复合函数的概念

复合函数的概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记做y=f(g(x)).

复合函数的导数：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)即y=f（g（x））的导数间的关系为

y'=f'（g（x））*g'（x）

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

例题：y=(2x^3-x+1/x)^4

设u=2x^3-x+1/x,y=u^4,

则y'=(u^4)'*u'=4u^3*(6x^2-1-1/x^2)

=4(2x^3-x+1/x)^3*(6x^2-1-1/x^2)[1]

求导法则与公式

1.y=c(c为常数) y'=0

2.y=x^n y'=nx^(n-1)

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/(cosx)^2

8.y=cotx y'=-1/(sinx)^2

9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y'=1/(1+x^2)

12.y=arccotx y'=-1/(1+x^2)

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1.y=f[g(x)], y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』

2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2

3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

与导数的关系

复合函数对自变量的导数，等于已知函数

对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！

复合函数的奇偶性

复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:

若函数f(x), g(x), f[g(x)] 的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g(x), y=f(u) 的奇偶性得到y=f[g(x)]的奇偶性的规律是:

u=g(x) 奇函数奇函数偶函数偶函数

y=f(u) 奇函数偶函数奇函数偶函数

y=f[g(x)] 奇函数偶函数偶函数偶函数

即当且仅当u=g(x)和y=f(x) 都是奇函数时,复合函数y=f[g(x)]是奇函数.

复合函数的单调性

若函数u=g(x)，在区间[a,b]上是单调函数, 函数y=f(u)在[g(a),g(b)]或[g(b),g(a)]上也是单调函数,那么复合函数y=f[g(x)]在区间[a,b]上是单调函数,其单调性规律是:

u=g(x) 增函数增函数减函数减函数

y=f(u) 增函数减函数增函数减函数

y=f[g(x)] 增函数减函数减函数增函数

即u=g(x),y=f(u)增减性相同时,y=f[g(x)]为增函数,u=g(x),y=f(u)增减性相反时,y=f[g(x)]为减函数.