清华大学物理课件-------力学.第5章.刚体的转动

第二节 转动惯量
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，

第5章 刚体的转动
5.1 刚体运动的描述
平动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
2
转动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
z
O
y
x
刚体的定轴转动
z
P
z
0
z
0
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
y
y
x
dA
dy
hy
x
O
Q
O
L
y
h dF O
dy
y
Q
5.3 转动惯量的计算
例2.等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动 惯量。
z
M
L
O
dx
x
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
dl m
R O
例4. 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。
Rm dr
r O
例5. 细棒绕通过中点的垂直于棒的轴的转动 惯量。
z
M
L
Jo 3mR 2 / 2 Jx J y mR2 / 4
Jc m R12 R22 / 2
常见刚体的转动惯量
刚体 球壳 球体 立方体
转轴 过中心轴 过切线 过中心轴 过切线 过中心轴 过棱边
转动惯量
Jc 2mR 2 / 3 Jo 5mR 2 / 3 Jc 2mR 2 / 5 Jo 7mR 2 / 5 J c ml 2 / 6 Jo 2ml 2 / 3
o'
圆
锥 摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．

用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角 时的角加速度，角速度。
解：杆机械能守恒
势能零点
l d 3 g cos 比用转动定律简单！ dt 2l
l 1 2 0 mg sin J 2 2 绕固定轴 1 J ml 2 转动动能 3
Nt 转动：关于质心轴列转动定理 （ 2）
MC JC ,
C O
为什么？
l 1 2 MC Nt , J ml 2 C 12
Nt 1 mg cos 4
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力 F 作用，冲量 为 Ft （ t 很短），冲力的作用点距棒的质心 l 远，求冲力作用后棒的运动状态。 解 （1）质心的运动
角时的角加速度，角速度，转轴受力。
解：刚体定轴转动
1、受力分析 2、关于O轴列 转动定理
MO JO Mo l cos mg 2 2 1 JO ml 3
3 g cos 2l
【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？
由 求 ：
3 g cos d , d dt , dt 2l
解：
M k
M I
k(
2
k 9I
2 0
9
0
3
)2
I
d M k I dt d 2 k I dt2 I 0
d
t
2I t k 0
10
与一维质点动力学方法一致
【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到
( F mg) t mvC 0
l C F
vC 0
F mg t m
质心以vC0的初速做上抛运动。

F
F1
F2
M F r sin F r Fd
⑶ The resultant Torque 合力矩
M M M
M z F d F d
F2
F1
P 轴
The torque have only two possible directions : Counterclockwise（反时针）： Clockwise(顺时针）： positive negative
刚体是一种理想模型：刚体是在任何外力作用下任意两点间 均不发生位移，形状大小均不发生改变的物体。
2. Translation & Rotation of a rigid body
刚体的平动和转动 (1) Translation（平动） :
All particles describe parallel （平行） paths, and have the same velocity & acceleration. Therefore,the motion of any point of the body can represent the translational motion of entire（整个） rigid body.
r
r
F
M r F
The torque with respect to z axis is the Z-component of M , Mz , briefly labeled as M
M Fr si is not placed in the plane perpendicular to the axis, we can resolve F into F1 ( in the plane)and F2 ( at right angle to the plane). Obviously （ 显 然 ） , only F1 contributes to (有贡献） the torque :

o'
二、 刚体定轴转动的描述： 刚体定轴转动的描述：
（一） 物理量： 物理量： 转动平面 1 角位置θ、角位移△ θ ： 角位移△
辅轴ox ⑴ 辅轴 ⊥oo′， 平面 ， 平面Pox ⊥oo′
o
θ
r r
·P
x
点位置可用两种方法表示： 则P点位置可用两种方法表示： 点位置可用两种方法表示 r r r 矢径 r = oP r = r (t ) r 二者均为时间t的函数 二者均为时间 的函数 角度 θ = ( r,∧ ox ) θ = θ (t )
L M f = ∫0 dM f
o
·
d
r r
·A
r F ϕ
Γ
2 力对转轴的力矩： 力对转轴的力矩：
定义：在点 与力 组成的平面内， 与力F组成的平面内 对点o的矩为 的矩为： 定义：在点o与力 组成的平面内，力F 对点 的矩为： r r r r F r sin ϕ = Fd M = r ×F = r r r M ↑↑ ( r × F ) o' 转动平面内的力对转轴的矩： ⑴ 转动平面内的力对转轴的矩： 轴上点o与力 位于同一转动平面内 轴上点 与力F位于同一转动平面内。 与力 位于同一转动平面内。 定义： 对转轴oo′的矩为 定义：力F对转轴 的矩为 对转轴 r F r sin ϕ r r r = r M = r ×F r r M ↑↑ ( r × F )
2 物理意义： 物理意义：
是刚体转动时惯性大小的量度。 转动惯量 J 是刚体转动时惯性大小的量度。
3 影响转动惯量大小的因素： 影响转动惯量大小的因素：
转动惯量大小决定于刚体自身及转轴的位置。 转动惯量大小决定于刚体自身及转轴的位置。

0
M
M J J
§5.3 转动惯量的计算
dm m r
J J
m
2 m i ri
(分立) (连续)

2 r
dm
J由质量对轴的分布决定。
一. 计算 J 的几条规律
1. 对同一轴 J 具有可叠加性
J = Ji
2 Jz mi ri i
JC
J
o
C
d
2.平行轴定理
m
平行
mi
\J J Jo J m d 2 c min c 式中m表示刚体的质量，以Jc表示 它对于通过其质心的轴的转动惯量， 若另一轴z与此轴平行并且相距为d时， z C 则此刚体对于后一轴z的转动惯量为
ri C
ri
2 2 mi d 2 mi d ri mi ri ' 2 md Jc 2 mi d ri
iz
i
const . 这时角动量可在内部传递
求：碰撞后瞬间盘的 0 ？
=60 ° [例7] 如图示已知： M=2m，h，
P转到x轴时盘的 =? ?
解： m下落：
1 mgh mv 2 2
v 2gh (1)
碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力， 故重力对O力矩可忽略，角动量守恒： mvR cos J o
F1
F
转动 平面
r
F2
在定轴动问题中，如不加说明，所指的力 矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩
0 二、转动定律 ω F i 外力, f i 内力 Δ m i 质点应用牛二律： 对
fi r i θ i Fi i φ m Δ i

第五章
刚体的定轴转动
5.1 刚体绕转轴的转动的运动学
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生 变化的物体．(任意两质点间距离保持不变的特殊 质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
1.平动：刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全 相同．
态一特样点，：如各：v点、运a动状等
绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的
小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞，
求：碰后小球的回跳速度 v以及棒的角速度ω。
v
解： 由系统角动量守恒
muL J mvL
o
u
机械能守恒
1 mu 2 1 mv 2 1 J 2
2
2
2
v u( M 3m ) M 3m
6mu
( M 3m )L
FC
PC
FT2
FT2
O
mB PB y
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
FT2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得
N
π
( 300 )3 3104
2 π 2 π 450
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
1. 力矩
用来描述力对刚体的转 动作用．
F 对转轴 z 的力矩
M rF
z
M
r
O
d
F
P*

二 理解力矩和转动惯量概念，掌握 刚体绕定轴转动的转动定理．
三 理解角动量概念，掌握角动量定 律，并能处理一般刚体绕定轴转动情况下 的角动量守恒问题.
第五章 刚体的转动 3
大学 物理学
教学基本要求
四 理解刚体定轴转动的转动动能概 念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确 地应用机械能守恒定律． 能运用以上规律分析和解决包括质点 和刚体的简单系统的力学问题．
dV ：体积元
29
大学 物理学
说明
刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体总质量有关，m 大，J 大。 （2）质量一定，与刚体的几何形状及体密 度 的分布有关． （3）与转轴的位置有关．
第五章
刚体的转动
30
大学 物理学
例2. 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。
解：
J r dm
地位相同
第五章
刚体的转动
39
大学 物理学
例1. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物 体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。 （2）绳子的张力。
第五章 刚体的转动
<0
10
大学 物理学
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
均相同，但 (2) 任一质点运动 , , v, a 不同；
(3) 运动描述仅需一个坐标．
第五章 刚体的转动
11
大学 物理学
二 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的α=常量时，刚体 做匀变速转动．
dF pdA pLdy
y
y
x
h y O Q

偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
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3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ