函数与方程及函数应用
知识梳理
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数
))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图
象与x 轴交点的横坐标。即：
方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
求函数)(x f y =的零点：
（1）（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；
（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用
函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程02
=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程02
=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程02
=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
2．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理
解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
三. 典型例题
考点11 函数的零点与方程的根
题型二十 函数零点所在区间的判断
例 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
例 二次函数243y x x =-+的零点为 。
例 函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）
（A ）（-3，-1）； （B ）（-1，2）； （C ） （2，3）； （D ）（3，4）。
变式训练
函数x x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）
（A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
函数x x y 26ln +-=的零点一定位于如下哪个区间 （
）
A 、()2,1
B 、()3,2
C 、()4,3
D 、()6,5
题型二十一 函数零点的个数问题
例 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
变式训练
求x
x x f 2)(2-=零点的个数。
题型二十二 根据函数零点求参数的取值范围 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.
设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________．
变式训练
函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．
函数()lg 3f x x x =+-的零点在区间(,1)m m +()m Z ∈内，则m = ．若方程方程2570x x a --=的一个根在区间（1-，0）内，另一个在区间（1，2）内，求实数a 的取值范围 。
考点12 函数的实际应用
题型二十三 函数的实际应用
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )
与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12
]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．
(1)令t ＝x
x 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
变式训练
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且
R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10.8－130x 2 (0108x －1 0003x 2 (x >10).
(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收
入－年总成本)
题型二十四函数的综合应用
根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产x(件)之间近似地满足关系
式
*
2
*
2
19,,
15
60
1020,
540
x x
x
p
x
x x
⎧
∈
⎪⎪-
=⎨
+
⎪∈
⎪⎩
N
N
, ≤≤
, ≤≤
(日产品废品率=
日废品量
日产量
×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，
而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；
（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？四. 归纳总结
