15 五年级 第15讲 圆与扇形

第十五讲 圆和扇形研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、 跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯一、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【例 2】 (2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．【解析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于21222⨯=平方厘米．【例 3】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．A A【解析】 将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形． ()5105275237.5+⨯÷=÷=(平方分米)．【例 4】 求图中阴影部分的面积．【解析】 如图，连接BD ，可知阴影部分的面积与三角形BCD 的面积相等，即为1112123622⨯⨯⨯=．【例 5】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90︒，则阴影部分转化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为211π444 4.5642⨯⨯-⨯⨯=．【例 6】 求下列各图中阴影部分的面积．(1)1010(2)ba【解析】 在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得110102522S =⨯⨯=阴影；在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b ，宽为a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得S a b ab =⨯=阴影．【例 7】 如图，长方形ABCD 的长是8cm ，则阴影部分的面积是 2cm ．(π 3.14=)【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以2即可．长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：()2882822π2 6.88⨯÷-÷÷⨯⨯=所以左图阴影部分的面积等于6.882 3.44÷=平方厘米．【例 8】 求右图中阴影部分的面积．(π取3)45︒45︒20cm【解析】 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手． 这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．(法1)我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB 的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而AC 为四分之一圆的半径，所以有AC =10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为11010502⨯⨯=，所以阴影部分的面积为15050100-=(平方厘米)．(法2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A 与C 重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积．所以阴影部分面积为21110101010022π⨯⨯-⨯⨯=(平方厘米)．A板块二 曲线型面积计算【例 9】 如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________． DCBA【解析】 设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【例 10】 如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△, 三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.【例 11】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【例 12】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【解析】 由右图知，绳长等于6个线段AB 与6个BC 弧长之和．将图中与BC 弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒， 所以BC 弧所对的圆心角是60︒，6个BC 弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段AB 等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【例 13】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=(平方厘米)．【例 14】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【解析】 方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【例 15】 如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)D【解析】 连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和． ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【例 16】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBAaDCBAa【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3) D BA DB【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积． 解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【例 17】 如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)CB A【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键． 我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)，再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【例 18】 如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【解析】 题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，则圆的面积为508400⨯=【例 19】 如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)乙甲A【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15．【巩固】 如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【解析】 图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【例 20】 (2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．204【解析】 如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．从图中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根据勾股定理可得12BC =． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．CD【例 21】如图，求阴影部分的面积．(π取3)【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅=6【例 22】 如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？68O【解析】S S S =-阴影直角三角形半圆， 设半圆半径为r ，直角三角形面积用r 表示为：610822r rr ⨯⨯+= 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168242⨯⨯=，所以824r =，3r =所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影家庭作业【作业1】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【解析】阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为4428⨯÷=．【作业2】如图，阴影部分的面积是多少？24【解析】首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积．则阴影部分面积(222)4(22)48++⨯-+⨯=【作业3】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值227．【解析】原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为：2211227π738.5447⨯⨯≈⨯⨯=．四分之一大圆内的等腰直角三角形ABC的面积为17724.52⨯⨯=，所以阴影部分的面积为38.524.514-=．【作业4】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)：⑴3⑵4⑶111⑷2⑸2⑹【解析】 ⑴4.5 ⑵4 ⑶1 ⑷2 ⑸1.5 ⑹4.5【作业5】求图中阴影部分的面积(单位：cm )．2【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分面积为21(24)39cm 2⨯+⨯=．【作业6】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【作业7】如图是一个直径为3cm 的半圆，让这个半圆以A 点为轴沿逆时针方向旋转60︒，此时B 点移动到'B 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)．【解析】 面积=圆心角为60︒的扇形面积+半圆-空白部分面积(也是半圆)=圆心角为60︒的扇形面积22603π3π 4.5(cm )3602=⨯⨯==．【作业8】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IABCI【解析】 由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC 面积减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )，BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【作业9】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【作业10】求图中阴影部分的面积．【解析】 阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=．。

圆与球：跨时代、跨文化的数学故事这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。

这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。

三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！圆和球还是最实用的图形。

宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。

简单中寓深奥。

在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。

圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。

中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。

刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。

古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。

不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。

阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式： (R是球课前预习专项一 圆与扇形综合半径)。

阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。

无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。

不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。

祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。

至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。

我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。

第一讲 圆与扇形初步例题1. 答案：62.8米详解：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是2π5262.8⨯⨯=米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．例题2. 答案：6.28平方厘米详解：228.26 3.143÷=，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为228.2671 3.14 6.28-⨯⨯=平方厘米．例题3. 答案：4；4.56；8详解：（1）割补法，将右边的弓形补到左边，两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形面积的一半．即44224⨯÷÷=．（2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼成一个完整弓形，面积为1144 3.1444 4.5642⨯⨯⨯-⨯⨯=． （3）割补法．正好是把第二问的过程反过来，把两个小弓形补到空白部分，阴影部分面积之和正好是等腰直角三角形的面积，即4428⨯÷=．例题4. 答案：4.71 详解：图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一个圆心角为60°的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为60°的扇形面积，即21π3 4.716⨯⨯=．例题5. 答案：8平方厘米详解：如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径的两倍，等于4厘米，所以面积为平方厘米．例题6. 答案：4.56详解：如图，把两个阴影部分的小弓形补到空白部分之后，可以看出阴影部分的面积之和等于大扇形的面积减去圆中正方形的面积．21π4442 4.564⨯⨯-⨯÷=． 4428⨯÷=练习1. 答案：62.8简答：()1234 3.14262.8+++⨯⨯=．练习2. 答案：6.28简答：大圆的面积是12.56，可求出大圆的半径是2，那么小圆的半径是1，面积是3.14．阴影部分的面积是12.56 3.14 3.14 6.28--=．练习3. 答案：10.28简答：图中的阴影部分恰好可以拼成一个边长为2的正方形和两个半径为1的圆，22 3.1411210.28⨯+⨯⨯⨯=．练习4. 答案：9.42简答：类似例题4的分析，可知阴影部分的面积与30°的扇形面积是相同的，都是21π69.4212⨯⨯=．作业1.答案：31.4 简答：278.5 3.1425r =÷=，5r =．2 3.14531.4C =⨯⨯=厘米． 作业2. 答案：80简答：扇形所在大圆的面积是23.14328.26⨯=，圆心角是6.283608028.26⨯=度． 作业3. 答案：1.05简答：阴影部分是两个60°的扇形，面积是213.1412 1.056⨯⨯⨯≈． 作业4. 答案：0.6075简答：连接BD ，将最左边的弓形补过来．阴影部分的面积就是平行四边形BDEC 的面积减去扇形的面积．24511 3.141=0.6075360S=⨯-⨯⨯影． 作业5. 答案：12平方厘米简答：阴影部分可以合成三个斜边是4的等腰直角三角形，面积是344412⨯⨯÷=平方厘米；。

捆地球的绳子假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米，π取3.14） 答案提示：地球赤道长：22 3.14640040192r π=⨯⨯=（千米），所以绳长40192千米； 一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：40192001264000000.159π÷-≈（米），大约为16厘米，差不多有一支铅笔长。

简直不可思议！圆的知识：1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心.2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径.4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧.5. 圆周长=直径×π=半径×2π 圆面积=π×半径2扇形的知识：1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆课前预习知识框架包含与排除和旋转对称心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。

【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】常用方法：1. 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。

第1讲圆、扇形的周长与面积（一）重点摘要1、圆的周长总是直径的三倍多一些，这个倍数是固定的数，叫做圆周率，通常用字母“π”表示。

π是一个无限不循环小数——3.1415926……，在计算时题目中如果没有特殊规定一般取“π”的近似值3.14。

圆的周长=直径×圆周率，用字母表示为：C =πd，或C=2πr2、圆的面积是把圆分割成若干份，拼成一个近似的长方形。

把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。

如右图：拼成后的长方形的长相等于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径。

所以：长方形的面积=长×宽圆的面积=2C ×r =22r π×r =πr×r =πr ²或=14πd 23、扇形可以看做是某个圆的一部分，它是由两条半径和圆心角所对弧围成的图形，有关扇形计算的问题主要涉及:半径、圆心角、弧长（弧长为圆周长的一部分，n 为与圆相对应的圆心角的度数）、面积等几个基本量，它们之间的关系如下：设扇形圆心角是n度；扇形的弧长为L；扇形的周长=扇形所对应的弧长与两条半径的长度之和。

扇形弧长计算公式是L=2360⨯n πr=⨯180n πr 扇形面积计算公式是S=⨯360n πr 2精讲精练例题1、圆形花坛的直径是20m，它的周长是多少米?小自行车车轮的直径是50cm，绕花坛一周车轮大约转动多少周？（π取3.14）练习1、一个圆形花坛，直径是4米，周长是多少米？（π取3.14）例题2、一个圆的周长是25.12米，它的面积是多少？（π取3.14）练习2、一个圆形花坛的周长是12.56米，它的面积是多少平方米？（π取3.14）例题3、求图中扇形的周长与面积。

（π取3.14）练习3、图中扇形的半径OA=OB=6厘米.∠AOB=45°，AC垂直OB于C，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）例题4、在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。

求阴影部分的面积。

第16讲、圆与扇形综合◎知识精讲一、圆的知识：1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心.2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径.4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧.5. 圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2. 二、扇形的知识：1.扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角.2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。

【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】三、常用方法： 1.常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 2. 割补法：将不规则的组合图形经过分割（用连线分割）、切拼、拼合后，转化成一个规则的几何图形，从而交易求得面积的方法，就是割补法求面积。

3.包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。

4.旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算的方法。

5.差不变原理：也称为放大法求面积，通常是求两个不规则图形的面积差，或是已知两个不规则图形的面积差，从而求面积大小或线段长短，一般我们把这两个图形经过放大（即加上同一图形），使它们变成两个规则图形，再计算解答。