答案】推荐甲参加全市比赛更合适，理由参见解析. 【解析】试题分析：本题先求出样本的平均数，进行初步比较，再求出样本的方差，方差的大小能反映一组数据波动大小，应用样本方差的大小来衡量甲、乙两名优秀选手百米比赛成绩的稳定性.通过方差小，则成绩稳定，即可作出判断.试题解析：先求出样本的平均数，甲的成绩平均数=82.124.126.12135.128.124.121.12+++++++=12.5，乙的成绩平均数=85.128.118.122.13138.129.1112+++++++=12.5，两人的平均成绩相等，说明实力相当；再求出样本的方差，甲样本的方差：S 2=81[(12.1-12.5)2+(12.4-12.5)2+(12.8-12.5)2+(12.5-12.5)2+(13-12.5)2+(12.6-12.5)2+(12.4-12.5)2+(12.2-12.5)2]=0.62÷8=0.0775；乙样本的方差：S 2=81[(12-12.5)2+(11.9-12.5)2+(12.8-12.5)2+(13-12.5)2+(13.2-12.5)2+(12.8-12.5)2+(11.8-12.5)2+(12.5-12.5)2]=2.02÷8=0.2525；因为0.0775<0.2525，即甲的8次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．考点：1.统计数据分析；2.方差的计算与应用.20.（本小题满分7分）实验探究：有A ，B 两个不透明的布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1，－2和－3．小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x ，再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为()x y ，． （1）用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标； （2）求点Q 落在直线3y x =-上的概率．【答案】（1）点Q 的坐标有（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2）（2，-3）； （2）31. 【解析】试题分析：（1）用列表法或树形图法列举出两次实验抽取的结果，即可写出点Q 的所有可能坐标；（2）把这些点的坐标代入此一次函数解析式，把满足这个解析式的点的个数除以所有点的个数即为落在该直线上的概率.试题解析：（1）小明从A 布袋中随机取出一个小球，x 共有两种等可能结果，分别是1,2.再从B 布袋中随机取出一个小球，y 共有三种等可能结果，分别是-1，-2，-3，所以共有6种等可能结果，点Q 的坐标分别是（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2）（2，-3）；（2）把这些点的坐标分别代入直线y=x-3,满足这个解析式的有点（1，-2）（2，-1）共两种等可能结果，所以点Q 落在直线y=x-3上的概率是P=62=31． 考点：求随机事件的概率.21.（本小题满分7分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x ．（1）用含x 的代数式表示第3年的可变成本．．．．为＿＿＿＿＿万元． （2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x ． 【答案】（1）2.6(1+x)2；（2)10%． 【解析】试题分析：（1）运用平均变化率的公式即可列出方程；（2)因为养殖成本包括固定成本和可变成本，所以列方程：4+2.6（1+x ）2=7.146，解方程求解.试题解析：（1）第一年的数据是2.6万元，每年增长率为x ，则三年后的可变成本就是2.6(1+x)2万元；（2)由题意养殖成本包括固定成本和可变成本，列方程：4+2.6（1+x ）2=7.146，解之得：x 1=0.1，x 2=﹣2.1（不合题意，舍去）．所以可变成本平均每年增长的百分率为10%． 考点：一元二次方程的平均变化率问题.22.（本小题满分7分）如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.（1）求证：△ACF ∽△GCA ； （2）求∠1＋∠2的度数.【答案】（1）证明参见解析；（2）45°. 【解析】试题分析：（1）根据已知条件计算出相应的线段长度，可利用两边对应成比例，夹角相等判定两个三角形相似；（2）利用上题的相似得出对应角相等，即∠1=∠CAF ，把∠1＋∠2转换成∠CAF ＋∠2，即∠ACB ，由正方形性质即可得出结论.试题解析：（1）因为四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.所以可设边长为1，于是AC=2,CF=1，AF=5,CG=2，AG=10,所以AC CF CG AC ==，又因为∠ACF 是△ACF 与△GCA 的公共角，所以△ACF ∽△GCA ；（2）因为AC 是正方形ABCD 的对角线，所以∠ACB=45°，因为△ACF ∽△GCA ，所以∠1=∠CAF ，又因为∠ACB 是△ACF 与△GCA 的外角，所以∠1＋∠2=∠CAF ＋∠2=∠ACB ，所以∠1＋∠2=45°. 考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形性质.23.（本小题满分8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、D 两点，且分别交AB 、BC 于点E 、F ． (1) 求证：AC 是⊙O 的切线；(2) 已知AB=10，BC=6，求⊙O 的半径r ．第22题【答案】（1）证明参见解析；（2）415. 考点：1.圆的切线的判定；2.相似三角形的判定与性质；24.（本小题满分7分）如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝70°．(1) 尺规作图：作△ABC 的内切圆圆O ；(2) 若圆O 分别与边BC 、AB 、AC 交于点D 、E 、F ，求∠EDF 的度数．【答案】(1)作图参见解析；(2)65°．【解析】试题分析：（1）内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，用尺规作图即可；（2）连接OE 、OF ．可得AB ⊥OE ，AC ⊥OF ．于是有∠EOF ＝180º-∠A=130°，由圆周角定理即可求出∠EDF 的度数．试题解析：（1）内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，用直尺圆规作出两个角的角平分线，其交点ABC第24题第23题就是内切圆的圆心O ；（2）连接OE 、OF ．在△ABC 中，∠A ＝180°–∠B –∠C ＝180º-60º-70º=50°．∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴AB ⊥OE ，AC ⊥OF ．∴∠EOF ＝180º-∠A=130°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝65°． 考点：1.内切圆圆心的意义；2.圆切线性质；3.圆周角定理.25.（本小题满分10分）小强遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAD=75°，∠CAD=30°, AD=2，BD=2DC ，求AC 的长．小强发现，过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E,通过构造△ACE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE 的度数为 ▲ ，AC 的长为 ▲ ．参考小强思考问题的方法，解决问题：（2）如图3，在四边形ABCD 中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC 与BD 交于点E ，AE=2，BE=2ED ，求BC 的长．【答案】（1）75°，AC 的长为3；（2）【解析】试题分析：(1)过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E,可知∠E=∠BAD=75°，因为∠CAD=30°,所以利用三角形内角和可算出∠ACE 的度数是75度，再利用平行线分线段成比例定理得出DE=1，AE=2+1=3,所以AC=AE=3；(2)先建立平行线，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．得到AB ∥DF ，由平行线分线段成比例定理得到2AB AE EB DF EF DE===，由AE=2，得EF=1，AF=3，在Rt △AFD 中，由∠FAD=30°，可算出DF 和AD 的长度，又因为AD=AC ，于是可知道AB 和AC 的长度，再由勾股定理算出BC 的长度即可.试题解析：（1）过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E,由两直线平行内错角相等可知∠E=∠BAD=75°，因为∠CAD=30°,所以利用三角形内角和可算出∠ACE=180º-75º-30º=75º，再利用平行线分线段成比例定理得出CD:BD=ED:AD,因为AD=2，BD=2DC ，所以DE=1，于是AE=2+1=3,因为AC=AE ，所以AC 的长为3；（2）过点D 作DF ⊥AC 于点F ．第25题图1图3∵∠BAC=90°=∠DFA ，∴AB ∥DF ，∴△ABE ∽△FDE ，∴2AB AE EB DF EF DE===，∵AE=2，∴EF=1，AF=2+1=3，AB=2DF ．在△ACD 中，∵∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，∴∠ADC=∠ACD ，∴AC=AD ．∵DF ⊥AC ，∴∠AFD=90°，在Rt △AFD 中，∠FAD=30°，∴设DF=x, 则AD=2x ，∴222)2(3x x =+，解得：3,321-==x x (舍去),∴DF=3,AB=AC=AD=32,∴考点：1.平行线分线段成比例定理的应用；2.解直角三角形；3.阅读理解能力.26.（本小题满分12分）如图，抛物线y=x 2－4x 与x 轴交于O ，A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y=x+m 与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 ；（2）若两个三角形面积满足S △POQ = 13S △PAQ ，求m 的值； （3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD ＋DQ 的最大值；②PD ·DQ 的最大值．【答案】（1）x=2,45º；（2）m=-1或2；（3）①6 2 ；②18．【解析】 试题分析：（1）把解析式转化成顶点式，或利用对称轴公式即可得该抛物线的对称轴，利用直线y=x+m 与坐标轴的交点坐标即可求得直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数；（2）分情况讨论，即直线PQ 与x 轴的交点落在OA 的延长线上，OA 上，AO 的延长线上三种情况讨论m 值.设直线PQ 交x 轴于点B ，分别过O 点，A 点作PQ 的垂线，垂足分别是E 、F ，，当点B 在OA 的延长线时，S △POQ = 13S △PAQ 不成立；当点B 落在线段OA上时，备用图13POQPAQ SOE S AF ==，由△OBE ∽△ABF 得，13OB OE AB AF ==，由对称轴求出A 点坐标，再由比例式求出B 点坐标，代入直线PQ 解析式，即可求得m 值；当点B 落在线段AO 的延长线上时，同理由比例式求出B 点坐标，进而确定m 值；(3)①由题意可过点C 作CH ∥x 轴交直线PQ 于点H ，可得△CHQ 是等腰三角形，AD ⊥PH ，DQ=DH ，PD ＋DQ=PH ，过P 点作PM ⊥CH 于点M ，可得△PMH 是等腰直角三角形，PH= 2 PM ，即当PM 最大时，PH 最大，显然当点P 在抛物线顶点处时，PM 最大，此时PM=6，于是求得PH 的最大值.即PD ＋DQ 的最大值；②上题求得PD+DQ 的最大值为6 2 ．即PD+DQ ≤6 2 ，设PD=a ，则DQ ≤6 2 －a ，所以PD •DQ ≤a （6 2 －a ）=－（a －3 2 ）2＋18，即当PD=DQ=32时求得PD ·DQ 的最大值． 试题解析：（1）∵y=x 2－4x=(x －2)2－4，∴抛物线的对称轴是直线x=2，∵直线y=x+m 与坐标轴的交点坐标为(－m ，0)，(0，m)，∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是45°.故答案为x=2；45°．（2）设直线PQ 交x 轴于点B ，分别过O 点，A 点作PQ 的垂线，垂足分别是E 、F ，显然当点B 在OA 的延长线时，OE>AF,S △POQ = 13S △PAQ 不成立；①当点B 落在线段OA 上时，如图①，13POQPAQ SOE S AF ==，由△OBE ∽△ABF 得， 13OB OE AB AF ==，∴AB=3OB ，∴OB =14OA ，由y=x 2－4x 得点A （4，0），∴OB=1，∴B （1，0），代入y=x+m,∴1＋m=0，∴m=－1；②当点B 落在线段AO 的延长线上时，如图②，同理可得OB =12OA=2，∴B（－2，0），∴－2＋m=0，∴m=2，；综上所述，当m=－1或2时，S△POQ=13S△PAQ；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD＋DQ=PH，过P点作PM ⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH= 2 PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6 2 ，即PD+DQ的最大值为6 2 ．②由①可知：PD+DQ ≤6 2 ，设PD=a，则DQ ≤6 2 －a，∴PD•DQ ≤a（6 2 －a）=－a2＋6 2 a=－（a－3 2 ）2＋18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3 2 ，∴PD•DQ ≤18．；∴PD•DQ的最大值为18．考点：1.二次函数与一次函数综合题；2.二次函数的最大值问题；3.函数与图形面积综合题.高考一轮复习：。

秘密★启用前广州市2016年初中毕业生学业考试数学广州爱智康中考数学教研团队本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入100元记作100-元表示（）+元，那么80A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元【考点】正数、负数．【分析】正数与负数可以表示相反的意义．正数表示收入，则负数应表示支出．【解答】C．2．如图所示，几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】三视图．【分析】由图可知该几何体由上下两个圆锥拼接而成，再结合圆锥左视图可推出答案．【解答】A3．据统计，2015年广州地铁日均客运量约为6590000人次，将6590000用科学技术法表示为（ ）A ．46.5910⨯B ．465910⨯C ．565.910⨯D ．66.5910⨯【考点】科学记数法．【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n 是负数．【解答】D4．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0~9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（ ） A ．110B ．19C ．13D ．12【考点】概率．【分析】依题意，仅需确定最后一个数字．最后一个数字总共有0~9的十种等可能情况，因此一次就能打开密码锁的概率为110． 【解答】A5．下列计算正确的是（ ）A ．22x xy y=（0y ≠）B ．2122xy xy y÷=（0y ≠） C ．235x y xy +=（0x ≥，0y ≥） D ．3226()xy x y =【考点】幂的乘方，分式乘除法，二次根式的加减． 【分析】A 、根据幂的乘方法则得出结果，即可作出判断；B 、根据分式乘除法法则得出结果，即可作出判断；C 、根据二次根式加减法法则得出结果，即可作出判断；D 、根据幂的乘方与积的乘方法则得出结果，即可作出判断【解答】D6．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系式是（ ）A ．320v t =B ．320v t = C ．20v t =D ．20v t=【考点】反比例函数的解析式．【分析】根据公式：=⨯路程速度时间，可算得甲乙两地之间的距离为320千米；根据公式：=路程速度时间，可得出答案．【解答】B7．如图，已知ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD =（ ）A ．3B ．4C ．4.8D ．5【考点】勾股定理；中位线；垂直平分线． 【分析】∵10AB =，8AC =，6BC =∴222AB AC BC =+，90ACB ∠=︒ ∵DE 是AC 的垂直平分线∴90AED ∠=︒，点E 是AC 的中点，AD DC = ∴ED BC ∥∴ED 是ABC △的中位线，D 为AB 中点 ∴152AD AB == ∴5CD AD ==【解答】D8．若一次函数y ax b =+的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）A ．0ab >B ．0a b ->C ．20a b +>D ．0a b +>【考点】一次函数图像与系数的关系．【分析】因为该一次函数的图像经过第一、二、四象限，因此0a <，0b >． 【解答】A ∵0a <，0b >，∴0ab <，所以A 错；B ∵0a <，0b >，∴0a b -<，所以B 错；C ∵20a >，0b >，∴20a b +>，所以C 对； D∵0a <，0b >，∴a b +无法确定大小，所以D 错．9．对于二次函数2144y x x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．当0x >时，y 随x 的增大而增大B ．当2x =时，y 有最大值3-C ．图像的顶点坐标为(27)--，D ．图像与x 轴有两个交点【考点】二次函数的顶点坐标、性质和图像 【分析】A由题可知，该二次函数开口向下，对称轴为2x =；因此当2x <时，y 随x 的增大而增大，当2x >时，y 随x 的增大而减小．所以A 错；B 因为二次函数开口向下，因此有最大值；将2x =代入解析式可算得3y =-．所以B 对；C 计算可得顶点坐标为(23)-，．所以C 错； D计算可得30∆=-<，因此该二次函数与x 轴没有交点．所以D 错．【解答】BEDCBA10．定义新运算：(1)a b a b =-★，若a ，b 是方程2104x x m -+=（1m <）的两根，则b b a a -★★的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关【考点】新定义题型；解含参一元二次方程．【分析】若a ，b 是方程2104x x m -+=（1m <）的两根，则1a b +=，由定义新运算可得2222(1)(1)()()(1)()(11)0b b a a b b a a a b a b a b a b a b =---=--+=---=-+-=--=原式．【解答】A第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．分解因式：22a ab +=__________．【考点】因式分解（提公因式法）．【分析】原式提公因式a ，即可得(2)a a b +，因此答案为(2)a a b +，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解答】(2)a a b +12．代数式9x -有意义时，实数x 的取值范围是__________．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，故90x -≥，即9x ≤． 【解答】9x ≤13．如图，ABC △中，AB AC =，12cm BC =，点D 在AC 上，4cm DC =，将线段DC 沿CB 方向平移7cm得到线段EF ，点E ，F 分别落在边AB ，BC 上，则EBF △的周长为__________．【考点】平移的性质，等腰三角形的性质．【分析】线段平移过后的大小和方向不变，线段DC 沿CB 方向平移得到线段EF ，故EF DC =，EF DC ∥，在ABC △中AB AC =，等边对等角，故B C ∠=∠，又EF DC ∥，所以EFB DCF ∠=∠，EFB ABC ∠=∠，等角对等边，故EB EF =．【解答】线段DC 沿CB 方向平移得到线段EF ，故4cm EF DC ==，EF DC ∥，∴EFB DCF ∠=∠又∵AB AC =，∴DCF ABC ∠=∠，EFB ABC ∠=∠，4cm EB EF == ∵12cm BC =，7cm FC =，∴5cm BF BC FC =-= ∴EBF △的周长为45413cm EB BF EF ++=++=．FE DCBA14．方程1223x x =-的解是__________．【考点】解分式方程【分析】原分式方程两边同时乘以2(3)x x -，得322x x -=⨯，解得1x =-，检验：当1x =-时，2(3)0x x -≠，∴1x =-是原分式方程的解【解答】1x =-15．如图，以点O 为圆心的两根同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，123AB =，6OP =则劣弧AB 的长为__________（结果保留π）．【考点】切线的性质，垂径定理，三角函数，弧长公式．【分析】弦AB 为小圆的切线，点P 为切点，故OP AB ⊥，1632AP BP AB ===， 在Rt AOP △中， tan =3AP AOP OP ∠=，60AOP ∠=︒，12OA =，则120AOB ∠=︒，120128180180AB n r l πππ⨯⨯===． 【解答】8π16．如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线，将DCB △绕点D 顺时针旋转45︒得到DGH △，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形； ②AED GED △≌△ ③112.5DFG =︒∠；④ 1.5BC FG +=其中正确的结论是__________．【考点】旋转的性质，正方形和等腰直角三角形的性质，菱形和全等三角形的性质与判定．【分析】DCB △旋转45︒得到DGH △，故DGH DCB △≌△，45DHG DBC ∠=∠=︒，90DGH DCB ∠==︒又∵45DAC ∠=︒，∴AF EG ∥在Rt AED △和Rt GED △中，AD GD =，ED ED =，Rt Rt AED GED △≌△， ∴ADE GDE ∠=∠．故②正确；在ADF △与GDF △中，AD GD =，ADF GDF ∠=∠，FD FD =POBAHGFEDC BAADF GDF △≌△，∴45DGF DAF ∠=∠=︒，又∵45DBA ∠=︒，∴FG AE ∥∴四边形AEGF 是平行四边形，又AF GF =，∴四边形AEGF 是菱形，故①正确；122.52GDF ADB ∠=∠=︒，45DGF ∠=︒，∴112.5DFG ∠=︒，③正确；21FG AE HA HD AD BD AD ===-=-=-，1212BC FG +=+-=，故④不正确．【解答】①②③三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本题满分9分）解不等式组()25324x x x <⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，并在数轴上表示解集．【考点】解一元一次不等式组【分析】首先解出每一个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】解：()25324x x x <⎧⎪⎨+≥+⎪⎩①②解①得：52x <解②得：1x ≥- 则不等式的解集是：512x -≤<在数轴上表示为：18．（本题满分9分）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB AO =，求ABD ∠的度数．【考点】矩形的性质、等边三角形性质【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，得出AOB △是等边三角形，再由等边三角形的性质得出答案 【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO BO =∵AB AO =，∴AO BO AB ==，∴ABO △是等边三角形，∴60ABO BOA OAB ∠=∠=∠=︒，即60ABD ∠=︒52–1–2123ODC BA19．（本题满分10分）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：小组研究报告小组展示答辩甲91 80 78乙81 74 85丙79 83 90（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%，计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？【考点】数据的统计与分析【分析】（1）本题是一个统计问题，根据平均数的公式即可得到结果；（2）根据加权平均数的算法即可得到结果【解答】解：（1）甲组：918078833++=乙组：817485803++=丙组：798390843++=848380>>第一名：丙组，第二名：甲组，第三名：乙组答：甲组平均分是83分，甲组平均分是80分，甲组平均分是84分（2）甲组：9140%8030%7830%83.8⨯+⨯+⨯=乙组：8140%7430%8530%80.1⨯+⨯+⨯=丙组：7940%8330%9030%83.5⨯+⨯+⨯=83.883.580.1>>答：甲组平均分是83.8分，甲组平均分是80.1分，甲组平均分是83.5分，甲组的成绩最高20．（本题满分10分）已知22()4()a b abA ab a b +-=-（a ，0b ≠且a b ≠）．（1）化简A ；（2）若点()P a b ，在反比例函数5y x=-的图象上，求A 的值． 【考点】（1）因式分解；（2）反比例函数． 【分析】（1）分子利用完全平方公式22()2a b a ab b ±=±+化简后可得2()a b -，再分子分母进行约分可得1A ab=； （2）因为点()P a b ，在反比例函数5y x=-的图象上，所以把点()P a b ，代入解析式，可得5b a =-，再把5b a =-代入（1）式化简结果1A ab =，即可得到：15A =-．【解答】（1）解：2222222222()4242()1()()()()a b ab a ab b ab a ab b a b A ab a b ab a b ab a b ab a b ab+-++--+-=====----（2）因为点()P a b ，在反比例函数5y x=-的图象上，所以把点()P a b ，代入解析式， 可得5b a =-，再把5b a =-代入（1）式化简结果1A ab =，即可得到：15A =-．21．（本题满分12分）如图，利用尺规作图，在ABC △的边AC 上方作CAE ACB =∠∠，在射线AE 上截取AD BC =，连接CD ，并证明：CD AB ∥．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【考点】尺规作图，全等三角形的判定，平行线的判定．【分析】尺规作图步骤：①分别以A 、C 为圆心，以一定长度为半径作弧，分别交AC 边于点P 、M ，交CB边于点N ；②以P 为圆心，MN 长度为半径作弧，交弧于点E ，作射线AE ；③以A 为圆心，BC 长度为半径作弧交射线AE 于点D ，连接CD ，即为所求．通过作图，可以得到CAE ACB =∠∠，AD BC =，在结合公共边AC CA =，可得ACD CAB △≌△（SAS ），则ACD CAB =∠∠，所以CD AB ∥．【解答】（1）如图所示，为所求图形．（2）又（1）可得CAE ACB =∠∠，AD BC =，在ADC △和CBA △中， AD BC CAE ACB AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴ACD CAB △≌△（SAS ），∴ACD CAB =∠∠，则：CD AB ∥CBAPNM D E ABC22．（本题满分12分）如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人飞机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30︒，60︒，此时无人机的飞行高度AC 为60m ．随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达A '处． （1）求A ，B 之间的距离；（2）求从无人机A '上看目标D 的俯角的正切值．【考点】勾股定理，锐角三角函数．【分析】（1）因为从无人飞机A 上看目标B 的俯角分别为30︒，且AA BC '∥，可得30B =︒∠．在Rt ABC △中，60m AC =，可得2260120m AB AC ==⨯=．（2）过A '作A E AA ''⊥交BC 的延长线于点E ，可得四边形AA EC '为矩形，60m A E AC '==，303m CE AA '==．由题可得60ADC =︒∠，因为60m AC =，可求得60203m tan tan 60AC DC ADC ===︒∠．从无人机A '上看目标D 的俯角AA D A DE ''=∠∠，在Rt A DE '△中，602tan 35203303A E A DE DE ''===+∠，则从无人机A '上看目标D 的俯角的正切值为235． 【解答】（1）因为从无人飞机A 上看目标B 的俯角分别为30︒，且AA BC '∥，可得30B =︒∠．在Rt ABC △中，60m AC =，可得2260120m AB AC ==⨯=．（2）过A '作A E AA ''⊥交BC 的延长线于点E ，可得四边形AA EC '为矩形，∴60m A E AC '==，303m CE AA '==．由题可得60ADC =︒∠，因为60m AC =， 可求得60203m tan tan 60AC DC ADC ===︒∠．从无人机A '上看目标D 的俯角AA D A DE ''=∠∠，在Rt A DE '△中，602tan 35203303A E A DE DE ''===+∠，则从无人机A '上看目标D 的俯角的正切值为235．A 'DCBA60°30°E30°60°ABCD A '23．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45()33A ，，点D 的坐标为(01)D ，．（1）求直线AD 的解析式；（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标．【考点】一次函数（待定系数法求解析式），相似（相似的性质——对应边成比例）、等面积法 【分析】（1）求一次函数解析式利用待定系数法，把两点A 、D 的坐标代入解出方程组即可；（2）三角形相似，注意对应关系不同，则有不同情况，多个答案．本题易漏解，需要分类讨论，不是直角，所以只需分①BOD BCE △∽△或②BOD BEC △∽△两种即可，同时第二种情况求出BE 、CE 长度，还需要过E 做垂直于x 轴的高，用面积法求出点E 的纵坐标，代入一次函数解析式求出横坐标【解答】（1）依题意设直线AD 的解析式为y kx b =+，又点45()33A ，，(01)D ，代入可得45331k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩即直线AD 的解析式为112y x =+ （2）有（1）可知直线AD 为112y x =+， 令0y =，解得2x =-，即交点(20)B -， 同理，亦可求点(30)C ，又CBE ∠不是直角， ①当BOD BCE △∽△时，如图，过点C 作1E C x ⊥于交直线AD 于1E ， 有1BO OD BC CE =，则151522BC OD CE BO ⋅⨯=== ∴15(3)2E ，xyOD CAxyBOD CAE 1②当BOD BEC △∽△时如图，过点C 作2CE AD ⊥于点2E ，并过点2E 作2E H x ⊥轴于点H ， 有22BO OD BDBE E C BC==， 则252255BC BO BE BD ⋅⨯===，21555OD BC E C BD ⋅⨯===， 在2Rt BE C △中， 22221122BE C S BC E H BE CE =⋅=⋅△ 则2222BE CE E H BC⋅==， 令2y =，代入直线AD ：112y x =+可得2x = 即点2(22)E ，综上，当BOD △与BCE △相似时，点5(3)2E ，或(22)E ，24．（本题满分14分）已知抛物线2(12)13y mx m x m =+-+-与x 轴相交于不同的两点A ，B ． （1）求m 的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴的一点P ，并求出点P 的坐标； （3）当184m <≤时，由（2）求出的点P 和点A ，B 构成的ABP △的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的m 值；若没有，请说明理由．【考点】二次函数与代数结合，考察学生对于参数的理解，可类比一次函数恒过定点来解决．第3小问考查求面积最值问题，涉及坐标来表示线段，通过配方求函数最值．【分析】由于函数与x 轴交于不同两点，故只需二次函数判别式来判定即可．关于函数过定点问题需要理解过定点的意义即为当x 为某个值时，y 与m 无关,另外还需注意P 不在坐标轴上．第3问中函数与轴有两个交点，两交点的线段距离公式即为AB a∆=，或利用韦达定理来表示AB 长度，当AB 最大时，面积即为最大．xyH E 2BACD O【解答】（1）当0m =时，函数为一次函数，与x 轴只有一个交点，不符合条件，舍去当0m ≠时，若函数与x 轴交于不同两点，即方程2(12)130mx m x m +-+-=有两个不相等实数解，∴222(12)4(13)1816(14)0m m m m m m ∆=---=-+=-> ∴140m -≠，∴14m ≠综上，m 的取值范围为：0m ≠且14m ≠． （2）2(12)13y mx m x m =+-+-，分离参数m 得：2(23)1y m x x x =--++，抛物线过定点说明在这一点y 与m 无关显然当2230x x --=时，y 与m 无关，解得此时 13x =，21x =-当13x =时，4y =，定点坐标(34)， 当21x =-时，0y =，定点坐标为(10)-， 由于P 不在坐标轴上，故(34)P ，（3）22212(13)144412A B m m m m m m m AB x x a m m --∆-+-+=-===2（）-4 22221816(14)1414m m m m m m m m-+--====-∵184m <≤，∴1148m ≤＜，∴311408m-≤-＜，∴131048m -≤＜∴AB 最大时，13148m -=，解得，8m =或863m =（舍去） ∴当8m =时，AB 有最大值318，此时ABP S ∆最大；没有最小值． 则面积最大为：11313142284ABP p S AB y =⋅=⨯⨯=△25．（本题满分14分）如图，点C 为ABD △外接圆上的一动点（点C 不在弧BAD 上，且不与点B ，D 重合），45ACB ABD ∠=∠=︒．（1）求证：BD 是该外接圆的直径； （2）连接CD ，求证：2AC BC CD =+；（3）若ABC △关于直线AB 对称图形为ABM △，连接DM ，试探究2DM ，2AM ，2BM 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【考点】圆的综合，旋转【分析】（1）根据在同圆中，相等的圆周角对应的弦相等，得到ABD △是等腰直角三角形，即可得到BD 是该圆的直径；（2）在等腰直角三角形中会存在2的关系，所以需要构造出以AC 为直角边，BC CD +总长度为斜边的等腰直角三角形．所以过A 点作AE 垂直AC 且，AE AC =，连接BE ，只要证明E B C 、、共线且EB CD =即可求证．（3）在直角三角形中，由勾股定理得到直角三角形三边的平方关系，所以构造与AM DM BM 、、相关的直角三角形．AMC △、ABD △是等腰三角形，可以顺时针旋转AMD △使得AD 与AB 重合，得到ABM '△，连接MM '，得到AM AM '=，且90MAM '∠=︒，所以45AMM AM M ''∠=∠=︒，得到90BMM '∠=︒，在Rt BMM '△中即可得到2222DM AM BM =+．【解答】解：（1）在外接圆中，∵45ACB ABD ∠=∠=︒，∴AB AD =，45ADB ABD ∠=∠=︒∴90BAD ∠=︒，则：BD 是该外接圆的直径（2）过A 点作AE AC ⊥且AE AC =，连接EB ，如图所示AE AC ⊥且AB AD ⊥，BAC ∠是公共角，∴EAB DAC ∠=∠在AEB △和ACD △中 AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEB ACD △≌△（SAS ）∴EB CD =，ABE ADC ∠=∠，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180ABC ABE ∠+∠=︒ ∴E 、B 、C 三点共线DCB AEABCD∴EC BC EB BC CD =+=+，在Rt AEC △中，2AC EC =，则有：2AC BC CD =+（3）把AMD △绕点A 顺时针旋转90︒使得AD 与AB 重合，连接MM '，得到ABM '△则AM AM '=，BM DM '=且90MAM '∠=︒在等腰直角AMM '△中，2MM AM '= ∴222M M AM '=∴45AMM AM M ''∠=∠=︒ 由对称图形性质可知： 45AMB ACB ∠=∠=︒ ∴90BMM '∠=︒在Rt BMM '△中 ∵222M B M M BM ''=+ ∴2222DM AM BM =+．M 'MDCBA。

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。