2020届高考数学一轮复习单元检测十计数原理单元检测含解析

计数原理（6）排列与组合C1、2018年3月22日,某校举办了“世界水日”主题演讲比赛,该校高三年级准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛,其中学生丙必须参加,仅当甲乙两同学同时参加时候,甲乙至少有一人与丙学生演讲顺序相邻,那么选派的4名学生不同的演讲顺序的种数为( )A.228B.238C.218D.2482、某单位实行职工值夜班制度,已知,,,,A B C D E,5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班,且没有两人同时值夜班,星期六和星期日不值夜班,若A昨天值夜班,从今天起,B C至少连续4天不值夜班, D星期四值夜班,则今天是星期几( )A.二B.三C.四D.五3、甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( )A.12种B.11种C.10种D.9种4、两所学校分别有2名、3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是( )A. 1 30B.1 15C.1 10D. 1 55、某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )种。

A. 240B. 156C. 188D. 1206、若112311n n n n n n n n C C C C +--+++=++,则n = ( )A.4B.5C.6D.7 7、将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( )A.50B.80C.120D.1408、将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有( )A.24B.28C.32D.369、若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位(例如：20191002119+=，则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序对(),m n 的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是( ) A ．30 B ．60 C ．96 D ．10010、5个男生和3个女生站成一排,则女生不站在一起的不同排法有( ) A.14400种 B.7200种 C.2400种 D.1200种11、将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,被人至少1张,如果分别同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是__________.12、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙相邻的排法种数是__________.13、学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,则女生乙必须入选.那么不同的组队形式有__________种14、有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球,则有__________种不同的选法 15、有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内(结果用数字表示). 1.共有多少种放法?2.恰有一个盒子不放球,有多少种放法?3.恰有一个盒内放2个球,有多少种放法?4.恰有两个盒不放球,有多少种放法?答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：对甲、乙两名同学是否参加分类.第一类,甲、乙均未参加: 44A .第二类,甲、乙中是有1人参加: 124234144C C A =.第三类,甲、乙都参加:14123432260C A C A -=.1232414460228N N N N =++=++=.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：B解析：这是个错位排列模型,可视作1、2、3、4、5五个数字排在序号①、②、③、④、⑤的五个位置中,且⑤位置上固定排1,对5所处位置讨论:5在①位置上,是三个元素的错位排列,有2种情况;5在②、③、④位置上分别各都是3种情况;所以共有11种搭配方式,选B.4答案及解析： 答案：C解析：同校学生排在一起共有323323A A A 种排法,而三个学校的学生随便排有66A 种排法,故同校学生排在一起的概率110P = 故选C.5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：A解析：∵1112n n nn n n C C C -++++=,22n n n C C -=, ∴1232n n n n n C C C +++=+, ∴1232n n n n n C C C +++-=,∴122n n n C C ++=,∴122n n C C +=,∴()122n n n -+=,即()()410n n -+=,又0n >, ∴4n =.7答案及解析： 答案：A解析：分两类：若甲组两人，则乙、丙两组的方法数是1232C A ，此时的方法种数为C A =212532C 60；若甲组3人，则方法数C A =325220，根据分类加法原理得总的方法总数为60+20=80,故选A 考点：本题考查了排列组合的综合运用点评：熟练掌握排列、组合的综合运用是解决此类问题的关键，属基础题8答案及解析： 答案：B 解析：第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,有114312C C =种,第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,有114312C C =种, 第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,有144C =种,根据分类计数原理可得, 12124++种, 故选B9答案及解析： 答案：B解析：值为2019的“简单的”有序对的个数是3121060⨯⨯⨯=.故选B.10答案及解析： 答案：A解析：我们可以在操场上进行实地排队:先让5个男生站成一排有55A 种站法,在站队时每两个男生之间留下一个空(能站且只能站一个人的位置),同时女生还可站两头,因此可供女生站的位置有六个(即“①男②男③男④男⑤男⑥”),把这6个位置编一个号码,再从这6个号码中取出3个排成一排,按它的前后顺序依次把这3个号码分给3个女生甲、乙、丙,再让3个女生对号入座,插进男生之中,最后让这8个人向左看齐,即这8个人站成一排,且女生不相邻,于是就完成了这一事件,因而有:先让5个男生排成一排,有55A 种站法,再让3个女生插入5个男生产生的6个空中,有36A 种排法,故共有5356A A 种不同站法.故选A.11答案及解析： 答案：96解析：5张参观券分成4组, 1组2张,另外3组各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是44496A 。

专题十计数原理【真题典例】10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合挖命题【考情探究】分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最基本也是最重要的原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.2.排列与组合的综合是高考中的热点.本节内容在高考中单独考查时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中档题.此外,还经常与概率、分布列问题相结合,出现在解答题的第(1)问中,难度中等或中等偏上.破考点【考点集训】考点计数原理、排列与组合1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.将7个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.240种B.480种C.720种D.960种答案 B3.无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,现需要在报名的2名男教师和6名女教师中选择5人参加无偿献血,要求男、女教师都有,则不同的选择方法的种数为.(结果用数字表示)答案504.在一次数学会议中,有五位老师来自A,B,C三所学校,其中A学校有2位,B学校有2位,C学校有1位.现在五位老师站成一排照相,若要求来自同一学校的老师不相邻,则共有种不同的站队方法.答案48炼技法【方法集训】方法1排列问题的常见解法1.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案 D2.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案 B3.在一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有()A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C方法2组合问题的常见解法4.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案 C5.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C6.大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,其中2人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有种.(用数字作答)答案36方法3分组与分配问题的解题技巧7.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.解析(1)无序不均匀分组问题.先选1本,有种选法;再从余下的5本中选2本,有种选法;最后余下3本全选,有种选法.故共有分配方式=60种.(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应考虑再分配,共有分配方式=360种.(3)无序均匀分组问题.先分三步选,每步选2本,则有种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有种情况,而这种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有=15种.(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·==90种.(5)无序部分均匀分组问题.共有分配方式=15种.(6)有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·=90种.(7)直接分配问题.甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有种方法;余下4本留给丙,有种方法.共有分配方式=30种.过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2012北京,6,5分)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.6答案 B2.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案963.(2011北京,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)答案14B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B4.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案165.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0806.(2017浙江,16,5分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6607.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560C组教师专用题组1.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C2.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案 A3.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案 C4.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案 B5.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案 B6.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是.(用数字作答)答案590【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2018北京东城一模,6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”“明代御窑瓷器展”“历代青绿山水画展”“赵孟頫书画展”四个展览.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有()A.6种B.8种C.10种D.12种答案 C2.(2018北京丰台一模,7)某学校为了弘扬中华传统“孝”文化,共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星,现将他们的照片展示在宣传栏中,要求同性别的同学不能相邻,则不同的排法有()A.4种B.8种C.12种D.24种答案 B3.(2017北京房山一模,4)某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本书中选出3本,分给三个同学去读,其中《红楼梦》必选,则不同的分配方法共有()A.6种B.12种C.18种D.24种答案 C4.(2017北京朝阳二模,5)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则不同的分法总数为()A.12B.24C.36D.48答案 D5.(2017北京海淀一模,7)甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排,甲和乙都排在丙的同一侧,则排法种数为()A.12B.40C.60D.80答案 D6.(2018北京朝阳一模,5)某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有1人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法的种数为()A.18B.24C.48D.96答案 B7.(2018北京石景山一模,6)现有4种不同的颜色,对如图所示的四个部分进行涂色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有()A.24种B.30种C.36种D.48种答案 D8.(2019届北京一零一中学统考(二),6)某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加志愿者服务工作,需将这四名学生分配到A,B,C三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若要求甲不到A馆,则不同的分配方案有()A.36种B.30种C.24种D.20种答案 C二、填空题(每小题5分,共30分)9.(2018北京通州一模,12)2位教师和4名学生站成一排合影,要求2位教师站在中间,学生甲不站在两边,则不同排法的种数为.(结果用数字表示)答案2410.(2018北京西城期末,12)把4件不同的产品A,B,C,D摆成一排.若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧,则不同的摆法有种.(用数字作答)答案811.(2018北京一七一中学期中,13)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排,且A、B均在C的同侧,则不同的排法共有种.(用数字作答)答案48012.(2017北京石景山一模,13)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,则不同的分法有种.(用数字作答)答案3613.(2017北京东城二模,11)某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有种.(用数字作答)答案1414.(2017北京海淀零模,13)小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影,若小明与小刚相邻,且小明与小红不相邻,则不同的排法有种.答案36。

单元检测卷十 计数原理(B)考生注意：1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．2．本次考试时间45分钟，满分80分． 3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．7 2．在某次运动会中，要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种 3．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )A ．800B ．5 400C ．4 320D ．3 600 4．甲组有5名男同学，3名女同学，乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种 5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48 6.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 7．从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种作物不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有( )A ．C 210A 48种B ．C 18A 59种 C ．C 19A 59种D ．C 18A 58种8．5名男生与2名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻，那么符合条件的排法共有( )A ．48种B ．192种C ．240种D ．288种9．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8等于( ) A ．－180 B ．180 C ．45 D ．－45 10.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25展开式中x 2的系数为( ) A ．120 B ．80 C ．20 D ．45 11．(1－x )(1＋x )5展开式中x 2项的系数是( )A ．4B ．5C ．8D ．12 12.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同的颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有( )A ．144种B ．216种C ．264种D ．360种 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 14．在(x －2)5(2＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数为________．15．若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为________．16．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科，3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有________种．参考答案1.答案 A解析 根据题意，若A 5m ＝2A 3m ，则有m (m －1)(m －2)(m －3)(m －4)＝2×m (m －1)(m －2)， 即(m －3)(m －4)＝2， 解得m ＝5. 2.答案 A解析 分两类：若小张或小赵入选，则有选法C 12C 12A 33＝24(种)；若小张、小赵都入选，则有选法A 22A 23＝12(种)，共有选法36种．3.答案 D解析 先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有A 55种排法，再从5个节目的6个空中隔空插入两个不同的舞蹈节目有A 26种排法，∴共有A 55·A 26＝3 600(种)排法，故选D.4.答案 D解析 分两类：(1) 甲组中选出一名女生有C 15C 13C 26＝225(种)选法； (2)乙组中选出一名女生有C 25C 16C 12＝120(种)选法．共有345种选法．故选D.5.答案 A解析 方法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C 12·C 34＋C 22·C 24＝14.故选A.方法二 从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种， 故至少有1名女生的选派方案种数为C 46－C 44＝15－1＝14.故选A.6.答案 C解析 因为展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ·⎝⎛⎭⎫－2x 3k ＝(－2)k C k 5x 10－5k，令10－5k ＝0，解得k ＝2，所以⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为(－2)2C 25＝40，故选C. 7.答案 B解析 因为甲乙两种种子不能放入第1号瓶内，所以1号瓶要从另外的8种种子中选一个展出，有C 18种结果，因为后面的问题是从9种不同的作物种子中选出5种放入5个不同的瓶子中展出， 实际上是从9个元素中选5个排列，共有A 59种结果，根据分步乘法计数原理知共有C 18A 59种结果，故选B.8.答案 B解析 甲站好中间的位置，两名女生必须相邻，有四种选法，两个女生可以交换位置，剩下的四个男生站在剩下的四个位置，有4！种排法，所以2×4×4！＝192(种)．故选B. 9.答案 B解析 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.10.答案 A解析 原式可化为⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25，其展开式中可出现x 2项的只有C 35⎝⎛⎭⎫x ＋1x 223与C 15⎝⎛⎭⎫x ＋1x 421两项，所以其展开式中x 2项分别为C 35C 02x 2⎝⎛⎭⎫1x 023＝80x 2，C 15C 14x 3·⎝⎛⎭⎫1x 121＝40x 2，则x 2项为120x 2. 11.答案 B解析 (1－x )(1＋x )5＝(1－x )(1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5)，其中可以出现x 2项的有1×10x 2和－x ×5x ，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x 2项的系数是10－5＝5， 故选B. 12.答案 B解析 由题意，4种颜色都用到，先给A ，B ，C 三点涂色，有A 34种涂法，再给D ，E ，F 涂色，因为D ，E ，F 中必有一点用到第4种颜色，有C 13种涂法，所以另外两点用到A ，B ，C 三点所用颜色中的两种，有C 23种涂法，由分步乘法计数原理得A 34C 13C 23＝216(种)．答案 3613.解析 可分两步解决．第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：①先选学习委员有4种选法，②选体育委员有3种选法． 由分步乘法计数原理可得， 不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 14.答案 480解析 (x －2)5(2＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数为C 25·(－2)2·C 24·()22＝480. 15.答案 240解析 由已知得到2n ＝64，所以n ＝6，所以展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6(－2)k x 12－3k， 令12－3k ＝0，得到k ＝4，所以展开式中的常数项为T 5＝C 46(－2)4＝240.16.答案 10解析选择两门理科学科，一门文科学科，有C23C13＝9(种)；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．。

2020届高考数学一轮复习单元检测试题集目录单元质检一集合与常用逻辑用语 (1)单元质检一集合与常用逻辑用答案 (3)单元质检二函数 (5)单元质检二函数答案 (8)单元质检三导数及其应用 (17)单元质检三导数及其应用答案 (19)单元质检四三角函数(A) (27)单元质检四三角函数(A)答案 (30)单元质检四三角函数(B) (35)单元质检四三角函数(B)答案 (38)单元质检五数列(A) (43)单元质检五数列(A)答案 (45)单元质检五数列(B) (48)单元质检五数列(B)答案 (50)单元质检六平面向量、解三角形、复数 (54)单元质检六平面向量、解三角形、复数答案 (56)单元质检七立体几何(A) (61)单元质检七立体几何(A)答案 (64)单元质检七立体几何(B) (69)单元质检七立体几何(B)答案 (72)单元质检八解析几何 (79)单元质检八解析几何答案 (82)单元质检九计数原理 (92)单元质检九计数原理答案 (94)单元质检十概率(A) (96)单元质检十概率(A)答案 (97)单元质检十概率(B) (102)单元质检十概率(B)答案 (105)单元质检十一统计与统计案例 (109)单元质检十一统计与统计案例答案 (113)单元质检一集合与常用逻辑用语(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)2.命题“?x0∈R,ln x0+≤0”的否定是()A.?x∈R,ln x+2x<0B.?x∈R,ln x+2x>0C.?x0∈R,ln x0+>0D.?x∈R,ln x+2x≤０3.已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,-1)4.若a,b∈R,且2a+3b=2,则4a+8b的最小值是()A.2B.4C.2D.45.关于x的不等式x2-2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是()A.m>2B.0<m<1C.m>0D.m>16.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设命题p:?x0∈(0,+∞),x0+>3,命题q:?x∈(2,+∞),x2>2x,则下列说法正确的是()A.p真,q假B.p假,q真C.p真,q真D.p假,q假8.若正数a,b满足=1,则的最小值为()A.1B.6C.9D.16二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)9.已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B= .10.设a>b>0,m≠-a,则时,m满足的条件是.11.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,则每批应生产产品件.12.已知实数x,y均大于零,且x+2y=4,则log2x+log2y的最大值为.13.若在区间[0,1]上存在实数x,使2x(3x+a)<1成立,则a的取值范围是.14.(2018天津,文14)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是.单元质检一集合与常用逻辑用答案1.A解析由题意知P∪Q={x|-1<x<2},故选A.2.B3.B解析∵<1,∴-1=<0.∴x>2或x<-1.∵p是q的充分不必要条件,∴k>2,故选B.4.D解析4a+8b=22a+23b≥２=4,当且仅当a=,b=时取等号,故4a+8b的最小值为4.5.C解析当关于x的不等式x2-2x+m>0在R上恒成立时,Δ=4-4m<0,解得m>1;故m>1是不等式恒成立的充要条件;m>2是不等式成立的充分不必要条件;0<m<1是不等式成立的既不充分也不必要条件;m>0是不等式成立的必要不充分条件.故选C.6.A解析m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°，则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分不必要条件.故选A.7.A解析对于命题p,当x0=3时,x0+>3,所以命题p为真;对于命题q,当x=4时,42=24,所以命题q为假.故选A.8.B解析∵正数a,b满足=1,∴b=>0,解得a>1,同理b>1.∴+9(a-1)≥２=6,当且仅当=9(a-1),即a=时等号成立,∴的最小值为6.故选B.9.{0,1,2}解析∵x2-2x-3<0,∴(x-3)(x+1)<0,即-1<x<3.故B={x|-1<x<3}.又A={-2,-1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2}.10.m>0或m<-a 解析由,得>0.因为a>b>0,所以a-b>0,所以>0,即解得m>0或m<-a.故m满足的条件是m>0或m<-a.11.80解析设每件产品的平均生产准备费用为y元,由题意得y=≥２=20,当且仅当(x>0),即x=80时等号成立.12.1解析因为log2x+log2y=log22xy-1≤log2-1=2-1=1,当且仅当x=2y=2,即x=2,y=1时等号成立,所以log2x+log2y的最大值为1.13.(-∞,1)解析由2x(3x+a)<1可得a<-3x.故在区间[0,1]上存在实数x使2x(3x+a)<1成立,等价于a<(-3x)max,其中x∈[0,1].令y=2-x-3x,则函数y在[0,1]上单调递减.故y=2-x-3x的最大值为20-0=1.因此a<1.故a的取值范围是(-∞,1).14.解析当x>0时,f(x)≤|x|可化为-x2+2x-2a≤x,即+2a-≥0,所以a≥.当-3≤x≤０时,f(x)≤|x|可化为x2+2x+a-2≤-x,即x2+3x+a-2≤０.对于函数y=x2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-.因为当-3≤x≤０时,y≤0,所以当x=0时,y≤0,即a-2≤0,所以a≤２.综上所述,a的取值范围为.单元质检二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设集合M={x|2x-1<1,x∈R},N={x|lo x<1,x∈R},则M∩N等于()A. B.(0,1)C. D.(-∞,1)2.已知函数f(x)=则f(f(1))=()A.2B.0C.-4D.-63.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=-B.y=-x2C.y=e-x+e xD.y=|x+1|4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),若f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f,f(1),f的大小关系为()A.f<f(1)<fB.f(1)<f<fC.f<f<f(1)D.f<f(1)<f5.若方程lo(a-2x)=2+x有解,则a的最小值为()A.2B.1C.D.6.当a>0时,函数f(x)=(x2-ax)e x的图象大致是()7.已知函数f(x)=若始终存在实数b,使得函数g(x)=f(x)-b的零点不唯一,则a的取值范围是()A.[2,3)B.(-∞,2)C.(-∞,3)D.(-∞,3]8.已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是()A. B.C.[-2,2]D.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)内是减函数,则p是q的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）10.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤１时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=.11.已知g(x)是R上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是.12.已知奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)成立,且f(1)=1,则f(2 015)+f(2017)= .13.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b= .14.已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥２f(x)恒成立,则t的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=m+log a x(a>0,且a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.16.(13分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.(1)求a,b的值;(2)若当x∈[-1,1]时不等式f(2x)-k·２x≥０有解,求实数k的取值范围.17.(13分)已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试用定义证明f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.18.(13分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.19.(14分)已知函数f(x)=lg,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.20.(14分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.单元质检二函数答案1.A解析∵由题意可得M={x|x<1},N=,∴M∩N=,故选A.2.C解析函数f(x)=则f(f(1))=f(2-4)=f(-2)=-4.故选C.3.C解析选项A中函数是奇函数,不合题意;选项B中函数在区间(0,+∞)内单调递减,不合题意;选项D中函数为非奇非偶函数,不合题意;故选C.4.C解析∵定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),∴f(x+2)=f(x).∴f=f=f,f=f=f=f.∵f(x)在[0,1]上单调递增,∴f<f<f(1).∴f<f<f(1),故选C.5.B解析若方程lo(a-2x)=2+x有解,则=a-2x有解,即+2x=a有解.∵+2x≥1,当且仅当=2x,即x=-1时,等号成立,∴a的最小值为1,故选B.6.B解析由f(x)=0,可知x2-ax=0,即x=0或x=a.故函数f(x)有两个零点,因此选项A,C不正确.∵a>0,可设a=1,则f(x)=(x2-x)e x,∴f'(x)=(x2+x-1)e x.由f'(x)=(x2+x-1)e x>0,解得x>或x<.即f(x)在内是增函数,即选项D错误,故选B.7.C解析当a=0时,f(x)=则b=-4时,g(x)=f(x)-b的零点不唯一,选项A错误;当a=2时,f(x)=则b=时,g(x)=f(x)-b的零点不唯一,选项B错误;当a=3时,f(x)=函数在R上单调递增,所以不存在实数b,使得函数g(x)=f(x)-b的零点不唯一,选项D错误.故选C.8.A解析由函数f(x)=易知f(x)>0恒成立.∵关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,∴关于x的不等式-f(x)≤+a≤f(x)在R上恒成立,即关于x的不等式-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立.设p(x)=f(x)-,则p(x)=当x≤１时,p(x)=x2-x+3=,∴当x≤１时,p(x)min=.当x>1时,p(x)=≥２=2,当且仅当,即x=2时,取等号,∴当x>1时,p(x)min=2.∵>2,∴p(x)min=2.设q(x)=-f(x)-,则q(x)=当x≤１时,q(x)=-x2+-3=-,∴当x≤１时,q(x)max=-.当x>1时,q(x)=-=-≤-2,当且仅当,即x=时,取等号.∴当x>1时,q(x)max=-2.∵->-2,∴q(x)max=-.∵关于x的不等式-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立,∴-≤a≤２.故选A.9.充要条件解析由p成立,得a≤１.由q成立,得0<a<1.故p是q的必要不充分条件.10.2解析由题意可知,当-1≤x≤１时,f(x)为奇函数;当x>时,由f=f可得f(x+1)=f(x).所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.所以f(6)=2.11.-2<x<1解析由题意,当x>0时,g(x)=-g(-x)=ln(1+x),故函数f(x)=因此当x≤０时,f(x)=x3为单调递增函数,值域为(-∞,0].当x>0时,f(x)=ln(1+x)为单调递增函数,值域为(0,+∞).所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.因为f(2-x2)>f(x),所以2-x2>x,解得-2<x<1.12.0解析由f(x+6)=f(x),知函数f(x)是周期为6的函数.因为函数f(x)是奇函数,所以f(2015)=f(6×336-1)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2017)=f(6×336+1)=f(1)=1,所以f(2015)+f(2017)=0.13.解析∵f(x)=的图象关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,得a=1.∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,∴lg=lg(10x+1)+2bx,∴-x=2bx对一切x恒成立,∴b=-,∴a+b=.14.[,+∞)解析(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥２f(x)恒成立, ∴f(t+t)=f(2t)≥２f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥２f(t)=-2t2,这不可能,故t≥０.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥２t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥２f(x),即(x+t)2≥２x2,∴x+t≥x,∴t≥（-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥（-1)(t+2),解得t≥.(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥０时,f(x)=x2单调递增, ∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),∵不等式f(x+t)≥２f(x)=f(x)在[t,t+2]上恒成立,∴x+t≥x在[t,t+2]上恒成立,即t≥（-1)x在[t,t+2]上恒成立,∴t≥（-1)(t+2),解得t≥,故答案为[,+∞).15.解(1)由得解得故函数解析式为f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2-1(x>1).因为=(x-1)++2≥２+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,函数y=log2x在(0,+∞)内单调递增,所以log2-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.16.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故解得(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥０可化为2x+-2≥k·2x,可化为1+-2·≥k.令t=,则k≤t2-2t+1.因为x∈[-1,1],所以t∈.记h(t)=t2-2t+1,因为t∈,所以h(t)max=1.所以k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1].17.(1)证明当a=-2时,f(x)=(x≠-2).设任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=.∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增.(2)解设任意的x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)==.∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在区间(1,+∞)内恒成立,∴a≤１.综上所述,a的取值范围是(0,1].18.解(1)设f(x)=a(a>0).因为f(1)=0,所以(a-1)=0.又因为t≠0,所以a=1,所以f(x)=(t≠0).(2)因为f(x)=(t≠0),所以当<-1,即t<-4时,f(x)在上的最小值为f(x)min=f(-1)==-5,所以t=-.当-1≤,即-4≤t≤-1时,f(x)在上的最小值为f(x)min=f=-=-5, 所以t=±2(舍去);当,即t>-1时,f(x)在上的最小值为f(x)min=f=-5,所以t=-(舍去).综上所述,可得t=-.19.解(1)由x+-2>0,得>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞);当a=1时,定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,定义域为{x|0<x<1-或x>1+}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.而h(x)=3x-x2=-在[2,+∞)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是{a|a>2}.20.解(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0.∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,∴f(x2)<-f(-x1).又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).∴f(x)在(-∞,+∞)内是减函数.∴对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=6,∴f(x)在[-3,3]上的最大值为6.(3)∵f(x)为奇函数,∴整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).∴f(ax2-2x)<f(ax-2).∵f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,∴ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.∴当a=0时,x∈{x|x<1};当a=2时,x∈{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,x∈;当0<a<2时,x∈;当a>2时,x∈.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1}; 当a=2时,原不等式的解集为{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,原不等式的解集为;当0<a<2时,原不等式的解集为; 当a>2时,原不等式的解集为.单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.如果一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在 3 s末的瞬时速度是()A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s2.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m>0B.m<0C.m>1D.m<13.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-]∪[,+∞)B.[-]C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-)4.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.35.(2018全国Ⅰ,理5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6.已知函数f(x)=--x2的最大值为f(a),则a等于()A. B.C. D.7.已知定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+f(x)>1,f(0)=5,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式e x(f(x)-1)>4(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(3,+∞)8.设函数f(x)=e x,若不等式f(x)≤０有正实数解,则实数a的最小值为()A.3B.2C.e2D.e二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.10.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a= .11.若f(x)=a e-x-e x为奇函数,则f(x-1)<e-的解集为.12.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是.13.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:①f(0)f(1)<0; ②f(0)f(1)>0;③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0;⑤f(1)f(3)>0; ⑥f(1)f(3)<0.其中正确的结论是.(填序号)14.已知过点A(1,m)恰能作曲线f(x)=x3-3x的两条切线,则m的值是.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=(x-)·ｅ-x.(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间内的取值范围.16.(13分)(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.17.(13分)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x.18.(13分)(2018北京,理18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.19.(14分)已知函数f(x)=e x-x2+a,x∈R的图象在x=0处的切线方程为y=bx.(e≈２.718 28)(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求g(x)的单调区间;(2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足.单元质检三导数及其应用答案1.C解析根据瞬时速度的意义,可得3s末的瞬时速度是v=s'(3)=-1+2×3=5.2.B解析求导得y'=e x+m,由于e x>0,若y=e x+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.3.B解析由题意知f'(x)=-3x2+2ax-1≤０在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-≤a≤.4.A解析由f'(x)=2x+1-=0,得x=或x=-1(舍去).当0<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的最小值为f+ln2>0,所以f(x)无零点.5.D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得曲线f(x)在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.6.B解析∵f'(x)=--2x,∴f'(1)=-f'(1)-2,解得f'(1)=-,∴f(x)=-x2,f'(x)=.令f'(x)>0,解得x<;令f'(x)<0,解得x>,故f(x)在内递增,在内递减,故f(x)的最大值是f,a=.7.A解析令g(x)=e x(f(x)-1),则g'(x)=e x(f(x)-1)+e x f'(x)=e x(f(x)+f'(x)-1).因为f(x)+f'(x)>1,所以g'(x)>0.所以函数g(x)在R上单调递增.因为f(0)=5,所以g(0)=4.因为e x(f(x)-1)>4,所以g(x)>g(0),所以x>0.故选A.8.D解析原问题等价于a≥ｅx(x2-3x+3)在区间(0,+∞)内有解.令g(x)=e x(x2-3x+3),则a≥g(x)min,而g'(x)=e x(x2-x).由g'(x)>0,可得x>1或x<0;由g'(x)<0,可得0<x<1.所以函数g(x)在区间(0,+∞)内的最小值为g(1)=e.综上可得,实数a的最小值为e.9.e解析∵f(x)=e x ln x,∴f'(x)=e x ln x+.∴f'(1)=eln1+=e.10.-2解析因为y=的导数为y'=,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-.又因为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a·=-1,解得a=-2.11.(0,+∞)解析∵f(x)在R上为奇函数,∴f(0)=0,即a-1=0.∴a=1.∴f(x)=e-x-e x,∴f'(x)=-e-x-e x<0.∴f(x)在R上单调递减.∴由f(x-1)<e-=f(-1),得x-1>-1,即x>0.∴f(x-1)<e-的解集为(0,+∞).12.(-∞,-3]解析由题意可知f'(x)=3ax2+6x-1≤０在R上恒成立,则解得a≤-3.故实数a的取值范围为(-∞,-3].13.①③⑥解析∵f(x)=x3-6x2+9x-abc,∴f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).∴当1<x<3时,f'(x)<0;当x<1或x>3时,f'(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3).∴f(x)极大值=f(1)=1-6+9-abc=4-abc,f(x)极小值=f(3)=27-54+27-abc=-abc.∵f(x)=0有三个解a,b,c,∴a<1<b<3<c,∴f(1)=4-abc>0,且f(3)=-abc<0.∴0<abc<4.∵f(0)=-abc,∴f(0)<0,∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,f(1)·ｆ(3)<0.14.-3或-2解析设切点坐标为(a,a3-3a).∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,∴切线的斜率k=3a2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)·(x-a).∵切线过点A(1,m),∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m.∵过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的两条切线,∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.令g(x)=2x3-3x2,∴g'(x)=6x2-6x.令g'(x)=0,解得x=0或x=1,当x<0时,g'(x)>0;当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0,∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1.关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有两个不同的交点, ∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,∴实数m的值是-3或-2.15.解(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x,所以f'(x)=e-x-(x-)e-x=.(2)由f'(x)==0,解得x=1或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x, 1 ,,∞f'(x) -0 +0 -f(x) ↘0 ↗↘又f(x)=-1)2e-x≥0,所以f(x)在区间内的取值范围是.16.(1)解当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.令f'(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f'(x)<0.故f(x)在区间(-∞,3-2),(3+2,+∞)内单调递增,在区间(3-2,3+2)内单调递减.(2)证明由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g'(x)=≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)内单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.17.(1)解由f(x)=e x-ax,得f'(x)=e x-a.因为f'(0)=1-a=-1,所以a=2.所以f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln2)=2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)证明令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1),得g'(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0,故g(x)在R上单调递增.因为g(0)=1>0,所以当x>0,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.18.解(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x.f'(1)=(1-a)e.由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>,则当x∈时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是.19.(1)解∵f(x)=e x-x2+a,∴f'(x)=e x-2x.由已知,得解得∴函数f(x)的解析式为f(x)=e x-x2-1.(2)证明令φ(x)=f(x)+x2-x=e x-x-1,则φ'(x)=e x-1.由φ'(x)=0,得x=0.当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.故φ(x)min=φ(0)=0,从而f(x)≥-x2+x.(3)解f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立?>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立.令g(x)=,x>0,则g'(x)===.由(2)可知当x∈(0,+∞)时,e x-x-1>0恒成立,由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0<x<1.故g(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1),即g(x)min=g(1)=e-2.故k<g(x)min=g(1)=e-2,即实数k的取值范围为(-∞,e-2).20.(1)解由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得g(x)=f'(x)=8x3+9x2-6x-6,进而可得g'(x)=24x2+18x-6.令g'(x)=0,解得x=-1或x=.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1) ,,∞g'(x) +-+g(x) ↗↘↗所以,g(x)的单调递增区间是(-∞,-1),,单调递减区间是.(2)证明由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x0)-f(m),h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),则H'1(x)=g'(x)(x-x0).由(1)知,当x∈[1,2]时,g'(x)>0,故当x∈[1,x0)时,H'1(x)<0,H1(x)单调递减;当x∈(x0,2]时,H'1(x)>0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)>0,即h(m)>0.令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H'2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H'2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H'2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)<H2(x0)=0,可得H2(m)<0,即h(x0)<0.所以,h(m)h(x0)<0.(3)证明对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],令m=,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).由(2)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)-f=0.由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2).于是=.因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f≠０.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|≥１.所以.所以,只要取A=g(2),就有.单元质检四三角函数(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点在角α的终边上,则sin α的值为()A.-B.-C. D.2.已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于()A.sin 2B.-sin 2C.cos 2D.-cos 23.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-D.2π,2-4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A. B.C. D.5.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的一部分图象如图所示,将该图象上每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象对应的函数g(x)的解析式为()A.g(x)=sinB.g(x)=sinC.g(x)=sinD.g(x)=sin6.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.1B.C. D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α= .8.(2018全国Ⅲ,理15)函数f(x)=cos在区间[0,π]上的零点个数为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=sin x cos x+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若-<α<0,f(α)=,求sin 2α的值.10.(15分)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在区间上的最小值.11.(15分)已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx sin(ω>0)的最小正周期为.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.单元质检四三角函数(A)答案1.A解析因为角α的终边上一点的坐标为,即,所以由任意角的三角函数的定义,可得sinα==-,故选A.2.D解析因为r==2,所以sinα==-cos2.3.C解析因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin,所以最小正周期为π,当sin=-1时,f(x)的最小值为2-.4.B解析由题意,得=2sin(2×0+φ),即sinφ=.因为|φ|<,所以φ=.由2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z.当k=0时,x=-,故选B.5.A解析由题意得A=1,T==π,所以ω==2.因为f(x)的图象经过点,所以f=sin=0,又因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故g(x)=sin.6.D解析由题中图象可得A=1,,解得ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).易知点在函数f(x)的图象上,∴sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,即f(x)=sin.∵x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),∴x1+x2=×2=.∴f(x1+x2)=sin,故选D.7.0或解析∵sin2α=2-2cos2α=2-2(1-2sin2α)=4sin2α,∴2sinαcosα=4sin2α,∴sinα=0或cosα=2sinα,即tanα=0或tanα=.8.3解析令f(x)=cos=0,得3x++kπ,k∈Z,∴x=,k∈Z.则f(x)在区间[0,π]上的零点有.故有3个.9.解(1)∵函数f(x)=sin x cos x+cos2x=sin2x+=sin,∴函数f(x)的最小正周期为=π.(2)若-<α<0,则2α+.∵f(α)=sin,∴sin,∴2α+,∴cos,∴sin2α=sin=sin cos-cos·sin.10.解(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx=sin.由题设知f=0,所以=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin sin.因为x∈,所以x-.当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.11.解(1)f(x)=sin2ωx=sin2ωx-cos2ωx+=sin.因为T=,所以(ω>0),所以ω=2,即f(x)=sin.于是由2kπ-≤４x-≤２kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为x∈,所以4x-,所以sin,所以f(x)∈.故f(x)在区间上的取值范围是.单元质检四三角函数(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度2.“α=”是“sin(α-β)=cos β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=()A. B. C. D.4.已知函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是()A. B. C. D.5.(2018天津,理6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减6.(2018全国Ⅰ,文11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=()A. B. C. D.1二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.8.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω= .三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求f的值;(2)求函数y=f(x)+f的最大值及对应的x的值.10.(15分) 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)方程f(x)=在区间上的两解分别为x1,x2,求sin(x1+x2),cos(x1-x2)的值.11.(15分)(2018上海,18)设常数a∈R,函数f(x)=a sin 2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f+1,求方程f(x)=1-在区间[-π,π]上的解.单元质检四三角函数(B)答案1.D解析由题意,为得到函数y=sin=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动个单位长度,故选D.2.A解析若α=,则sin(α-β)=cosβ.反之不成立,例如,取α=2π+,也有sin(α-β)=cosβ.故“α=”是“sin(α-β)=cosβ”的充分不必要条件.3.D解析由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-+2mπ(m∈Z),则x1-x2=-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).因为|x1-x2|min=,0<φ<,所以当k-m=0,即k=m时,有-φ=,解得φ=.故选D.4.A解析因为函数y=sin的图象关于直线x=a对称的图象所对应的函数为y=sin=cos=cos,所以y=cos=cos,所以a可以为,故选A.5.A解析将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin2x.当-+2kπ≤２x≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递增.当+2kπ≤２x≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递减,结合选项,可知y=sin2x在上单调递增.故选A.6.B解析因为cos2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,sin2α=.所以tan2α=,tanα=±.由于a,b的正负性相同,不妨设tanα>0,即tanα=.由三角函数定义得a=,b=,故|a-b|=.7.1解析由题意可知f(x)=1-cos2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-+1.因为x∈,所以cos x∈[0,1].所以当cos x=时,函数f(x)取得最大值1.8.解析∵函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象过原点,∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.由f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减知,,∴ω=.9.解(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2=2sin.因为f(x)为偶函数,所以φ-+kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z).又0<φ<π,所以φ=.所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×,所以ω=2.所以f(x)=2cos2x.故f=2cos.(2)y=2cos2x+2cos=2cos2x+2cos=2cos2x-2sin2x=2sin.当-2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,y有最大值2.10.解(1)由题图可知A=2,T==π.∵T=,∴ω=2.∵f(x)的图象过点,∴2sin=2,+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ+(k∈Z).又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.(2)∵f(x)的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为,∴f(x)的图象与直线y=在区间上的两个交点关于直线x=对称, ∴x1+x2=,∴sin(x1+x2)=.∵cos(x1-x2)=cos=sin,2sin,∴cos(x1-x2)=.11.解(1)∵f(x)=a sin2x+2cos2x,∴f(-x)=-a sin2x+2cos2x.∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴-a sin2x+2cos2x=a sin2x+2cos2x.∴2a sin2x=0,∴a=0.(2)∵f+1,∴a sin+2cos2=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin+1.∵f(x)=1-,∴2sin+1=1-,∴sin=-,∴2x+=-+2kπ或2x+π+2kπ,k∈Z,∴x=kπ-或x=kπ+,k∈Z.∵x∈[-π,π],∴x=-或-.∴所求方程的解为x=-或-.单元质检五数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.已知公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.在等差数列{a n}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{a n}的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或254.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=()A.-2B.-1C.D.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤０时,f(x)=x(1-x).若数列{a n}满足a1=,且a n+1=,则f(a11)=()A.2B.-2C.6D.-6二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则数列{a n}的公比q= .8.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,S n为数列{a n}的前n项和,则的最小值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知数列{a n}的首项为a1=1,其前n项和为S n,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.10.(15分)已知数列{a n}满足a n=6-(n∈N*,n≥2).(1)求证:数列是等差数列;(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·２2n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.单元质检五数列(A)答案1.B解析∵数列{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析由等比中项的性质,得a3a11==16.因为数列{a n}各项都是正数,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.A解析∵在等差数列{a n}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,∴解得a1=-1,d=2,∴S5=5a1+d=5×(-1)+5×4=15.故选A.4.D解析由3a1-+3a15=0,得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0.因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.B解析∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,解得q=,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.6.C解析设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=,得a2==2,a3==-1,a4=,……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.2解析∵S n=2a n-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{a n}的公比q=2.8.4解析设{a n}的公差为 d.因为a1,a3,a13成等比数列,所以(1+2d)2=1+12d,解得d=2.所以a n=2n-1,S n=n2.所以.令t=n+1,则原式==t+-2.因为t≥2,t∈N*,所以当t=3,即n=2时,=4.9.解(1)∵数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴S n=2n2-n.∴当n≥２时,a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.∵a1符合a n=4n-3,∴a n=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数,T n=T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上所述,T n=10.(1)证明∵(n≥2),∴数列是等差数列.(2)解∵是等差数列,且,d=,∴(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=3+999lg3.11.解(1)由已知,当n≥１时,a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1. ①从而22·Ｓn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1. ②①-②,得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即S n=[(3n-1)22n+1+2].单元质检五数列(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=5,S6=36,则a6=()A.9B.10C.11D.122.在单调递减的等比数列{a n}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=()A.2B.4C.D.23.设a n=-n2+9n+10,则数列{a n}前n项和最大时n的值为()A.9B.10C.9或10D.124.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A. B.- C.2 D.-25.对于数列{a n},定义数列{a n+1-a n}为数列{a n}的“差数列”,若a1=2,数列{a n}的“差数列”的通项为2n,则数列{a n}的前n项和S n=()A.2B.2nC.2n+1-2D.2n-1-26.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当n∈N*时,a n=,记数列{a n}的前n项和为S n,当S n=时,n的值为()A.7B.6C.5D.4二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三个数成等差数列,若中间项减去6,则三个数成等比数列,此未知数是.8.已知数列{a n}满足:a1=1,a n=+2a n-1(n≥2),若b n=(n∈N*),则数列{b n}的前n项和S n= .三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知各项均为正数的等比数列{a n},其前n项和为S n,S2=6,S4=30.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,{b n}的前n项和为T n,证明:T n<.。

单元检测十计数原理(A)(小题卷)考生注意：1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．2．本次考试时间45分钟，满分80分．3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能被选聘上)，则不同的选聘方法的种数为( )A．60B．36C．24D．42答案 A解析当4名大学毕业生都被聘上时，则有C24A33＝6×6＝36(种)不同的选聘方法；当4名大学毕业生有3名被选聘上时，则有A34＝24(种)不同的选聘方法．由分类加法计数原理，可得不同的选聘方法种数为36＋24＝60，故选A.2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字，且大于3000的四位数，这样的四位数有( ) A．250个B．249个C．48个D．24个答案 C解析先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类加法计数原理，可得满足题设条件的四位数共有A34＋A34＝2A34＝2×4×3×2＝48(个)，故选C.3．有四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则比赛中可能出现的最少的平局场数是( )A．0B．1C．2D．3答案 B解析四支队得分总和最多为3×6＝18，若没有平局，又没有全胜的队，则四支队的得分只可能有6,3,0三种选择，必有两队得分相同，与四队得分各不相同矛盾，所以最少平局场数是1，如四队得分为7,6,3,1时符合题意，故选B.4．某班上午有5节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各1节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是( ) A．16B．24C．8D．12答案 A解析根据题意分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排在第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课法的种数是2×2×4＝16，故选A.5．8名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场)，规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是( ) A．14B．13C．12D．11答案 C解析由题意可知8名选手所得分数从高到低为14,12,10,8,6,4,2,0时，满足第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是12.6．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的两会宣传片，1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且两会宣传片与公益广告不能连续播放，2个两会宣传片也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是( )A．48B．98C．108D．120答案 C解析首选排列3个商业广告，有A33种结果，再在3个商业广告形成的4个空中排入另外3个广告，注意最后一个位置的特殊性，共有C13A23种结果，故不同的播放方式的种数为A33C13A23＝108.7．C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为( )A．C321B．C320C．C420D．C421答案 D解析C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝C15＋C25＋C36＋…＋C1720＝C26＋C36＋…＋C1720＝…＝C1721＝C421，故选D.8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝270，则a等于( )A．3B．2C．1D．－1答案 A解析二项式(a－x)5展开式的通项公式为T k＋1＝C k5a5－k(－x)k，其中T3＝C25a3(－x)2＝10a3x2，所以a2＝10a3＝270，解得a＝3.9．在(1＋x－x2)10的展开式中，x3的系数为( )A．10B．30C．45D．210答案 B解析(1＋x－x2)10表示10个1＋x－x2相乘，x3的组成可分为3个x或1个x2,1个x组成，故展开式中x3的系数为C310＋(－1)·C110·C19＝120－90＝30，故选B.10．某班班会准备从包含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言的顺序不能相邻，那么不同发言顺序的种数为( ) A．720B．520C．600D．360答案 C解析分两种情况讨论：若甲、乙2人只有1人参加，有C12C35A44＝480(种)情况；若甲、乙2人都参加且发言的顺序不相邻，有C22C25A22A23＝120(种)情况，则不同发言顺序的种数为480＋120＝600.11．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合A中满足条件“x21＋x22＋x23＋x24≤4”的元素个数为( )A．60B．65C．80D．81答案 D解析由题意可得x21＋x22＋x23＋x24≤4成立，需要分五种情况讨论：①当x21＋x22＋x23＋x24＝0时，只有1种情况，即x1＝x2＝x3＝x4＝0；②当x21＋x22＋x23＋x24＝1时，即x1＝±1，x2＝x3＝x4＝0，有2C14＝8种；③当x21＋x22＋x23＋x24＝2时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝x4＝0，有4C24＝24种；④当x21＋x22＋x23＋x24＝3时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝0，有8C34＝32种；⑤当x21＋x22＋x23＋x24＝4时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝±1，有16种，综合以上五种情况，则总共有81种，故选D.12．已知关于x的等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)→(b1，b2，b3，b4)，则f(4,3,2,1)等于( ) A．(1,2,3,4) B．(0,3,4,0)C．(0，－3,4，－1) D．(－1,0,2，－2)答案 C解析因为x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝[(x＋1)－1]4＋a1[(x＋1)－1]3＋a2[(x＋1)－1]2＋a3[(x＋1)－1]＋a4，所以f(4,3,2,1)＝[(x＋1)－1]4＋4[(x＋1)－1]3＋3[(x＋1)－1]2＋2[(x＋1)－1]＋1，所以b1＝C14(－1)＋4C03＝0，b2＝C24(－1)2＋4C13(－1)＋3C02＝－3，b3＝C34(－1)3＋4C23(－1)2＋3C12(－1)＋2＝4，b4＝C44(－1)4＋4C33(－1)3＋3C22(－1)2＋2(－1)＋1＝－1，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若C2n A22＝42，则n！3！(n－3)！＝________. 答案35解析 由n (n －1)2×2＝42，解得n ＝7，所以n ！3！(n －3)！＝7！3！4！＝35. 14．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市某农业经济部门决定派出5位相关专家对3个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣1位专家，其中甲、乙两位专家需要被派遣至同一地区，则不同派遣方案的种数为________．(用数字作答)答案 36解析 由题意可知，可分为两类，第一类：甲、乙在同一个地区时，剩余的3人分为2组，将3组派遣到3个地区，共有C 23A 33＝18(种)不同派遣方式；第二类：甲、乙和剩余的3人中的1人在同一个地区，另外2人分别在两个地区，共有C 13A 33＝18(种)不同的派遣方式．由分类加法计数原理可得不同的派遣方式共有18＋18＝36(种)．15．在(x －2y )(2x ＋y )5的展开式中，x 2y 4的系数为________．答案 －70解析 (2x ＋y )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k y k ，令5－k ＝1，得k ＝4，令5－k ＝2，得k ＝3，所以(x －2y )(2x ＋y )5的展开式中，x 2y 4的系数为C 45×2－2C 35×22＝－70.16．若(x －1)5－2x 4＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋a 4(x －2)4＋a 5(x －2)5，则a 2＝________.答案 －38解析 令x －2＝t ，则x ＝t ＋2.由条件可得(t ＋1)5－2(t ＋2)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，故t 2的系数为C 35－2C 24×22＝－38，即a 2＝－38.。

第十单元排列组合与概率10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．4封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是()A．34B．43C．A34D．C34解析：第n封信有3种投法(n＝1,2,3,4)，根据分步计数原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有3×3×3×3＝34种投法．答案：A2．4人去借三本不同的书(全部借完)，所有借法的种数是()A．34B．43C．A34D．C34解析：第n本书有4种借法(n＝1,2,3)，根据分步计数原理4人去借三本不同的书(全部借完)共有4×4×4＝43种借法．答案：B3．5名运动员争夺三个项目的冠军(不能并列)，所有可能的结果共有() A．35种B．53种C．A34种D．C34种解析：第n个项目的冠军可由5名运动员中的一人取得，共5种方法(n＝1,2,3)，根据分步计数原理，所有可能的结果共有5×5×5＝53(种)．答案：B4．5名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是()A．35B．53C．A35D．C35解析：第n名应届毕业生报考的方法有3种(n＝1,2,3,4,5)，根据分步计数原理不同的报名方法共有3×3×3×3×3＝35(种)．答案：A二、填空题5．(2010·金华一中高三月考)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)解析：由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A13A25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A12A12＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案：2406．有8本书，其中有2本相同的数学书，3本相同的语文书，其余3本为不同的书籍，一人去借，且至少借一本的借法有________种．解析：数学书的本数可以是0,1,2三种；语文书的本数可以是0,1,2,3四种，其余3本书每本都有两种取法，由分步计数原理共有3×4×2×2×2－1＝95种借法．答案：957．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．解析：小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类计数原理共有2C24＋4＝16场比赛．答案：16三、解答题8．海岛上信号站的值班员总用红、黄、白三色各三面旗向附近海域出示旗语，在旗标上纵排挂，可以是一面、两面、三面，那么这样的旗语有多少种？解答：悬挂一面旗共有3种旗语；悬挂两面旗共有3×3＝9种旗语；悬挂三面旗共有3×3×3＝27种旗语．由分类计数原理，共有3＋9＋27＝39种旗语．9．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解答：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12种方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6种方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12种方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．10．如下图所示，三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解答：(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成C2m C2n＋C2n C2k＋C2k C2m个平行四边形．1．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花() A．3 360元B．6 720元C．4 320元D．8 640元解析：从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连接的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步计数原理共有8×9×10×6＝4 320(注)，至少需花4 320×2＝8 640(元)．答案：D2．由n×n个边长为1的小正方形拼成的正方形棋盘中，求由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目．解答：如下图，根据分步计数原理，边长为k(1≤k≤n，k∈N*)的正方形共有(n－k＋1)(n－k＋1)＝(n－k＋1)2(个)；由分类计数原理，图形中所有正方形的数目是n2＋(n－1)2＋(n－2)2＋…＋22＋12＝16n(n＋1)·(2n＋1)(个)．。

本岂目为敕师专用"第十单元 算法初步、统计、统计案例使用建议■ s^rroNGJiwvi1. 编写意图本单元包括两部分内容，一部分是“算法初步”另一部分是“统计、统计案例”. 本单元在编写时注意到以下几点：(1) 突出主干知识.对核心知识和常考知识点进行重点设计，对各种基本题型进行了详细阐述.(2) 统计方法的讲解.编写时把各种统计方法的使用放在了首位 .(3) 把握基本题型.对各种基本题型进行了详细讲解，目的是帮助学生构建知识体系.2. 教学指导在复习过程中，要注意以下几个方面：(1) 对算法初步教学的建议.由于试题主要考查程序框图和基本算法语句，因此复习该部分时要抓住以 下两点:一是程序框图的三种基本逻辑结构，弄清三种基本逻辑结构的功能和使用方法，结合具体题目 掌握一些常见的程序框图题；二是理解基本算法语句，搞清楚条件语句与条件结构的对应关系，循环语 句与循环结构的对应关系等.(2) 对统计教学的建议.由于统计涉及的概念很多，教学中教师应引导学生结合具体题目仔细体会概念 的含义,使学生通过适当练习，学会如何使用概念解题.统计图表是统计中的主要工具，教学中要使学生 掌握从图表中提取有关数据的信息并进行统计推断的方法 .(3) 加强运算能力的培养.统计的数据计算较复杂，要注重培养学生良好的运算习惯，通过统计的复习提 高运算能力. 3. 课时安排本单元包含4讲,1个小题必刷卷,1个解答必刷卷,1个单元测试卷，建议每讲1课时完成，小题必刷卷、 解答必刷卷和单元测试卷各1课时完成，本单元共需7课时.第66讲算法初步考试说明1.了解算法的含义、算法的思想 .2•理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构 •3. 了解几种基本算法语句一一输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义 【课前双基巩固】 知识聚焦1. (1) 一定规则 明确 有限 ⑵程序2. 程序框文字说明3•依次执行基本结构条件是否成立反复执行 循环体4. (1)输入信息 变量=表达式 ⑵①IF 条件THEN END IF ②IF 条件 THEN ELSE(3)① DO LOOP UNTIL ② WHILE WEND 对点演练1.84 ［解析］程序运行过程如下：X =2,S=0,S=22=4,X =2 0=4;S=4+42=2O, x=2 X 4=8;S=2O+82=84>64, 循环结束，输岀S=84.2.3或-3 ［解析］该程序是求函数y=|x|的函数值，•••『=,••• X =±3.7 ［解析］由程序框图可以看岀，当n=8>6时，循环结束做输岀S=［ 一田一田—田一田_］=7.4.是 否［解析］当X ^60时，应输岀“及格;'当X <60时，应输岀“不及格”.故①处应填“是;'②处应填“否.5.17 ［解析］第一次循环得，a=153-119=34;第二次循环得,b=119-34 = 85;第三次循环得，b=85-34=51; 第四次循环得,b=51-34=17;第五次循环得，a=34-17 = 17,此时a=b,输岀a=17. 【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］(1)该程序框图为条件结构，考查分段函数中已知函数值(输岀的值)求自变量(输入值), 在给定的条件下分别列方程求解即可；(2)列举岀循环情况，确定循环终止的条件. ⑴A (2)B ［解析］⑴依题意可得y=--输岀的结果为1,即 或解得x=-2或x=3，故选A.⑵若填入的条件为"n<k?",执行该程序，有M= 1+-=-,a=2,b=-,n=2;M=2+- = ,a=-,bd,n=3,终止循环，输 岀M=-,不合题意.若填入的条件为"n<k+1?"，则继续循环，M=-+-=—,a=-,b=—,n=4,终止循环，输岀M=—, 符合题意.显然填入n<k+ 2?”及“k+3?”均不符合题意故选B. 变式题(1)B(2)D［解析］(1)模拟程序框图的运行过程，如下：a=1,b= 1,S=2,c=1 + 1=2,S=2+2 = 4; c €0, a=1,b=2,c=1 +2=3,S= 4+3=7; c €0, a=2,b=3,c=2 + 3=5,S= 7+5=12; c €0, a=3,b=5,c=3 + 5=8,S= 12+8=20; c€0, a=5,b=8,c=5 + 8=13, S= 20 + 13=33; c €0,a=8,b=13,c=8+13=21,S=33+21 = 54. 此时c>20,终止循环，输岀S=54. 故选B. (2)运行该程序,S=0, n= 1,M= 1,S=1, n=2;M=-2,S=-1, n=3;M=3,S=2 ,n=4;M=-4,S=-2, n=5;M=5,S=3, n=6;M=-6,S=-3, n=7;…;M=-2018, S=-1009, n =2019; M=2019,S=1010, n=2020; M=-2020,S=-1010，此时 n>2019,终止循 环,输岀S=-1010. 故选D.例2 ［思路点拨］(1)根据输岀的结果是56,终止循环的岀口是“是”，排除选项A,C,再根据该程序框图的 功能是求S n =2+4+6+…+2n 求解.(2)运行该程序，依次写岀每次循环得到的i,S 的值，当S=-lg 11时，满 足条件,退岀循环，输岀i 的值为9,从而得解.(1) D ⑵B 懈析］(1)根据输岀的结果是56,终止循环的岀口是“是”，排除选项A,C.该程序框图的功能 是求S n =2+4+6+…+ 2n,由S n =n(n +1)=56,得n=7,所以判断框中的条件可以是“ n>6?".故选D. (2) 该程序运行如下： i=1, S= lg —=-lg 3 >-1; i=3,S=lg-+lg-=lg-=-lg 5 >-1; i=5,S=lg-■lg i =lgi =-lg 7 >-1;i=7,S=lg-+lg-=lg-=-lg 9 >-1; i=9,S=lg_+lg —=lg —=-lg 11 <-1,终止循环，输岀i=9.故选B.变式题(1)C (2)B ［解析］(1)由程序框图可得输岀的结果为T=cos-+COS—+…+cos—=—+0—1——+0 + —+1 +—= — .⑵该程序框图的功能是求8个观测数据的方差.•••=- >(40+41 +43+43 + 44+46+47+48)=44, .••2=->42+32+12+12+02+22+32+42)=7,故输岀的S 的值为7.故选B.例3 ［思路点拨］先判断输入值是否满足条件“ x>9 AND x<100”，然后逐个执行语句，算岀a,b和x的值, 最终输岀x,即为所求.D ［解析］若输入x的值是53,满足条件‘x>9 AND x<100 ”则a=53 10 = 5,b=53 MOD 10 =3,x=3X10+5=35,输岀35,程序结束.若输入x的值是125,不满足条件‘x>9 AND x<100 ”，程序结束.故选D.变式题A ［解析］输入m=3201, n=1023,第一次循环：r=m MOD n=132, m=n=1023, n=r= 132,此时r老,继续循环；第二次循环:r=m MOD n=99,m=n=132, n=r=99，此时r^0,继续循环；第三次循环：r=m MOD n=33,m=n= 99, n=r=33,此时r老,继续循环；第四次循环:r=m MOD n=0,m=n=33,n=r=0,此时r=0,跳岀循环，输岀m=33. 故选A.备用例题I JIA05HI 0EIYONG LITI _________________________________________________________________________________________________【备选理由】例1是茎叶图与程序框图的结合，是对听课正文例2的补充;例2是与函数有关的程序框图问题;例3是与算法语句有关的问题.例1 ［配合例2使用］随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学测量他们的身高，获得身高数据的茎叶图如图①所示，在这20人中,记身高(单位:cm)在［150,160),［160,170),［170,180),［180,190］的人数依次为A1,A2,A3,A4•图②是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，若输岀的S的值为18,则判断框内可以填()甲KS LK1勺9 5 D1702 4 T98 7 4 J L63 5 715*①A. i<3?B.i<4?C.i<4?D.i<5?本社目②［解析］B由i的初始值为2,且输岀的S的值为18,可知程序框图的作用是统计身高大于或等于160 cm的人数（恰为18）,于是要计算A2+A3+A4的值，因此判断框内可以填“ i<4?”例2 ［配合例2使用］［2018遂宁模拟］执行如图所示的程序框图，若输入的x=3,则输岀的所有x的值的和为（）/«W/输岀耳/T=Jf+lA.243B.363C.729D.1092［解析］D 当x=3时,y是整数; 当x=32时,y是整数;依此类推可知当x=3n（n 6N*）时,y是整数.由x=3n<1000,得n詬，所以输岀的所有x的值为3,9,27,81,243,729,其和为1092,故选D.例3 ［配合例3使用］［2018成都调研］阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5,则程序中a的取值范围是（）S=0i=1DOS= S+ii=i+1LOOP UNTIL i>aPRINT SENDA.5至詬B.5va<6C.5<a詬D.5<a<6［解析］D执行程序：S=0,i=1,S=1,i=2,2 剝S= 3,i= 3,3 <3;S=6,i=4,4 <3；S=10, i=5,5<a;S=15, i=6,6>a,结束循环,所以5<a<6.故选D.第67讲随机抽样考试说明1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)不放回抽取(2)相等(3)抽签法随机数法2. (2)差异明显的几个部分3. (1)编号⑵分段间隔k分段⑶简单随机抽样⑷(l+2k)对点演练1.200个零件的长度［解析］200个零件的长度是从总体中抽岀的个体所组成的集合，所以是总体的一个样本.2.系统抽样懈析］根据系统抽样的定义即得.3.20 30 ［解析］200 300=20 30,故抽取的50人中，有男同学20人,女同学30人.4.01 ［解析］从第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选岀的编号为08,02,14,19,01,故选岀来的第5个个体编号是01.5.30 ［解析］••1203除以40不是整数，•需随机剔除3个个体，从而每一段有30个个体，则分段间隔为30.6.25,56,19 ［解析］因为125 280 95=25 56 19,所以根据分层抽样方法的特点知，三个年龄段中抽取的人数分别为25,56,19 .7.①［解析］根据简单随机抽样及分层抽样的定义可得，每个个体被抽到的概率都相等，所以每个个体被抽到的概率都等于——.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］(1)对四个选项中的说法逐一分析排除；(2)从随机数表第1行的第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，列举岀选岀来的前4个个体的编号，即可得结果.(1) A ⑵C 懈析］(1)这次抽样可能采用的是简单随机抽样的方法,A中说法正确讴次抽样可能采用系统抽样的方法，男生编号为1~20,女生编号为21 ~50,分段间隔为5,依次抽取1号,6号,…,46号,B中说法错误;这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率,C和D中说法均错误.故选A.(2) 从随机数表第1行的第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，选岀来的编号在00~49的前4个个体的编号为33,16,20,38,所以选岀来的第4个个体的编号为38.故选C.变式题175 懈析］从第2行第7列开始向右读取，符合条件的数是785,667,199,507,175，…，所以所求编号为175.例2 ［思路点拨］系统抽样即为等距抽样，据此进行判断.D ［解析］根据分层抽样的特点可得应从高三年级抽取20人，根据系统抽样的特点可将高三年级学生按编号001〜040,041 ~080,…,761~800分成20组，抽取的学生编号应成等差数列，公差为40,经计算,795-55=740,740不是40的整数倍，因此这组数据不是由系统抽样得到的，故选D.变式题(1)B ⑵B ［解析］(1)由题意知23 >6=138,138 -10=13余8,所以应先从138瓶饮料中随机剔除8瓶.故选B.⑵按照系统抽样的方法结合题意可得，第四组中抽取的学生编号为20 + (1200舟0) >3=92.例3 ［思路点拨］根据分层抽样的特点，先确定抽样比例再求解.(1) C (2)B 懈析］(1)由题意知，——=一,解得k=2, /抽取的丙种型号产品的件数为120 > =36.⑵根据题意知抽样比例为——=一，故学生总人数为90 L =6000,所以高三年级被抽取的学生人数为—>6000 -2400 -2000)=24.变式题（1）C （2）5 ［解析］⑴・.6,y,z依次构成等差数列，且6,y,z+6依次构成等比数列，•••解得若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为------- X12=4，故选C.（2）从全校学生中随机抽取1人,抽到高二年级学生的概率为0.37,则高二年级学生的人数为0.37 X2000 =740,所以高三年级学生的人数为2000 -760 -740 =500,故从高三年级抽取的学生人数为——X500=5.徹弭备用例题JIAOSHl DC YONG LiTi【备选理由】例1考查了简单随机抽样；例2考查分层抽样方法的应用；例3综合考查了简单随机抽样、分层抽样与系统抽样三种抽样方法的区别与联系.例1 ［配合例1使用］某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件编号为001,002,…,699,700,从中抽取70个样本.若从下面随机数表的第1行第6列开始向右读取数据,则得到的第5个样本的编号是（）332 11834297864560732524206443812234 35677357890564284421253313457860 73625300732852345788907236896080 43256780843678953557734899483A.524B.443C.644D.343［解析］B从第1行第6列开始向右读取数据,依次得到297,560,524,206,443，…，所以得到的第5个样本的编号是443.例2 ［配合例3使用］一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320 人，具有初级职称的有200人，其余人员有120人.为了解职工收入情况，决定按职称采用分层抽样的方法从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A.12,14,10,4B.9,12,12,7C.8,15,12,5D.8,16,10,6［解析］D由题意得，抽样比例为一=一,所以从具有高级职称的职工中抽取的人数为160 X=8,从具有中级职称的职工中抽取的人数为320 1=16,从具有初级职称的职工中抽取的人数为200 X =10,从其余人员中抽取的人数为120 1=6,所以各层中抽取的人数依次是8,16,10,6,故选D.例3 ［补充使用］要完成下列两项调查：①某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭,从中抽取100户调查消费购买力的某项指标［②从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3名调查学习负担情况.应采取的抽样方法分别是（）A. ①用系统抽样法，②用简单随机抽样法B. ①用分层抽样法，②用系统抽样法C. ①用分层抽样法，②用简单随机抽样法5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题【课前双基巩固】 知识聚焦1. (1)最大值 最小值 ⑵组距 组数 ⑶分组 (4)频率分布表 (5)频率分布直方图2. (1)中点⑵所分的组数组距3. 随时4. (1)最多 从小到大 中间(2)①样本数据 样本容量 样本平均数 对点演练1.25 ［解析］依题意知，月均用水量在［2,2 .5)范围内的频率为0.50 >0.5=0.25,故所求居民人数为 100 X0.25=25.2.乙［解析］从茎叶图可以看岀，乙的数据分布更加集中，所以乙运动员的发挥更稳定.3.0.016 ［解析］易得射击成绩的平均数为 9.5，故方差S 2=->(9.4-9.5)2+ (9.4-9.5)2+ (9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.4.3 ［解析］设这100个成绩的平均数为一,则一 = ------------------------------------- =3.5.5 8 ［解析］由中位数的定义可知 x=5,因为(y+5+8)+30+9+24 =5 >6.8,所以y=8.6.40 ［解析］前3个小组的频率和为1-(0.037 5 +0.012 5) X5=0.75,所以第2个小组的频率为 ->0.75 = 0.25,所以抽取的学生人数为 ——=40.7.S 2>S 1>S 3 ［解析］由标准差的几何意义得，数据越稳定，标准差越小.又数据越接近均值，数据越稳定, 因此 S 2>S 1>S 3.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］(1)由频率分布直方图求岀a=0.008,成绩在［40,70)上的频率为0.42,成绩在［70,80)上 的频率为0.4,由此能估计该次数学成绩的中位数;(2)根据频率分布直方图的性质求岀 a 的值,再依次判 断各个说法的正误. (1) C (2)B ［解析］(1)由频率分布直方图得(0.004+2a+0.03 + 0.04 + 0.01) >0 = 1,解得 a=0.008, /成绩在［40,70)上的频率为(0.004+0.008+0.03) X10=0.42,成绩在［70,80)上的频率为 0.04 X 10 = 0.4,「估计该次数学成绩的中位数是 70+ — X10=72.故选C.⑵由频率分布直方图得 100 >0.001 +0.001 5 X 2+a+2a)=1,解得a=0.002,所以寿命在300 h ~400 h 的异，故应米用简单随机抽样法.第68讲用样本估计总体考试说明1.了解分布的意义和作用 特点.，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的D.①②都用分层抽样法［解析］C 对于①，由于家庭收入差异较大，故应该采用分层抽样法；对于②，由于个体较少，且无明显差 2.理解样本数据标准差的意义和作用 ，会计算数据标准差 3. 能从样本数据中提取基本的数字特征 4. 会用样本的频率分布估计总体分布(如平均数、标准差)，并作出合理的解释. ，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 ，理解用样本估计总体频数为0.4X200=80,故①中说法错误；寿命在400 h〜500 h所对应的矩形的面积是0.2，故②中说法正确；用频率分布直方图估计该种电子元件的平均寿命为150 X0.1+250 X0.15+350 M.4+450 >0.2+550 >0.15,故③中说法错误; 寿命超过400 h的频率为0.2+0.15=0.35，故④中说法错误.故选B.变式题解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为1-(0.004 + 0.012+0.016 + 0.03 + 0.02+0.006+0.004) >0=0.08, 频率分布直方图如图.⑵由频率分布直方图得考试成绩在［60,90)内的频率为(0.004 + 0.012 + 0.016) >0 = 0.32,考试成绩在［90,100)内的频率为0.03 >0=0.3,••估计该校高三年级的这500名学生这次考试成绩的中位数为90+ — >0=96.⑶样本中第一组有学生50X0.004 >0=2(人),第六组有学生50 ».006 X10 = 3(人),从样本中考试成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n= =10,这2名学生的分数差的绝对值大于10分包含的基本事件个数m= =6,•这2名学生的分数差的绝对值大于10分的概率P=-=—=0.6.例2 ［思路点拨］(1)分析样本数据知该药店应选择乙药厂;(2)①先计算从乙药厂所抽取的每件中药材的质量平均数，再求岀总质量：②计算该药店所购买的100件中药材的总费用，列不等式求岀a的最大值.解:(1)根据样本数据知，该药店应选择乙药厂购买中药材.(2) ①从乙药厂所抽取的每件中药材的质量平均数为=一 >7+9 + 11+12+12 + 17 + 18+21 +21 +22)=15,估计该药店所购买的100件中药材的总质量为100 X15=1500(克).②由题可知,n<15的概率为一=-，15<n€0的概率为一=-，n>20的概率为一，则该药店所购买的100件中药材的总费用为100 >^50+100 >a+100 L>00,依题意得100 >>50 + 100 >a+100 L>00 <7000,解得a <75, •••a 的最大值为75. 变式题 ⑴D (2)A ［解析］(1)甲命中个数的最大值是37,最小值是8,极差为37-8=29，故A 中说法正确；乙命中个数的众数是21,故B 中说法正确； 由茎叶图知甲的命中率比乙高，故C 中说法正确； 甲命中个数的中位数为——=23,故D 中说法错误. 故选D.(2)根据茎叶图中数据知，这组数据的平均数 =->(88 +85+91 +95 + 94+92+90 +93) =91,方差 S 2=->(88-91)2+(85-91)2+(91 -91)2+(95-91)2+(94-91)2+(92-91)2+(90-91)2+(93-91)2］=9.5.故选 A.例3 ［思路点拨］(1)根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为 1可得a=0.30;(2)根据频率分布直方图中小矩形的面积之和可确定 2.5<x<3,然后再根据频率值为0.85计算岀x;(3)设居民月用水量为t 吨 再列出居民每月的水费数据分组与频率分布表，然后再求出该市居民的月平均水费 解:(1)由频率分布直方图，可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08 + 0.04) >0.5=1,解得 a=0.30. (2) ••前 6 组的频率之和为(0.08 + 0.16+0.30 + 0.40+0.52 + 0.30) >0.5=0.88>0.85, 而前 5 组的频率之和为(0.08 + 0.16+0.30+0.40+0.52) X0.5 = 0.73<0.85, ••2.5vx<3,由 0.3 X x-2.5)=0.85-0.73,解得 x=2.9,因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.⑶设居民月用水量为t 吨时,相应的水费为y 元,则 即y=由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下根据题意,该市居民的月平均水费估计为 1 X 0.04+3 X 3.08 + 5X D.15 + 7X0.20+9X D.26 + 11 X 0.15 + 14 X D.06 + 18X5.04+22 >0.02 = 8.42(元).变式题(1)D(2)C(3)C［解析］(1)一级和二级都是质量合格空气，观察统计图可以看岀,1月、2月、6月、7月、8月这5个月的空气质量合格天数均超过了20天,故选项A 叙述正确;1月、2月、3月相比于4月、5月、6月,整体上空气质量较好，故选项B 叙述正确;8月份的空气质量合格天数为30天，且一级达到了 14天，所以8月是1月至8月中空气质量最好的一个月，故选项C 叙述正确;5月份空气 质量合格的只有13天,四级及以上甚至有4天，所以5月是1月至8月中空气质量最差的一个月 所以 选项D 叙述错误.故选D.(2)由频率分布直方图得，甲地区用户满意度评分在［40,60)内的频率为(0.015 + 0.020) X 0=0.35，在［60,70)内的频率为 0.025 »0=0.25,••甲地区用户满意度评分的中位数 m 1 = 60+，时,相应的水费为y 元，则y= y= X 10=66,甲地区用户满意度评分的平均数S i=45 >0.015 X10+55 >0.020 X10+65X0.025 X10+75 >0.020 X10 + 85 >0.010 X10 + 95 >0.010 X10=67.乙地区用户满意度评分在[50,70)内的频率为(0.005 + 0.020) >0=0.25,在[70,80)内的频率为0.035 >0=0.35,•乙地区用户满意度评分的中位数m2=70 + --------- X10叼7.1,乙地区用户满意度评分的平均数S2=55 ».005 X10+65 ».020 >0+75X0.035 X10+85 ».025 X10 + 95 ».015 X10=77.5.••m1<m 2,S1<S2.故选C.⑶因为该市最前面4天的空气质量指数的平均数为->97+51 +36 + 68)=63,最后4天的空气质量指数的平均数为->59 +48 +29 +45) =45.25,所以在该市这22天的空气质量中，从空气质量指数的平均数来看，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A中结论正确；AQI高于100的数据有3 个:143,225,145,所以在该市这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B中结论正确;12月29日的AQI为225,为重度污染，该天的空气质量最差，即选项C中结论错误;AQI在[0,50]内的数据有6 个:36,47,49,48,29,45,即空气质量为优的天数为6,即选项D中结论正确.故选C.■ SIN备用例题I JIAOSI'I 0CIYONG LITI _________________________________________________________________________________________________ 【备选理由】例1考查的是频率分布直方图的识别与理解；例2综合考查茎叶图及频率分布直方图.例1 [配合例1使用]某中学有初中生1800人,高中生1200人.为了了解学生本学期课外阅读的时间，现采用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，先统计他们课外阅读的时间，然后按“初中生”和“高中生分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50], 并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)写岀a的值；⑵试估计该校所有学生中阅读时间不少于30小时的学生人数;⑶从阅读时间不足10小时的样本对应的学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.解:(1)a=0.030.⑵由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名.因为初中生中阅读时间不少于30小时的频率为(0.02+0.005) >0 = 0.25,所以所有的初中生中阅读时间不少于30小时的约有0.25 X1800 =450(人).同理，高中生中阅读时间不少于30小时的频率为(0.03 + 0.005) X10=0.35,所以所有的高中生中阅读时间不少于30小时的约有0.35 >200=420(人).所以该校所有学生中阅读时间不少于30小时的约有450+420=870(人).⑶初中生中阅读时间不足10小时的频率为0.005 X10 = 0.05,样本中该小组内的人数为0.05 00=3. 同理，高中生中阅读时间不足10小时的小组内的人数为(0.005 X10) X40=2.故X 的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1) =——=—,P(X=2)=——=_,P(X=3)=——.所以X的分布列为X123P———所以E(X)=1 J+2 X+3 X=-.例2 ［配合例2使用］［2018石家庄二中月考］某市为准备省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图，同时用茎叶图表示甲、乙两队运动员本次测试的成绩(单位:cm,且均为整数)，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190 cm以上(包括190 cm)的只有两个人，且均在甲队，规定:跳高成绩在185 cm以上(包括185 cm)定义为优秀.(1)求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在［160,170)(单位:cm)内的运动员人数b;⑵在甲、乙两队所有成绩在180 cm以上的运动员中随机选取2人,已知至少有1人成绩为优秀，求两人成绩均优秀的概率；(3) 在甲、乙两队中所有的成绩为优秀的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，若所选取运动员中来自甲队的人数为X,求X的分布列及期望.解:(1)由频率分布直方图可知，成绩在190 cm以上(包括190 cm)的运动员的频率为0.005 X10=0.05,••全体运动员总人数a=—=40,••成绩在［160,170)内的运动员的人数为40 X0.03 X0 = 12,由茎叶图可知，甲队成绩在［160,170)内的运动员有3名，•b=2-3=9(人).⑵由频率分布直方图可得，成绩在180 cm以上的运动员总数为(0.020 +0.005) X10 X40=10, 由茎叶图可得，甲、乙两队成绩在180 cm以上的人数恰好有10人，••乙队的这部分数据不缺失，且两队中共有6人成绩优秀，其中甲队有4人,乙队有2人.设事件A为“至少有1人成绩优秀”，事件B为“两人成绩均优秀”，则P(A)=1-P「)=1-—=-,P(AB)=—=-,•P(B|A)= --- =_ X-=—⑶X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=0)=——= — ,P(X=1) =——=—,P(X=2)=——=一=-，.•.E X）=O —+1 J+2 =_.第69讲变量间的相关关系、统计案例考试说明1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2 .了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）.3. 了解回归的基本思想、方法及其简单应用4. 了解独立性检验的思想、方法及其初步应用【课前双基巩固】知识聚焦1. 散点图（1）左下角右上角（2）左上角右下角（3）—条直线2. （1）距离的平方和（2）斜率4.（1）有关系⑵a+b b+d对点演练1. ②［解析］对于①，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系，不是相关关系；对于②，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；对于③，人的身高与眼睛近视的度数之间的关系既不是函数关系也不是相关关系；对于④,哥哥的数学成绩与弟弟的数学成绩之间既不是函数关系也不是相关关系.2. 负相关正相关［解析］由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关,u与v正相关.3. ③［解析］由已知数据可得，有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”4. =6.5x+17.5 ［解析］由题意可知一= ------------ =5厂= -------------- =50,即样本点的中心为（5,50）.设回归直线方程为=6.5x+ , ••回归直线过样本点的中心（一厂）,.・50=6.5X5+，即=17.5,「回归直线的方程为=6.5x+17.5.5. 正小于［解析］因为散点图呈现上升趋势，所以人体脂肪含量与年龄正相关.因为中间两个数据大约介于15%到20%之间,所以脂肪含量的中位数小于20%.6. ④［解析］由于线性回归方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系，故①中结论正确.因为回归直线必过样本点的中心「厂）,所以②中结论正确.由线性回归方程的意义知，某女生的身高每增加1 cm,其体重约增加0.85 kg,故③中结论正确.当该大学某女生的身高为170 cm时，其体重的估计值是58.79 kg,这不是确定值，因此④中结论不正确.7.27 ［解析］一=17.5,一=39,所以=39-（-5） X17.5=126.5,因此当x=20 时,=-5x20 + 126.5=26.5 切.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］(1)由=-0.1x+1可以判断岀x与y负相关，进而判断岀x与z负相关；(2)利用有关知识逐一判断即可.⑴A ⑵C 懈析］(1)显然x与y负相关.又y与z正相关,所以x与z负相关.故选A.(2)①显然不正确，②不正确，应是函数关系，③④⑤正确.变式题A ［解析］由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知，r2vr4<0vr3vr i.例2 ［思路点拨］(1)利用最小二乘法求岀，，从而求岀回归方程;(2)利用所求的回归方程进行回归预测，再计算收缩压与标准值的比值，最后根据题意判断.解:⑴= -------------------------------------- =45,= ---------------------------------------------- = 129,= ------------ = -------------------- «0.91,=-=129-0.91 M5=88.05,••回归直线方程为=0.91 x+88 .05.⑵根据回归直线方程预测，年龄为70岁的老人的标准收缩压约为0.91 >70+88.05=151 .75(mmHg),•/------ 胡.19,••这位收缩压为180 mmHg的70岁老人属于中度高血压人群.变式题解:(1) =- >9 + 7+3+1)=5, =->0.5+3.5+6.5 + 9.5)=5,X i y i=9 ».5 + 7X3.5+3>6.5+1 >9.5=58,=92+72+32+12=140,所以= ------------ =-—,=5-5 X - 一 =—,所以y关于x的线性回归方程为=-—x+—.⑵根据表2和表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元,有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，所以估计小李的洗车店2018年11月份每天的平均收入为一>-2000 X3-1000 >6+2000 X12+6000 >6+8000 X3)=2400(元).例3 ［思路点拨］(1)根据公式计算K2的观测值撚后根据临界值表中概率值给岀相应结论；(2)先确定随机变量丫的所有可能取值为0,10,20,30,40,再求岀每一个值对应的概率，然后列岀分布列，计算数学期望即可.。

专题10.1 计数原理【考纲要求】1. 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题．2.了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题．3．了解组合数的性质．【考向预测】1. 计数原理的应用2. 排列数的应用3. 组合数的应用【知识清单】1. 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋m n__种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·m n__种不同的方法．重要结论分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2.排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A m n__表示．(3)排列数公式：A m n＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝__1__．3.组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C m n__表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，这里规定Cn＝__1__．(4)组合数的性质：①C m n＝__C n－mn __；②C m n＋1＝__C m n__＋__C m－1n__．重要结论对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．【考点分类剖析】考点一计数原理例1．6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为()A．70B．60C．50D．40例2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为__ __．(用数字作答)例3(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有__ __种不同的报名方法．【变式探究】1.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__ __种(用数字作答)．2.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有()A．320种B．360种C．370种D．390种考点二两个计数原理的综合应用例1．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有()A．512B．192C．240D．108例2．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有()A．48种B．72种C．96种D．108种【变式探究】1.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24种B．48种C．72种D．96种2.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有()个()A．10B．11C．12D．13考点三排列问题——自主练透例1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__ __(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__ __(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__ __(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__ __(5)全体排成一排，男生互不相邻；__ __(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__ __(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__ _(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__ _【变式探究】1. 某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__ __种不同的调度方法．(用数字填写答案)2.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为()A．36种B．48种C．56种D．72种考点四组合问题——师生共研例1.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．49C．56D．28例2.福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有()A．15种B．18种C．20种D．22种【变式探究】我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为()A．30B．60C．90D．120考点五排列、组合的综合应用例1.(1)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__ __种．(2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是()A．16B．24C．8D．12例2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48B．72C．90D．96例3.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__ __②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__ __③平均分成三份，每份2本；__ __④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；__ _；⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__ __⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__ __⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．_ __【变式探究】1. 某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有__ __种．2.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A．36种B．42种C．48种D．60种3.为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有__ __种．专题10.1 计数原理【考纲要求】1. 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题．2.了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题．3．了解组合数的性质．【考向预测】1. 计数原理的应用2. 排列数的应用3. 组合数的应用【知识清单】1. 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋m n__种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·m n__种不同的方法．重要结论分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2.排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A m n__表示．(3)排列数公式：A m n＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝__1__．3.组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C m n__表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，这里规定Cn＝__1__．(4)组合数的性质：①C m n＝__C n－mn __；②C m n＋1＝__C m n__＋__C m－1n__．重要结论对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．【考点分类剖析】考点一计数原理例1．6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为(C) A．70B．60C．50D．40[解析]C46＋C36＋C26＝50或C46·A22＋C36＝50．故选C．例2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为__12__．(用数字作答)[解析]由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A，有6种；第二类，甲单独在A，则两人在B有C23＝3种或两人在C有C23＝3种，共有6种，共12种．例3(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(B)A．24B．18C．12D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有__120__种不同的报名方法．[解析](1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．【变式探究】1.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__36__种(用数字作答)．2.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有(B)A．320种B．360种C．370种D．390种[解析] 1.第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．2.第一步安排周五2名，有C26＝15(种)方法；第二步安排周一至周四，有A44＝24(种)方法，故不同的安排方法共有15×24＝360种，故选B．考点二两个计数原理的综合应用例1．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( D )A ．512B ．192C ．240D ．108[解析] 能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类，第一类，末位为0时，其它三位从剩下的数中任意排3个即可，有A 35＝ 60个，第二类，末位为5时，首位不能排0，则首位只能从1,2,3,4选1个，第二位和第三位从剩下的4个数中任选2个即可，有A 14·A 24＝ 48个，根据分类计数原理得可以组成60＋48 ＝108个不同的能被5整除的四位数，故选D ．例2．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有( B )A ．48种B ．72种C ．96种D ．108种[解析]如图四棱柱P －ABCD ，涂P 有4种方法⇒涂A 有3种方法⇒涂B 有2种方法⇒涂C ⎩⎪⎨⎪⎧ C 与A 同色有1种方法C 与A 不同色有1种方法⇒涂D ⎩⎪⎨⎪⎧有2种方法有1种方法，则不同的涂法共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种，故选B ． 【变式探究】1.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( C )A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种2.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有()个(B)A．10B．11C．12D．13考点三排列问题——自主练透例1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__2_520__(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__5_040__(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__3_600__(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__576__(5)全体排成一排，男生互不相邻；__1_440__(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__720__(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__2_520__(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__ [解析](1)从7个人中选5个人来排，是排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A37种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A37·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种．解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A26种方法，中间5个位置由余下5人进行全排列，有A55种方法，共有A26×A55＝3 600种．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1 440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A35种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法．故共有A22·A35·A33＝720种．(7)消序法：A772！＝2 520．(8)间接法：A77－2A67＋A55＝3 720．位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．甲在右端的排法有A66(种)排法，甲不在右端的排法有5×5A55(种)排法，∴共有A66＋25A55＝3 720(种)．【变式探究】1.某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__72__种不同的调度方法．(用数字填写答案)2.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为(D)A．36种B．48种C．56种D．72种[解析](1)C24C24A22＝72．或C24·A442＝72(2)①领导和队长站在两端，有A22＝2种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有A22A33＝12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有A22A22A23＝24种安排方法，则中间5人有12＋24＝36种安排方法，则有2×36＝72种不同的安排方法；故选D．考点四组合问题——师生共研例1.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(B)A．85B．49C．56D．28[解析]∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为9个．∵甲、乙至少有1人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有C12·C27＝42(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有C22·C17＝7(种)，根据分类加法计数原理知共有42＋7＝49(种)．例2.福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有(D)A．15种B．18种C．20种D．22种[解析]先从两个不同的地点选出一地点分配A，B两人，有C12＝2(种)情况，再将剩余4人分入两地有三种情况，4人都去A，B外的另一地点，有1种情况；有3人去A，B外的另一地点，有C34＝4(种)情况；有2人去A，B外的另一地点，有C24＝6(种)情况．综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选D．【变式探究】我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(D)A．30B．60C．90D．120[解析](1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有C35＝10种．(2)有两种情况，①一艘航母配2艘驱逐舰和1艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和2艘核潜艇，②一艘航母配2艘驱逐舰和2艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和1艘核潜艇，C12·(C25C13＋C25C23)＝120，故选D．考点五排列、组合的综合应用例1.(1)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__120__种．(2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(A)A．16B．24C．8D．12[解析](1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有A44×A22＝48种；②当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A33×A22＝36种；③当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种情况，共A22×A23＋A23×A22×A22＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．(2)根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16，故选A．例2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(D)A．48B．72C．90D．96[解析]由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有C13·A34＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A44＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．例3.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__③平均分成三份，每份2本；__15__④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；__90__；⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__15__⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__90__ ⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__ [解析](1)①C 16C 25C 33＝60；②C 16C 25C 33A 33＝360；③C 26C 24C 22A 33＝15；④C 26C 24C 22＝90；⑤C 26＝15；⑥C 46A 33＝90； ⑦C 16C 15C 44＝30．【变式探究】1.某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有__16__种． 2.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B ) A ．36种 B ．42种 C ．48种D ．60种3.为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有__150__种．[解析] (1)先排男生甲有C 14种方法，再排男生乙有C 12种方法，最后排两女生有A 22种方法，故共有C 14C 12A 22＝16种方法．另解(间接法)：农场主人在中间共有A 44＝24种站法，农场主人在中间，两名男生相邻共有2A 22·A 22＝8种站法，故所求站法共有24－8＝16种．(2)根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论： ①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有A 44＝24种不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有3A 33＝18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有24＋18＝42种不同的排法，故选B ． (3)5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则有两种情况，①将5名专家分成三组，一组3人，另两组都是1人，有C 35＝10种方法，再将3组分到3个医院，共有10·A 33＝60种不同的分配方案，②将5名专家分成三组，一组1人，另两组都是2人，有C 15·C 24A 22＝15种方法，再将3组分到3个医院，共有15·A 33＝90种不同的分配方案，根据分类加法计算原理可得一共有60＋90＝150种不同的分配方案．。