人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程章末复习课
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第三章直线与方程章末复习学案
学习目标
1.整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识.
2.培养综合运用知识解决问题的能力,能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解,渗透数形结合、分类讨论的数学思想. 知识整理
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.
(2)k =⎩
⎪⎨⎪⎧
存在,α≠90°,不存在,α=90°.
(3)斜率的求法:
①依据倾斜角αtan =k ;②依据直线方程,把直线方程转化为y=kx+b ;
③依据两点的坐标2
12
1x x y y k −−=
.
2.直线方程的几种形式的转化
3.两条直线的位置关系
设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,(或222111::b x k y l b x k y l +=+=)则
(1)平行⇔
2121B B A A =
≠2
1
C C 2121b b k k ≠=⇔且 (2)相交⇔A 1B 2-A 2B 1≠0;21k k ≠⇔
(3)重合⇔A 1=λA 2,B 1=λB 2,C 1=λC 2(λ≠0)或A 1A 2=B 1B 2=C 1
C 2(A 2B 2C 2≠0).
4.距离公式
(1)两点间的距离公式. 已知点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2), 则|P 1P 2|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. (2)点到直线的距离公式.
①点P (x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C |
A 2+
B 2
;
②两平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0的距离d =|C 1-C 2|A 2+B 2
.
典型题型 1.直线方程
例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)斜率是3,且经过点A (5,3); (2)斜率为4,在y 轴上的截距为-2;
(3)经过点A (-1,5),B (2,-1)两点; (4)在x 轴,y 轴上的截距分别为-3,-1.
2.两直线的交点问题
例2 已知直线5x +4y =2a +1与直线2x +3y =a 的交点位于第四象限,则a 的取值范围是________.
练习:若直线l 1:y =kx +k +2与l 2:y =-2x +4的交点在第一象限,则实数k 的取值范围是( ) A .k >-2
3
B .k <2
C .-2
3
D .k <-2 3 或k >2 3.求过两条直线交点的直线方程 例3 求过两直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y -1=0平行的直线方程. 4.点到直线的距离 例4 (1)求点P (2,-3)到下列直线的距离. ①y =43x +1 3;②3y =4;③x =3. 练习: (1)若点(4,a )到直线4x -3y =0的距离不大于3,则a 的取值范围是________________. (2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (-2,2),B (4,-2)等距离,则直线l 的方程为______. 5. 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 例5 (1)已知直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与直线l 2:mx +3y -2=0平行,求m 的值; (2)当a 为何值时,直线l 1:(a +2)x +(1-a )y -1=0与直线l 2:(a -1)x +(2a +3)y +2=0互相垂直? 6.两平行线间的距离 例6 (1)两直线3x +y -3=0和6x +my -1=0平行,则它们之间的距离为_________. (2)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则l的方程为________________. 7.利用距离公式求最值 例7已知实数x,y满足6x+8y-1=0,则x2+y2-2y+1的最小值为________. 练习:(1)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,求|OP|最小时P点的坐标; (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程. (3)已知实数x、y满足4x+3y-10=0,求x2+y2的最小值. 8.直线恒过定点问题 例8求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.练习:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过的定点坐标是________________. 练习巩固 1.若方程(6a2-a-2)x+(3a2-5a+2)y+a-1=0表示平行于x轴的直线,则a的值是() A. 2 3 B. 1 2 C. 2 3,- 1 2D.- 1 2 2.已知直线l不经过第三象限,若其斜率为k,在y轴上的截距b(b≠0),则() A.kb<0 B.kb≤0 C.kb>0 D.kb≥0 3.直线l:x-y+1=0关于y轴对称的直线方程为() A.x+y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+1=0 D.x-y-1=0 4.若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为_____. 5.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为________. 方法提炼: 1.一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0;与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0. 2.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y +C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件: