讲不定积分与定积分的各种计算方法

定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。

1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。

如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。

因此，∫f(x)dx = F(x) + C。

2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。

(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。

(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。

(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。

二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。

1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。

定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。

当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。

2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。

定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1）三角代换
2）根幂代换
3）倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）
8. 降幕法
二、定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
四、定积分的估值及其不等式的应用
4. 等价无穷小
1.不计算积分，比较积分值的大小
1) 比较定理：若在同一区间［a,b ］上，总有
f(x)>=g(x )则力⑴必』》叫x
2) 利用被积函数所满足的不等式比较之
a)
smx /
b)当 0<x<兀/2 时，2 兀< 'V <1
估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在［a,b ］上连续，且其最大
值为M ，最小值为m 则
3.具体函数的定积分不等式证法
1) 积分估值定理
2) 放缩法
3) 柯西积分不等式
［j f(x)g(x)dx *2
rb rb
< I (/(x)) * 2dx 5(x)%2dx
4. 抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2. M(b-a)<='丿㈤处
v=M(b-a)
四、定积分的估值及其不等式的应用
2）积分中值定理
3）常数变易法
4）利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法。

不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。

不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。

本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。

一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。

不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。

不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。

2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。

3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。

4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。

常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。

二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。

定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。

定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。

2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。

常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。

3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。

三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。

1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。

2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。

宜宾学院11级毕业论文常见求定积分与不定积分的方法学院: 数学学院年级: 11级励志班学号: 110203001姓名: 丁云红专业: 数学与应用数学指导老师: 刘金兴二零壹伍年六月目录摘要 (2)关键词 (2)前言 (2)1.定积分 (2)1.1定义 (2)1.2方法 (3)1.2.1定义法 (3)1.2.2定积分法则 (3)1.2.3定积分区间性质求解定积分 (4)1.2.4积分中值定理 (6)1.2.5牛顿—莱布尼茨公式 (7)1.2.6定积分换元积分法 (8)1.2.7定积分分部积分法 (11)2.不定积分 (13)2.1定义 (13)2.2性质 (13)2.3方法 (14)2.3.1不定积分公式法 (14)2.3.2不定积分换元积分法 (16)2.3.3不定积分分部积分法 (20)2.3.4有理数和可化为有理数的不定积分求解方法 (22)参考文献 (28)摘要本文介绍了定积分与不定积分的概念性质，主要总结了求解定积分与不定积分常见的方法：积分基本法则、积分中值定理、牛顿—莱布尼茨公式、直接积分法、换元法、分部积分法，并结合实际例题加以说明，以便于在解题时能快速选择出最佳的解题方法。

关键词 定积分，积分法，换元法，分部积分法前言微积分是高等数学中非常重要的一个知识部分，其中定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题，定积分和不定积分的计算也是大学生要学习的基础数学知识，是要学习和掌握的．众所周知，在学习数学计算时不但追求准确性，还有快速性.同样的对于一个积分的计算，我们首先要求要有准确性，其次是要有快速性，而这两个目的的实现就需要正确的方法和巧妙的技巧．本文主要以求解定积分和不定积分的各种常见方法为主线，对其进行分别概述以及相应的举例说明，从而得出对于面对不同的题型时运用合适的方法来快速解决问题.1.定积分1.1定义设)(x f 是定义在闭区间[]b a ,上的一个有界函数，对于[]b a ,的任意取分点{}n i i x 0=，作成一种划分b x x x x a P n =<<<<= 210:，并任意取点[]i i ix x ,1-∈ξ.记小区间[]i i x x ,1-的长度为1--=∆i i i x x x ，并令)(max 1i ni x ∆=≤≤λ，若当0→λ时，极限i ni i x f ∆∑=→1)(lim ξλ存在，且极限值即与划分P无关，又对i ξ的取法无关，则称)(x f 在[]b a ,上Riemann可积。

定积分与不定积分的计算方法与应用积分是微积分的重要概念之一，分为定积分和不定积分。

它们在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍定积分和不定积分的基本概念、计算方法以及在实际问题中的应用。

一、定积分的概念与计算方法定积分是对连续函数在一个闭区间上求和的极限过程。

为了更好地理解定积分的概念，我们以一个具体的例子开始。

假设有一辆以恒定速度行驶的汽车，我们希望计算在一个特定时间段内汽车行驶的总路程。

这个问题可以通过定积分来解决。

首先，我们将时间段划分成许多小的时间段，每个小时间段的长度为Δt。

然后，我们假设在每个小时间段Δt内，汽车的速度保持不变。

因此，每个小时间段内汽车行驶的路程可以表示为速度乘以时间，即v(Δt)。

将所有小时间段内的路程累加起来，就可以得到总路程。

当Δt 趋近于0时，这个累加过程就变成了定积分。

定积分的计算公式为：∫abf(x)dx = limΔt→0 Σf(x)Δt其中，a和b分别表示积分的上下限，f(x)表示被积函数。

具体的计算方法有很多种，常见的有换元法、分部积分法、简单替换和直接计算等。

根据被积函数的形式和计算的难易程度，我们可以选择不同的计算方法。

二、不定积分的概念与计算方法不定积分是对函数的积分，是定积分的逆过程。

不定积分可以看作是具有一定自由度的积分，在计算中引入一个常数项。

不定积分的计算方法主要有几种常见的技巧。

其中，最基本的方法是反复使用导数的基本性质。

即在求解不定积分时，我们通过寻找某个函数的导数为被积函数来求解不定积分。

例如，如果被积函数为f(x)，我们需要找到一个函数F(x)，它的导数等于f(x)，即F'(x) = f(x)。

那么不定积分∫f(x)dx就可以表示为∫F'(x)dx = F(x) + C。

这里，C表示常数项，它表示对于不定积分的任意一个解，我们可以通过改变常数项的大小得到其他的解。

三、定积分和不定积分的应用定积分和不定积分在实际问题中有着广泛的应用。

泰山学院信息科学技术学院教学设计数值剖析教研室课程名称高等数学研究讲课对象讲课题目第八讲不定积分与定积分地各样计算方法课时数2教学设计经过教学设计使学生掌握不定积分与定积分地各样计算方法 .目地重1 不定积分地观点点不定积分地计算2难点3 定积分地计算第八讲不定积分与定积分地各样计算方法1.不定积分1.1不定积分地观点原函数；原函数地个数；原函数地存在性；定积分；一个重要地原函数.1.2不定积分地计算教(1> 裂项积分法； (2> 第一换元积分法； (3> 第二换元积分法学提(4> 分部积分法纲2.定积分(1> 基本积分法；(2> 切割地区办理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(3> 利用函数地奇偶性化简定积分(4>一类定积分问题教教学设计过程与内容案后记第八讲不定积分与定积分地各样计算方法一、不定积分1不定积分地观点间原函数：若在区间原函数地个数:若上地原函数；若可见,若,则上 F ( x) f (x) ,则称 F ( x) 是地一个原函数是在区间上地一个原函数,则对,也是在区间上地原函数,则必有地全体原函数所成会合为{│Ｒ}...都是在区原函数地存在性:连续函数必有原函数.不定积分：地带有随意常数项地原函数称为地不定积分.记作 f ( x)dxf ( x) 在区间上连续 , a I ,则x一个重要地原函数：若 f (t) dt 是地一个原函数 .a2不定积分地计算(1> 裂项积分法例 1：x 41dx x412dx (x 212)dxx 21x21x21x3x 2 arctan x C .3例 2：dx cos2x sin 2 x dx(csc2x sec2 x)dxcos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x例 3：dx( x21)x2dx dx dx1arctan x C2 ( x21)x2 ( x21)x2 1 x xx2(2> 第一换元积分法有一些不定积分 , 将积分变量进行适合地变换后 , 便可利用基本积分表求出积分 . 比如 , 求不定积分 cos 2xdx ,假如凑上一个常数因子2,使成为cos 2xdx 12 xdx11cos x cos2xd 2x sin 2x C 222例 4：3dx d x2d x2arctan x C x 1 x2x211x例 5：dx1 d 111 d1x 2 1 x2 1 x2x x1x12x22121111211 d1 d 122x2x x 11x11 2 12例 6：arctan xx(1dxx)2221C11xCxarctan x t x arctant 2 1 x d x21 t 2dt2 arctant d (arctant ) (arctgt ) 2 c (arctg x )2 c .(3> 第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式地不定积分, 代换方法以下：被积函数包括n ax b ,办理方法是令n ax b t,x1(t n b) 。

不定积分与定积分的计算1.不定积分1.1不定积分的概念原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.原函数的个数: 若是在区间 上的一个原函数, 则对，都是在区间 上的原函数；若也是在区间 上的原函数，则必有.可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。

记作⎰dx x f )(一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰xa dt t f )(是的一个原函数。

1.2不定积分的计算(1)裂项积分法例1：C x x x dx x x dx x x dx x x ++-=++-=++-=++⎰⎰⎰arctan 23)121(121113222424。

例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 22222222 例3：222222(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。

例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =•=⎰⎰⎰C x +=2sin 21 例4：()3221C===+例5：11x x⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭2112x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1222111112d x x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰12211212C Cx ⎡⎤⎛⎫=-⋅++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t tx d x x dx x x xx t 21arctan 21arctan 2)1(arctan ⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,b t ax t b ax nn -==+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或;被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =;被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算()220a x dx a ->⎰解：令sin ,,arcsin ,22xx a t t t a x a aππ=-≤≤=-≤≤则，且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而22a x dx -⎰=()222cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭由图2.1知22sin cos xa x t t a -==所以22a x dx -⎰=2222arcsin 22a x a xa x C a -+⋅+=222arcsin 22a x x a x C a +-+例8:⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dtdt t t dt t x x dxxt 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-++-=6361ln 216.(4)分部积分法当积分⎰)()(x dg x f 不好计算,但⎰)()(x df x g 容易计算时,使用分部积分公式:)()()()()()(⎰⎰-=x df x g x g x f x dg x f .常见能使用分部积分法的类型:(1)⎰dx e x x n ,⎰xdx x n sin ,⎰xdx x n cos 等,方法是把x x e x cos ,sin ,移到d 后面,分部积分的目的是降低x 的次数(2)⎰xdx x m n ln ,⎰xdx x m n arcsin ,⎰xdx x m n arctan 等,方法是把n x 移到d 后面,分部几分的目的是化去x x x arctan ,arcsin ,ln .例9:2222x x x x x e dx x de x e e xdx ==-⋅=⎰⎰⎰2222()x x x x x e xdx x e xe e dx -=--=⎰⎰2(22)x e x x C-++例10:2ln 111ln ln ln x dx xd x d x x x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰211ln (ln 1)dx x x Cx x x -+=-++⎰例11: 23(16)arctan arctan (2)x xdx xd x x +=+=⎰⎰()33222arctan 1x x x x x dx x ++-=+⎰()322arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫+--=⎪+⎝⎭⎰()()32212arctan ln 12x x x xx C +-+++例12: ⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos = ⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，解得 ⎰++=c x x xdx 2sin 412cos 2. 例13: ⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23=⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32 =⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec ,解得 ⎰=xdx 3sec c tgx x xtgx +++|sec |ln 21sec 21. 以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧 例14 设函数)(x f 的一个原函数是,sin xx求⎰'dx x f x )(。

不定积分和定积分1.简介微积分是高等数学的重要分支，分为微分学和积分学两部分。

其中，积分学主要包括不定积分和定积分两个部分。

不定积分是求函数的原函数，定积分是求曲线下的面积或空间体积。

本文将对不定积分和定积分进行阐述和比较。

2.不定积分2.1定义不定积分用符号$\int$表示，表示对一个函数进行求导后的反过程，称为原函数。

其中，被积函数为f(x)，不定积分表示为$\int f(x)dx$。

2.2基本公式在求不定积分时，需要掌握一些基本公式，如：$(k)'=0$，$(x^n)'=nx^{n-1}$，$(sinx)'=cosx$，$(cosx)'=-sinx$，$(e^x)'=e^x$，$(lnx)'=\dfrac1x$，$(tanx)'=sec^2x$等，还需要掌握不定积分的基本性质，如线性性、逆向加减法、逆向乘法、常数因子的提出和合并等基本规律。

2.3求解方法不定积分的求解方法比较灵活，可以通过换元、分部积分、凑微分等方法进行求解。

比如，对于有理函数，可以先进行分式分解，再分别求积分；对于无理函数，可以通过一些特殊方法实现求解。

3.定积分3.1定义定积分用符号$\int_a^bf(x)dx$表示，表示求解在x=a和x =b之间的曲线所围成的面积，其中被积函数为f(x)。

3.2基本公式在求定积分时，也需要掌握一些基本公式，如：$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$，$\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$等。

3.3求解方法定积分可以通过几何直观法、牛顿-莱布尼茨公式，定积分的性质、定积分的基本公式、变量代换法、分部积分法等方法进行求解。

4.不定积分与定积分的比较不定积分和定积分虽然都是微积分的重要部分，但是在应用中具有不同的作用。

不定积分主要用来确定函数的原函数，从而在一些复杂的函数计算中起到了重要的作用。