浙江省绍兴一中2022届高三下学期5月高考适应性考试数学试题(含答案解析)

2021年5月浙江省绍兴市柯桥区2021届高三下学期5月高考及选考科目适应性考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合A={x|x<0或x>2}，B={x|1<x<4}，则A∩B=（）A.{x|0≤x<4}B.{x|1<x≤2} C.{x|1<x<4} D.{x|2<x<4}【答案】 D【考点】交集及其运算【解析】【解答】A∩B={x|2<x<4} .故答案为：D.【分析】根据交集定义运算即可。

2.已知复数z=a+i2−i∈R（其中a为实数，i为虚数单位），则a=（）A.-2B.−12C.12D. 2【答案】 A【解析】【解答】解：复数z=a+i2−i =(a+i)(2+i)5=2a−1+(a+2)i5，z为实数，则a+2=0，解得：a=−2 . 故答案为：A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．3.已知空间中两平面α,β，两直线m,l，且α∩β=m，l⊂β，则“ l⊥m”是“ l⊥α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 B【考点】直线与平面垂直的性质【解析】【解答】若α,β不垂直时，l⊥m无法得到l⊥α，充分性不成立；当l⊥α时，∵α∩β=m，∴m⊂α，由线面垂直性质知l⊥m，必要性成立；则“ l⊥m”是“ l⊥α”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据线面，面面的关系，判断即可．4.实数x，y满足{x−y≥0x+2y+3≤0，设z=x−2y的取值范围是（）A.(−∞,1]B.[1,+∞)C.[3,+∞) D.(−∞,+∞)【答案】 B【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：画出可行域如图（阴影部分）：由z=x−2y得：y=12x−12z，平移直线y=12x−12z，当过A点时z有最小值，由{x−y≥0x+2y+3≤0解得：A(−1,−1)，代入可得：z=x−2y=1，且z无最大值，所以z的取值范围为[1,+∞) .故答案为：B【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A.43B.83C.√33D.2√33【答案】 A【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】如图，在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中，取C′D′的中点E，三棱锥E−BCD的三视图满足题意.V E−BCD=13×12×2×2×2=43.故答案为：A.【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．6.函数f(x)=e|x+1|−x2−2x−2的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】 B【考点】函数的图象【解析】【解答】因为f(x)=e|x+1|−x2−2x−2=e|x+1|−(x+1)2−1，所以f(x)的图象关于x=−1对称，又f(0)=e−2>0，故答案为：B【分析】由f(x)=e|x+1|−x2−2x−2=e|x+1|−(x+1)2−1得出f(x)的图象关于x=−1对称，再根据f(x)的图象关于x=−1对称即可得出答案。

2022届浙江省杭州学军中学高三下学期5月适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合A ={}2|89x x x -≤，B ={}2|log 1x x >，则A B ⋃=（ ）A ．[19]-，B ．[1+∞-，）C ．9]∞-（， D ．+∞（2，）【答案】B【分析】化简集合,A B ，再根据并集的定义求解即可. 【详解】不等式289x x -≤的解集为{}|19x x -≤≤， 不等式2log 1x >的解集为{}|2x x >， 所以{}|19A x x =-≤≤，{}|2B x x =>．故[1A B ∞⋃=-+，）． 故选：B.2．已知双曲线22:14x y C m-=的一条渐近线方程为34y x =，则m =（ ）A ．3B ．6C ．32D ．94【答案】D【分析】根据双曲线的渐近线方程可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】由已知可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =34=，解得94m =. 故选：D.3．复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则复数z 的模长为（ ）A ．12B ．1CD ．104【答案】C【分析】用复数四则运算法则，根据模的定义即可. 【详解】()()2i 1i 2i 13i 1i 1122z ---===+++，z =； 故选：C.4．已知向量(),3a m m =+，()4,b m =，则“6m =”是“a 与b 共线”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，求出a 与b 共线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】向量(),3a m m =+，()4,b m =，则2//4(3)0a b m m ⇔-+=，解得2m =-或6m =， 所以“6m =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件. 故选：A5．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的体积为（ ）A ．4π3B ．8π3C ．4πD ．8π【答案】A【分析】由三视图还原几何体为双锥体，利用圆锥的体积公式求体积即可.【详解】由三视图知：几何体是底面直径为2的双锥体，且两个锥体的高为2，如下图：所以几何体体积为21422133V ππ=⨯⨯⨯⨯=.故选：A 6．函数sin exx xy =的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e e x xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.7．已知直三棱柱111ABC A B C -，若1AB BC BB ==，AB BC ⊥，D 是棱1CC 中点，则直线AC 与直线1B D 所成角的余弦值为（ ）A 3B ．223C ．105D ．155【答案】C【分析】G 为1BB 中点，连接,CG AG 易得1CDB G 为平行四边形，则1//CG B D ，进而确定直线AC 与直线1B D 所成角的平面角，应用余弦定理求其余弦值. 【详解】若G 为1BB 中点，连接,CG AG ，又D 是棱1CC 中点，所以，在直三棱柱111ABC A B C -中1//CD B G 且1CD B G =，即1CDB G 为平行四边形， 所以1//CG B D ，则直线AC 与直线1B D 所成角即为ACG ∠， 若12AB BC BB ===，则5CG AG ==，22AC =，所以810cos 52522ACG ∠==⨯⨯. 故选：C8．已知圆的方程为224x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域||||x y a +≥覆盖，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ． 1a ≤C ．01a ≤≤D ．0a ≤【答案】B【分析】先作出不等式|x |+|y |≥a 表示的平面区域，及OP 的垂直平分线形成的区域， 再结合题意分析这两个区域的相互覆盖情况即可．【详解】如图，随着点P 在圆上运动，OP 的垂直平分线形成的区域是圆：x 2+y 2=1的外部，…① 平面区域|x |+|y |≥a 表示正方形EFGH 的外部，…②若OP 的垂直平分线总是被平面区域|x |+|y |≥a 覆盖，则①区域要包含于②区域， 故1a ≤； 故选：B ．9．正实数x ，y 满足12e (2)e xyx y -=+，则22x yx y x++的最小值为（ ）A ．2BC ．7D ．4【答案】A【分析】先根据题干中等式变形，得到21x y +=，对22x yx y x++变形后使用基本不等式求解最小值.【详解】12e (2)e x y x y -=+变形为()ln 212e e y x y x ++-=，则()12ln 2x y x y -=++，即()2ln 21x y x y +++=，令()ln g t t t =+，（0t >），则()110g t t'=+>恒成立，则()ln g t t t =+，（0t >）单调递增，又()11g =，所以21x y +=，则()222222x x y x y x xy y y x y x y x y x y x y x ++++=+=+=+≥，当且仅当x y y x =，即13x y ==时，等号成立，故22x y x y x ++的最小值为2 故选：A10．设数列{}n a 满足3110,1,n na a ca c n Z ++==+-∈，其中c 为实数，数列2{}n a 的前n 项和是n S ，下列说法不正确的是（ ） A ．c ∈[0,1]是[0,1]n a ∈的充分必要条件B ．当c >1时，{}n a 一定是递减数列C ．当c <0时，不存在c 使{}n a 是周期数列D ．当14c =时，7n S n >- 【答案】C【分析】利用条件以及数学归纳法说明A 成立；结合类推思想说明B 成立；利用零点存在定理说明存在c 使{}n a 是周期数列，即C 错误；利用放缩法说明D 成立. 【详解】若[0,1]n a ∈，则2[0,1]1[0,1][0,1]a c c ∈∴-∈∴∈，即必要性成立； 若c ∈[0,1]，则21[0,1]a c =-∈ 假设*(1,)n k k k N =≥∈时，[0,1]n a ∈则1n k =+时，311[1,1][0,1]n na ca c c +∈-⊆=+- 因此c ∈[0,1] 时，[0,1]n a ∈，即充分性成立；故A 成立；31,1c y cx c >=+-单调递增，1232120,10()()1a a c a f a f a c a =∴=-<∴=<=-=同理4323()()a f a f a a =<=，依次类推可得1n n a a +<，即{}n a 一定是递减数列，故B 成立； 当c <0时，312320,10(1)11a a c a c c c c a =∴=->∴=-+-<-=由230(1)10a c c =⇒-+=，令21()(1)1,(1)0,()0()3g c c c g g g c =-+-<->∴存在零点，即存在c 使{}n a 是周期数列，即C 错误； 当14c =时，332111311,(1)(1)(1),44414n n n n n n n a a a a a a a ++=+=-=++-- 由A 得[0,1]n a ∈，所以211133(1)(111)(1)()(01)(41),44n n n n a a a +-≥-++≥-⋅≥≥-⋅-12113331(),1()(2)12()(2)444n n n n n n a a n a n --+≥-∴≥-≥∴>-≥()111331443312127234414n n n S n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴>--++=--⨯>-≥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，因为1n =时，107S =>-，所以7n S n >-，即D 成立； 故选：C【点睛】本题考查数列周期、数列单调性、等比数列求和、零点存在定理、数学归纳法，考查综合分析论证与判断能力，属难题. 二、填空题11．若函数()331f x x ax =-+在区间()0,1内有极小值，则a 的取值范围为________．【答案】()0,1【分析】求()f x '，讨论0a ≤和0a >时()f x 的单调性与极小值点，使得极小值点位于区间()0,1即可求解.【详解】由()331f x x ax=-+可得()233f x x a '=-，当0a ≤时，()2330f x x a '=->恒成立，所以()f x 在()0,1上单调递增，无极值；当0a >时，令()2330f x x a '=->可得x >x <令()2330f x x a '=-<可得：x <所以0a >时，()331f x x ax =-+在x =若函数()331f x x ax =-+在区间()0,1内有极小值，则01<<，解得01a <<， 综上所述：a 的取值范围为()0,1 故答案为：()0,1.12．袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的得分之和，求ξ的数学期望______（数字作答） 【答案】2011【分析】由题意，ξ服从超几何分布，求出ξ的所有可能取值对应的概率，利用期望公式即可求解.【详解】解：由题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，()46411C 10C 22P ξ===，()3165411C C 101C 33P ξ===，()2265411C C 52C 11P ξ===，()1365411C C 23C 11P ξ===，()45411C 14C 66P ξ===，所以ξ的数学期望()1105212001234223311116611E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故答案为：2011. 13．已知|2|||1,||1-=-==a e b e e ，则向量a b ⋅的范围是____________． 【答案】1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】设出2,c a e d b e =-=-，利用向量数量积运算法则得到(2)2a b c d e d c ⋅=⋅+⋅++，利用2(2)2d c e d c d c -+≤⋅+≤+∣∣求出取值范围.【详解】设2,,||||1=-=-==c a e d b e c d ， 所以(2)()(2)2⋅=+⋅+=⋅+⋅++a b c e d e c d e d c ①,一方面，(2)2|221326c d e d c c d d c⋅+⋅++≤⋅+++=++=∣，当且仅当c 与d 同向，e 与(2)+d c 同向时取得最大值， 另一方面，()221131(2)222524444c d e d c c d d c t t t t ⋅+⋅++≥⋅-++=--+=-+≥-， 其中2[0,3]t d c =+∈，当且仅当|2|2,+=d c e 与(2)+d c 反向时取得最小值． 故1,64⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦a b ．故答案为：1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、双空题14．23log 2=_______，2318-⎛⎫ ⎪⎝⎭=_______ 【答案】 3 4【分析】①由对数恒等式log a N a N =即可得到结果②31182⎛⎫= ⎪⎝⎭，由幂的乘方，底数不边，指数相乘即可求解【详解】①因为log a N a N =，所以2log 323=②223233211124822---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦15．已知()()()()626012621111x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则2a =______.123456a a a a a a +++++=______.【答案】 60 728631-【分析】对()621x -变形为()6121x ⎡⎤+-⎣⎦，写出展开式的通项公式，从而求出2a 的值；赋值法求解系数和0a ，从而求出答案.【详解】()()()()()6626012621121111x x a a x a x a x ⎡⎤-=+-=+-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，所以通项公式为()16C 21rr rr T x +=-，故2226C 215460a ==⨯=； 令2x =得：601263a a a a =+++⋅⋅⋅+，其中0006C 21a ==，所以612345631728a a a a a a +++++=-=故答案为：60，72816．已知函数()22,11,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，那么()()4f f =___________若存在实数a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是___________.【答案】 1 5【分析】求出()4f 的值，再计算()()4f f 的值；设()f a t =，则()f t t =，可求得1t =或1t =-，再解方程()1f a =或()1f a =-，可求得a 的值即可求解.【详解】因为()22,11,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，所以()4242f =-=-，所以()()()()2422211f f f =-=---=，设()f a t =，则()f t t =，当1t ≥时，()2f t t t =-=，可得1t =，当1t <时，()21f t t t t =+-=，可得1t =-，所以()1f a =或()1f a =-，当1a ≥时，由()21f a a =-=或()21f a a =-=-可得1a =或3a =；当1a <时，()211f a a a =+-=或，()211f a a a =+-=-可得2a =-或1a =（舍）或1a =-或0a =，综上所述：2a =-，1-，0，1，3，有5个a 符合题意， 故答案为：1；5.17．如图，在ABC 中，AB AC >，23,60BC A ︒==，ABC 的面积等于23，则sin B =____，角平分线AM 的长等于_____．【答案】1243【分析】由三角形面积得bc ，由余弦定理得22b c bc +-，结合c b >解得,b c ，由正弦定理可得sin B ，求得,B C ，在直角三角形中求得AM ．【详解】11sin sin 602322ABC S bc A bc ==︒=△8bc =，又由2222cos a b c bc A =+-得2212b c bc +-=，由22,8,12,c b bc b c bc >⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得2,4,b c =⎧⎨=⎩所以sin 1sin 2b A B a ==．因为BC AC >，所以30,90B C ︒︒==，在Rt ACM △中，AM =43cos303AC ︒=． 故答案为：12；433． 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形．掌握正弦定理和余弦定理是解题关键． 四、解答题18．已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．【答案】(1)5()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(2)[222,4)-.【分析】（1）根据函数图像可得2A =、2ω=、1B =，再由五点法求ϕ，进而写出解析式；（2）应用诱导公式、辅助角公式可得()22)24g x x π=++，根据正弦型函数的性质求值域.【详解】(1)由题图3(1)22A --==且22()36T πππω=+=，则2ω=，3(1)12B +-==， sin(2)13πϕ⨯+=-，则726k πϕπ=-且Z k ∈，又ϕπ<，故56πϕ=， 综上，5()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(2)由题设，()2(sin 2cos 2)222sin(2)24g x x x x π=++=++，而,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以32(,)444x πππ+∈-，则2sin(2)[1,)42x π+∈-， 故()[222,4)g x ∈-19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==.(1)求证：AB BC ⊥；(2)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，请问在线段1A C 上是否存在点E ，使得二面角A BE C --的大小为23π，若存在请求出E 的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点E 为线段1A C 中点【分析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明BC ⊥侧面11A ABB ，从而证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面EAB 的法向量，利用向量的夹角公式求得答案. 【详解】(1)证明：连接1AB 交1AB 于点D ，因1AA AB =，则1AD A B ⊥由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC侧面111A ABB A B =，得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥.三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥. 又1AA AD A =，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB侧面11A ABB ，故AB BC ⊥.(2)由(1).AD ⊥平面1A BC ，则ACD ∠直线AC 与平面1A BC 所成的角, 所以6π∠=ACD ，又2AD 22,2AC BC ==假设在线段1A C 上是否存在一点E ，使得二面角A BE C --的大小为23π, 由111ABC A B C -是直三棱柱，所以以点A 为原点，以AC ､1AA 所在直线分别为x ，z 轴,以过A 点和AC 垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 如图所示，则()10,0,2A ，()()122,0,0,(220),2,2,2C B B ，，且设()1101A E AC λλ=≤≤，1(22,0,2)AC =- ， 得()22,0,22E λλ-所以()22,0,22AE λλ=-，()2,2,0AB =设平面EAB 的一个法向量()1,,n x y z =，由1AE n ⊥，1AB n ⊥得： 22(22)0220x z x y λλ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ ，取121,n λ⎛=- ⎝⎭, 由(1)知1AB ⊥平面1A BC ，所以平面CEB 的一个法向量()12,2,2AB =,所以111122221|1|cos322222()1AB n AB n λπλλλ⋅-===⨯+-，解得12λ=,∴点E 为线段1A C 中点时，二面角A BE C --的大小为23π. 20．在数列{}n a 中，已知112,321n n a a a n +==+-． (1)求证：数列{}n a n +为等比数列；(2)记()1n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ．若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2)819,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由1321n n a a n +=+-，整理得：()113n n a n a n +++=+．由0n a n +>，113n n a n a n+++=+，可知{}n a n +是以3为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）求得数列{}n b 通项公式及前n 项和为n T ，由3T 为数列{}n T 中的最小项，则对*n ∀∈N 有()3(1)3139622n n n λλ+--≥-恒成立，分类分别求得当1n =时和当2n λ=的取值范围，当4n ≥时，12381()12n f n n n +-=+-，利用做差法，根据函数的单调性，即可求得λ的取值范围．【详解】(1)证明：∵1321n n a a n +=+-， ∴()113n n a n a n +++=+． 又12a =，∴0,0n n a a n >+>， 故113n n a n a n+++=+， ∴{}n a n +是以3为首项，公比为3的等比数列．(2)解：由（1）知3nn a n +=，∴3n n b n λ=-．∴ ()12333123nn T n λ=++⋯+-+++⋯+()3(1)3122n n n λ+=--． 若3T 为数列{}n T 中的最小项，则对*n ∀∈N 有()3(1)3139622n n n λλ+--≥-恒成立， 即()1238112n n n λ+-≥+-对*n ∀∈N 恒成立．1° 当1n =时，有13365T T λ≥⇒≥； 2° 当2n =时，有239T T λ≥⇒≥；3° 当4n ≥时，()()212430n n n n +-=+->恒成立，∴ 1238112n n n λ+-≤+-对4n ∀≥恒成立．令12381()12n f n n n +-=+-，则()()()+12223226162(1)(1)()031012n n n f n f n n n n n -+++-=>+-+-对4n ∀≥恒成立， ∴12381()12n f n n n +-=+-在4n ≥时为单调递增数列．∴()4f λ≤，即814λ≤． 综上，8194λ≤≤，即λ的取值范围为819,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 21．如图，设椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)，长轴的右端点与抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，且椭圆1C 的离心率是32.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过F 作直线l 交抛物线2C 于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一点C ，求ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程. 【答案】（1）2214x y +=；（2）52x y =+.【分析】（1）由已知求得2a =，再由椭圆的离心率求得c ，进而求得b ，即得椭圆的标准方程；（2）先设直线l 的方程2x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ，再联立方程得到28160y my --=，利用韦达定理求得AB ，同理求得CF ，计算ABC 的面积为：12S AB CF =⋅21m t +=，所以3216()43t s f t t ==-，利用导函数可求得最值.【详解】解：（1）椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>长轴的右端点与抛物线22:8C y x =的焦点F 重合，2a ∴=，又椭圆C 133c ∴=221b a c -， 所以椭圆C 1的标准方程为2214x y +=；（2）过点F (2, 0)的直线l 的方程设为:2x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ,联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得28160y my --=，所以12128,16y y m y y +==-，()()22212121481AB m y y y y m ∴=++-=+，过F 且与直线l 垂直的直线设为：(2)y m x =--，联立22(2)14y m x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222214161640m xm x m +-+-=，设点(),C C C x y ，()2222241162,1441C C m m x x m m -+==++，24241F C CF x m ∴=-=-=+， 所以ABC 的面积为：()221611241m S AB CF m +=⋅=+t ，所以()321643t S f t t ==-，则()()22221649()43t t f t t'-=-，令()0f t '=，得294t =，当2904t <<时，()0f t '<，()f t 单调递减，当29>4t 时，()>0f t '，()f t 单调递增，所以当294t =时，()f t 有最小值，此时22914m t +==，ABC 的面积最小，即解得m =ABC 的面积最小值为9， 此时直线l的方程为：2x y =+. 【点睛】关键点点睛：本题研究直线与椭圆的位置关系中三角形面积的最值问题，关键在于设出直线方程，用一个变化的量表示三角形的面积，再利用导数求最值突破难点.22．已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-； （III ）证明当1e a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【详解】分析：（I ）由题意可得()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.据此可得函数()h x 的单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1x a lna .曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna.原问题等价于()1221x x a lna =.两边取对数可得()122lnlnax g x lna+=-. （III ）由题意可得两条切线方程分别为l 1：()111x xy a a lna x x -=⋅-.l 2：()2221a y log x x x x lna-=⋅-.则原问题等价于当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.转化为当1e a e ≥时，关于x 1的方程1111120xxlnlna a x a lna x lna lna-+++=存在实数解，构造函数，令()12x xlnlnau x a xa lna x lna lna=-+++，结合函数的性质可知存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，据此可证得存在实数t ，使得()0u t <，则题中的结论成立.详解：（I ）由已知，()x h x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()xf x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1x a lna .由()1g x xlna ='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna . 因为这两条切线平行，故有121x a lna x lna=，即()1221x x a lna =.两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1：()111x xy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2：()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1e a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线， 只需证明当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1e a e ≥时，方程组11121211x x x a a lna x lna a x a lna log x lna ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x xlnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1e a e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解.设函数()12x xlnlna u x a xa lna x lna lna=-+++， 即要证明当1e a e ≥时，函数()y u x =存在零点. ()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时，()0u x '>；()0,x ∈+∞时，()u x '单调递减，又()010u '=>，()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a -=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1e a e ≥，故()1ln lna ≥-，所以()()000000201212220x x lnlna lnlna lnlnau x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（I ）可得1x a xlna ≥+， 当1x lna>时， 有()()()1211lnlna u x xlna xlna x lna lna≤+-+++ ()22121lnlnalna x x lna lna=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1ea e≥时，存在()1,x∈-∞+∞，使得()10u x=.所以，当1ea e≥时，存在直线l，使l是曲线()y f x=的切线，也是曲线()y g x=的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

浙江省绍兴市柯桥区2021届高三下学期5月高考及选考科目适应性考试数学试题参考答案1．D 【思路点拨】利用数轴数形结合进行交集运算. 【解析】{}|24A B x x =<<.故选：D.2．A 【思路点拨】利用复数的四则运算化简复数z ，由复数的概念求解即可.【解析】复数()()()2212255a i i a a i a i z i ++-+++===-，z为实数，则20a +=，解得：2a =-.故选：A3．B 【思路点拨】当,αβ不垂直时，l m l α⊥⊥；由线面垂直性质知l l m α⊥⇒⊥，由此可得结论.【解析】若,αβ不垂直时，l m ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立； 当l α⊥时，m αβ=，m α∴⊂，由线面垂直性质知l m ⊥，必要性成立；则“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件. 故选：B.4．B 【思路点拨】画出不等式对应的可行域，利用目标函数的几何意义求范围即可. 【解析】画出可行域如图（阴影部分）： 由2z x y =-得：1122y x z =-， 平移直线1122y x z =-，当过A 点时z 有最小值， 由0230x y x y -≥⎧⎨++≤⎩解得：()1,1A --，代入可得：21z x y =-=，且z 无最大值，所以z 的取值范围为[)1,+∞.故选：B5．A 【思路点拨】利用正方体模型分割出符合题意的几何体，再求体积.【解析】如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，取C D ''的中点E ，三棱锥E BCD -的三视图满足题意.114222323E BCD V -=⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【名师指导】求解以三视图为载体的空间几何体问题的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.若所给几何体的直观图不易得出，则常用等分割法、补形法等方法进行求解，例如利用常见的正方体、长方体模型进行割补． 6．B 【思路点拨】根据()()2111x f x e x +=-+-，得到()f x 的图象关于1x =-对称，再利用特殊值判断. 【解析】因为()()21122211x x f x ex x ex ++=---=-+-，所以()f x 的图象关于1x =-对称， 又()020f e =->， 故选：B7．C 【思路点拨】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.【解析】由0.2x y =单调递减可知：0.30.20.20.2<.由0.2y x =单调递增可知：0.20.20.20.3<，所以0.30.20.20.3<，即b a <，且1a <.0.30.3log 0.2log 0.31c =>=，所以c a b >>.故选：C.8．B 【思路点拨】根据函数的概念，一个x 只能对应一个y ，所以找到在原点处的切线，使图像旋转过程中切线不能超过y 轴即可. 【解析】'cos 2xy =在原点处的切线斜率为1k =，切线方程为y x = 当2sin2x y =绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角θ大于4π，则旋转所成的图像与y 轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像. 所以θ的最大值为4π.故选：B.【名师指导】思路点睛：函数的关键点：每一个x 都有唯一的一个确定的数y 和它对应，所以考虑函数的切线，当函数的切线超过y 轴时，一个x 会有2个y 和它对应，则不满足情况，所以旋转角度即为切线的旋转角.9．D 【思路点拨】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AM MC λ=，BM MD λ=，可得2AB CD k k ==，12341234()()x x x x y y y y λλ+++=+++，再利用点差法可得2121222()a y y x x b ++=，2343422()a y y x x b++=，从而可得222a b =，进而可求出离心率【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，则11332244(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)AM x y MC x y BM x y MD x y =--=--=--=--, 因为AM MC λ=，BM MD λ=，所以AB ∥CD ，所以2AB CD k k ==，所以131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，所以 12341234()2(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，所以12341234()()x x x x y y y y λλ+++=+++，因为2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，所以2122122x x b a y y +=⋅+，所以2212122()()0a y y b x x +-+=，则2121222()a y y x xb ++=同理得，2234342()()0a y y b x x +-+=，则2343422()a y y x x b++= 所以2234121234222()2()()a y y a y y y y y y b bλλ+++=+++， 因为0λ>且1λ≠，所以2221a b=，即222a b =所以离心率c e a ==== 故选：D【名师指导】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，解题的关键是设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AM MC λ=，BM MD λ=，可得2AB CD k k ==，12341234()()x x x x y y y y λλ+++=+++，再利用点差法可得2121222()a y y x xb ++=，2343422()a y y x x b++=，从而可得222a b =，进而可求出离心率，考查计算能力，属于中档题 10．C 【思路点拨】设ABa ，CDb =，AB 与CD 所成角为θ，根据平行关系可利用,,,n k a b表示出,k k k k A B B C ，根据面积公式得到k M ，进而得到kM k；利用等差数列和等比数列的定义依次判断各个选项中的数列是否满足定义，由此得到结果. 【解析】设ABa ，CDb =，AB 与CD 所成角为θ，由题意可知：//k k A B AB ，//k k B C CD ， 根据平行线分线段成比例可知：11k k k A B a n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，1k kkB C b n =+， ()()21sin sin 1k k k k k n k k M A B B C ab n θθ+-∴=⋅=+， 对于A ，()()()()()12211112sin sin 11k k n k k n k k n k M M ab ab n n θθ++--+-+---==++， 则1k k M M +-不恒等于常数，则数列{}k M 恒为等差数列不成立，A 错误；对于B ，()()()()()()()()212111sin 1111sin 1k k n k k ab n n k k M n k k M n k kab n θθ++--++-+==+-+-+，1k kM M +不恒等于不为零的常数，则数列{}k M 恒为等比数列不成立，B 错误； 对于C ，()21sin 1k M n kab k n θ+-=+， 则()()()12221111sin sin sin 1111k k M M n k n k ab ab ab k k n n n θθθ++--+--=-=-++++， 即11k k M M k k +-+恒为常数，k M k ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，C 正确； 对于D ，()()12211sin 1111sin 1k k n k M ab n n k k M n k n k ab k n θθ++--+-+==+-+-+，即11k k M k M k ++不恒等于不为零的常数，则数列k M k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭恒为等比数列不成立，D 错误. 故选：C.【名师指导】思路点睛：本题考查等差数列和等比数列的判定，证明数列是等差或等比数列的基本思路是利用等差或等比数列的定义式来进行证明.11．1 160- 【思路点拨】先求得二项式6展开式的通项公式，再分别令x 的次数为3和0求解.【解析】二项式6展开式的通项公式为()631662rrr rrr r T x C C --+⎛==- ⎝， 令33r -=，解得0r =， 所以()621m C =-=，令30r -=，解得3r =， 所以()3362160n C =-=-，12．725 10【思路点拨】先求出cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用两角和公式求出所以sin cos αα、，利用二倍角公式求出sin 2α.【解析】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,444α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以45cos 4πα⎛⎫-== =⎪⎝⎭ 所以ππππππ34sin =sin =sin cos cos sin 44444455αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππππ43cos =cos =cos cos sin sin 44444455αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以5sin 22sin cos 722ααα==. 【名师指导】利用三角函数值求角的关键： （1）角的范围的判断；（2）根据条件进行合理的拆角，如(),2()()βαβαααβαβ=+-=++-等； （3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.13．1 3±【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式可计算；（2）直线l 与圆C相切，则圆心到直线的距离为半径，代入可计算1cos 2θ=，故而求出sin θ=，从而求出斜率.【解析】原点O 到直线l 的距离为1d ==；直线l 与圆C 相切，则2d ==，则1cos 2θ=或3cos 2θ=-（舍），所以1cos 2θ=，则sin 2θ=±cos sin 3k θθ=-=±. 【名师指导】易错点睛：直线的斜率为y k x =，则此题中为cos sin k θθ=-，其中θ不是倾斜角.14．4930 【思路点拨】根据独立重复试验的概率计算公式，求得该学生在面试时恰好答对2道题的概率，再由该学生在面试时答对题数2(3,)3X B ，分别求得答对题数的期望和答一道试题得分的期望，即可求解.【解析】因为每道题相互不影响，且每道题答对的概率都为23，所以该学生在面试时恰好答对2道题的概率是223224()(1)339P C =-=，设该学生在面试时答对题数为X ，则随机变量2(3,)3X B ，所以该学生在面试时答对题目数的期望为()2323E X =⨯=，又由每道题答对的概率都为23，所以答一道试题得分的期望值为2120101533⨯-⨯=分，所以该学生在面试时得分的期望值为()1521530E X⨯=⨯=分.15．65【思路点拨】计算出12325++++，再除以5可得结果.【解析】因为()125251232513253252+⨯++++==⨯=，因为55⨯幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为325655=. 16．()2,6-【思路点拨】由题意，函数1个零点转化为12||||()x x a x b b ax+=-+->无根，利用函数()||||()h x x a x b b a=-+->与1()2=+g x xx的图象，数形结合即可求解.【解析】显然(0)0f=，即0x≠时()0f x=，等价转化为方程12||||()x x a x b b ax+=-+->无实根，即()||||()h x x a x b b a=-+->与1()2=+g x xx（图象在一、三象限）无交点，故只需考虑在第一象限无交点，因为1()222(0)g x x xx=+≥>，当且仅当22x=时取等号，2,(),2,x a b x bh x x a x b b a a x bx a b x a-->⎧⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，故需同时满足如下三个条件；① 1122(0)x x a b x a b x x+>-->⇒>--，即0a b +≥； ②()||||h x x a x b b a =-+-≥-，即0b a <-< ③11224x a b x a b x x x-++<+⇒+<+，即4a b +<； 综上①②③可得004b a a b ⎧<-<⎪⎨≤+<⎪⎩令3222()()112m m n a b m a b n b a m n n ⎧=⎪-=⎧⎪+=++-⇒⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩,所以312()()(22a b a b b α+=+--∈, 【名师指导】关键点点睛：原函数的零点个数可转化为方程12||||()x x a x b b a x+=-+->根的个数，可继续转化为()||||()h x x a x b b a =-+->与1()2=+g x x x （图象在一、三象限）无交点，作函数图象，利用数形结合求解，属于难题.17．5+先将所求向量式转化变形，参变向量分离，再由变形向量式的几何意义判断最值状态，最后坐标运算求解最值.【解析】设()()()()()()122331M p e p e p e p e p e p e =-⋅-+-⋅-+-⋅-，则()()()()21223311231233M p e e p e e p e e p e e e e e e ⎡⎤=-+⋅++⋅++⋅+⎢⎥⎣⋅+⋅+⎦⋅ ()()212312323132e e e e e p e e e p e ⋅+⋅+=-++⋅+⋅()()22123123123231333e e e e e e e e e e p e e ++⎛⎫++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅+⋅+⋅()()23222212312311231231232333e e e e e e e e e e e e e e e e ee p ⋅+⋅++++⎛⎫++=--+ ⎪ ⎪⎝⋅⋅+⋅+⎭⋅21213132323133e e e e e e e e e p ⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪⋅+⋅+⎝⎭⋅设(,)OP p x y ==，120e e ⋅=，不妨设11(1,0)OE e ==，22(0,1)OE e ==，33(cos ,sin )OE e θθ==，[0,2)θπ∈，1233e e e OG ++=，即G 为123E E E 的重心.则221233e e e p PG ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭， 点P 位于圆上或圆内，故当P 在射线GO 与圆周交点时，2PG 最大，即()21OG +最大时.()22123312(1cos ,1sin )sin cos 311311333e e e e M e OG e θθθθ⋅+⎛⎫+++∴≤++-=++- ⎪+⋅⎝⋅⎭21sin cos 332(cos sin )1133θθθθ+⎡⎤=++++-⎢⎥⎣⎦由2sin cos 2θθ-≤+≤得，21233221153233M ⎡⎤≤+++-=+⎢⎥⎣⎦. 当且仅当4πθ=时，M 取到最大值532+.【名师指导】向量式的最值问题求解，要重视三个方面的分析：一是其本质上与函数的最值求解一致，变形时要搞清参变向量，从而把握变形方向；二是要重视向量本身数形兼具的特点，利用几何意义求解最值；三是坐标应用，向量坐标化将问题转化为函数最值问题求解. 18．【思路点拨】（1）先由对称性得到()g x 的解析式()sin 23g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，要求函数()g x 的递减区间，即求sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的递增区间，利用整体角求解即可；（2）由()2g A =-解得A ，要求ABC 面积的最大值，先转化为求bc 的最大值，再结合余弦定理与重要不等式求积的最值.【解析】（1）由己知可得()()sin 2sin 233g x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得：51212k x k ππππ-+≤≤+， 所以()g x 的单调递减区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由()g A =，即sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以233A ππ+=（舍）或2233A ππ+=，故6A π=，又由余弦定理可得：(222222cos 2b c bc A b c bc =+-=+≥，即(22bc ≤=+，当且仅当1b c ==+时取到等号，于是有11sin 24ABCSbc A bc ==≤，所以ABC . 【名师指导】求三角形面积的最大值是解三角形中的常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．【思路点拨】（1）通过证明BD AC ⊥，PA BD ⊥即可得证；（2）解法一：通过证明CH ⊥平面PBD ，再利用等面积法求得直线CD 与平面PBD 所成角的正弦值；解法二：以点A 为坐标原点，过点A 作x 轴⊥AD ，以AD 为y 轴正半轴，AP 为z 轴正半轴建系，利用向量法求直线CD 与平面PBD 所成角的正弦值. 【解析】（1）设AC 与BD 相交于O ，AE BC ⊥于E ，在ABE △中可得3AE =，又3CE =，所以45ACE ∠=︒，同理可得45DBC ∠=︒，所以BD AC ⊥， 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 所以BD ⊥平面PAC .（2）解法一：由（1）可知平面PBD ⊥平面PAC ，且平面PBD 平面=PAC PO ，过C作PO 延长线的垂线，垂足为H ，则CH ⊥平面PBD ， 故CDH ∠即为所求的角， 由于222OC OA ==6OP ，由等面积可得：43PA CO CH PO ⋅==， 所以43230sin 10CH CDH CD ∠===， 所以直线CD 与平面PBD 所成角的正弦值为23015. 解法二：作AE AD ⊥交BC 于E ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AE ⊥， 如图建立空间直角坐标系，由题意可得()002P ,,，()0,2,0D ，()3,1,0B -，()3,3,0C ， 所以()0,2,2PD =-，()3,3,0BD =-，()3,1,0CD =--， 设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =，则由00PD n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得：220330y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得()1,1,1n =，所以8230sin cos ,15n CD n CD n CDθ⋅====⋅， 所以直线CD 与平面PBD 230【名师指导】思路点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）通过建立空间坐标系，利用向量法进行求解.20．【思路点拨】（1）由1n n S a +=构造()1112n n S a n --+=≥，然后作差可得()1122n n a n a -=≥，即12q =，计算可得出{}n a 通项公式；将2a ，3a 代入计算可得{}n b ；（2）由题意得：()41232222132122242n n n c c c c n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++++⎪⎝⎭，利用等差求和以及错位相减分别计算即可证明.【解析】（1）∵1n n S a +=，∴()1112n n S a n --+=≥， 两式相减得：10n n n a a a -+-=，即：()1122n n a n a -=≥， ∴{}n a 为等比数列，且首项112a =，公比12q =，∴12n n a =；又{}n b 是等差数列，241a b =，373a b S =，且214a =，318a =，378S =，∴134b d +=，167b d +=，则11b d ==，∴n b n =. （2）由题意得：()41232222132122242n n n c c c c n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++++⎪⎝⎭232112222n n n -⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，设32112222n n n T -=++⋅⋅⋅+，则352121112142222n n n n nT -+-=++⋅⋅⋅+， 两式相减得：2111132414214n n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--， 所以218148194329n n n n T +⎛⎫=--< ⎪⋅⎝⎭， 所以212289n c c c n ++⋅⋅⋅+<+. 21．【思路点拨】（1）由直线与椭圆相切，联立方程整理，利用0∆=求点M 的坐标： （2）法一：用参数m 表示各量，先求点P 到直线OM 的距离，再由勾股定理求出ON ，再将2OM ON +整理化简，最后求关于m 的函数值域.法二：利用向量投影的几何意义，将OM ON ⋅化为OP OM ⋅运算，得到积为定值1，再利用等式消元整理，最后求函数值域.【解析】（1）设直线l ：y kx m =+，（0k <），由方程组22:14l y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=， 则()2216410m k ∆=-++=，2241k m ∴+=，k =.故切点224,1414kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，即1M m ⎫⎪⎪⎝⎭. （2）法一：由（1）可得OM：0x y -=，()0,P m ，所以PN =ON ==，又因为OM =故2OM ON += 而由1m 得：令t=()1,2t =，故则)22OM ON t t ⎡+=+∈⎣. 法二：PN OM ⊥，()10,1OM ON OP OM m m ⎫∴⋅=⋅=⋅=⎪⎪⎝⎭，设tOM =，则()1,2t ==则)22OM ON t t ⎡+=+∈⎣. 即：2OMON +的取值范围是)⎡⎣.【名师指导】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、距离、三角形的面积等问题．22．【思路点拨】（1）当x y =时，设()()()2210xf x xe x x =-+>，求导判断单调性可得答案；（2）设()()1ln12x y g y x x ye x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，利用()g y 单调性得 ()()()()0111ln 2x g y g x x x e =<=++--，设()()()11ln 2x k x x x x e =++--，再利用()k x 单调性，得()()111ln 202xx x x e k ⎛⎫++-->>⎪⎝⎭可得到答案； （3）由已知得11ln 21x x y e e x x y x e x++⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=+⋅，设10x y e t x +⋅=>，设()ln e t t t ϕ=，利用 ()t ϕ单调性可得答案.【解析】（1）当x y =时，()212x x xe +=，设()()()2210xf x xe x x =-+>， 则()()()()()2121211x xf x x e x x e '=+-+=+-，当0x >时，e 1x >，()0f x '>，()f x 单调递增，又因为19024f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()1240f e =->， 所以函数()f x 有且只有一个零点. （2）设()()1ln12x y g y x x ye x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，则()12x x g y e y +'=-， 令()1x M x e x -=-，当0x >时，()10x M x e -'=>，()M x 单调递增， 所以1xe x >+，所以当1y >时，()12120x x x x g y e x e e y+'=-<+-<-<， 所以当1y >时，()g y 单调递减，所以当1y >时，()()()()0111ln 2xg y g x x x e =<=++--，设()()()11ln 2xk x x x x e =++--，则()121ln 2x k x x e xx '=+---，令()()ln 10N x x x x +-=>，11()1x N x x x-'=-=， 当1x >时， ()0N x '<，当01x <<时， ()0N x '>，所以()(1)0N x N ≤=，所以ln 1≤-x x ，即11ln1x x≤-，所以1ln 1x x -≤-，所以()112112220x xk x e x e x xx '≤++---=-<，()k x 单调递减，又因为133ln 20222k ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当()()()111ln 202xk x x x x e k ⎛⎫=++-->>⎪⎝⎭时，必有12x <. （3）由()1ln 12x y x x ye x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭可得：11ln 21x x y e e x x y x e x++⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=+⋅， 设10x y et x +⋅=>，()ln e tt t ϕ=，则()()21ln e t t tϕ-'=，当t e =时，()0t ϕ'=， 当()0,t e ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增， 当(),t e ∈+∞时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减，. 所以()()ln 1e et e eϕϕ≤==， 所以()211xt x ϕ=≤+，1x ≤. 【名师指导】本题主要考查了利用导数证明不等式，解题的关键点是构造函数利用函数的单调性、最值判断原函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.。

浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期5月适应性考试数学试题参考答案1．D 【思路点拨】由题可得集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3. 【解析】{1,2}{1,2,3}A ⊆⊆，∴集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3.故选：D.2．B 【思路点拨】根据指数和对数的运算法则进行运算即可求得结果.【解析】A 中，()22lg lg lg =2lg lg x y x y x y ⋅=++，故A 不正确；B 中，(1lg lg lg lg 2x x x y =+=+，故B 正确；C 中，ln ln ln ln x y x y e x e e y +=⋅=，故C 不正确；D 中，()ln ln ln ln ln yx y x y e e x ⋅==，故D 不正确.故选：B.3．A 【思路点拨】根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果. 【解析】∵z i =-，∴()221z i =-=-； ∵21z =-，∴z i =±.故“z i =-”是“21z =-”的充分而非必要条件. 故选：A.4．D 【思路点拨】先判断()y f x =的奇偶性，排除A 、B ；再取特殊值，排除C ，即可得到正确答案.【解析】()21sin ()x xx x f x e e --=+定义域为R.∵()()()()()221sin 1sin (-)==xxx xx x x x f x f x e ee e------=--++，∴()y f x =为奇函数，其图像关于原点对称，排除A 、B ；对于CD ，令()0f x =，解得：1231,0,1x x x =-==，即()y f x =有三个零点，如图示，取12x =，有21111222211311sin sin 22142()2f e e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==++， ∵112201sin 0,20,e e -⎛⎫>>⎪⎝⎭> ，∴1()02f >.排除C ； 故选：D【名师指导】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．5．B 【思路点拨】将点(2,)a c 代入双曲线的渐近线方程即可求得,b c 之间的关系，再根据在双曲线中222+=a b c 即可求得,a c 之间的关系，进而可求得该双曲线的离心率.【解析】∵22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线方程为b y x a =±， 而点(2,)a c 在第一象限， ∴22bc a b a=⋅=， 又∵222+=a b c ，∴2222c a c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2243c a =， ∴双曲线的离心率e =故选：B.6．A 【思路点拨】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解． 【解析】画出约束条件的可行域，如图示：作出直线2y x t =-+，显然当直线经过阴影部分，直线的纵截距大于零，所以|2|z x y =+可以转化为2z x y =+，由图示可知，经过点()1,1A 时min 211=3z =⨯+，无最大值. 故选：A .【名师指导】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．7．C 【思路点拨】根据离散型随机变量分布列的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，根据题中所给的分布列，得到相应的结果，逐项分析，从而得到答案. 【解析】由分布列的性质可知112m n ++=，所以有12m n +=，所以A 项正确； (0)(2)P P n ξξ>===，1131(0)()()222P P P n ηηη>==+==+，因为,0m n >，所以12n n +>，所以B 项正确；1()(1)0222E m n n m ξ=-⋅+⋅+⋅=-，511135131()2222224E m n m n η=-⋅+⋅+⋅=-++，513139139115()()2()622422422242E E n m m n m n m m m ξη-=-+--=--=---=-，因为102m <<，所以5516222m -<-<，所以()()E E ξη-不一定小于0，所以()()E E ξη<不一定成立，所以C 项错误；2221()(21)(20)(22)2D m m n m n n m n ξ=-+++-+-+-+-322233366442m m n m mn n n n =--+-++22255151513()(6)(6)(6)2222222D m m m n m η=-++--+--322936181836108812m m m m n mn n =+-+-++，且12m n +=，所以有32322399()()3546773911422D D m m n n n m n mn ξη-=--+---+- 327015313744m m m =-+-，令32()7015313744h m m m m =-+-，所以2'()210306137h m m m =-+，∆<0，所以'()0h m >， 所以()h m 在1(0,)2上单调递增，max 1111()()701531374402842h m h ==⨯-⨯+⨯-<，所以()()D D ξη< 所以D 项正确； 故选：C.【名师指导】关键点点睛：该题考查的是有关离散型随机变量分布列的问题，正确解题的关键是理解离散型随机变量分布列的性质，以及熟练掌握其期望和方差公式.8．C 【思路点拨】设P 点在正方形ABCD 内的射影为Q ，作PE BC ⊥，得PE PD =； 若A 成立，由对称性可知Q 与正方形ABCD 中心O 重合，此时不满足PE PD =，A 错误； 若B 成立，由αγ=知Q 在AC 上，得到PB PD PE =>，B 错误；若C 成立，由αβ=知Q 在,BC AD 中点,F G 连线上，由βγ<知Q OG ∈，可知存在满足PE PD =的Q 点，C 正确；若D 成立，由βγ=知Q 在BD 上，由αβ>知Q OB ∈，此时不存在满足PE PD =的Q点，D 错误.【解析】设P 点在正方形ABCD 内的射影为Q ，连接,AC BD ，且ACBD O =，作PE BC ⊥，垂足为E ，则PE PD =，对于A ，若αγ=，由对称性可知，Q 点在AC 上； 同理，当βγ=时，Q 点在BD 上；则ACBD Q =，即Q 点与O 点重合，此时PB PD =，又PB PE >，PD PE ∴>，与PD PE =矛盾，A 错误；对于B ，若αγ=，则Q 点在AC 上，此时PB PD =，又PB PE >，PD PE ∴>，与PD PE =矛盾，B 错误；对于C ，若αβ=，则Q 点在,BC AD 中点,F G 连线上，如下图所示：由对称性可知：PB PC =，此时PF BC ⊥，即E 与F 重合，PF PD =；βγ<，Q ∴在线段OG 上，设正方形ABCD 边长为a ，则当38OG a =时，58QF QD a ==，使得PF PD =成立，C 正确； 对于D ，若βγ=，则Q 在BD 上，如下图所示：αβ>，则Q 在线段OB 上，此时不存在点Q 满足QE ED =，使得PE PD =，D 错误.故选：C.【名师指导】关键点点睛：本题考查立体几何中二面角相关问题的求解，解题关键是能够根据二面角的大小关系和对称性确定点P 在底面ABCD 上的投影点Q 的位置，结合Q 点位置来进行分析.9．B 【思路点拨】根据题意构造函数()xxf x e e -=+，解不等式可得到函数的单调性，进而得到当n a 距离2最近时，n b 取得最小值，根据5b 为最小值可得5a 距离2最近，建立绝对值不等式求解即可.【解析】令2n a x -=，构造函数()xxf x e e -=+，()21x xxxe f x e ee--'=-=， ∴当0x >时，0f x ，()f x 单调递增， 当0x <时，0f x，()f x 单调递减；则对于22n n a a n b ee --=+，当20n a ->，即2n a >时，n b 单调递增，当20n a -<，即2n a <时，n b 单调递减， 所以当n a 距离2最近时，n b 取得最小值， 根据题意知，5b 为最小值，所以5a 距离2最近，而等差数列{}n a 满足0n a >，11a =，所以0d >，所以{}n a 是递增数列，∴54115611224232224252a a a a a d a a d d a d ⎧⎧--+-+-⎪⎪⇒⎨≤≤≤⎨-≤-+-+-⎪⎪⎩⎩，解得2729d d ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩. 故选：B.【名师指导】本题的核心是利用函数导数思维根据n b 的表达式求出当n a 距离2最近时，n b 取得最小值，根据题意可得5a 距离2最近，再根据已知可得{}n a 是递增数列，且两个数值之间的距离问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，解不等式组即可.10．D 【思路点拨】根据题意，可知函数32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<在R 上单调递增，即'()0f x ≥在R 上恒成立，得到不等式组，利用条件，对所求式子进行放缩，以bt a=为变量建立函数关系式，利用构造函数和基本不等式求出其最小值. 【解析】32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<，2'()32(0)f x ax bx c a b =++<<，因为函数32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<没有极值点， 所以函数()f x 在R 上单调递增， 所以'()0f x ≥在R 上恒成立，则有204120a b b ac <<⎧⎨∆=-≤⎩，即203a b b ac <<⎧⎨≤⎩， 所以221()11()()3bb a a b a a b b a bc a ab ac a a---=≤++++++， 令bt a =，因为0a b <<，所以1t >，所以221113317(1)5(1)71(1)531b a t t a bc t t t t t t ---≤=⋅=⋅++-+-+++-++-35≤==，当且仅当1t =故选：D.【名师指导】关键点点睛：该题考查的是有关利用导数研究三次函数的问题，正确解题的关键对函数无极值点这个条件的正确转化，以及会利用基本不等式求最值. 11．2 45【思路点拨】首先根据三角函数的定义可得角α的三个三角函数值，进而可得结果.【解析】∵角α的终边过点(1,2)，∴2tan 21α==，sin α===cos 5α===，∴4sin 22sin cos 25ααα===. 故答案为：2；45. 12．20 32 【思路点拨】变形为[]66260126(2)(1)(1)(1)1(1)x x a a x a x a x ++=+++=+++++，利用通项公式求3a ，利用赋值法求0246a a a a +++.【解析】因为[]66260126(2)(1)(1)(1)1(1)x x a a x a x a x ++=+++=+++++，所以33620a C ==， 令11x +=，得02661264a a a a =+++=+， 令11+=-x ，得01260a a a a --+-=，由两式得024632a a a a +++=， 故答案为：20,32 13．1-83 【思路点拨】由214y x =，求得12y x '=，则()2k y '=-，写出在A 点处和B 点处抛物线C 的切线方程，求得交点，再求得阿基米德三角形面积，再根据弦与抛物线所围成的封闭图形的面积与阿基米德三角形面积的关系求解. 【解析】因为214y x =， 所以12y x '=，所以()'|12212k y x ==-=⨯-=-， 所以在A 点处抛物线C 的切线的斜率为-1， 切线方程为：()12y x -=-+，即1y x =--， 同理在B 点处抛物线C D 切线方程1y x =-，由11y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以两切线的交点为()0,1P -， 所以阿基米德三角形面积14242S =⨯⨯=， 所以弦AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积为128424233S =⨯⨯=⨯=，故答案为：-1，8314．33+ 4323π+【思路点拨】侧视图的下面是一个矩形，上面是一个直角三角形，根据三视图的特征可得边长，进而求出侧视图的面积；根据根据三视图得其直观图为组合体，上面是底面是16的圆锥，下面是直四棱柱，根据体积的计算方法即可求得结果. 【解析】根据三视图得其直观图为组合体，在俯视图平行四边形中，如图所示，因为内部图是扇形，所以平行四边形ABCD 邻边相等， 所以平行四边形ABCD 是菱形，设AB 中点为E ，由主视图可得DE AB ⊥，所以三角形ABD 是正三角形， 所以3DAB π∠=，所以该几何体的上面是16圆锥，圆锥的底面半径是2，高是23底面是16的圆锥，下面是直四棱柱，如图所示，根据图中的数据可得侧视图的面积为3311222333222⨯⨯+⨯⨯= 该几何体的体积为231143222232363π⨯⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：334323.15．2-或210-【思路点拨】根据题意得以AB 为直径的圆与圆C 相切，根据圆与圆的位置关系可得结果.【解析】设以AB 为直径的圆为圆D ， ∵(,0)A t ，(4,3)+B t ，∴()()22235:222D x t y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵圆22:1C x y +=上恰好有一个点P 满足PA PB ⊥， ∴圆()()22235:222D x t y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与圆22:1C x y +=相切.①()22352122t ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，解得210t =-②()22352122t ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得2t =-. 故答案为：2-或210-.【名师指导】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.两圆相切注意讨论内切外切两种情况.16．31【思路点拨】用列举法列举符合题意的，去掉||2i j ->，再相加即可.【解析】||2i j ->的所有可能包括：1,4,5i j ==；2,5i j ==；4,1i j ==；5,1,2i j ==. （1）盒1放球1时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：2345，3245，4235，2354，3254，4253，2435，3425，4325，2453，2534，3524，4523，2543（其中球5不能放在盒2，不用列举.而3452，4352，3542，4532满足||2i j ->，应舍去）共14种；（2）盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列： 1345，3145，4135，1354，3154，4153，1435，1453，1534，1543（其中球5不能放在盒2，不用列举.而3415，4315，3451，4351，3514，4513，3541，4531满足||2i j ->，应舍去）共10种；（3）盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列： 1245，2145，4125，1254，2154，1425，1524，（其中球5不能放在盒2，不用列举.而4152，2415，4215，1452，2454，4251，2514，4512，1542，5241，4521满足||2i j ->，应舍去）共7种；所以共有14+10+7=31种. 故答案为：31.【名师指导】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类；2、是排列还是组合．17建立平面直角坐标系，()cos sin ,a b c t θθ+⋅=+利用导函数求最值即可.【解析】把平面向量,,a b c 请进平面直角坐标系， 设()1,0a =，()cos ,sin c θθ=， 又0a b ⋅=，可设()0,,b t =∵cos ||a c b t θ⋅===，∴cos t θ=，()cos sin ,a b c t θθ+⋅=+要使()a b c +⋅的最大，可令0,,02t πθ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos cos sin a b c t θθθθθ+⋅=+=+， 令()cos cos sin fθθθθ=+()222sin sin cos 2sin sin 1f θθθθθθ'=--+=--+()()1sin 12sin θθ=+-∴()cos cos sin fθθθθ=+的增区间为0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭∴()max 6ff πθ⎛⎫===⎪⎝⎭【名师指导】关键点点睛：()cos cos sin fθθθθ=+处理函数的最值方法有二，其一：利用导数大法，其二：利用四元均值不等式亦可，()cos cos sin f θθθθ=+===18．【思路点拨】（1）由正弦定理求出sin ABD ∠即可求出面积；（2）在,ABD CBD 中分别利用余弦定理表示出BD ，可得出2sin 4t A π⎛⎫=+⎪⎝⎭求出最值.【解析】解：（1）由正弦定理可得sin sin 12ADB ABD AD AB ∠∠=⋅==∴,24ABD BAD ππ∠=∠=∴111sin 12422ABDSAB AD π=⋅⋅⋅=⋅= （2）,ABD CBD 中，由余弦定理得：2212cos BD t t C =+-⋅，221222cos BD t t A =+-⋅，∴22cos 2cos 22cos 2cos 4t A C A A π⎛⎫=-=-+⎪⎝⎭∴2sin 24t A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭∴,42A C ππ==时，t 的最大值是2．【名师指导】关键点睛：本题考查三角形面积的求解，考查余弦定理的应用，解题的关键是在,ABD CBD 中分别利用余弦定理表示出BD .19．【思路点拨】（1）取AB 中D 点，根据正三角形性质证明AB ⊥面1A DC ，从而证明1AB AC ⊥. （2）法一：作CH 垂直1A D 于H ，1A DC ∠为二面角1A AB C 的平面角，然后证明CH ⊥面11ABB A ，则CAH ∠为AC 与平面11ABB A 所成角的平面角，求得sin CAH ∠即可. 法二：建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量间的夹角求得线面夹角的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 中D 点连接11,,A D CD A B ， ∴正1A AB 和正ABC 中：∴11,,AB A D AB CD A D CB D ⊥⊥⋂=， AB ∴⊥面1A DC ，∴1AB AC ⊥（2）法一：作CH 垂直1A D 于H ，连AH ， 由AB ⊥面1A DC 可得1A DC ∠为二面角1A AB C 的平面角，∴160A DC ∠=︒，AB ⊥面1A DC ，CH ⊂面1A DC AB CH ⇒⊥，又1CH A D ⊥，∴CH ⊥面11ABB A ，∴CAH ∠为AC 与平面11ABB A 所成角的平面角，133sin ,2sin 24CH CH DC A DC AC CAH AC =⋅∠==⇒∠==，∵11//AC AC ，∴11AC 与平面11ABBA 所成角的正弦值为34.法二：建立如图以为坐标原点的空间直角坐标系，则：(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),3,0)D A B C -， (0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),3,0)D A B C -，由AB ⊥面1A DC 可得1A DC ∠为二面角1A AB C 的平面角，∴1133600,22A DC A ⎛⎫∠=︒⇒ ⎪⎝⎭， 设面11ABB A 的法向量为n (x,y,z)→=，∴1330330)(,,)0200(1,0,0)(,,)0DA n z x y z DB n x x y z ⎧⎧⋅=+=⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅==⎪⎩⎪⎪⋅=⎩⎩，∴1),n AC →→=-=， 又∵11//AC AC ，∴1)3sin 224||||AC nAC n θ→→→→⋅⋅-===⨯⋅.【名师指导】方法点睛：求线面夹角由两种方法：几何法需要作出线面夹角的平面角，然后解三角形求得夹角的三角函数值；建系法，通过建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，把问题转化为向量间的夹角来求解.20．【思路点拨】（1）可得11n n a a n +-=+，由累加法可求出n a ，再利用裂项相消法即可求出n S ；（2）由题可得数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，可得122n n a n +=--，则可得12n nb ≤，即可证明. 【解析】解（1）11,1n n a a n λ+=-=+，()()()121321(1)1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=12112(1)1n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴1111122122311n n S n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭ （2）12,21n n a a n λ+==++，则()1322n n a n a n +++=++，即1322n n a n a n +++=++，∴数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，112422n n n a n -+∴++=⨯=，122n n a n +∴=--()11122222n n n n b n n +==--+--，∵2n ≥时，1222n nnn b ≥+⇒≤， ∴12231111222n n nS b b b =+++≤++++1111423131122212n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+=-<-.【名师指导】关键点睛：解题的关键是得出数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，推出12n nb ≤. 21．【思路点拨】（1）根据椭圆上的点及离心率求出,a b 即可得到椭圆方程； （2）①根据1214k k ⋅=-，由轨迹方程的求法计算即可；②联立方程，求出||AB ，由点到直线距离求d ，利用面积公式即可求解.【解析】（1）2222222314431114b e a a b a b ⎧=-=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=（2）①设()00,P x y ，过点P 直线方程设为()00y y k x x -=-由()002214y kx kx y x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩ 消元得：22200001()2()()104k x k kx y x kx y +--+--= 由直线与椭圆相切()()()2222000041410kkx y k kx y ⎡⎤⇒∆=--+--=⎣⎦化简得：()22200004210x k x y k y -++-=∴2220120020114844y k k x y x -==-⇒+=-， ∴点轨迹方程为2248(2)x y x +=≠±． ②设()()1122,,,A x y B x y ，则11:14x x PA y y +=，22:14x xPB y y +=因为,PA PB 过点()00,P x y ，∴201020204444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，∴AB 方程为0044x x y y +=由002200224422044x x y y x x x y x y +=⎧⇒-+-=⎨+=⎩， 222000884x y y ∆=-+=∴||AB d ===∴1||12S AB d =⋅=， ∴PAB △的面积为定值．【名师指导】关键点点睛：根据弦长公式及点到直线的距离，由面积公式化简即可求解，属于中档题.22．【思路点拨】（1）首先求出函数的导函数，再通过讨论a 的范围解不等式，进而得到结果；（2）①通过讨论a 的范围，找到函数()g x 的单调性，再根据极值点是否满足题意，得到a 的范围；②首先根据()g x 的极值点得到a 与1x 的关系，从而消去1()g x 中的参数a ，建立关于1x 的关系式，构造函数，通过求导讨论函数的单调性得到函数的最大值，即得1()g x 的最大值. 【解析】（1）()1a x af x x x-'=-=，0x >， 若0a ≤，则()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增．若0a >，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增； （2）①()ln 1()g x x a x f x -'=-=，且(1)(1)0g f '== 由（1）得：i ）若0a ≤，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴(0,1)x ∈时，()()(1)0g x f x f <'==，()g x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，∴(1)g 为()g x 的极小值，满足条件；ii ）若0a >，则()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 当01a <<时，(,1)x a ∈时，()()(1)0g x f x f <'==，()g x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，∴(1)g 为()g x 的极小值，满足条件；当1a ≥时，(0,1)x ∈时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，不满足条件； 综上所述：1a <；②()111111ln 10ln x g x x a x a x -=--='⇒=∴()22211111111111ln (1)22ln x x g x x ax x a x x x -=-+-=-+设221()2ln x xh x x x -=-+，1x >，22(ln )(21)ln 1()(ln )x x x x x h x x -+-='-+， 设2()(ln )(21)ln (1)m x x x x x x =-+---， 则21()(ln )1m x x x--'=+，1104m =-+>'，1()110m e e '=--+<，又∵222ln 112ln ()0x x xm x x x x -=-+='='只有一个实根， ∴存在唯一一个0)x e ∈，使得()00m x '=，∴()01,x x ∈时，()0()m x m x >⇒'单调递增， ∴()0,x x ∈+∞时，()0()m x m x <⇒'单调递减. 又(1)0,()0m m e ==，∴(1,)x e ∈时，()0()0m x h x '>⇒>，()h x 单调递增，(,)x e ∈+∞时，()0()0m x h x '<⇒<，()h x 单调递减，∴2max 1()()2h x h e e e ==-，即()1g x 的最大值为212e e -.【名师指导】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； （4）考查数形结合思想的应用.。

专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 （2）坐标法第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+证明：不妨设,AB a AD b == ，则C A a b =+，DB a b =-()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ ① ()222222DB DB a ba ab b ==-=-⋅+ ②①②两式相加得： ()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+（2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. ②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点） 三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD +=+。

【证明】（坐标法）设,AB a AD b ==，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ， 则(,0),(0,),(,)B a D b C a b ，设(,)O x y ，则222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+-222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++-2222OA OC OB OD ∴+=+四.等和线（1）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。