第八章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.
二、求下列函数的定义域：
1、2
221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2
2≠+x y y x 2、x
y
z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x
三、求下列极限：
1、222)0,0(),(sin lim y x y
x y x +→ （0） 2、
x y x x y
3)2,(),()1(lim
+∞→ (6e )
四、证明极限 2
42)0,0(),(lim y x y
x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2
x y =趋于（0，0）时，极限为2
1
, 二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y
x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，
)0,0(01
sin lim 2
2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数
1、设z=x
y
xe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂y
z y
x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y
+=++=∂∂+∂∂y
z
y x z x
42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：
2、求空间曲线⎪⎩⎪
⎨⎧=+=Γ2
1:2
2y y x z 在点（
1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y
x
y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)
4、设y
z x u =, 求
x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，z
u ∂∂
解：1
-=∂∂y z x y z x u ，
x x y
z y u y z
ln 2-=∂∂ x x y z u y z
ln 1=∂∂ 5、设2
2
2
z y x u ++=，证明 : u
z u y u x u 2
222222=∂∂+∂∂+∂∂
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
⎪⎩
⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222
22
2y x y x y
x x y x f )0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→ 连续； 201
sin lim )0,0(x
f x x →= 不存在， 000
0lim )0,0(0=--=→y f y y
7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x
b x a f b x a f x )
,(),(lim
--+→
（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________
(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
1）x y
e z = )1
(2dy x dx x
y e dz x y +-=
2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=
3）z
y
x u = 解：xdz x z
y
xdy x z dx x z y du z y
z y
z y
ln ln 121-+=-
3、设)2cos(y x y z -=， 求)4
,0(π
dz
解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4
,
0(|π
dz =
dy dx 2
4
π
π
-
4、设2
2),,(y
x z
z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--
5、讨论函数⎪⎩
⎪⎨
⎧=≠++=)
0,0(),(,0)0,0(),(,1sin
)(),(2
2
2
2y x y x y
x y x y x f 在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性
解：)0,0(01
sin )(lim 2
222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
0)
0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim
)0,0()0,0(),()0,0(),(=∆-∆==∆-∆=
→→y f y f f x f x f f y x y y x x
0)
()(0
),(2
2→∆+∆-∆∆y x y x f ，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
1、 设t
v e v t u u z ===,sin ,，求dt
dz
解：dt
dz =1
cos .(sin )lnsin (sin )t t e t e t t t e t t e -⋅+⋅⋅
2、 设,)
(32y
x y x z -+=，求y
z x z ∂∂∂∂, 23123(23)()3()ln(),x y x y z
x y x y x y x y y
---∂=-+-++∂ 3、 设)(2x y f x z n
=，f 可微，证明nz y z y x z x =∂∂+∂∂2 4、 设)2,(2
2
xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ∂∂，y x z
∂∂∂2， 2
2y
z ∂∂ 解：1222z
xf yf x
∂''=+∂ ,
1222z
yf xf y
∂''=-+∂ ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ∂'''''''''=-+++-+∂∂
