盘点近年来有关阴影面积的中考试题

2024河南中考数学复习与圆有关的计算(含阴影部分面积)强化精练基础题1.(2023兰州)如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧AB ︵，圆弧的半径OA ＝20cm ，圆心角∠AOB ＝90°，则AB ︵＝()第1题图A.20πcmB.10πcmC.5πcmD.2πcm2.(2023新疆维吾尔自治区)如图，在⊙O 中，若∠ACB ＝30°，OA ＝6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()第2题图A.12πB.6πC.4πD.2π3.(2023鄂州)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是()第3题图A.53－33πB.53－4πC.53－2πD.103－2π4.(2023连云港)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC ＝5，则阴影部分的面积是()第4题图A.414π－20B.412π－20C.20πD.205.(2023金华)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，∠BAC ＝50°，以AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则弧DE 的长为________cm.第5题图6.如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C ，D 都在格点上，线段CD 与AC ︵交于点E ，则图中AE ︵的长度为________．第6题图7.(2023重庆A 卷)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB ＝4，AD ＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8.(2023包头)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为________．第8题图9.(万唯原创)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以点A为圆心，AC 长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E，则图中阴影部分的周长为________．第9题图10.(2023新乡一模)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为________．第10题图11.(2023驻马店二模)如图，将扇形OAB沿OA方向平移得到对应扇形CDE，线段CE交AB︵于点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则阴影部分的面积为________．第11题图拔高题12.(2023通辽)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB︵于点D，点C是半径OB 上一动点，若OA ＝1，则阴影部分周长的最小值为()A.2＋π6B.2＋π3C.22＋π6 D.22＋π3第12题图13.如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB ︵的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分面积等于()第13题图A.π2－1B.π2－2C.π－1D.π－214.如图，AB 为⊙O 的直径，将BC ︵沿BC 翻折，翻折后的弧交AB 于点D.若BC ＝45，sin ∠ABC ＝55，则图中阴影部分的面积为()第14题图A.25πB.25πC.8D.1015.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝22，对角线AC，BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点F，连接FO并延长交AB于点M，连接AF，则图中阴影部分的面积是______．(结果保留π)第15题图参考答案与解析1.B 【解析】∵圆弧的半径OA ＝20cm ，圆心角∠AOB ＝90°，∴ AB 的长＝90π×20180＝10π(cm).2.B 【解析】∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∴S 扇形AOB ＝60×π×62360＝6π.3.C【解析】如解图，连接OD ，BD ，在Rt △ABC 中，tan 30°＝AB BC ，∴BC ＝AB tan 30°＝43，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∵BO ＝DO ，∴△BOD 是等边三角形，∴BD ＝BO ＝12BC ＝23，∠BDO ＝60°，∴∠BDC ＝90°，AD ＝BD ·tan 30°＝2.∴S 阴影部分＝S △ABD ＋S △BOD －S 扇形BOD ＝12×23×2＋34×(23)2－60π×（23）2360＝53－2π.第3题解图4.D 【解析】如解图，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝4，BC ＝5，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴阴影部分的面积为S矩形ABCD ＋π×(AB 2)2＋π×(BC 2)2－π×(AC 2)2＝S 矩形ABCD ＋π×14(AB 2＋BC 2－AC 2)＝S 矩形ABCD ＝4×5＝20.第4题解图5.56π【解析】如解图，连接OE ，OD ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠ODB ，∴OD ∥AC ，∴∠EOD ＝∠AEO ，∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠BAC ＝50°，∴∠EOD ＝∠BAC ＝50°，∵OD ＝12AB ＝12×6＝3(cm)，∴ DE 的长为50π×3180＝56π(cm).6.54π【解析】如解图，连接AC ，AD ，设AC 交网格线于点O ，连接OE .∵AD 2＝22＋12＝5，AC 2＝22＋12＝5，CD 2＝12＋32＝10，∴AD ＝AC ，AD 2＋AC 2＝CD 2，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠ACD ＝45°，∵∠ABC 是直角，∴AC 是⊙O 的直径，∴∠AOE ＝90°.∵AC ＝5，∴OE ＝OA ＝12AC ＝52，∴ AE 的长为90π×52180＝54π.第6题解图7.254π－12【解析】如解图，连接BD ，由题知∠BAD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD ＝AD 2＋AB 2＝32＋42＝5，∴S 阴影＝S ⊙O －S 矩形ABCD ＝π×(52)2－3×4＝254π－12.第7题解图8.π【解析】∵正方形ABCD 对角线相交于点O ，∴AO ＝BO ，CO ＝DO ，∠AOD ＝∠BOC ，∴△AOD ≌△BOC ，∴阴影部分的面积＝扇形DBE 的面积，∵正方形的边长为2，∴由勾股定理得BD ＝22，∠DBC ＝45°，∴阴影部分的面积＝45360×π·(22)2＝π.9.π3＋23【解析】如解图，连接AE ，∵在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∴BC ＝2AC ＝4，AB ＝23.∵ DE 是以点A 为圆心，AC 长为半径的弧，∴AD ＝AE ＝AC ＝2，∴BD ＝AB －AD＝23－2，∠AEC ＝∠C ＝60°，∴△AEC 为等边三角形，∴AE ＝EC ＝2.，∴BE ＝2，∠BAE＝∠B ＝30°，∴ DE 的长为30π×2180＝π3，∴阴影部分的周长为2＋π3＋23－2＝π3＋23.10.π【解析】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，由勾股定理得，AB ＝22＋22＝22，∵将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90度到△AB 1C 1的位置，∴∠CAC 1＝90°，∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BAB 1＋S △B 1AC 1－S △ACB －S 扇形CAC 1＝S 扇形BAB 1－S 扇形CAC 1＝90π×（22）2360－90π×22360＝π.11.3π4－334【解析】如解图，连接OF ，过点C 作CH ⊥OF 于点H ，由平移性质知，CE ∥OB ，∴∠CFO ＝∠BOF ，∵CO ＝CF ，∴∠COF ＝∠CFO ，∴∠COF ＝∠BOF ＝12∠BOC ＝30°，在等腰△OCF 中，OH ＝12OF ＝12OB ＝32，∴CH ＝OH ·tan 30°＝32×33＝32，∴S 阴影＝S 扇形AOF －S △COF ＝30·π×32360－12×3×32＝3π4－334.第11题解图12.A 【解析】如解图，作D 点关于直线OB 的对称点E ，连接AE ，OE ，DE ，CE ，AE 与OB 的交点为C 点，则CD ＝CE ，OD ＝OE ，∠DOB ＝∠EOB ，∴AC ＋CD ＝AC ＋CE ≥AE ，当A ，C ，E 三点共线时，AC ＋CD 取得最小值，此时阴影部分周长最小，在扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，OD 平分∠AOB 交 AB 于点D ，∴∠AOD ＝∠BOD ＝30°，由轴对称的性质，∠EOB ＝∠BOD ＝30°，OE ＝OD ，∴∠AOE ＝90°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∵OA ＝1，∴AE ＝2， AD 的长＝30π×1180＝π6，∴阴影部分周长的最小值为2＋π6.第12题解图13.D 【解析】两扇形的面积和为180π·（2）2360＝π，如解图，过点C 作CM ⊥AE 于点M ，CN ⊥BE 于点N ，连接CE ，则四边形EMCN 是矩形，∵点C 是 AB 的中点，∴EC 平分∠AEB ，∴CM ＝CN ，∴矩形EMCN 是正方形，∵∠MCG ＋∠FCN ＝90°，∠NCH ＋∠FCN ＝90°，∴∠MCG ＝∠NCH ，在△CMG 与△CNH 中，MCG ＝∠NCH ，＝CN ，CMG ＝∠CNH ，∴△CMG ≌△CNH (ASA)，∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，∴空白区域的面积为12×2×2＝1，∴图中阴影部分的面积＝π－2.第13题解图14.C 【解析】如解图，连接AC ，CD ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵∠ABC ＝∠DBC ，∴ AC ＝ CD，∴AC ＝CD ，∵CH ⊥AD ，∴AH ＝HD ，∵BC ＝45，sin ∠ABC ＝55，∴CH ＝BC ·sin ∠ABC ＝4，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵sin ∠ABC ＝AC AB ＝55，∴设AC ＝5m ，AB ＝5m ，根据勾股定理，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴5m 2＋80＝25m 2，∴m ＝2(负值已舍去)，∴AC ＝CD ＝25，∴AH ＝AC 2－CH 2＝（25）2－42＝2，∴AD ＝2AH ＝4，∴S 阴影＝S △ACD ＝12AD ·CH ＝12×4×4＝8.第14题解图15.π－22＋2【解析】在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝22，∴∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∵AF ＝AB ＝22，AF 2＝AD 2＋DF 2，∴(22)2＝22＋DF 2，∴DF ＝2，∴AD ＝DF ，∴∠DAF ＝∠DFA ＝45°，∴∠BAF ＝45°，在△BOM 和△DOF 中，MBO ＝∠FDO＝ODBOM ＝∠DOF ，∴△BOM ≌△DOF (ASA)，∴BM ＝DF ＝2，∴AM ＝22－2，∴图中45π×（22）2360－12×(22－2)×2＝π－22＋2.阴影部分的面积为：。

中考数学总复习《三种方法求阴影部分面积》专项检测卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.如图，△ABC的内切圆☉O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，且∠C ＝90°，AC＝8，BC＝6，则阴影部分(即四边形CEOD)的面积为()A. 4B. 6.25C. 7.5D. 9第1题图2.如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部分的面积等于()第2题图A. 4π3B. 2π3C. 16π3D. 8π33.如图，☉O是边长为4√3的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC⏜的中点，连接BD，C D.以点D为圆心，BD的长为半径在☉O内画弧，则阴影部分的面积为()A. 8π3B. 4π C. 16π3D. 16π第3题图4.如图，正方形ABCD内接于☉O，以点D为圆心，DA长为半径画弧，得到AC⏜，若AB＝2，则阴影部分面积为()第4题图A. πB. π－2C. 2D. 2π－25.半圆的直径AB在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且AC⏜＝2BC⏜，连接AC，取AC的中点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为()A. 25π6B. 15π2C. 25π2D. 65π6第5题图6.如图，△ABC与△DBE为两个完全相同的等腰三角形，AB＝AC，DB＝DE，点E在边AC上，DE交AB于点F，BC＝4，AB＝6，EF＝13DE，则图中阴影部分的面积为()第6题图A. 4√23B. 2√2 C. 8√23D. 4√27.如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，且分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积为() A. 3 B. 3√3 C. 6 D. 6√3第7题图8.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD交于点O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F.若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是()第8题图A. 2√3－π3B. 2√3－2π3C. 4√3－2π3D. 4√3－4π39.如图，矩形ABCD内接于☉O，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆.若AB＝3，BC＝4，则阴影部分的面积是.第9题图10. (北师九上例题改编)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD 上的点，且CE＝DF，连接AE，BF，AF，M为AE，BF的交点，已知△AMF的面积为24，则阴影部分的面积为.第10题图11. (2024东莞模拟)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影点A，B，C，D为圆心，12部分的面积为.(结果保留π)第11题图12. (2024佛山模拟)如图，将扇形AOB沿射线OA平移得到扇形DCE，线段CE⏜于点F.当OC＝CF时，平移停止.若∠AOB＝60°，OA＝√3，则阴影部分交AB的面积为.第12题图13.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，BD平分∠ABC，BD＝√6，点M，N分别为边AB，BC上的点，且MD⊥ND，则阴影部分的面积为.第13题图14.如图，边长分别为6，10，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为.第14题图参考答案1. A 【解析】∵AC ＝8，BC ＝6，∠C ＝90°，∴AB ＝√AC 2＋BC 2＝√82＋62＝10.∵☉O 与BC ，AC ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，∴BC ⊥OD ，AC ⊥OE ，AE ＝AF ，BD ＝BF ，CD ＝CE ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°，AE ＋BD ＝AF ＋BF ＝AB ＝10，∴四边形ODCE 是正方形，CE ＋CD ＝AC ＋BC －(AE ＋BD )＝8＋6－10＝4，∴CE ＝CD ＝12×4＝2，∴S 阴影＝CE ·CD ＝2×2＝4.2. B 【解析】如解图，连接OC ，∵CD 垂直平分半径OA ，∴AC ＝OC .∵OC ＝OA ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∴S 阴影＝12S ☉O －2S 扇形ACO ＝12×(AB 2)2π－2×60×(AB2)2π360＝12×4π－2×16×4π＝2π－43π＝23π.第2题解图3. C 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°.∵四边形ABDC 内接于☉O ，∴∠BDC ＝120°.∵点D 为BC ⏜的中点，∴BD ＝CD ，∴∠CDE ＝12∠BDC ＝60°，CE ＝12BC ＝2√3，∴CD ＝CE sin60°＝4，∴S 阴影＝120π×42360＝16π3.第3题解图4. C 【解析】如解图，连接AC ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝2，∴AC ＝2√2.∵正方形ABCD 内接于☉O ，∴AC 是☉O 的直径，∴☉O 的半径为√2，∴S 阴影部分＝12S ☉O －S 弓形AC＝12π×(√2)2－(14π×22－12×2×2)＝π－π＋2＝2.第4题解图5. A 【解析】如解图，取AB 的中点O ，∵点A 对应的刻度为6，点B 对应的刻度为16，∴AB ＝10.∵AB 是半圆的直径，∴OA ＝OB ＝5，连接BC ，OC ，OD ，∵点D 为AC 的中点，∴DO 是△ABC 的中位线，∴DO ∥BC ，∴S △BCD ＝S △BCO .∵AC ⏜＝2BC ⏜，∴∠COB ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形BOC＝60π·52360＝25π6.第5题解图6. C 【解析】如解图，过点D 作DM ⊥BE 于点M ，∵BC ＝4，AB ＝6，∴BE ＝4，DB ＝6.∵△DBE 为等腰三角形，∴BM ＝12BE ＝2，在Rt △DMB 中，由勾股定理得DM ＝√DB 2－BM 2＝4√2.∵EF ＝13DE ，∴S 阴影＝13S △DBE ＝13×12BE ·DM ＝13×12×4×4√2＝8√23.第6题解图7. B 【解析】在▱ABCD 中，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴∠EDO ＝∠FBO .∵∠EOD ＝∠FOB ，∴△EOD ≌△FOB (ASA)，∴S △EOD ＝S △FOB ，如解图，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，在▱ABCD 中，AB ＝4，∠ABC ＝60°，∴∠BAG ＝30°，∴BG ＝12AB ＝2，∴AG ＝√3BG ＝2√3，∴S ▱ABCD ＝BC ·AG ＝6×2√3＝12√3，∴S 阴影＝S △EOD ＋S △COF ＝S △FOB ＋S △COF ＝S △BOC ＝14×S ▱ABCD ＝14×12√3＝3√3.第7题解图8. D 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝4，AD ∥BC ，OA ＝OC ，AC ⊥BD .∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 、△ACD 是等边三角形，∠BAD ＝120°，∴AC ＝AB ＝AD ，∠DAC ＝∠ACB ＝60°，∴结合作图可得点E 是AD 的中点，点F 是BC 的中点，∴AE ＝AO ＝CO ＝CF ＝2，∴S △BOC ＝S △AOD ＝12×2×2√3＝2√3，∴S 扇形EAO ＝S 扇形FCO ＝60π×22360＝2π3，∴S 阴影＝2(2√3－2π3)＝4√3－4π3.9. 12 【解析】由题意得，AC ＝√AB 2＋AD 2＝5，S 阴影部分＝S AD 为直径圆＋S AB 为直径圆＋S 矩形ABCD －S AC 为直径圆＝π×(42)2＋π×(32)2＋4×3－π×(52)2＝12.10. 24 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，CE ＝DF ，∴AB ＝BC ＝CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∴BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF (SAS).∴S △ABE ＝S △BCF .∵S △ABF ＝12×S 正方形ABCD ，∴S △ADF ＋S △BCF ＝12×S 正方形ABCD ，∴S △ABE ＋S △ADF ＝12×S 正方形ABCD ＝S △ABF ，∴阴影部分的面积＝S △ABE ＋S △ADF －S △ABM ＝S △ABF －S △ABM ＝S △AMF ＝24. 11. 96－25π 【解析】在菱形ABCD 中，∵AC ＝12，BD ＝16，∴AB ＝√(12BD)2＋(12AC)2＝10.∵∠ABC ＋∠BCD ＋∠CDA ＋∠DAB ＝360°，∴四个扇形的面积，是一个以12AB 的长为半径的圆，∴图中阴影部分的面积＝12×12×16－π×52＝96－25π.12. π4－√34【解析】如解图，连接OF ，过点C 作CH ⊥OF ，由平移性质知，CE ∥OB ，∴∠CFO ＝∠BOF .∵CO ＝CF ，∴∠COF ＝∠CFO ，∴∠COF ＝∠BOF ＝12×∠BOC＝30°，在等腰△OCF 中，OH ＝12OF ＝12OA ＝√32，∴CH ＝OH ·tan 30°＝√32×√33＝12，∴S阴影＝S 扇形AOF－S △COF ＝30π×(√3)2360－12×√3×12＝π4－√34.第12题解图13. 2√3 【解析】如解图，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝90°，∴DE ＝DF ，∠DBE ＝∠DBF ＝45°，∴四边形EBFD 为正方形.∵BD ＝√6，∴BE ＝BF ＝DE ＝DF ＝BD ·cos 45°＝√3.∵∠A ＝60°，∴AE ＝DE tan60°＝1，∴AB ＝1＋√3，∴BC ＝AB ·tan 60°＝3＋√3，∴CF ＝3.∵∠MDN ＝∠EDF ＝90°，∴∠MDE ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠FDN ，∴∠MDE ＝∠NDF .∵DE ＝DF ，∠DEM ＝∠DFN ＝90°，∴△MDE ≌△NDF (ASA)，∴S 四边形MBND＝S 正方形EBFD，∴S 阴影＝S △ABC －S 四边形MBND＝S △ABC －S 正方形EBFD＝12×(1＋√3)×(3＋√3)－(√3)2＝2√3.第13题解图14. 51 【解析】如解图，延长HG 分别交左侧的正方形于点J ，K ，∵三个正方形的底边在同一直线上，∴AK ∥BJ ∥FG ，∴△FGH ∽△AKH ，△BJH ∽△AKH ，∴FG AK＝GHKH，BJAK＝JH KH，∵AC ＝6，DE ＝10，GH ＝4，∴AK ＝6－4＝2，JH ＝10＋4＝14，KH ＝6＋10＋4＝20，∴FG 2＝420，BJ 2＝1420，解得FG ＝25，BJ ＝75，∵DJ ＝EG ＝10－4＝6，∴BD ＝6－75＝235，EF ＝6－25＝285，∴S 阴影＝S 梯形DBFE＝12(BD ＋EF )·DE＝12×(235＋285)×10＝51.第14题解图。

十四、阴影部分的面积知识点拨弧长和扇形、圆锥侧面积面积重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=、圆锥侧面积面积及其它们的应用．难点：公式的应用．1．n°的圆心角所对的弧长L=2．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=例题演练1．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为+π．【解答】解：如图，连接AG、EG．由题意易知△AEG是等边三角形，S阴＝S半圆﹣S扇形AEG﹣S弓形AmG＝π﹣﹣（﹣），＝+π．180n Rπ2360n Rπ180n Rπ2360n Rπ故答案为：+π．2．如图，矩形ABCD中．DB＝4．以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为4π．（结果保留π）【解答】解：连接OE，如图，设DC＝2x，∵以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，∴OD＝x，OE⊥BC，∵∠EBC＝∠OCB＝90°，OE＝OC，∴四边形OEAD为正方形，∴BC＝x，∵DC2+BC2＝BD2，∴，解得x＝4．∴由弧DE、线段AE、AD所围成的面积S＝S正方形OEAD﹣S扇形ODE＝16﹣＝16﹣4π，∴阴影部分的面积：S△ABD﹣S＝×4×8﹣（16﹣4π）＝4π，故答案为：4π．3．如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，E为线段AB上一点，以点B为圆心，BE 为半径画圆与OA相切于OA的中点G，交OB于点F，若AD＝2，则图中阴影部分面积为﹣．【解答】解：连接BG，∵BE为半径画圆与OA相切于OA的中点G，∴BG⊥AO，AG＝OG，∴AB＝BO，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∴AO＝BO，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝60°，∴∠ACB＝30°，∵∠BGC＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝2，∴BG＝BC＝，AB＝AO＝BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S△AOB﹣S扇形EBF＝2×﹣＝﹣，故答案为：．4．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，以AB的中点为圆心，以长为半径画圆弧，交矩形的DC边于点E、F，若EF＝4，则图中阴影部分的面积为12﹣π（结果保留π）．【解答】解：∵OA＝OE＝OB＝OF＝4，EF＝4，∴△EOF是等边三角形，∴AD＝OM＝OE＝2，∴∠EOF＝∠OEF＝∠EFO＝60°，∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠AOE＝∠OEF＝60°，∠BOF＝∠EFO＝60°，∴S阴影＝S矩形ABCD﹣2S扇形OAE﹣S△EOF＝8×﹣2×﹣＝12﹣π．故答案为12﹣π．5．如图，长方形ABCD中，AB＝m，BC＝n，E、F分别是线段BC、AD上的点，且四边形ABEF是正方形．以线段AE为直径的半圆交长方形于点A、F、E，则图中阴影部分的面积为mn﹣m2．【解答】解：∵四边形ABEF是正方形．∴EF＝AF，∵以线段AE为直径的半圆交长方形于点A、F、E，∴S阴影＝mn﹣m2，故答案为mn﹣m2．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以A为圆心，AD为半径作圆交AB于点E，F为的中点，过F作CD的平行线，交AD于点G，交BC于点H，则阴影部分的面积为3﹣2．【解答】解：连接AF，作FM⊥AB于M，∵F为的中点，∴∠DAF＝∠EAF＝45°，∴∠AFM＝90°﹣45°＝45°，∴∠F AM＝∠AFM，∴AM＝FM，∵AF＝AD＝2，∴FM＝AM＝×2＝，∴BM＝3﹣，∴S阴影＝BM•FM＝（3﹣）•＝3﹣2，故答案为3﹣2．7．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为4﹣﹣．【解答】解：如图，连接AE，则AD＝AE＝2，∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，∴∠A＝∠C＝∠B＝90°，AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，AD∥BC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝30°，由勾股定理得：BE＝＝＝，∴阴影部分的面积S＝（S矩形ABCD﹣S扇形DAE﹣S△ABE）+（S矩形ABCD﹣S扇形DCF）＝（1×2﹣﹣×1×）+（1×2﹣）＝4﹣﹣，故答案为：4﹣﹣．8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为π．（结果保留π）【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD，AB∥CD,∴OA＝OC＝2，∠ACD＝∠CAB＝36°，∴图中阴影部分的面积为：2×＝π，故答案为：π．9．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，∠DAE＝60°，则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝60°，∵∠B＝90°，AE＝AD＝1，∴AB＝AE•sin60°＝，∴S阴＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE＝﹣＝﹣，故答案为﹣．10．如图，矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，连接CO，以B为圆心，BO为半径画弧，弧线刚好过点A，以O为圆心，OC为半径画弧CD，若BD＝2，则图中阴影部分的面积为﹣．（结果保留π）【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AB＝BO，∴△ABO和△CDO是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∠COD＝60°∵BD＝2，∴OB＝OD＝1，∴图中阴影部分的面积为：2S扇形ABO﹣S△COD＝2×﹣＝﹣，故答案为：﹣．11．如图，矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，连接BE、CE，分别以B、C为圆心，BE、CE为半径画弧交BC于点G、F，则图中阴影部分面积为2π﹣4．【解答】解：矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，∴AB＝AE＝2，AD∥BC，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴∠GBE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝2，BE＝2，∴图中阴影部分的面积＝2S扇形EBF﹣S△BEC＝2×﹣×4×2＝2π﹣4，故答案为2π﹣4．12．如图，矩形ABCD中，对角线相交于O，以D为圆心，CD长为半径画弧，交AD于F，点O在圆弧上，若AB＝4，则阴影部分的面积为12﹣4π．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∵CD＝OC，∴CD＝OD＝OC，∴△CDO是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∵∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，∴AD＝CD＝4，∴S阴＝S矩形﹣S△AOB﹣S扇形DFC＝AD•CD﹣AB•﹣＝4×﹣﹣4π＝12﹣4π，故答案为12﹣4π．13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E，F分别是BC，AD的中点，以点E 为圆心线段EF为半径画弧分别交AB，CD于G，H点，则阴影部分的面积为12﹣π．【解答】解：如图，连接GE，EF，则EF＝EG＝AB＝4，∵BC＝4，∴BE＝2，∴cos∠BEG＝＝＝，∴∠BEG＝30°，∴∠GEF＝60°，GB＝EG＝2，∵S阴影＝2（S四边形ABEF﹣S△BEG﹣S扇形GEF）＝2（2×4﹣×2×2﹣）＝2（6﹣π）＝12﹣π，故答案为12﹣π，14．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以A为圆心，AB为半径的圆交对角线AC于E，交AD于F，以C为圆心，CB为半径的圆分别交AC、AD于G、H．则图中阴影部分面积之和为4﹣．【解答】解：连接AE，∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，∴∠B＝90°，∴tan∠ACB＝＝＝，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∴图中阴影部分的面积＝2×2﹣﹣＝4﹣，故答案为：4﹣．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，如图所示，则图中阴影部分的面积是π﹣2+2．（结果保留x）【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝2，∴∠ADC＝90°，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABD＝∠CDB，∵AF＝AB＝2，AF2＝AD2+DF2，∴（2）2＝22+DF2，∴DF＝2，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DF A＝45°，∴∠BAF＝45°，在△BOM和△DOF中，，∴△BOM≌△DOF（ASA），∴BM＝DF＝2，∴AM＝2﹣2，∴图中阴影部分的面积为：﹣＝π﹣2+2，故答案为：π﹣2+2．16．如图、在等边△ABC中，BC＝4，以BC为直径画半圆，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为﹣2（结果保留π）．【解答】解：如图，设BC的中点为O，连接OD、OE，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BOD＝60°，∠COE＝60°，∴∠DOE＝60°，△DOB和△EOC为等边三角形，∵BC＝4，∴OB＝OC＝OD＝OE＝2，∴S阴影＝S半圆﹣S扇形ODE﹣2S△ODB＝﹣﹣2××2×2×＝﹣2．故答案为﹣2．17．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，点F为BC边上一点，若CF＝2BF，连接EF，则图中阴影部分的面积为7+（结果保留π）．【解答】解：如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∴S四边形ABCD＝5×3＝15，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∴S扇形ADE＝＝，∵ED＝AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，∴S△ECF＝×（3+5）×2＝8，∴S阴影＝S四边形ABCD+S扇形ADE﹣S△ECF＝15+﹣8＝7+，故答案为：7+，18．如图，长方形ABCD中，AB＝2，AD＝6，以点B为圆心，AB长为半径画圆交BC于点F，以点D为圆心，AD长为半径画圆交DC的延长线于点E，则图中阴影部分面积为10π﹣12．【解答】解：在长方形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝6，阴影部分的面积＝S扇形AED+S扇形AFB﹣S长方形ABCD＝+﹣2×6＝10π﹣12．故答案为：10π﹣12．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是24﹣4π（结果保留π）．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∴S阴影＝S矩形﹣S四分之一圆＝6×4﹣π×42＝24﹣4π，故答案为：24﹣4π．20．如图，在半径为，圆心角等于60°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，且CD：DE＝：1，则阴影部分的面积为﹣．【解答】解：连接OF，设DE＝x，则CD＝x∵∠O＝60°，∴tan60°＝，即＝，∴OD＝x，在直角三角形OEF中，由勾股定理得OE2+EF2＝OF2，即（2x）2+（x）2＝（）2，解得x＝±1（舍去负数），∴OD＝1，CD＝，S阴影＝S扇形AOB﹣S△OCD﹣S矩形CDFE＝﹣﹣1×，＝﹣，故答案为：﹣．。

初中求阴影面积题10题
当然，以下是10道适合初中学生的求阴影面积的几何题目：
1.在一个半径为5cm的圆中，有一个内接的正方形，求这个正方形的阴影面积。

2.已知一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求这个直角三角形内切圆
的阴影面积。

3.在一个边长为6cm的正方形中，挖去一个边长为2cm的小正方形，求剩余部分的
阴影面积。

4.已知一个圆的半径为6cm，从这个圆中挖去一个半径为2cm的小圆，求剩余部分
的阴影面积。

5.在一个半径为4cm的圆中，有一个内接的等腰直角三角形，求这个直角三角形的
阴影面积。

6.已知一个扇形的半径为5cm，圆心角为60°，求这个扇形的阴影面积。

7.在一个边长为8cm的正方形中，有一个内接的半径为2cm的圆，求剩余部分的阴
影面积。

8.已知一个圆的半径为5cm，从这个圆中挖去一个半径为1cm的小圆，再从小圆中
挖去一个半径为0.5cm的更小的圆，求最终剩余部分的阴影面积。

9.在一个半径为3cm的圆中，有一个内接的正六边形，求这个正六边形的阴影面
积。

10.已知一个矩形的长为8cm，宽为4cm，从这个矩形中挖去一个半径为2cm的半
圆，求剩余部分的阴影面积。

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题17与圆有关的阴影部分面积的计算例1．（2023•长沙模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，OF⊥AC，垂足为点F，BE＝OF．（1）求证：AC＝CD；（2）若BE＝4，CD＝8√3，求阴影部分的面积．例2．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．例3．（2023•武安市一模）如图、点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针̂交于点F，过点P作PN⊥旋转90°得到扇形DPE，过点E作EM⊥PE交AB于点M、连接PM，与DEPM交BC于点N．（1）求证：△PEM≌△PDN；（2）已知PD＝3，EM=√3；̂哪个长度更长；①通过计算比较线段PN和DF②计算图中阴影部分的面积（结果保留π）．1．（2023•青山区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点．（1）求证：∠BOD＝2∠BAC；（2）若CD＝AC＝4，求阴影部分的面积．2．（2023•黄浦区二模）已知，如图，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，̂=BP̂．且BC（1）求弦AB的长；（2）求图中阴影部分面积（结果保留π）．3．（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC ＝8，弧BC的度数是60°．（1）求线段OD的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．4．（2022秋•青山湖区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD的延长线于点E，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点F．（1）求证：E、F、B在同一条直线上；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．̂的度数为60°．5．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，BD（1）求证：OE＝DE；（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．̂=BĈ．6．（2022秋•嘉兴期末）已知：如图，弦AB，CD相交于⊙O内一点P的直径，AD （1）求证：AB＝CD．（2）连接OP，求证：线段OP平分∠BPD．（3）若CP：DP＝1：3，OP=√7，AP=√3，求阴影部分面积．7．（2023•武汉模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOB+∠COD＝180°．（1）在图（1）中，∠AOB＝120°，CD＝6，直接写出图中阴影部分的面积；（2）在图（2）中，E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论．8．（2022•临沭县二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是AĈ的中点，过点E 作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；̂=CN̂；（2）求证：EB（3）若AM=2√3，MB＝2，求阴影部分图形的面积．9．（2022•海陵区二模）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：2OE＝CD；（2）若∠BAD+∠EOF＝150°，AD＝4，求阴影部分的面积．10．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；̂只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与ABAOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．11．（2022•息烽县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）填空：∠CAB＝度；（2）求OE的长；（3）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和弧FC围成的图形（阴影部分）的面积S．12．（2022•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为E，弦CF交直径AB于点G，连接DF，∠CDF＝75°，CD＝2√3．（1）求⊙O的半径；̂围成的阴影部分的面积．（2）求线段GB，GF与BF13．（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．（1）求∠AED的度数．（2）求DB的长．（3）求图中阴影部分的面积．14．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．15．（2021•高港区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．̂的度数；（1）若∠B＝24°，求AD（2）若D是AB的中点，AB＝3，求阴影部分的面积；（3）若AD•AB＝12，求AC的值．16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB 内有一点P ，PC ⊥OA ，垂足为C ，以P 为圆心PC 为半径画14⊙P ，与OB 交于点E ，（1）过点D 作PD 的垂线与OB 交于点M ，连接PM ，过圆心P 作PN ⊥PM 交OA 于点N ，求证△PMN 是等腰直角三角形．（2）若PC ＝2，∠DPE ＝15°，计算扇形PEC 的面积（结果保留π）．17．（2022•柯城区二模）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是AĈ的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN ．（1）EM 与BE 的数量关系是 ；（2）求证：EB̂=CN ̂； （3）若AM =√3，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．18．（2022•龙岗区模拟）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，CB ＝CD ，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作⊙B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝2√3，∠BCD ＝60°，求图中阴影部分的面积．19．（2021•南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．（1）求证：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC=√3cm．①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积．20．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．。

关于阴影部分的面积求值问题是中考的一类考题，归纳起来可以分为 间接求值法（即用相关面积间接表示求值）、分割求值法（即分成若干部分求和）、割补求值法（即通过割补转化成有面积公式的图形求面积）、等积变形求值法等。

我们通过下面的问题来体会这些方法的的应用：1. （2009深圳）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD //BC ，AC 平分BCD ∠，120ADC = ∠，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（A .B .C .D . 等积变形2. （2009嘉兴）如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ▲ ）A ．3B ．4C ．6D ．9间接求值，参数意识3. （2009遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A 、B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是 A.4π-8 B. 8π-16 C.16π-16 D. 16π-32 间接求值4. （2009湖州）如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ． 等积变形5. 2009娄底）如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，则阴影部分的面积是 . 割补法求值6. （2009衡阳）如图8，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ． （1）求证：AC=BD ；（第9题）（第15题）CABS 1S 2 图8（2）若图中阴影部分的面积是243cm π，OA=2cm ，求OC 的长．割补法求值7. 如图7－341，正方形ABCD 、A1B1C1D1边长都是a ．（2）在正方形A 1B 1C 1D 1中，分别以A 1，B 1，C 1，D 1为圆心，设两图中阴影部分周界长为S 1，S 2，则S 1与S 2的关系是[ ]A ．S 1＞S 2； B ．S 1=S 2；C ．S 1＜S 2； D ．大小关系不定．间接求值法8. 如图：正方形ABCD 的边长为a , 以各边为直径在正方形内作半圆 , 所围成的图中阴影部分的面积为[ ]A ．2)21(a π- 2)21(a π-B ．2)22(a π-C ．2)12(a -πD ．2)42(a π-9. 如图：以直角三角形三边为直径的三个半圆围成的两个月牙形(阴影部分)的面积和等于[ ]A ．AB ·AC B ．AC ·BC C ．AB ·BD D ．21AC ·BC 10. 如图：以正△ABC 的三边为弦的三条圆弧相交于△ABC 的外心O,若AB=a, 则图中阴影部分的面积为[ ]A ．2)233(a -πB ．2)8343(a π-C ．2)343(a π-D ．2)3433(a π- 11如图：∠AOM=90°，AN ∥OM ，OA=1cm ，是以O 为圆心的圆的一部分，是以A 为圆心的圆的一部分，这个曲边形ABC （阴影部分）的面积为___________．221cm 12图:⊙O 1与⊙O 2交于A , B , ⊙O 2的直径AC 切⊙O 1于A , ⊙O 2的弦CB 的延长线交⊙O 1于E , 且AC=5 , BC=3 , 求图中阴影部分的面积．13如图：平行四边形ABCD中 , AB=6 , AD=3 , BD^AD , 以BD为直径的圆交 AB于E , 交DC于F，求阴影部分的面积．14 已知：如图，AB为半圆⊙O的直径，C、D为半圆⊙O的三等分点，若AB=12，求阴影部分的面积.15 如图，已知：∠AOB=90°，AC∥OB，AO=3，分别以O点，A点为圆心，AO、AB为半径画弧，交OB、AC于B、C，求阴影部分的周长和面积.。

专题：阴影部分面积1、圆有关的计算:(1)弧长计算公式：180R n l π=（R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，l 为弧长） (2)扇形面积：2360R n S π=扇形或lR S 21=扇形（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数，l 为扇形的弧长）(3) 圆锥：扇形到圆锥三个不变量侧面积计算公式：圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样， S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）圆锥的高：22r R h -=算弧长：考查形式主要有扇形与三角形、四边形相结合求阴影部分面积。

利用扇形、三角形、四边形的面积公式，以及特殊角的锐角三角函数、勾股定理等，根据图形特征①运用割补法求面积；②运用旋转变换、等面积变换求面积；③运用整体作差法求面积等。

类型一：割补法求面积̂上【经典例题1】（2020•荆门）如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为AB一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为．【解析】∵∠AOB ＝90°，∠AOC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵扇形AOB 中，OA ＝OB ＝2，∴OB ＝OC ＝2，∴△BOC 是等边三角形，∵过C 作OA 的垂线交AO 于点D ，∴∠ODC ＝90°，∵∠AOC ＝30°，∴OD =√32OC =√3，CD =12OC ＝1， ∴图中阴影部分的面积═S 扇形BOC ﹣S △OBC +S △COD=60⋅π×22360−12×2×2×√32+12×√3×1 =23π−√32． 故答案为23π−√32． 练习1-1（2020四川自贡）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，在DF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作半圆与CD 相切于点G ．若AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ．【解析】连接OG ，∵将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，∴AD ＝DF ＝4，BF ＝CF ＝2，∵矩形ABCD 中，∠DCF ＝90°，∴∠FDC ＝30°，∴∠DFC ＝60°，∵⊙O 与CD 相切于点G ，∴OG ⊥CD ，∵BC ⊥CD ，∴OG ∥BC ，∴△DOG ∽△DFC ， ∴DO DF =OG FC ， 设OG ＝OF ＝x ，则4−x 4=x 2， 解得：x =43，即⊙O 的半径是43．连接OQ ，作OH ⊥FQ ，∵∠DFC ＝60°，OF ＝OQ ，∴△OFQ 为等边△；同理△OGQ 为等边△；∴∠GOQ ＝∠FOQ ＝60°，OH =√32OQ =2√33，S 扇形OGQ ＝S 扇形OQF ，∴S 阴影＝（S 矩形OGCH ﹣S 扇形OGQ ﹣S △OQH ）+（S 扇形OQF ﹣S △OFQ ）＝S 矩形OGCH −32S △OFQ =43×2√33−32（12×43×2√33）=2√39． 故答案为：2√39． 练习1-2如图，在扇形AOB 中，∠AOB=120°，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC ⊥AO ，若OA=2√3，则阴影部分的面积为 .【解析】阴影部分面积=△AOD 面积 + BCD 部分面积BCD 部分面积=扇形OBD 面积－△OBD 面积∴阴影部分面积=△AOD 面积＋扇形OBD 面积－△OBD 面积 所以阴影部分面积为3+π练习1-3如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交弧AB 于点E ．以点O 为圆心，OC 的长为半径作弧CD 交OB 于点D ．若OA ＝2，则阴影部分的面积为 .AD【解析】如图，连接OC ，EC ，由题意得△OCD ≌△OCE,OC ⊥DE,DE=2，所以S 四边形ODCE =21×2×2=2,S △OCD =22， 又S △ODE =21×1×1=21,S 扇形OBC =2π， 所以阴影部分的面积为：S 扇形OBC +S △OCD −S △ODE =2π+22−21；故答案为：2π+22−21.DA【解析】连接OC 、AC ，由题意得，OA=OC=AC=2，∴△AOC 为等边三角形,∠BOC=30∘，∴扇形△COB 的面积为：ππ313602302=⋅， △AOC 的面积为：21×2×3=3， 扇形AOC 的面积为：ππ323602602=⋅， 则阴影部分的面积为：ππ32331-+=π313-， 故答案为：π313-.练习1-7如图，AB 为半圆O 的直径，C 为AO 的中点，CD ⊥AB 交半圆于点D ，以C 为圆心，CD 为半径画弧DE 交AB 于E 点，若AB=8，则图中阴影部分的面积为.【解析】连接AD，OD，BD，可得△ACD∽△CDB，有CD2=AC•CB，∴CD=23，OC=2，tan∠COD=23:2=3：1，∴S扇形OAD=π38，S△CDO=21CO×CD=23，∴S ADC=S扇形OAD-S△CDO=π38-23，S扇形CDE=3π，∴阴影部分的面积=S半圆-（S ADC+S扇形CDE）=π37+23．故选A．练习1-8如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π32则图中阴影部分的面积为( )A.9πB.93πC.π23233- D.π32233-EDC OA B【解析】连接BD,BE,BO,EO, ∵B ，E 是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60∘， ∴∠BAC=∠EBA=30∘， ∴BE ∥AD ，∵弧BE 的长为π32，∴18060R ⋅π=π32， 解得：R=2，∴AB=ADcos30∘=23， ∴BC=0.5AB=3， ∴AC=3，∴S △ABC =21×BC ×AC=21×3×3=233，∵△BOE 和△ABE 同底等高， ∴△BOE 和△ABE 面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S △ABC −S 扇形BOE =233-π32. 故选：D.练习1-9如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆，分别交AB ，AC 边于点D ，E ，再以点C 为圆心，CD 长为半径作圆，交BC 边于点F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为 .【解析】432312-+π练习1-10（2020内蒙古呼和浩特）（3分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，BD 长为半径画一弧，交AC 于点E ，若∠A ＝60°，∠ABC ＝100°，BC ＝4，则扇形BDE 的面积为 ．【解析】∵∠A ＝60°，∠B ＝100°，∴∠C ＝20°， 又∵D 为BC 的中点，∵BD ＝DC ＝BC ＝2，DE ＝DB ， ∴DE ＝DC ＝2， ∴∠DEC ＝∠C ＝20°， ∴∠BDE ＝40°，∴扇形BDE 的面积＝，故答案为：．类型二：与旋转变换有关的面积计算【经典例题2】（2020乐山）在ABC ∆中，已知90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．如图所示，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒后得到''AB C ∆．则图中阴影部分面积（ ）A.4π B.C.D.【解析】在Rt △ABC 中，∵30BAC ∠=︒， ∴AC=2BC=2，∴AB∵ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒后得到''AB C ∆，∴='''1,'90AB AB BC B C CAC ===∠=∴'60CAB ∠=∴()22''''9039021==1=36023260AB C CAC DAB SS S S πππ---⨯-阴影扇形扇形．故选：B练习2-1如图，把腰长为8的等腰直角三角板OAB 的一直角边OA 放在直线1上，按顺时针方向在l 上转动两次，使得它的斜边转到l 上，则直角边OA 两次转动所扫过的面积为 ．【解答】∵△OAB 为腰长为8的等腰直角三角形， ∴OA ＝OB ＝8，AB ＝8√2，∴直角边OA 两次转动所扫过的面积=14π•OA 2+90+45360π（AB 2﹣OB 2）＝16π+24π＝40π．故答案为：40π．练习2-2如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BC=5，AC=3，将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域（图中阴影部分）的面积为 .第2-2题图 第2-3题图 第2-4题图 【解析】3π练习2-4如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．π32B ．332π-C ．3232π-D ．3234π-【解析】C练习2-5如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B 的运动路径为BB′̂，则图中阴影部分的面积为 ．第2-5题图 第2-6题图【解析】2345-π练习2-6如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB=600，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转C'D'B'ACDB300得到菱形AB'C'D'，其中点C 的运动能路径为弧，则图中阴影部分的面积为 . 【解析】3234-+π练习2-7（2020•玉林）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF 中，将四边形ADEF 绕顶点A 顺时针旋转到四边形AD 'E 'F ′处，此时边AD ′与对角线AC 重叠，则图中阴影部分的面积是 ．【解答】解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF 中，∠DAC ＝30°，∠B ＝∠BCD ＝120°，AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°， ∴∠ACD ＝90°， ∵CD ＝3， ∴AD ＝2CD ＝6，∴图中阴影部分的面积＝S 四边形ADEF +S 扇形DAD ′﹣S 四边形AF ′E ′D ′， ∵将四边形ADEF 绕顶点A 顺时针旋转到四边形AD 'E 'F ′处， ∴S 四边形ADEF ＝S 四边形AD ′E ′F ′∴图中阴影部分的面积＝S 扇形DAD ′=30⋅π×62360=3π，故答案为：3π．练习2-8（2020•株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A 1，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）A ．4πB ．6C ．4√3D ．83π【解析】由题意，知AC ＝4，BC ＝4﹣2＝2，∠A 1BC ＝90°． 由旋转的性质，得A 1C ＝AC ＝4． 在Rt △A 1BC 中，cos ∠ACA 1=BCA 1C=12．∴∠ACA 1＝60°． ∴扇形ACA 1的面积为60×π×42360=83π．即线段CA 扫过的图形的面积为83π． 故选：D ．类型三：整体作差法求面积【经典例题3】（2020江苏泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为()A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π【解析】解：连接OC ，90AOB ∠=︒，CD OA ⊥，CE OB ⊥，∴四边形CDOE 是矩形， //CD OE ∴，36DEO CDE ∴∠=∠=︒，由矩形CDOE 易得到DOE CEO ∆≅∆，36COB DEO ∴∠=∠=︒∴图中阴影部分的面积=扇形OBC 的面积，2361010360OBCS ππ⋅⨯==扇形∴图中阴影部分的面积10π=，故选：A ．练习3-1如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，若CD =√2，则图中阴影部分面积为（ ）A ．4−π2B ．2−π2C ．2﹣πD ．1−π4【解析】解：连接OD ，过O 作OH ⊥AC 于H ，如图， ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠CAB ＝45°， ∵⊙O 与BC 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，∴四边形ODCH 为矩形，∴OH ＝CD =√2， 在Rt △OAH 中，∠OAH ＝45°，∴OA =√2OH ＝2，在Rt △OBD 中，∵∠B ＝45°，∴∠BOD ＝45°，BD ＝OD ＝2， ∴图中阴影部分面积＝S △OBD ﹣S 扇形DOE =12×2×2−45×π×2180＝2−12π． 故选：B ．练习3-2如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留π）【答案】4π- 【解析】由图可知，S 2ABCD S S =-阴影扇形，224ABCD S =⨯=， ∵四边形ABCD 是正方形，边长为2， ∴=22AC ，∵点O 是AC 的中点，∴OA=2，∴290(2)3602S ππ︒==︒扇形,H GFE OD C B A ∴S 2=4-ABCD S S π=-阴影扇形，故答案为：4π-．练习3-3如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC=120°，AB=2√3，以点O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）【解析】如图，菱形面积的二分之一减去两个60°扇形的面积.答案：3√3−π.OD CB AA．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣2【解析】连接CD．练习3-6如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB 相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+【解析】连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A．练习3-7中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（）A．80πcm2B．40πcm2 C．24πcm2D．2πcm2【解析】如图，连接CD．∵OC＝OD，∠O＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝4cm，∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝40π（cm2），选：B．练习3-8如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形. 若正三角形边长为6 cm ，则该莱洛三角形（阴影部分）的面积为__________cm 2周长为 cm.【解析】面积18π-183，周长6π；练习3-9如图，分别以边长为 2 的等边三角形 A BC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，则阴影部分面积为 ．【解析】35ππ-23练习3-10如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，OA =AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 1π-B. 12π-C. 12π-D. 122π- 【解析】连接OC点C 为AB 的中点AOC BOC ∠=∠∴在CDO 和CEO 中90AOC BOC CDO CEO CO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDO CEO AAS ∴≅△△,OD OE CD CE ∴==又90CDO CEO DOE ∠=∠=∠=︒∴四边形CDOE 为正方形OC OA ==1OD OE ∴===11=1CDOE S ∴⨯正方形由扇形面积公式得290==3602AOB S ππ⨯扇形==12CDOE AOB S S S π∴--阴影正方形扇形故选B ．练习3-11（2020山东青岛）如图，在ABC 中，O 为BC 边上的一点，以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ．已知120BAC ∠=︒，16AB AC +=，MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为__________．【解析】如图，连接OM 、ON 、OA ，设半圆分别交BC 于点E ，F ，则OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∴∠AMO=∠ANO=90º，∵∠BAC=120º，∴∠MON=60º，∵MN 的长为π，∴60180OM ππ=， ∴OM=3，∵在Rt △AMO 和Rt △ANO 中， OM ON OA OA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AMO ≌Rt △ANO(HL)，∴∠AOM=∠AON=12∠MON=30º，∴AM=OM·tan30º=33⨯= ∴122332AMO AMON S SAM OM ==⨯=四边形 ∵∠MON=60º， ∴∠MOE+∠NOF=120º，∴211=3=333MOE NOF S S S ππ+=圆扇形扇形， ∴图中阴影面积为()AOB AOC AMON MOE NOF S S S S S +--+四边形扇形扇形=13()32AB AC π⨯+-=243π-，故答案为：243π-．类型四：用图形变换转化求阴影部分面积【经典例题4】如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 ．【解析】连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴DC =12AB ＝1，四边形DMCN 是正方形，DM =√22． 则扇形FDE 的面积是：90π×12360=π4． ∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴CD 平分∠BCA ，又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，∴DM＝DN，∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，在△DMG和△DNH中，{∠DMG=∠DNH ∠GDM=∠HDN DM=DN，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN=12．则阴影部分的面积是：π4−12．故答案为π4−12．练习4-1如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是.练习4-2如图，点B、C把弧AD三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线【解析】∵点B、C把弧线AD分成三等分，ED是⊙O的切线，∠E=45°，∴∠ODE=90°，∠DOC=45°，∴∠BOA=∠BOC=∠COD=45°，∵OD=2， ∴阴影部分的面积是：2 ， 故选C ．练习4-3如图，一个半径为22的圆经过一个半径为4的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ．【解析】连接AC ，BC ，DC ，AB ，∵⊙D 过⊙C 的圆心C ，⊙D 和⊙C 交于A 、B ，∴AD=BD=DC=22，AC=4，AD 2+DC 2=AC 2=16，∴∠ADC=90°，同理∠BDC=90°，∴A 、D 、B 三点共线，即D 在两圆的公共弦AB 上，∵AD=CD=BD ，∴∠ACB=90°，∴S 弓形AmB =S 扇形ACB -S △ACB =8故答案为：8．练习4-4如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P.若AB ＝6，BC ＝33，则下列结论：①F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE ＝92CE ；④S 阴影＝32.其中正确结论的序号是__①②④__．【解析】①∵AF 是AB 翻折而来，∴AF=AB=6， ∵AD=BC=33，∴DF=322=-AD AF ， ∴F 是CD 中点；∴①正确； ②连接OP ，∵⊙O 与AD 相切于点P ，∴OP ⊥AD ， ∵AD ⊥DC ，∴OP ∥CD ， ∴AO/AF=OP/DF ， 设OP=OF=x ，则x /3=(6−x )/6，解得：x =2，∴②正确； ③∵Rt △ADF 中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°， ∴∠EAF=∠EAB=30°， ∴AE=2EF ； ∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°-∠AFD=30°， ∴EF=2EC ，∴AE=4CE ，∴③错误； ④连接OG ，作OH ⊥FG ，∵∠AFD=60°，OF=OG ，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△；∴∠POG=∠FOG=60°，OH=23OG=3，S 扇形OPG=S 扇形OGF ， ∴S 阴影=（S 矩形OPDH-S 扇形OPG-S △OGH ）+（S 扇形OGF-S △OFG ）=S 矩形OPDH-23S △OFG=23．∴④正确； 故答案为①②④．练习4-5如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A ，B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是( )【解析】连接AB交O1O2于点C，∵把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，∴O1O2=8，∴O1C=8÷2=4，易得△AO1O2为等腰直角三角形，∴AO1=42，∴阴影部分的面积=8π-16，故答案为8π-16．练习4-6如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为________。

中考数学专题：阴影图形面积经典题解析1. 如图，在半径为2 cm 的⊙O 中，点C 、点D 是AB ︵的三等分点，点E 是直径AB 的延长线上一点，连接CE 、DE ，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 cm 2B. 2π3 cm 2C. 2π3－ 3 cm 2D. 2π3＋ 3 cm 21.【解】如图，连接OC 、OD 、CD ，∵点C 、点D 是AB ︵的三等分点， ∴∠DOB ＝∠COD ＝60°，又∵CO ＝OD ，∴CO ＝OD ＝CD ， ∴∠DOB ＝∠CDO ＝60°，∴CD ∥AB ，∴S△CED ＝S △COD ，∴S 阴影＝S 扇形COD ＝60π×22360＝2π3 cm 2.2. 如图，正方形ABCD 的面积为12，点M 是AB 的中点，连接AC 、DM 、CM ，则图中阴影部分的面积是( ) A. 6 B. 4.8 C. 4 D. 32.【解】如图，设DM 与AC 交于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AM ∥CD ，AB ＝CD ，∴△AME ∽△CDE ，∵点M 是AB 的中点，∴AM CD ＝12， ∴AE CE ＝EM DE ＝AM CD ＝12，∵S 正方形ABCD ＝12，∴S △ABC ＝12S 正方形ABCD ＝6，∴S △ACM ＝12S △ABC ＝3，∴S △AEM ＝13S △ACM ＝1，S △CEM ＝23S △ACM ＝2， ∴S △AED ＝2S △AEM ＝2，∴S 阴影＝S △CEM ＋S △AED ＝2＋2＝4，故选C. 3.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA ，ED 长为半径画AF ︵和DF ︵，连接AD ，则图中阴影部分面积是( ) A. π B. 54π C. 3＋π D. 8－π3.【解】如图，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝13， 由旋转的性质知，OF ＝OA ＝3，OE ＝OB ＝2，DE ＝EF ＝AB ＝13， ∴AE ＝OA ＋OE ＝5，易证△DHE ≌△BOA ，∴DH ＝OB ＝2， ∴S 阴影＝S △ADE ＋S △EOF ＋S 扇形AOF －S 扇形DEF＝12AE ·DH ＋12OE ·OF ＋90π×OA 2360－90π×DE 2360＝12×5×2＋12×2×3＋90×π×32360－90×π×（13）2360＝8－π.故选D4.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝4，AB ⊥AC ，O 是对角线的交点，若⊙O 过A 、C 两点，则图中阴影部分的面积之和为________．4.【解】如图，设BD 与⊙O 交于点E 和F 两点．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵⊙O 过A ，C 两点，∴扇形AOE 与扇形FOC 关于点O 成中心对称， ∴S 扇形AOE ＝S 扇形FOC ，∴S 阴影＝S △AOB ＝12×12AC ·AB ＝12×12×4×4＝4.5. 如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上，若AB ＝BC ， CD ＝DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为________．5.【解】如图，连接OC ，在半圆O 中，AB ＝BC ，CD ＝DE ， ∴AB ︵＝BC ︵，CD ︵＝DE ︵，∴∠AOB ＝∠BOC ，∠COD ＝∠DOE ，∴S 阴影＝S 扇形OAB ＋S 扇形ODE ＝12S 扇形AOC ＋12S 扇形COE ＝12S 半圆AOE ＝12×π×222＝π， ∴阴影部分的面积为π.6. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝23，则图中阴影部分的面积为________．6.【解】∵MC ＝6，NC ＝23，∠C ＝90°，∴S △CMN ＝63，由折叠性质得△CMN ≌△DMN ，∴△CMN 与△DMN 对应高相等，∵MN ∥AB ， ∴△CMN ∽△CAB 且相似比为1∶2，∴两者的面积比为1∶4，从而得S △CMN ∶S 四边形MABN ＝1∶3，∴S 阴影＝S 四边形MABN ＝18 3.7. 如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2， 圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________．7.【解】:连接BD ，设BE 交 AD 于点G ，BF 交CD 于点H ， ∵在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，∴BD ＝BC ＝2，由题意知扇形圆心角为60°，∴∠DBG ＝∠CBH ，∠GDB ＝∠C ， ∴△DGB ≌△CHB ，∴S 阴影＝S 扇形EBF － S △DBC ＝60×π×22360－12×2×3＝2π3－ 3.8. 如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝16 cm 2，S △BQC ＝25 cm 2，则图中阴影部分的面积为________cm 2.8.【解】:连接EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴S△EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ， 同理，S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ， ∵S △APD ＝16 cm 2，S △BQC ＝25 cm 2，∴S 阴影＝S △EFP ＋S △EFQ ＝16＋25＝41 cm 2.9. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB 1E ，则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积是________．9.【解】:设CD 与AB 1交于点O ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝BE ＝2，由折叠性质得△ABB 1为等腰直角三角 ∴S △ABB1＝12BA ·AB 1＝2，S △AB1E ＝1，CB 1＝2BE －BC ＝22－2，∵AB ∥CD ，∴∠OCB 1＝∠B ＝45°，又∵∠B 1＝∠B ＝45°，∴CO ＝OB 1＝2－2，∴S △COB 1＝12CO ·OB 1＝3－22， ∴S 重叠＝S △AB1E －S △COB 1＝1－(3－22)＝22－2.10．已知：AB 是⊙O 的直径，直线CP 切⊙O 于点C ，过点B 作BD ⊥CP 于D ． （1）求证：△ACB ∽△CDB ；（2）若⊙O的半径为1，∠B CP=30°，求图中阴影部分的面积．10解答：（1）证明：∵直线CP是⊙O的切线，∴∠BCD=∠BAC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又∵BD⊥CP∴∠CDB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°∴△ACB∽△CDB；（2）解：如图，连接OC，∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，∴∠COB=2∠BCP=60°，∴△OCB是正三角形，∵⊙O的半径为1，∴S△OCB=，S扇形OCB==π，∴阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．11．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）11.解答：（1）证明：连接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B=∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=21BD=，∵sin ∠COD=， ∴OD=2，在Rt △ACO 中，tan ∠COA=，∴AC=2，∴S 阴影=×2×2﹣=2﹣．12.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC 为直径作⊙O 交 AB于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．﹣, B ．﹣, C ．﹣, D ．﹣12解：如图连接OD 、CD ． ∵AC 是直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°， ∵OC=OD ，∴△OCD 是等边三角形， ∵BC 是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=23，∴AB=43，AC=6，CD=3, AD=33 ∴S 阴=S △ABC ﹣S △ACD ﹣（S 扇形OCD ﹣S △OCD ）=21×6×23﹣21×3×33﹣（3603602⨯π﹣43×32）=4315﹣23π． 故选A ．13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的 中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是________ cm 2.13.【解】:连接BD ，EF ，设BF 与ED 相交于点G .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ＝6 cm ，AD ＝BC ＝8 cm ，∴S △ABD ＝S △BCD ＝12S 矩形ABCD ＝12×6×8＝24 cm 2，∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴EF ∥BD ，EF ＝12BD ，∴△GEF ∽△GDB ，∴DG ＝2GE ，∵S △BDE ＝12S △BCD ，∴S △BDG ＝23S △BDE ＝13S △BCD ＝13×24＝8 cm 2， ∴S 阴影＝S △ABD ＋S △BDG ＝24＋8＝32 cm 2.14.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，tan B ＝21.半径为2的⊙C ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，得到弧DE (1)求证：AB 为⊙C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．14.解：(1)如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，tan B ＝BC AC ＝21， ∴BC ＝2AC ＝25，∴AB ＝5.∴CF ＝ABBCAC ⨯＝2， ∴AB 为⊙C 的切线；(2)S 阴影＝S △ABC －S 扇形CDE ＝21AC ·BC －3602r n π＝21×1×2－360902r π＝5－π.15如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作弧OC 交弧AB 于点C,若OA ＝2，则阴影部分的面积为多少?．15【解】：连接OC ，AC ．S 阴=S OAB 扇形-2×S OAC 扇形+S AOC ∆正=2200202433602602360290⨯+⨯⨯-⨯ππ =π-334+π=33π-16如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点C ，D ，OF ⊥AC 于点F ，且∠D ＝30°，BC ＝1.求：(1)⊙O 的直径；(2)图中阴影部分的面积．16解：(1)⊙O 的直径为2；(2)连接OC ，∵OF ⊥AC ，∠A ＝30°，OA ＝1，∴OF ＝21OA ＝21∴AF ＝213，∴AC ＝3，∵∠BOC ＝2∠A ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝31π－.17.如图已知，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB的延长线于点D ，且∠D ＝30°. (1)求∠A 的度数；(2)若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为点E ，CF ＝43，求图中阴影部分的面积．17解：(1)∠A ＝30°；(2)连接OC ，∵CF ⊥AB ，CF ＝43，∴CE ＝23，在Rt △OCE 中，tan ∠COE ＝OECE，即tan600=OE 32∴OE ＝2，∴OC ＝2OE ＝4，∴S 扇形BOC ＝38π，S △EOC ＝23，∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △EOC ＝38π－2 3.。

中考复习专题阴影部分面积计算Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#专题二 阴影部分面积计算例 如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与 AB 交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作 CE 交OB 于点E ，若OA ＝4，∠AOB ＝120°，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)。

1. 如图，把八个等圆按相邻的两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S 1，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S 2，则S 1S 2＝( ) A. 34 B. 35 C. 23D. 1 第1题图2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，直径MN ∥AD ，则阴影部分的面积占圆面积的( )A. 12B. 14C. 16D. 18第2题图3.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为( )A. 10B. 12C. 14D. 16第3题图4. 如图，四个半径为1的小圆都过大圆圆心且与大圆相内切，阴影部分的面积为( )A. πB. 2π－4C. π2D. π2＋1 第4题图答案1. B 【解析】设每个等圆的半径为r .∵正八边形的内角度数是（8－2）×180°8＝135°，∴正八边形外侧每一个小扇形的圆心角度数都是360°－135°＝225°，∴正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和S 1＝8×135π×r 2360，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和S 2＝8×225π×r 2360，∴S 1S 2＝8×135π×r 23608×225π×r 2360＝35. 2. B 【解析】如解图，连接OD ，∵MN ∥AD ，∴S △ODN ＝S △AON ，∴S阴影＝2S 扇形ODN ＝14S ⊙O ，则阴影部分的面积占圆面积的14. 第2题解图3. D 【解析】如解图，连接DB ，GE ，FK ，则DB ∥GE ∥FK ，∴S △DGB ＝S △DBE ，∴S △DGE ＝S △GBE ，同理，S △GKE ＝S △GFE ，∴S △DEK ＝S △DGE ＋S △GKE ＝S △GBE ＋S △GFE ＝S 正方形BEFG ＝42＝16.第3题解图4. B 【解析】如解图，设两小圆交点为A 、C ，其中一小圆圆心为B ，连接AB ，AC ，BC ，∵四个小圆面积和为4π，大圆的面积也是4π，∴S 阴影＝S 小圆重合部分，∴S 阴影＝8S 弓形AC ＝8(S 扇形ABC －S △ABC )＝8×(90×π×12360－12×1×1)＝ 2π－4.第4题解图针对演练◆直接和差法1. 如图，正方形AEFG 的一边AE 放置在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF 与CD 交于点M ，得四边形AEMD ，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( )A. －4－4 2B. 42－4C. 8－4 2D. 42＋4第1题图2. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt△ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是( )A. π6B. π3C. π2－12D. 12第2题图3. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上．当正方形CDEF 的边长为2时，阴影部分的面积为( )A. 3π2＋2 B. 2π－2 C. π2＋2 D. π－2 第3题图 第4题图4. 如图，在圆心角为135°的扇形OAB 中，半径OA ＝2，点C ，D 为AB ︵的三等分点，连接OC ，OD ，AC ，CD ，BD ，则图中阴影部分的面积为( )A. 3π2B. π＋ 2C. 3π2－3 2D. 3π2－2 5. 如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF ，点A 1，B 1，C 1，D 1，E 1，F 1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是( ) A. 334 B. 234 C. 34 D. 38第5题图 第6题图6. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径OA ＝2，C 为AB ︵的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为________．7. 用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为________．第7题图◆割补法8. 如图，△ABC 的面积为16，点D 是BC 边上一点，且BD ＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形．则图中阴影部分的面积是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点O 是边BC 的中点，半圆O 与△ABC 的边AB ，AC 分别相切于点D ，E ，则阴影部分的面积为( )A. 1－π4B. π4C. 1－π8D. π810. 如图是某商品的标志图案．AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD .若AC ＝10 cm ，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为( )A. 5π cm 2B. 10π cm 2C. 15π cm 2D. 20π cm 2第10题图11. 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A. 23a 2B. 14 a 2C. 59 a 2D. 49a 2 第11题图12. 如图，正方形的边长为3 cm ，点E ，F 为对角线AC 的三等分点，则图中阴影部分的面积为________cm 2.第12题图 第13题图13. 如图，菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝60°，BD ︵是以点A 为圆心、AB长为半径的弧，CD ︵是以点B 为圆心、BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为________ cm 2.14. 将边长分别为2、4、6的三个正三角形按如图方式排列，A 、B 、C 、D 在同一直线上，则图中阴影部分的面积的和为________．第14题图参考答案1. B 【解析】由题意知△ADC 是等腰直角三角形，AD ＝CD ＝2，则S △ACD ＝12AD·CD ＝12×2×2＝2，AC ＝2AD ＝22，则EC ＝AC －AE ＝22－2，∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC ＝12ME·EC ＝12(22－2)2＝6－42，∴S 阴影＝S △ACD －S △MEC ＝2－(6－42)＝42－4.2. A 【解析】由题意可知，△ABC ≌△ADE ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，由勾股定理得AB ＝2，∴S阴影＝S △ADE ＋S 扇形BAD －S △ABC ＝S 扇形BAD ＝30·π·（2）2360＝π6，故选A. 3. D 【解析】如解图，连接OC ，∵在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵的中点，∴∠COD ＝45°，OD ＝CD ＝2，∴在Rt△COD 中，OC ＝2CD ＝22，∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △ODC ＝45×π×（22）2360－12×22＝π－2. 第3题解图4. C 【解析】∵C ，D 是AB ︵的三等分点，∠AOB ＝135°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝45°，∵AO ＝CO ＝DO ＝BO ，∴△AOC ≌△COD ≌△BOD ，如解图，过点A 作AE ⊥OC 于E ，∴在Rt△AOE 中，AE ＝AO ·sin45°＝2×22＝2，∴S △AOC ＝12OC·AE ＝12×2×2＝2，∴S 阴影＝S 扇形AOB －3S △AOC ＝135π·22360－32＝3π2－3 2. 第4题解图5. A 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥A 1B 1于M ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠B 1AA 1＝120°，又∵点A 1，B1分别为AF ，AB 的中点，∴AA 1＝AB 1＝12×2＝1，∠AA 1B 1＝180°－120°2＝30°，∴AM ＝12AA 1＝12，A 1M ＝AA 1·cos30°＝1×32＝32，∴A 1B 1＝2A 1M ＝3，则S △AA1B1＝12×3×12＝34，同理，S △EE 1F 1＝S △CC 1D 1＝34，∴阴影部分的总面积为34×3＝334. 第5题解图 6. π＋2－12【解析】如解图，连接OC 、CE ，∵C 为AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠DOC ＝∠EOC ＝12∠AOB ＝45°，又∵D 、E 分别是OA 、OB 的中点，∴OD ＝12OA ＝1，OE ＝12OB ＝1，∴OD ＝OE ，DE ＝2，∴∠ODE ＝45°，∴OC ⊥DE ，∵OC ＝OC ，∴△OCD ≌△OCE (SAS)，∴S △ODE ＝12×1×1＝12，S 扇形OBC ＝45π×22360＝π2，∴S △OCD ＝12OC ·12DE ＝22，∴S 阴影＝S 扇形OBC ＋S △OCD －S △ODE ＝π2＋22－12＝π＋2－12. 第6题解图7. π－332【解析】如解图，设AB ︵的中点为P ，连接OA 、OP 、AP ，则∠AOP ＝60°，∴△AOP 为等边三角形，S △AOP ＝12×32×1＝34， S 扇形OAP ＝60π×12360＝π6，S 弓形AP ＝S 扇形OAP －S △AOP ＝π6－34，∴S 阴影＝6× S 弓形＝6×(π6－34)＝π－332. 第7题解图8. B 【解析】∵四边形BDHG 是平行四边形，∴GH ＝BD ＝14BC ，GH ∥BC ，设△AGH 边GH 上的高是a ，△CGH 边GH 上的高是b ，△ABC 边BC 上的高是h ，则a ＋b ＝h ，∴S 阴影＝S △AGH ＋S △CGH ＝12GH (a ＋b )＝12BD ·h ＝12×14BC ·h ＝14S △ABC ＝14×16＝4. 9. B 【解析】如解图，连接OD 交BE 于点F ，连接OE ，∵半圆O 与△ABC 的边AB 、AC 分别相切于点D 、E ，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，又∵在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点O 是BC 的中点，∴四边形ADOE 是正方形，△OBD 和△OCE 是等腰直角三角形，∴OD ＝OE ＝AD ＝BD ＝AE ＝EC ＝1，∠ABC ＝∠EOC ＝45°，∴AB ∥OE ，∴∠DBF ＝∠OEF ，∠DOE ＝90°，在△BDF 和△EOF 中，∴△BDF ≌△EOF (AAS)，∴S △BDF ＝S △EOF ，∴S阴影＝S 扇形DOE ＝90×π×12360＝π4. 第9题解图10. B 【解析】∵AC 与BD 是⊙O 的两条直径，∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ，∴∠DBA ＝∠BAC ＝36°，根据三角形的外角和定理得∠AOD ＝∠BOC ＝72°，∵矩形ABCD 对角线相等且互相平分，∴OA ＝OC ＝OD ＝OB ＝5 cm ，∴S △AOB ＝S △BOC ＝S △COD ＝S △AOD ，∴S 阴影＝S 扇形AOD ＋S 扇形BOC ＝2S 扇形AOD ＝2×72π×52360＝10π cm 2. 11. D 【解析】如解图，过点E 分别作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，则∠EPM ＝∠EQN ＝90°，由于E 点在正方形的对角线上，则EP ＝EQ ，则四边形EPCQ 为正方形，从而可得∠PEM ＋∠MEQ ＝∠QEN ＋∠QEM ＝90°，∴∠PEM ＝∠QEN ，∴△EPM ≌△EQN (ASA)，∴S 四边形EMCN ＝S 四边形EMCQ ＋S △EQN ＝S 四边形EMCQ ＋S △EPM ＝S 正方形EPCQ .∵EQ ∥AD ，∴EQ AD ＝CE CA ＝23，∴EQ ＝ 23a ，∴四边形EMCN 的面积为49a 2. 第11题解图12. 4 【解析】如解图，设过点E 的垂线交BC 于点H ，交CD 于点G ，过点F 的垂线交BC 于点I ，∵E 、F 是对角线AC 的三等分点，BC ＝3 cm ，∴IC ＝1 cm ，由正方形性质可得S 四边形ABHE ＝S 四边形AEGD ，S △FIC ＝12FI ·IC ＝12cm 2，∴S 阴影＝S △ABC －S △FIC ＝12×3×3－12＝4 cm 2. 第12题解图 13. 3 【解析】如解图，连接BD ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 和△BCD 是等边三角形，∴S阴影＝S △BCD ＝12BC ·DE ＝12×2×2×sin60°＝2×32＝ 3 cm 2. 第13题解图14. 3 【解析】如解图，AG 分别交BE 、CF 、BH 于点E 、F 、H.在三个正三角形中，∠ABE ＝∠BCF ＝∠CDG ＝60°，∴BE ∥CF ∥DG ，∴CF DG ＝AC AD ，即CF 6＝2＋42＋4＋6，解得CF ＝3，∴第二个三角形中的阴影部分三角形的底边长为4－3＝1，同理BE CF ＝AB AC ，即BE 3＝22＋4，解得BE ＝1，边长为4的等边三角形的高为4×32＝23，∵阴影部分的面积的和＝△BEH 的面积＋第二个等边三角形中阴影部分的面积，∴阴影部分的面积的和为12×1×23＝ 3. 第14题解图。

专题 阴影部分面积的计算一．选择题1. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，OD ∶DB ＝1∶2，OA ＝2，则图中阴影部分的面积为( )A. π2－23B. π4－23C. π2－223D. π－232. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，弧BD 是以点A 为圆心、AB 长为半径的弧，弧AC 是以点B 为圆心、BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为( )A.32 B. 3 C. 332D. 2 33. 如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝6，∠BCA ＝60°，连接OB ，则阴影部分的面积为( )A. 2πB. 3πC.3π2 D. 3π44. 如图，在边长为1的等边△ABC 中，两条弧AOB ︵与AOC ︵所对的圆心角均为120°，则由两条弓形及边BC 所围成的阴影部分的面积是( )A.33 B. 3 C. 312 D. 345. 如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则阴影部分的面积为( )第5题图A.33 B.233C. 3D. 36. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，∠BAD ＝120°，以点D 为圆心，AD 的长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，若BE 恰好平分∠ABC ，则图中阴影部分的面积为( )A. 123－4π3 B. 123－8π3C. 163－4π3D. 163－8π3二．填空题7. 如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC ＝30°，沿直线CB 将半圆折叠，点A落在点A′处，A′B和弧BC交于点D，已知AB＝6，则图中阴影部分的面积为8.如图，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆，连接OB，OF，BD，DF，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为9．(2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．(结果保留π)三．解答题10.如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝2，连接CA，将▱ABCD绕点A逆时针旋转至▱AB′C′D′，点D′在BA的延长线上，若CA⊥AB，（1）求AD的长（2）求图中阴影部分的面积11. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且∠ABC＝60°，点D为AO 上一点，将△DBC沿直线DC对折得到△DB′C，点B的对应点为B′，且B′C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E.(1)求证：B′D⊥AB；(2)当AB＝2时，求图中阴影部分面积．参考答案1. A 【解析】如解图，连接OC ，易得∠COB ＝45°，过点C 作CE ⊥OB 于点E ，则CE ＝CO ·sin45°＝2×22＝2，∵OA ＝2，OD ∶DB ＝1∶2，∴OD ＝23.∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △OCD ＝45π·22360－12×23×2＝π2－23.2. B 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 、△BCD 均是等边三角形．∴S 阴影＝S △BCD ＝34·BC 2＝34×22＝ 3.3. C 【解析】∵AC 为半圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°，又∵∠BCA ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOB 与△BOC 等底同高，即S △AOB ＝S △BOC ，∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝60π·32360＝3π2.4. C 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，线段OA 将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针绕点O 旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC ，它的面积等于△ABC 面积的三分之一，∴S 阴影＝13×34×12＝312.5. A 【解析】如解图，过点O 分别作AB 、BC 的垂线，垂足为点E 、F ，∵O 为等边三角形的中心，∴OE ＝OF ，S △OFC ＝S △OEA ，∴S 四边形OABC ＝S 四边形OEBF ＝13S 正三角形．∵S 正三角形＝12×2×2×sin60°＝3，∴S 阴影＝33.6. B 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝120°，∴∠D ＝60°，∵AD ＝4，∴AF ＝AD ·sin60°＝23，∵∠ABC ＝∠D ＝60°，BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝30°，∵∠C ＝∠BAD ＝120°，∴∠CEB ＝∠CBE ＝30°，∴EC ＝BC ＝AD ＝4，∴DC ＝DE ＋EC ＝8，∴S 阴影＝S ▱ABCD －S △BEC －S 扇形ADE ＝8×23－12×4×23－60π·42360＝123－8π3.7.3π2【解析】如解图，连接AD ，CD ，∵沿直线CB 将半圆折叠，点A 落在点A ′处，∴∠ABC ＝∠CBA ′＝30°，AB ＝A ′B ＝6，∴∠ABD ＝60°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝30°，∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，BD ＝12AB ＝12A ′B ＝12×6＝3，∴CD ＝BD ＝12A ′B ，∠A ′DC ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形A ′CD ＝60π·32360＝3π2.第7题解图8. 43π. 【解析】如解图，连接OC ，OE ，分别交BD ，DF 于点M ，N ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴∠BOC ＝60°，∠BCD ＝∠COE ＝120°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴∠OBC ＝∠OCB ＝60°，∴∠OCD ＝∠OCB ，∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDM ＝30°，BM ＝DM ，∴∠OBM ＝30°，S △DCM ＝S △BCM ，∴∠OBM ＝∠CBD ，∴OM ＝CM ，∴S △OBM ＝S △BCM ，∴S △OBM ＝S △DCM ，同理，S △OFN ＝S △DEN ，∴S 阴影＝S 扇形COE ＝120π×22360＝43π.9. π－110. 【解析】(1)AD 的长为22如解图，以点A 为圆心，AC ′长为半径画C ′E ︵，交AD ′于点E ，∵AB ＝2，∠B ＝45°，CA ⊥AB ，∴AC ＝AB ＝CD ＝2，∠CAD ＝45°，AD ＝AC 2＋DC 2＝22＋22＝2 2（2）由旋转的性质可知∠DAD ′＝45°，S △ACD ＝S △AC ′D ′，S 扇形CAC ′＝S 扇形C ′AE ，∴S 阴影＝(S 扇形DAD ′－S △AC ′D ′)＋(S △ACD －S扇形CAC ′)＝S扇形DAD ′ －S扇形CAC ′＝S扇形DAD ′ －S扇形C ′AE ＝45π×（22）2360－45π×22360＝π2.11.(1)证明：由题意得：∠B′CB ＝∠B′CO ＋∠OCB ＝90°＋60°＝150°. ∵△DBC 沿直线DC 对折得到△DB′C ， ∴∠DCB ＝21 ∠B′CB ＝ 21×150°＝75°. 在△DBC 中，∠CDB ＝180°－∠ABC －∠DCB ＝180°－60°－75°＝45°. ∴∠B′DB ＝2∠CDB ＝2×45°＝90°，∴B′D ⊥AB ；(2)解：∵AB ＝2，△OBC 是等边三角形， ∴OC ＝OB ＝BC ＝B′C ＝1. ∵∠B′CO ＝90°， ∴∠B′OC ＝45°∴S 阴影＝S △B′CO －S 扇形EOC ＝21-8。