《参数方程的概念》

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修一、教学目标：1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。

2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。

3. 通过对参数方程的学习，提高学生的数学思维能力和创新意识。

二、教学内容：1. 参数方程的定义及基本形式。

2. 参数方程与普通方程的互化。

3. 参数方程在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：参数方程的概念，参数方程与普通方程的互化。

2. 难点：参数方程在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索参数方程的概念及应用。

2. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解参数方程与普通方程的关系。

3. 运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为参数方程求解。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾普通方程的知识，激发学生对参数方程的兴趣。

2. 新课讲解：讲解参数方程的定义、基本形式及与普通方程的关系。

3. 案例分析：分析参数方程在实际问题中的应用，如物体的运动轨迹、电路问题等。

4. 练习与讨论：学生分组讨论，尝试将实际问题转化为参数方程求解，教师给予指导。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生深入研究参数方程的性质和应用。

六、教学评估：1. 课后作业：布置有关参数方程的概念理解、形式转换和实际应用的练习题，以巩固所学知识。

2. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对参数方程的理解程度，以及能否将实际问题转化为参数方程。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们在解决问题时的创造性思维。

七、课后作业：1. 复习参数方程的概念和基本形式。

2. 完成课后练习题，包括将普通方程转化为参数方程，以及运用参数方程解决实际问题。

3. 探索参数方程在其他学科中的应用，如物理学、工程学等。

八、教学资源：1. 教材：新人教A版选修《高中数学》。

2. 多媒体课件：用于展示参数方程的图形和实例。

2[1]1《参数方程的概念》教案(新人教选修4-4)精品教案参数方程目标点击：1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义；4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.基础知识点击：1、曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标某,y都是某个变数t 的函某f(t)数，(1)并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(某,y)2、求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1)设点：建立适当的直角坐标系，用(某,y)表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)选参：选择合适的参数；(3)表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与某，y的关系式，并由此分别解出用参数表示的某、y的表达式.(4)结论：用参数方程的形式表示曲线的方程3、曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（某,y）的方程F（某,y）＝0叫做曲线C的普通方程.4、参数方程的几个基本问题(1)消去参数，把参数方程化为普通方程.(2)由普通方程化为参数方程.(3)利用参数求点的轨迹方程.(4)常见曲线的参数方程.5、几种常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程(ⅰ)过点P0(某0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程是某某0tco（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P(某,y)yytin0为直线上任意一点.b(ⅱ)过点P0(某0,y0)，斜率为k的直线的参数方程是a某某0at（t为参数）yy0bt（2）圆的参数方程精品教案某rco(ⅰ)圆某2y2r2的参数方程为(为参数)的几何意义为“圆心角”yrin(ⅱ)圆(某某0)2(yy0)2r2的参数方程是某某0rco（为参数）的几何意义为“圆心角”yyrin0（3）椭圆的参数方程某aco某2y2(ⅰ)椭圆221(ab0)的参数方程为（为参数）ybinab(某某0)2(yy0)21(ab0)的参数方程是(ⅱ)椭圆22ab某某0aco（为参数）的几何意义为“离心角”yy0bin(4)双曲线的参数方程某aec某2y2(ⅰ)双曲线221的参数方程为（为参数）ybtgab22(某某0)(yy0)1的参数方程是(ⅱ)双曲线22abc某某0ae（为参数）的几何意义为“离心角”gyy0bt（5）抛物线的参数方程y22p某(p>0)的参数方程为某2pt2（t为参数）其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜y2pt率的倒数（顶点除外）.考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质.题型一般为选择题、填空题.一、参数方程的概念一）目标点击：二）概念理解：精品教案1、例题回放：问题1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题）已知圆C的方程为(某2)2y21，过点P1(1,0)作圆C的任意弦，交圆C于另一点P2,求P1P2的中点M的轨迹方程.书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？k22某1k2，消去k,得(某3)2y21，因M与设M(某,y)，由24yk1k231P1不重合，所以M点的轨迹方程为(某)2y2（某1）24解法六的关键是没有直接寻求中点M的轨迹方程F(某,y)0,而是通过引入第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了某与y的关系式，从而求得M点的k22某1k2（1）和(某3)2y21（某1）轨迹方程.实际上方程（2）都表示k24y21k同一个曲线，都是M点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k是参数，方程（2）是曲线的普通方程.由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律，得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意义是什么？参数的取值范围？通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：某f(t)1）形如的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置(某,y)yg(t)和时间t的对应关系.某f(t)2）我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如的方程组表示yg(t)质点的运动规律.3)参数t的取值范围是由t的物理意义限制的.2、曲线的参数方程与曲线C的关系某f(t)在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程tD（某）与曲线yg(t)C满足以下条件：（1）对于集合D中的每个t0，通过方程组（某）所确定的点（f(t0),g(t0)）都在曲线C上；精品教案某f(t0)（2）对于曲线C上任意点（某0,y0），都至少存在一个t0，满足0 yg(t)00某f(t)则曲线C参数方程tDyg(t)某f(t)yg(t)恰当选择参数消去参数参数方程普通方程；普通方程参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.某2y2222问题3：方程某ya（a0）；方程22（0）是参数方程吗？ab参数方程与含参数的方程一样吗？某2y2222方程某ya（a0）表示圆心在原点的圆系，方程22（0）ab表示共渐近线的双曲线系。

课题：§2.1.1参数方程---参数方程的概念（第一课时）吴代军（恩施高中.恩施市445000 ）一、教学设计1．教学内容解析本课内容为北师大2003课标版《选修4-4》第二讲“参数方程”的起始课《参数方程的概念》，课本中给出的问题情境是“投铅球”，由于涉及投掷点的高度问题，对学生而言难度略大，从而构置学生熟悉的运动项目--“跳远”这一情景，层层深入的探究“跳远”这一运动项目的数学内涵，较为自然的生成“参数方程概念”，比较参数方程和普通方程在研究同一问题的数学直观与简洁美，通过学生生活问题数学抽象，再经过严密的逻辑推理，建立恰当的数学模型，进行合理的数学运算，进而培养学生良好的数学素养.2.2019年考试说明和教学大纲考试说明指出：要求学生“了解参数方程并了解参数方程参数的意义”，在对学生的能力层次要求上属于“了解”的程度，这就要求学生能根据问题的条件，学会引进恰当的参数建立参数方程，体会具体问题中参数的意义.f x y教学大纲指出：参数方程不仅可表示曲线，还可描绘事物运动变化的规律，对于较难建立(,)0的方程用参数方程描绘,x y间的联系更为方便，这就让我们感受到了学习参数方程的必要性。

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点：根据问题情境和题设条件引入合适的参数，建立参数方程，并体会参数的意义.3．学生学情诊断课堂主体对象为湖北省重点中学、省级示范高中恩施高中，学生有较强的探究意识和学习能力，基于本节内容为学生对函数关系、运动变化、实际问题的建模已经有较为深刻的认知，已经学习了“曲线与方程”，探究动点轨迹方程有理性的认识，由此对本节课“参数方程的概念”的知识建构作了较好的铺垫.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点：根据具体问题选取恰当的参数，建立曲线的参数方程，确定参数的范围.4．教学策略分析本课型为概念课，旨在通过实际情景问题的内涵挖掘，呼朋引伴式的合作与探究，从而达成对“参数方程的概念”新知的建构．在较强的生活背景下将本课时的帷幕渐渐拉开、循序渐进而又螺旋上升的感悟中生成知识，学生体会到数学源于生活，数学是有用的，展“为有源头活水来”之美．鉴于上述分析，本节课的教学策略确定为：情境教学法、发现式教学、启发式教学，为激发学生的学习兴趣，提升课堂效率,增强直观形象，需采用视频投放、实物投影仪、PPT.5．教学基本流程反思凝练)(cos 21sin 020为重力加速度为参数，g t t v x gt t v y ⎪⎩⎪⎨⎧=-=αα二．课堂实录6.1 情境创设奥运会的田赛项目急行跳远起源于古希腊奥林匹克运动，首先，我们欣赏一个急行跳远的视频片段，请同学们猜想这样一个问题：若某运动员初速度0v 一定的情况下，以多大的倾斜角α起跳，会跳得更远呢？ 你能建构这一运动轨迹的函数关系(,)0f x y =吗？【设计意图】创设学生熟悉的运动项目“急行跳远”作为引入，从而激发学生兴趣；通过分析“急行跳远”这一运动项目，发现由于水平位移量x 和高度y 是两种不同的运动合成，因此直接建立,x y 所要满足的函数关系式很困难，从而可建立水平位移量x 和高度y 两个方向上的等量关系，比直接列出x ，y 的函数关系要方便得多，为引出“参数方程”的必要性做好铺垫.并为学生对北师大版习题2-1的第一题“摩托车飞跃黄河”这一实际问题的参数方程的刻画有了初步的认知.6.2 第一篇章 追本溯源直观想象 猜想验证为此，我们建立以起跳点为坐标原点的直角坐标系（如此建系较为直观），据物理学可知，以初速度0v ，与水平方向成α起跳后，其运动轨迹由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的反向重力加速度而合成，易得：同学能否验证自己的猜想呢？能否通过逻辑推理证明自己猜想的真伪？【设计意图】通过对“急行跳远”这一情景的挖掘，让同学们提出数学猜想、并通过逻辑推理验证自己的猜想，从而收获学习的乐趣，提升我们学生的数学核心素养；更为重要的是，从而为引出“参)(cos 21sin 020为重力加速度为参数，g t t v x gt t v y ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-⋅=αα数方程的概念”埋下伏笔.探中抽知 新知生成通过对“急行跳远”的探究，你能求它的普通方程么？通过对比研究我们发现了什么？参数方程的定义：如果曲线C 上任意一点P 的坐标y x ,都可以表示为变量t 的函数：{)()(t f x t g y ==， 反之，对于t 的每一个允许值，由函数式{)()(t f x t g y ==所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，则方程：{为参数）（t t f x t g y )()(==叫做曲线C 的参数方程,变量t 为参数.相比参数方程而言，直接给出坐标y x ,的关系称为普通方程.注：1、一般地，参数（...,,θαt ）是有条件限制的；2、参数是联系y x ,的桥梁，可有物理意义、几何意义，也可无明显的意义；3、对应关系.【设计意图】通过对特殊问题的研究，进而理性分析一般问题所蕴含的数学本质，培养学生归纳的数学能力，完成由感性到理性的新知识--“参数方程的概念”的认知建构，较为深刻的体会参数方程这一定义的函数本质.6.3 第二篇章 探究展示自主探究一：探求曲线的参数方程问题1：汶川地震，举国上下，万众一心，为灾区人民第一时间配给救援物资，某运输机在离灾区地面m 490的上空以h km /720匀速直线飞行，为使得救援物资准确投放灾区指定的安置点（不计空气阻)/8.9(2200214902s m g t t x gt y =⎪⎩⎪⎨⎧=-=为参数，力），飞行员如何确定投放时机？（重力加速度2/8.9s m g =）成果展示：剖析思维过程,并通过实物投影展示其解答过程！此处参数t 的意义是什么呢？范围如何选择？（追问：...）飞行员确定投放时机为：距离投放安置点水平距离2000米处投放物资可准确投放.【设计意图】将教材问题作适度的加工和处理，培养学生的数据处理能力，有利于学生对新知的理性认知，成果的展示让学生感受学习习得性成功的体验，与此同时，以地震作为问题背景，有利于培养学生的同情心、民族感，渗透数学学科的人文精神.合作探究二：参数方程概念辨析问题2-1：下列方程可看成参数方程的是（ ）)(012.)(02.22为参数为参数m mx y x B t t y x A =--+=-+{)(.)0(.cos 2cos 232为参数为参数，θθθ===-=>⎩⎨⎧x y a x a y D a a C 问题2-2：曲线的参数方程{为参数）ααα(sin 22cos ==x y ，则参数πα611=对应点的坐标是（ ） )21,1.(A )23,1.(-B )21,1.(-C )23,21.(-D 问题2-3：下列各点可能在方程{)232(2sin cos ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈==ππαααα，为参数，x y 所表示的曲线上的是（ ） )22,1.(A )21,1.(--B )21,23.(-C )23,21.(-D【设计意图】通过师生学生独立自主探究与合作探究相结合，使学生体验探究问题中比较、分析、推理、判断、辨析，使其对参数方程的概念有更进一步的深刻的理解，感受曲线的参数方程与点之间的对应关系，为后续圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程的学习谱写了序章.小组展示三：已知一个量求参数方程问题3（北师大版 选修4-428P 练习2 改编） 设2()cos y t t=为参数，曲线C ：229436y x -=. (1)求曲线C 的参数方程；(2)已知参数4t π=-对应的点(,)M a b 在曲线C 上，求a 的值.【设计意图】通过回归课本的典型问题及其对教材问题的深加工，让学生重视教材的问题原型，“饮水思源”，教材是我们研究问题和培养学生能力和核心素养的“根”，而枝繁叶茂、异彩纷呈的问题均源于此.6.4第三篇章 课堂小结 反思凝炼通过本节课的学习，你学习了那些知识？渗透了那些的数学思想？体现了什么样的数学核心素？ （请学生谈自己的学习体会）【设计意图】通过让学生畅所欲言的谈方法、谈收获、谈体验，使得学生学会学习，学会总结，学会反思，学会表达，进而养成学生良好的反思、小结的学习习惯，为学生的终生发展奠基.6.5课后作业 分层练习基础训练：完成对应章节的《课时作业》能力提升：（北师大课标版26P “问题提出”）一位铅球运动投掷铅球的瞬间铅球球心距离地面高度为h ，初速度为0v 且与水平方向成α角投掷铅球.(Ⅰ)请同学们探究该铅球的运动轨迹的参数方程；(Ⅱ)并研究以多大的倾斜角投掷时，铅球抛掷的水平距离最远？（忽略空气阻力）;(Ⅲ)试分析投掷铅球与急行跳远这两项运动的联系和区别？并举例说明我们身边还有哪些案例属于这类问题，并尝试给出最优化的研究方案.【设计意图】分层训练旨在尊重每一个学生的独立有个性化的发展，尊重他们的认知差异，在学生的最近发展区建构知识，给出能力提升这一问题，意在首尾呼应，让学生带着问题来，带着思考离，起到“言有尽而意无穷”的数学教学的延伸功能，与此同时，开放性问题的设计让学生充分发挥数学想象、通过逻辑推理、验证自己猜想的过程，完成由感性到理性的升华.6.6板书设计一览无余三、教后反思：①反思课前预案：②反思课堂活动：③反思教后改进：四、教学点评：。

参数方程的概念(教案)第一章：引言1.1 目的：使学生理解参数方程的概念，并了解其在实际问题中的应用。

1.2 内容：引入参数方程的概念。

举例说明参数方程在实际问题中的应用。

1.3 教学方法：通过讲解和举例，引导学生理解参数方程的概念，并激发学生对参数方程应用的兴趣。

1.4 教学工具：投影仪、黑板、教学PPT。

第二章：参数方程的定义2.1 目的：使学生理解参数方程的定义，并能正确写出参数方程。

2.2 内容：讲解参数方程的定义。

引导学生通过示例写出参数方程。

2.3 教学方法：通过讲解和示例，引导学生理解参数方程的定义，并培养学生的实际操作能力。

2.4 教学工具：黑板、教学PPT。

第三章：参数方程的图像3.1 目的：使学生能绘制参数方程的图像，并理解参数方程与普通方程的区别。

3.2 内容：讲解参数方程的图像特点。

引导学生通过绘制参数方程的图像，理解参数方程与普通方程的区别。

3.3 教学方法：通过讲解和绘图，引导学生理解参数方程的图像特点，并通过对比加深对参数方程与普通方程区别的理解。

3.4 教学工具：投影仪、黑板、教学PPT。

第四章：参数方程的应用4.1 目的：使学生了解参数方程在实际问题中的应用，并能解决相关问题。

4.2 内容：举例说明参数方程在实际问题中的应用。

引导学生通过参数方程解决实际问题。

4.3 教学方法：通过讲解和示例，引导学生了解参数方程的应用，并培养学生的实际问题解决能力。

4.4 教学工具：黑板、教学PPT。

第五章：总结与拓展5.1 目的：使学生对参数方程的概念和应用有一个全面的理解，并激发学生对参数方程进一步学习的兴趣。

5.2 内容：对本章内容进行总结。

提出与参数方程相关的拓展问题。

5.3 教学方法：通过总结和提问，帮助学生巩固所学内容，并激发学生的学习兴趣。

5.4 教学工具：黑板、教学PPT。

第六章：简单曲线族的参数方程6.1 目的：使学生了解简单曲线族的参数方程，并能识别和应用。

曲线的参数方程1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．1．下列方程中可以看作参数方程的是( )A ．x －y －t ＝0B ．x 2＋y 2－2ax －9＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2y ＝2t －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝cos θ解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2＝t 2不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义．2．点M (2，y 0)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t 2－1，(t 为参数)上，则y 0＝________．解析：将M (2，y 0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t y 0＝t 2－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1y 0＝0.答案：03．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，判断点A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6.参数方程的概念已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t y ＝2t 2＋1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．[解] (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1. 解得：t ＝0.所以点M 1在曲线C 上． 同理：可知点M 2不在曲线C 上．(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1. 解得：t ＝2，a ＝9.所以a ＝9.(1)满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．1.曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，所以曲线C 与y 轴的交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．(1)判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：(1)把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上．(2)令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.求曲线的参数方程如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数，(0<t <a )． 因为|OA |＝a 2－t 2， 所以|BQ |＝a 2－t 2.所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2y ＝t，(t 为参数，0<t <a )． 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0<θ<π2)，则∠ABO ＝π2－θ. 在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. 所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ.(θ为参数，0<θ<π2)．求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60·t ，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .(t 为参数)．1．对参数方程概念的理解(1)曲线的参数方程中含有三个变量，并且以方程组的形式出现，其中x ，y 表示点的坐标，参数t 为中间变量，起着间接联系x ，y 桥梁的作用．(2)参数方程中，x ，y 都是关于参数t 的函数．反之，如果x ，y 虽然都能用t 表示，但不都能表示成t 的函数，它就不是参数方程．(3)曲线上任一点与满足参数方程的有序数对(x ，y )是一一对应关系．从数学的角度看，曲线上的任一点M 的坐标(x ，y )由t 唯一确定．当t 在允许值范围内连续变化时，x ，y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹．(4)在表达参数方程时，必须指明参数的取值范围，参数的取值范围不同，所表示的曲线可能不同．2．求曲线的参数方程(1)曲线的参数方程不是唯一的．同一条曲线由于所选取的参数不同，其参数方程的形式往往也不同．反之，形式不同的参数方程它们表示的曲线可以是相同的．(2)求曲线的参数方程，关键是选取参数．通常要结合实际问题和曲线形状选取时间、线段长度、方位角、旋转角等具有明确的物理意义或几何意义的量为参数，这样做有利于应用参数方程解决问题，当然也可以任意选取一个没有明确的实际意义的量为参数．(3)引入参数的同时，必须明确参数的取值范围．1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0 解析：选D.选项A 表示x 轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B 表示的是y 轴；选项C 表示x 轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D 可以作为x 轴的参数方程．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12解析：选C.当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示的曲线上．3．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2，(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．解析：由t ＋1t＝2解得t ＝1.答案：14．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)，M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．解：(1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，所以t ＝0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)因为点M (2，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. 所以t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.[A 基础达标]1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(0≤θ<2π)，则参数θ＝5π3所对应的点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫532，52解析：选A.θ＝5π3时，x ＝5×cos 5π3＝52，y ＝5×sin 5π3＝－532，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，故选A.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．线段C ．圆D ．半圆解析：选C.因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以普通方程为x 2＋y 2＝1.故选C.3．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．1解析：选B.根据题意，将点P 的坐标代入曲线方程中得⎩⎪⎨⎪⎧4＝t 2，a ＝2t⇒⎩⎨⎧t ＝8，a ＝4 2.故选B.4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最小值是( )A ．4B ．25C ．36D ．6解析：选A.因为(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋10sin(θ－φ)(且tan φ＝34)．所以当sin(θ－φ)＝－1时，有最小值4，故选A.5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2ty ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝－t解析：选A.设(x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得：(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t.6．若x ＝t －1(t 为参数)，则直线x ＋y －1＝0的参数方程是____________． 解析：将x ＝t －1代入x ＋y －1＝0得y ＝2－t ，所以直线x ＋y －1＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)7．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．答案：A (1，3)8．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的序号是________．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝－t 2；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin ty ＝1sin t ；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t.解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：[0，＋∞)，[－1，1]，[－1，1]，故①②③均不正确；而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④9．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.这就是所求的轨迹方程．10.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θy ＝2a tan θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[B 能力提升]11．已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________． 解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)12．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为____________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .所以参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t y ＝1＋12t(t 为参数)13．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数，且t ∈R)中，若f (t )和g (t )都是奇函数，请判断该曲线所对应函数的奇偶性．解：设(x ，y )是参数方程曲线上的任意一点，则存在参数t 使得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，所以－x ＝－f (t )，－y ＝－g (t )． 又f (t )、g (t )均为奇函数， 所以－x ＝f (－t )，－y ＝g (－t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝f (－t )－y ＝g (－t )，即点(－x ，－y )也在曲线上，所以该曲线的图象关于原点对称． 所以该曲线对应的函数为奇函数．14．(选做题)试确定过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．设中点P (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0.所以y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2kk 2＋4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．。

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修一、教学目标：1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。

2. 让学生掌握参数方程的求解方法，能够将实际问题转化为参数方程进行求解。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 参数方程的定义：引入参数方程的概念，让学生了解参数方程的形式。

2. 参数方程的求解方法：讲解参数方程的求解方法，引导学生掌握求解参数方程的技巧。

3. 实际问题与参数方程：通过实例让学生了解如何将实际问题转化为参数方程，并求解。

三、教学重点与难点：1. 重点：参数方程的概念、参数方程的求解方法。

2. 难点：将实际问题转化为参数方程，求解复杂参数方程。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的概念、求解方法及实际应用。

2. 采用案例分析法，让学生通过实例了解参数方程在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高学生的理解能力。

五、教学过程：1. 引入：通过简单的生活实例，引导学生思考如何用数学模型来描述实际问题。

2. 讲解：讲解参数方程的定义，阐述参数方程与普通方程的区别和联系。

3. 案例分析：分析具体实例，引导学生掌握参数方程的求解方法。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程在实际问题中的应用。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对参数方程概念的理解程度。

2. 练习解答：检查学生练习题的完成情况，评估学生对参数方程求解方法的掌握程度。

3. 课后作业：评估学生课后作业的质量，了解学生对课堂所学知识的巩固情况。

七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏，以提高教学效果。

2. 针对学生的反馈，补充和调整教学内容，使之更符合学生的需求。

3. 注重培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

参数方程的概念(教案)第一章：参数方程的引入1.1 参数方程的定义与意义解释参数方程的概念强调参数方程在描述曲线上的重要性1.2 参数方程与普通方程的对比举例说明参数方程与普通方程的区别和联系强调参数方程在解决特定问题上的优势第二章：参数方程的基本形式2.1 参数方程的通用形式介绍参数方程的通用形式：\(x = f(t)\), \(y = g(t)\)解释参数\(t\) 的作用和意义2.2 参数方程的简化形式介绍参数方程的简化形式：参数\(t\) 的取值范围、参数\(t\) 的速度和加速度强调简化形式在实际问题中的应用和重要性第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在物理问题中的应用以物体运动为例，解释参数方程在描述物体位置和速度上的应用强调参数方程在物理问题中的重要性3.2 参数方程在几何问题中的应用以圆的参数方程为例，解释参数方程在描述几何形状上的应用强调参数方程在几何问题中的优势和灵活性第四章：参数方程的图像与分析4.1 参数方程的图像绘制介绍如何绘制参数方程的图像强调参数方程图像的特点和规律4.2 参数方程的分析与变换介绍如何分析参数方程的图像和性质介绍参数方程的变换方法，如平移、旋转等第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用以实际问题为例，综合运用参数方程进行问题解决强调参数方程在实际问题中的应用能力和灵活性5.2 参数方程的进一步探索引导学生在参数方程的基础上进行进一步的探索和创新鼓励学生发现参数方程在更多领域中的应用和价值第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念回顾极坐标方程的定义和基本形式解释极坐标方程与直角坐标系的关系6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为极坐标方程强调转换方法在解决特定问题上的应用和重要性第七章：参数方程与普通方程的转换7.1 普通方程的基本形式回顾普通方程的定义和常见形式强调普通方程在解决问题中的基本作用7.2 参数方程与普通方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为普通方程强调转换方法在问题解决中的灵活应用第八章：参数方程的综合应用案例分析8.1 参数方程在工程问题中的应用案例分析一个工程问题，如桥梁设计、电路模拟等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在工程问题中的重要作用8.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析一个科学研究问题，如天体运动、生物种群动态等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在科学研究中的重要性和灵活性第九章：参数方程的教学实践与反思9.1 参数方程的教学实践分享教学参数方程的经验和做法强调教学实践中的重点和难点9.2 参数方程的教学反思反思教学过程中的优点和不足提出改进教学方法和策略的建议第十章：参数方程的扩展与深化10.1 参数方程的扩展介绍参数方程在其他领域的应用，如计算机图形学、控制理论等强调参数方程在不同领域中的广泛应用和潜力10.2 参数方程的深化研究引导学生在参数方程的基础上进行深入研究，如研究更复杂的参数方程、探索参数方程的新性质等鼓励学生发挥创新精神，发现参数方程的更多价值和意义重点和难点解析重点环节一：参数方程的定义与意义重点关注学生对参数方程概念的理解，以及参数方程与普通方程的区别和联系。

参数方程目标点击：1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.基础知识点击：1、曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程(ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点.(ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）（2）圆的参数方程(ⅰ)圆222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos r y r x (ϕ为参数)ϕ的几何意义为“圆心角”(ⅱ)圆22020)()(r y y x x =-+-的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00r y y r x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“圆心角”（3）椭圆的参数方程(ⅰ)椭圆12222=+b y a x (0>>b a ) 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）(ⅱ)椭圆1)()(220220=-+-by y a x x (0>>b a )的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00b y y a x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”(4)双曲线的参数方程(ⅰ)双曲线12222=-b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕbtg y a x sec （ϕ为参数）(ⅱ)双曲线1)()(220220=---by y a x x 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕbtg y y a x x 00sec （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”（5） 抛物线的参数方程px y 22= (p>0) 的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数） 其中t 的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数（顶点除外）.考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质. 题型一般为选择题、填空题.一、 参数方程的概念一）目标点击：1、理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；2、熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3、能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；4、能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题；二）概念理解：1、例题回放： 问题1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题）已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ，过点P 1(1,0) 作圆C 的任意弦， 交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程.书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？设M(y x ,) ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k ky k k x ，消去k,得41)23(22=+-y x ，因M 与P 1不重合，所以M 点的轨迹方程为41)23(22=+-y x （1≠x ）解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k （直线的斜率），间接地求出了x 与y 的关系式，从而求得M 点的轨迹方程.实际上方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x （1）和41)23(22=+-y x （1≠x ）（2）都表示同一个曲线，都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k 是参数，方程（2）是曲线的普通方程. 由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律， 得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意 义是什么？参数的取值范围？通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：1）形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置(y x ,)和时间t 的对应关系.2）我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组表示质点的运动规律.3)参数t 的取值范围是由t 的物理意义限制的. 2、曲线的参数方程与曲线C 的关系在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈ （*）与曲线C 满足以下条件：（1）对于集合D 中的每个t 0，通过方程组（*）所确定的点（)(),(00t g t f ） 都在曲线C 上；（2）对于曲线C 上任意点（00,y x ），都至少存在一个t 0，满足⎩⎨⎧==)()(0000t g y t f x则 曲线C ⇔ 参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y之间的直接联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.问题3：方程222a y x =+（0≠a ）；方程λ=-2222by a x （0≠λ）是参数方程吗？参数方程与含参数的方程一样吗？方程222a y x =+（0≠a ）表示圆心在原点的圆系，方程λ=-2222by a x （0≠λ）表示共渐近线的双曲线系。

参数方程的概念
参数方程，又称参数表达式或参数式，是一种描述曲线或曲面的数学
工具。

与直角坐标系方程不同，参数方程通过给定参数的取值来确定点的
位置，从而描绘出曲线或曲面的形状。

参数方程在微积分，物理学，工程
学等领域经常被使用。

一维参数方程描述曲线在平面上的位置，通常记作：x=x(t)，y=y(t)，其中x和y是平面上的点的坐标，t是参数，表示曲线上的各个点。

二维
参数方程描述曲面在三维空间中的位置，通常记作：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，其中x，y，z是空间中的点的坐标，u和v是两个参数，表示
曲面上的各个点。

参数方程也可以用于描述物体在空间中的运动。

例如，一个物体在直
线上做匀速运动，可以使用参数方程x = x0 + vt来描述其位置，其中
x0是初始位置，v是速度，t是时间。

类似地，可以使用参数方程描述物
体在曲线上或曲面上的运动。

这在物理学和机械工程中有着广泛的应用。

在数学中，参数方程也经常用于求解方程组。

通过将未知数表示成参
数的函数，可以将方程组转化为参数方程的形式，从而简化求解过程。

参
数方程还可以用于求解微分方程和积分方程等复杂的数学问题。

总之，参数方程是一种灵活而强大的数学工具，可以描述曲线和曲面
的形状，解决各种数学问题，实现各种应用。

它在数学，物理学，工程学
和计算机科学等领域都有广泛的应用。

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修一、教学目标：1. 让学生理解参数方程的概念，掌握参数方程的基本形式和特点。

2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学方程美的欣赏能力，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学内容：1. 参数方程的定义和基本形式。

2. 参数方程与直角坐标方程的互化。

3. 参数方程在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：参数方程的概念，参数方程的基本形式和特点。

2. 难点：参数方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中发现参数方程的必要性。

2. 运用数形结合法，帮助学生直观地理解参数方程的特点。

3. 采用合作学习法，鼓励学生相互讨论，共同探讨参数方程的解题方法。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法描述物体的运动轨迹。

2. 新课讲解：讲解参数方程的定义、基本形式和特点，举例说明参数方程在实际问题中的应用。

3. 案例分析：分析几个典型的实际问题，让学生学会运用参数方程解决问题。

5. 巩固练习：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

7. 作业布置：布置一些有关参数方程的应用题，让学生课后思考。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对参数方程概念的理解程度。

2. 练习题：收集学生完成的练习题，评估学生对参数方程的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力。

七、教学拓展：1. 介绍其他形式的参数方程，如极坐标方程、参数曲线等。

2. 探讨参数方程在其他学科中的应用，如物理学、工程学等。

八、课后反思：2. 学生反思：让学生写下对本节课学习的收获和困惑，以便教师了解学生的学习情况。

九、教学资源：1. 教材：新人教A版选修《高中数学》。

2. 网络资源：有关参数方程的图片、视频和案例。

3. 教具：黑板、粉笔、投影仪等。

1. 让学生理解参数方程的定义和特点。

2. 让学生掌握参数方程的表示方法和求解方法。

3. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程的定义2. 参数方程的表示方法3. 参数方程的求解方法4. 参数方程的应用三、教学重点与难点1. 重点：参数方程的定义、表示方法和求解方法。

2. 难点：参数方程的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出参数方程的需求。

2. 使用多媒体课件，直观展示参数方程的定义和应用。

3. 利用数学软件或图形计算器，动态演示参数方程的图形变化。

五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引入参数方程的概念。

2. 讲解：详细讲解参数方程的定义、表示方法和求解方法。

3. 案例分析：分析几个典型的参数方程案例，引导学生掌握参数方程的应用。

4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程在实际问题中的应用价值。

1. 引入实例：通过简单的实际问题，如物体运动轨迹的描述，引入参数方程的概念。

2. 概念讲解：详细讲解参数方程的定义，解释参数与变量之间的关系。

3. 表示方法：介绍参数方程的表示方法，包括参数方程的一般形式和特殊形式。

4. 求解方法：讲解参数方程的求解方法，包括代入法和消元法。

5. 应用练习：提供一些应用题，让学生练习如何建立和应用参数方程解决问题。

七、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对参数方程概念的理解程度。

2. 练习解答：评估学生完成练习题的情况，检验学生对参数方程表示方法和求解方法的掌握。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生对参数方程应用的理解和应用能力。

八、教学资源1. 多媒体课件：使用PPT或其他软件制作多媒体课件，展示参数方程的图形和实际应用。

2. 数学软件：利用数学软件或图形计算器，演示参数方程的图形变化和求解过程。

3. 练习题库：准备一些参数方程的练习题，包括基础题和应用题。

参数方程的概念圆的参数方程参数方程是一种用参数表示自变量和因变量关系的方程。

在参数方程中，自变量和因变量都用参数表示，而不直接用变量表示。

通过改变参数的取值，可以获得方程所代表的曲线或图形上的每个点的坐标。

圆的参数方程可以通过使用正弦和余弦函数来表示。

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，x和y分别代表圆上任一点的坐标，r代表圆的半径，t是参数。

当我们改变参数t的取值范围时，可以得到圆的不同部分，从而形成完整的圆。

通常，t的取值范围是0到2π，即一个完整的圆周。

例如，当t=0时，x=r，y=0，即圆上的点位于圆的最右侧的点。

当t=π/2时，x=0，y=r，即圆上的点位于圆的最上方的点。

当t=π时，x=-r，y=0，即圆上的点位于圆的最左侧的点。

当t=3π/2时，x=0，y=-r，即圆上的点位于圆的最下方的点。

从这些例子可以看出，改变参数t的取值范围可以得到圆的不同部分。

使用参数方程表示圆的好处是可以更灵活地描述和绘制圆。

参数方程不仅可以表示平凡的圆形，还可以表示椭圆、抛物线、双曲线等多种曲线。

通过调整参数的取值范围和改变参数方程中的函数，可以绘制出各种几何图形。

此外，参数方程可以方便地处理极坐标下的曲线。

在极坐标系中，圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，θ代表极坐标的角度，r代表极坐标的半径。

通过改变参数θ的取值范围，可以得到极坐标系中的圆的不同部分。

总之，参数方程是一种灵活和方便的方式来描述和绘制曲线。

圆的参数方程是其中的一个重要应用，通过改变参数的取值范围和调整函数，可以得到圆的不同部分。

参数方程还可以应用于其他几何图形的描述和绘制中。