黄梅国际育才2019届高三文科综合考试(八)

湖北省黄梅国际育才高级中学2019届高三5月第一次调研数学（文）试卷一、选择题：1．集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16A B =U ，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2．若复数2aiz i-=(其中i 为虚数单位，a R ∈)为纯虚数，则z 等于（ ） A ．2i - B ．2- C ．0 D ．23．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日（春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节）中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是（ ）A ．310 B ．25 C ．35 D ．7104．已知向量)3,2(=，向量)2,1(-=，若+μ与a b -r r垂直，则μ=（ ）A ．1-B ．1C ．19D ．12-5．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a 是2a 与7a 的等比中项，12a =，则9S =（ ） A ．22-B ．90-C ．3-D ．198-6．已知圆225x y +=与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，与抛物线的准线交于C 、D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则p 等于（ ）A ．1B 5C ．2D ．47．已知βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( ) A ．n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n m ．B ．n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m ．C ．面α内不共线的三点到β的距离相等．D ．面βα,都垂直于平面γ． 8．设函数()3sin cos cos 22f x x x x =-的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A ． 函数()f x 的最小正周期是2π． B ．图象C 关于直线512x π=对称． C ． 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到．小学生 3500名初中生 4500名 高中生2000名图1O10 30 50 近视率/% 图2D ． 图象C 的图象向左平移6个单位得到．9．设函数()f x 在R ()x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y x f x '=⋅的图象可能是（ O yxO yx O yx O yxA 10．已知直三棱柱111的6AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ） A ．2173 B ．210 C ．213 D ．310 11．已知点F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA 与双曲线的一条渐近线在y 轴左侧的交点为B ，若)31FA AB =u u u r u u u r，则双曲线的离心率是（ ）A 2B 3C ．2D 512．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x -+=，②()()20f x f x ---=，③在[]1,1-上表达式为()[](]cos ,1,021,0,1x x f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩．则函数()f x 与函数()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 4二．填空题：13．已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为____________．14．若变量,x y 满足约束条件62020x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2yx +的取值范围是_____________．15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它-2-2-2PADBCGEF “上方”左右两个数字之和。

湖北省黄梅县国际育才高级中学2019届高三上学期期中考试数学试卷（理）一、选择题1.已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A ． 1 B ． C ． D ．2.已知集合， ，若，则实数的取值范围（ ） A ． B ． C ． D ．3.下列说法中，正确的是（ ）A ． 命题“若，则”的否命题为“若，则”B ． 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C ． 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D ． “”是“”的充分不必要条件4.在三角形ABC 中，角所对的边长分别为，若，则（ ）A ． 2B ． 4C ． 5D ． 6 5.若函数， ，则（ ） A ． 曲线向右平移个单位长度后得到曲线 B ． 曲线向左平移个单位长度后得到曲线C ． 曲线向右平移个单位长度后得到曲线D ． 曲线向左平移个单位长度后得到曲线6.已知函数则不等式的解集为（ ）2z =i z =i -1-i {}2|40 A x x x =-<{}| B x x a =<A B ⊆a (]0,4()8,4-[)4,+∞()4,+∞a b >221ab>-a b >221ab≤-x R ∈210x x ++<x R ∈210x x ++>p p q q a b >22ac bc >,,A B C ,,a bc 23,cos 5a c A ===b =()cos2f x x =()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()y g x =6π()()y f x g x =+()y g x =6π()()y f x g x =+()y f x =12π()y g x =()y f x =12π()y g x =()22,0,{1,0,x x x f x x x-≥=<()f x x ≤A ．B ．C ．D ． 7.在等比数列中， ， ，且前项和，则此数列的项数等于（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 78.动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9.设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（ ）10.抛物线（）的焦点为，其准线经过双曲线 的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且p MF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C．D ．11、中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题：今有物，不知其数．三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？后来，南宋数学家秦九昭在其《数书九章》中对此问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”．如图程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的， 的值分别为40，34，则输出的的值为（ ）[]1,3-][(),13,-∞-⋃+∞[]3,1-][(),31,-∞-⋃+∞{}n a 182n a a +=3281n a a -=n 121n S =n P ()0,2A :4l y =-P 24y x =28y x =24x y =28x y =()f x ()f x '()f x ()0,1()f x '22y px =0p >F 22221x y a b-=(0,0)a b >>M 121a b cA ． 7B ． 9C ． 20D ． 2212.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题13.已知公比为的等比数列的前项和为，若，则的值为__________．14.在平面直角坐标系 中，若双曲线的右焦点 到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．15.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________.16.已知是定义在上周期为的奇函数，当时， ，则___________.三、解答题17.设命题 ：实数 满足 ，命题 ：实数 满足． （I ）若 ， 为真命题，求 的取值范围；（II ）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．R ()f x ()f x '()()223f x f x '+>()11f =()11230x f x e--+>()1,+∞()2,+∞(),1-∞(),2-∞q {}n a n n S ()126368S S q S -=q 2y x =2y x =()f x R 4(]0,2x ∈()22log xf x x =+()2015f =18.在△中，角， ， 的对边分别是， ， ，已知， ， ．（1）求的值；（2）若角为锐角，求的值及△的面积．19.已知数列为等差数列，首项，公差.若成等比数列，且， ， . (1)求数列的通项公式；(2)设，求和.20.已知椭圆 ：的离心率为，且过点 .（1）求椭圆 的方程； （2）设直线交 于 、 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值.ABC A B C a b c 1cos23A =-c=sin A C =a A b ABC {}n a 11a =0d ≠123,,,,,n b b b b a a a a 11b =22b =35b ={}n b n b ()321n n c log b =-12233445212221n n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+⋅⋅⋅+-21.设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.22.已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【参考答案】一、选择题1-12 BCCCB ABDCD CA二、填空题13.1/2 14.2 15.4/3 16.-2三、解答题17.解：（1）当时，由得，由得，∵为真命题，∴命题均为真命题，∴解得，∴实数的取值范围是．（2）由条件得不等式的解集为，∵是的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件，∴，∴解得，∴实数的取值范围是．18.19.20.解：（1）由已知可得，且，解得，，∴椭圆的方程为.（2）设，，将代入方程整理得，，∴，∴，，，，，，当且仅当时取等号，∴面积的最大值为.21.解：（1）设P（x，y），M（）,则N（），（）由得，.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，，，，，，，（，）.由得-3m-+tn-=1，学&科网又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即，.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.22.解：（1）f（x）的定义域为，，f ′（x）=ae x–．由题设知，f ′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f ′（x）=．当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则．当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．。

2018年秋季高三年级期中考试地理试题一、选择题(每题2分，合计60分)材料：二十四节气是中华文明的结晶，已被列入世界非物质文化遗产。

据此完成下题。

1．下图中能示意立冬这天南京(约32°N)太阳视运动的是()A．B．C．D．2．2017年7月7日当地时间下午1时，二十国集团领导人第十二次峰会在德国汉堡(53°33′N，10°E）举行。

会议召开时，汉堡正实行夏时制(时间拔快1小时)。

峰会开始时，天津观众观看峰会网络直播的时间为()A． 7月7日20时 B． 7月7日19时 C． 7月6日21时 D． 7月6日18时3．下图表示某时段大庆阴天和晴天时气温日变化示意图，下列叙述错误的是()A． AB两条曲线中，表示晴天的气温曲线是AB．白天阴天，气温比晴天时低，这是由于云层反射太阳辐射强C．夜晚阴天，气温比晴天时低，这是由于大气逆辐射强D．霜冻多出现在晴天的夜里，这是由于晴天夜间大气逆辐射弱，地面降温幅度大材料：正压大气是一种假设的大气状态，在这种大气中，等压面和等温面在所有高度上都重合。

斜压大气更接近实际情况，指等压面和等温面出现交角的情况。

下图是北半球1月某地近地面垂直方向的斜压大气示意图。

读图回答下面4-5题4．图中M地正东方向吹()A．东北风 B．东南风 C．西北风 D．西南风5．根据M地附近的大气状态判断，M地可能()A．受西伯利亚高压控制B．受亚洲低压控制C．是位于华北平原的某城市D．位于台风中心读非洲西海岸沿19°S的表层海水温度观测值表格，据此完成下题。

6.该海域沿岸A. 存在上升流，为热带雨林气候B. 有暖流经过，为热带草原气候C. 有寒流经过，为热带沙漠气候D. 盛行东南风，为热带季风气候下图中a、b、c、d四点为甲地气旋过境时的风向。

读图回答下列各题。

7. 图中甲地A. 位于北半球B. 位于南半球C. 天气晴朗D. 昼夜温差增大8. 图中与a—甲—b一线上空等压面的剖面线相符合的示意图为A . B. C. D.水分盈亏量为降水量和蒸发力(潜在蒸散量)的差。

黄梅国际育才中学2019年秋季高一年级期中考试语文试题本试卷共8页。

全卷共150分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（9分）阅读下面的文字，完成各题。

中国文明究竟是土生土长，还是自外输入的呢？在古代，这肯定不是问题。

向来都是“中国”辐射周边，哪有“华夏”是舶来品的道理？19 世纪末，英国学者拉克伯里提出黄帝是从古巴比伦迁来的。

此外，还有人认为华夏始祖是从埃及来的、印度来的、中亚来的，不一而足。

1921 年，瑞典人安特生主持发掘了河南渑池的仰韶遗址，这是中国现代考古发掘的序幕。

他发现仰韶文化的彩陶与中亚的彩陶纹饰相似，于是提出中国新石器时代彩陶文化自西传入的假说，当时不少知识分子对中国文明西来说深信不疑。

在今天，所谓的“民科”圈子中，“西来说”仍颇有市场，需要再做辨析和澄清。

人类“走出非洲”说是国际学术界的主流观点。

分子人类学的研究，已经从线粒体 DNA和 Y 染色体 DNA 分别证实全球现代人的母系和父系均根植于十多万年前的非洲大陆，我们都是智人的后代。

大约两三万年前，智人的一支进入现在的中国境内，我们所说的 56 个民族，基本都是他们的后代。

中国人的祖先的确是外来的，但这并不意味着我们的文化与文明也是外来的。

什么是“文明”？不少人倾向于用西方学者的三要素（文字、青铜器、城市）来界定，但是，美洲文明缺乏铜器，印加文明甚至没有文字，但没有人否定它们是文明。

文明是人类社会的一种高级形态，社会复杂化是它的重要表现。

大约在 5800 年前，长江下游的崧泽文化和凌家滩文化已经开始了社会复杂化的先声，阶级分化愈加明显。

而在 5300 年前崛起的良渚文化，则被视作“中国五千年文明的实证”。

良渚古城面积约 300 万平方米，城墙有 40 到 60 米厚。

良渚古城、“土筑金字塔”莫角山（上有宫殿基址）以及周边的水坝，堆筑土方量约为 1200 万立方米。

据推测，完成这样的工程，至少需要 1000 人连续工作十年。

湖北省黄梅国际育才高级中学2019 届高三语文第一次模拟考试一试题卷面满分150 分，考试用时150 分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（36 分）（一）论述类文本阅读（此题共 3 小题，9 分）阅读下边的文字，达成1～3 题。

在今世阅读史上，我们从西方引进了“一千个读者有一千个哈姆雷特”的看法。

它摇动了“独一标准答案”的僵化思想，对我国阅读界有很大的启发作用。

但是，众多匪夷所思的“多元解读”也随之出现，这种荒腔走板的解读，甚至冠冕堂皇地出此刻中小学讲堂之中。

这些杂乱认识与理论问题仍未完全解决有关，此中最主要的就是未能正确理解西方“接受美学”中的“读者中心论”。

“接受美学”是西方读者理论中影响最大的派别，它以为“没有接受者的踊跃参加，一部文学作品的历史生命是不行想象的” 。

国内有人把它形象地推动一步：斧头不用无异于一块石头，作品不读等于一堆废纸。

可是，他们忘掉了，世界上所有的东西不用都无异于一块石头，但是要用的时候，石头不行能当斧头，废纸更不可以看作品。

事物的根本属性与它的隶属功能是不可以混杂的。

其实，西方“读者中心论”也重申在以读者的接受来阐释作品时，要防止纯主观的、随意理解的心理主义圈套。

毕竟，读者接受有时代限制性和主观随意性。

没有接受，作品不可以最后“现实化”；但单个读者的接受理解还不可以等于作品的所有，只有代代相承的接受链才有望靠近作品自己。

既然这样，判断作品意义的依照只好是作品自己。

也正因这样，任何接受都可能是对另一接受的限制的填补；同时，任何接受都有提高、修正之必需，更不用说要对错误接受予以纠正。

别的，多元解读与文本限制是同时发生的。

2018年秋季高一年级9月月考文综试题第I卷（选择题）一、选择题（1—16题是政治部分 17—28题是历史部分 29—40题是地理部分每小题2分，总共80分）1.劳动价值论认为，货币是从商品中分离出来固定地充当一般等价物的商品。

在货币产生以后，下列关于价格的说法正确的是（）①流通中商品价格的高低是由流通中货币的多少决定的②价格是通过一定数量的货币表现出来的商品价值③价格是商品使用价值在量上的反映，使用价值越大价格越高④价格是一种使用价值与另一种使用价值相交换的量的比例。

A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④2.中国人民银行自2015年8月20日起陆续发行中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年纪念币一套。

对这套纪念币认识正确的是（）①这套纪念币具有纪念和收藏价值②这套纪念币价格取决于收藏价值③这套纪念币也是我国的法定货币④这套纪念币不具有流通手段职能。

A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3.当下，人们对“舌尖上的安全”越来越关心。

尽管有机食品的价格明显高于普通食品，但很多人认为“吃得健康比什么都划算”，甚至有人想自己种菜、种粮吃。

人们这种自食的农产品（）①不是商品，因为它没有用于交换②是商品，因为它耗费了人类劳动③不是商品，因为它只有使用价值④是商品，因为它能满足人们的需要。

A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④4.在名著《水浒传》中，武松在过景阳岗之前，在酒店喝酒使用的是碎银子。

这里的碎银子（）①执行货币的基本职能②是由国家发行并强制使用的货币符号③其本质是一般等价物④充当支付手段。

A. ①②B. ②④C. ③④D. ①③5.2017年母亲节来临之际，小王在领取了4800元工资后，到商场购买了一款标价1900元（实际支付1600元）的时尚手机送给母亲。

材料中4800元、1900元、1600元执行的货币职能依次是A. 流通手段价值尺度支付手段B. 支付手段、流通手段、价值尺度C. 价值尺度、流通手段、支付手段D. 支付手段、价值尺度、流通手段6.中国人民银行决定自2018年5月1日起停止第四套人民币部分券别在市场上流通，其持有者可到相关银行业金融机构办理兑换。

湖北省黄梅县国际育才高级中学2019届高三语文上学期期中试题（含解析）一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成各题。

人工智能安全性问题的根本问题，并不在于它能否真正超越人类，而在于它是否是一种安全可靠的工具和人类是否对其拥有充分的控制权。

就像高铁、飞机等交通工具那样，虽然它们的速度远远超过了人类，但人类拥有绝对控制权，所以人们相信它们是安全的。

为了实现对其控制的目标，首先需要对人工智能的自主程度进行限定。

虽然人工智能发展迅速，但人类智能也有自己的优势，比如目前人工智能的认知能力还远不如人类智能。

我们可以充分发挥人工智能在信息存储、处理等方面的优势，让它在一些重大事件上做人类的高级智囊，但最终的决定权仍在人类。

比如，当我们把人工智能应用于军事领域时，我们可以利用人工智能来评估危险程度，以及可以采取的措施，但是否应该发动战争、如何作战等重大决策，还是需要掌握在人类自己手里。

正如霍金斯所说的那样：“对于智能机器我们也要谨慎，不要太过于依赖它们。

”与限定人工智能的自主程度类似，我们也需要对人工智能的智能水平进行某种程度的限定。

从长远来看，人工智能是有可能全面超越人类智能的。

从人工智能的发展历程来看，尽管它的发展并非一帆风顺，但短短六十年取得的巨大进步让我们完全有理由相信将来它会取得更大的突破。

从世界各国对人工智能高度重视的现实情况来看，想要阻止人工智能的发展步伐是不现实的，但为了安全起见，限定人工智能的智能程度却是完全可以做到的。

我们应当还需要成立“人工智能安全工程”学科，建立人工智能安全标准与规范，确保人工智能不能自我复制，以及在人工智能出现错误时能够有相应的保护措施以保证安全。

人们对人工智能安全问题的担忧的另一主要根源在于，人工智能的复制能力远胜于人类的繁衍速度，如果人工智能不断地复制自身，人类根本无法与其抗衡。

因此，在人工智能的安全标准中，对人工智能的复制权必须掌握在人类手中。

绝密★启用前湖北省黄梅国际育才高级中学2019届高三模拟考试理科综合试题2019年5月3日时间150分钟满分300分本卷可能用到的相对原子量：H 1 C 12 O 16 Cl 35.5 Zn 65 Fe 56 B 10第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于细胞及其产生的物质的叙述，正确的是A．细胞中大多数无机盐以离子的形式存在，对维持生命活动有重要作用B．同一个体不同细胞功能的差异主要是因为不同细胞携带不同遗传信息C．再次接触到同种抗原时，抗体能迅速通过分裂增殖产生大量新的抗体D．血糖下降时，肌细胞中的糖原能被分解成葡萄糖，从而维持血糖平衡2．青霉素药理作用是干扰细菌细胞壁的形成，万古霉素是一种新型的抗生素，其结构与作用原理类似于青霉素。

以下分析错误的是A．万古霉素因干扰细菌增殖而发挥抗菌功效B．万古霉素的使用使细菌产生抗万古霉素变异C．青霉素过敏者不适合使用万古霉素D．万古霉素的使用会使细菌群体中抗万古霉素基因的基因频率提高3．下列关于细胞癌变的说法，错误的是A．癌症的发生是细胞中多个基因发生突变的结果B．癌变细胞的表面物质、形态结构会发生一定的变化C．香烟烟雾中只有尼古丁这一种化学致癌因子D．提高免疫系统的监控和清除功能是治疗癌症的一种思路某学习小组用光学显微镜对有关实验材料进行观察和研究,结果记录如下，正确的是5．“调控植物生长--代谢平衡实现可持续农业发展”入选2018年度中国科学十大进展，其研究证实DELLA蛋白通过阻遏某些基因的转录从而抑制植物生长发育，而赤霉素能解除细胞中已经存在的DELLA蛋白的阻遏效果。

以下叙述不合理的是A．植物合成赤霉素的部位主要是未成熟的种子、幼根和幼芽B．赤霉素与脱落酸在调控种子萌发与休眠中的作用相互拮抗C．赤霉素通过抑制DELLA蛋白基因的表达解除其阻遏效果D．DELLA蛋白分子上可能存在具有不同生物学功能的区域6．某种家禽（2n=78，性别决定为ZW型）幼体雌雄不易区分，其眼型由Z 染色体上的正常眼基因（B）和豁眼基因（b）控制，雌禽中豁眼个体产蛋能力强。

专题37 分类变量与列联表一、单选题1．（2020·陕西省商丹高新学校月考（文））下面是一个2×2列联表，则表中a ，b 的值分别为（ ）A ．94，96B ．52，50C ．52，54D ．54，52【答案】C 【解析】由2173a +=，得52a =，由46100b +=，得54b =．故选C ．2．（2020·四川乐山·期末（理））为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：（ ）附：k2．7063．8415．02422()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 参照附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 【答案】C 【解析】由表计算得：22100(45153010)==3.0355457525K ⨯-⨯⨯⨯⨯，所以有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，选C ．3．（2019·黄梅国际育才高级中学月考（文））若由一个22⨯列联表中的数据计算得2 4.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.A ．95%B ．97.5%C ．99%D ．99.9%【答案】A 【解析】∵一个2*2列联表中的数据计算得2 4.013K =，且4.013＞3.841， ∴有95%的把握说这两个变量有关系. 故选：A4．（2020·陕西临渭·期末（理））在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ） A ．若2 6.635χ>，我们有99%的把握说明吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他99%可能患肺病.B．若由随机变量2χ求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100人中有99人患肺病.C．若由随机变量2χ求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么有5%的可能性使得推断错误.D．以上说法都不正确.【答案】Cχ求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，【解析】随机变量2∴有5%的可能性使得推断错误，认为吸烟与患肺病有关，故选：C.5．（2019·陕西省商丹高新学校开学考试（文））利用独立性检验来考查两个分类变量X和Y是否有关系时,k>,那么就有把握认为“X和Y有关系”的百通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度.如果 5.024分比为A．25%B．75%C．2.5%D．97.5%【答案】Dk>，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，1-0.025=97.5%，所以有97.5%的把【解析】因为 5.024握认为“X和Y有关系” ．故选D．6．（2020·河北枣强中学月考（文））为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到22⨯列联表如下：由此得出的正确结论是( )附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关”C．有0099.9的把握认为“选择物理与性别有关”D．有0099.9的把握认为“选择物理与性别无关”【答案】A【解析】因为()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++2100(35302015)55455050⨯-⨯=⨯⨯⨯10011=9.09≈ 6.635>，根据临界值表可知，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”.故选：A7．（2020·辽宁葫芦岛·期末）2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大.基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（）参考数据：A．有关的可靠性不足95% B．有99%的把握认为两者有关C．有99.9%的把握认为两者有关D．有5%的把握认为两者无关【答案】B【解析】由于()2250510152025203025253K⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，而256.63510.8283<<，故有99%的把握认为两者有关.故选：B8．（2014·江西高考真题（文））某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量【答案】D【解析】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：A.2252(6221014):0.00916363220A K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(4201216): 1.76916363220B K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(824812): 1.316363220C K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(143062):23.4816363220D K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D.二、多选题9．（2020·枣庄市第三中学高二月考）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K的观测值4.762k≈，则可以推断出（）A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3 5B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【答案】AC【解析】对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为30330205=+,故A正确；对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4043401055=>+,故B错误；因为 4.762 3.841k≈>,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误故选：AC10．（2020·江苏省丰县中学期末）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2K的观测值5.059k≈，则可以推断出（）附：A．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为23；B．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意；C．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异；D．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异.【答案】ABC【解析】对于选项A，该学校男生对运动场所满意的概率的估计值为182273=，故A正确；对于选项B，该学校女生对运动场所满意的概率的估计值为8 23，而2468243692369=>=，故B正确；因为 5.059 5.024k≈>，有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，故C正确，D错误.故选：ABC.11．（2020·山东济南·高二期末）在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示：则下列说法正确的是（ ）附：参考公式：()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++ ，其中n a b c d =+++.独立性检验临界值表A ．11126n n n ++> B ．2 2.706χ<C ．有90%的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关D ．没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关 【答案】ABD【解析】由列联表数据，知1112211122211261528156284646n n n n n n n n n n +++++++=⎧⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎪⎩，得11221121213182719n n n n n +++=⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ ∴11121246627919n n n ++==>=，即A 正确合计 18 28 46∴2246(1213615)0.77518281927χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯< 2.706，即B 正确且没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关；即D 正确 故选：ABD12．（2020·烟台市教育科学研究院高三其他）某校计划在课外活动中新増攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（ ）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.05 0.010k3.841 6.635A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关 【答案】AC【解析】由题意设参加调查的男女生人数均为m 人，则喜欢攀岩不喜欢攀岩合计男生 0.8m 0.2m m女生 0.3m 0.7m m合计1.1m0.9m2m所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，A 对B 错；22222(0.560.06)501.10.999m m m mK m m m m -==⋅⋅⋅， 当100m =时，2505010050.505 6.6359999m K ⨯==≈>， 所以当参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，C 对D 错， 故选：AC 三、填空题16．（2020·湖南高二月考）在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下联表： 感染未感染总计服用 10 40 50 未服用 2030 50总计 30 70100参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k >0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”． 【答案】5%【解析】由题意可得，()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过005的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”，故答案为005. 方法点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误. 14．（2020·西安市长安区第五中学月考（文））下面是一个22⨯列联表:1y2y总计1x35a 702x15 1530总计 50 b 100其中,a b 处填的值分别为________________． 【答案】35，50【解析】由3570a +=，得35a =，15a b +=，得50b =.故答案为：35，50.15．（2020·安徽黄山·高二期末（文））已知变量,X Y ，由它们的样本数据计算得到2K 的观测值 4.328≈k ，2K 的部分临界值表如下：则最大有________的把握说变量,X Y 有关系.（填百分数）【答案】95% 【解析】因为2K 的观测值 4.328>3.841k ≈，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量,X Y 有关系. 所以最大有95%的把握说变量,X Y 有关系. 故答案为：95%.16．（2018·全国高二单元测试）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到K 2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．【答案】4.844 能 【解析】根据提供的表格得2250(1320710) 4.844 3.84123272030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.∴所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系． 故答案为（1）4.844；（2）能. 四、解答题17．（2020·青海西宁·期末（文））某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生就餐“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份调查问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下22⨯列联表：（1）求表中x ，y 的值；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）30,15x y ==；（2）0.1P =；理由见解析. 【解析】（1）由题意可知：45757510010x m y m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：301525x y m =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴30,15x y ==，（2）222()100(45153010) 3.03()()()()55457525n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯， 2.706 3.03 3.840<<，所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即0.1P =．18．（2020·全国高考真题（文））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19．（2020·河南开封·期末（文））为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,75641680(]75,11510 10 20 合计 7426100（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.20．（2020·海南高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有. 【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,75641680(]75,11510 10 20 合计7426100（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.21．（2020·福建三元·三明一中其他（文））为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如下统计数据：现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35． （1）能否有99.5%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗的情况进行核实，求恰有1只为注射过疫苗的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）有99.5%的把握认为注射此疫苗有效；（2）35. 【解析】 （1）依题意，由3405p p =+，得60p =，所以40q =，100x y ==，所以，22⨯列联表如下表所示：由()222004040606087.879100100100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为注射此疫苗有效；（2）设“恰有1只为注射过疫苗”为事件A ，由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例603402=抽取， 故抽取的5只小白鼠中有3只未注射疫苗，分别用1、2、3来表示，2只已注射疫苗的小白鼠分别用a 、b 来表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：()1,2,3、()1,2,a 、()1,2,b 、()1,3,a 、()1,3,b 、()1,,a b 、()2,3,a 、()2,3,b 、()2,,a b 、()3,,a b ，共10种，其中恰有1只为注射过疫苗有：()1,2,a 、()1,2,b 、()1,3,a 、()1,3,b 、()2,3,a 、()2,3,b ，共6种， 所以()63105P A ==，即恰有1只为注射过疫苗的概率为35． 22．（2020·四川泸州·期末（理））高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩； （Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考公式及数据：回归直线的系数()()()1122211ˆn n i i i ii i n n ii i i x y nxy x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，154900ni i i x y ==∑，()5211000ii x x =-=∑，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()2 6.6350.01P K ≥=， ()210.8280.001P K ≥=.【答案】（Ⅰ）ˆ0.918y x =-，估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【解析】（Ⅰ）1(140130*********)1205x =++++=， 1(110901008070)905y =++++=． 515222221()()2020100010(10)(10)(20)(20)900ˆ0.92010(10)(20)1000()ii i ii x x y y b x x ==--⨯+⨯+⨯+-⨯-+-⨯-====++-+--∑∑， ˆˆ900.912018ay bx =-=-⨯=-． y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.918y x =-，取90x =，得ˆ0.9901863y=⨯-=． ∴估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分； （Ⅱ）由题意填写22⨯列联表：2260(2418612)10 6.63536243030K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．。

2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，B ＝{x |lg （x +1）≤1}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．[﹣1，3）B ．[﹣1，9]C ．（﹣1，3]D ．（﹣1，9）2．复数5i−2的共轭复数是（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i3．已知e 1→，e 2→是夹角为60°的两个单位向量，则a →=2e 1→+e 2→与b→=−3e 1→+2e 2→的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．Malthus 模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N （t ）与时间t 关系时，得到的Malthus 模型是N （t ）＝N 0e 0.46t ，其中N 0是t ＝t 0时刻的细菌数量，e 为自然对数的底数．若t 时刻细菌数量是t 0时刻细菌数量的6.3倍，则t 约为（ ）（ln 6.3≈1.84） A ．2B ．3C ．4D ．55．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝﹣1，a 1+a 5＝2，则S 8的值为（ ） A ．﹣27B ．﹣16C ．﹣11D ．﹣96．若函数y =√3cosωx −sinωx(ω＞0)在区间(−π3，0)上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）A ．[12，72)B ．(13，76]C ．(13，73]D ．(12，72]7．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，三棱锥P ﹣ABC 全部顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3C ．9√34D ．√328．已知a =(32)23，b =(75)57，c =(53)35，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于函数f （x ）＝sin2x ﹣cos2x ，下列命题是真命题的是（ ） A ．函数y ＝f （x ）的周期为πB．直线x=π4是y＝f（x）的一条对称轴C．点(π8，0)是y＝f（x）的图像的一个对称中心D．函数y＝f（x）的最大值为210．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0．若S n≤S6，则（）A．a1＞0B．d＜0C．a6＝0D．S13≤011．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E为PC的中点，PD＝AD＝BD＝2，∠ADB＝90°，则（）A．P A∥平面BDE B．平面PCB⊥平面PDBC．三棱锥P﹣BDE的体积为43D．异面直线P A和BE所成的角的余弦值为√6312．已知函数f（x）＝（x﹣1）3﹣ax﹣b+1，则下列结论正确的是（）A．当a＝3时，若f（x）有三个零点，则b的取值范围为（﹣4，0）B．若f（x）满足f（2﹣x）＝3﹣f（x），则a+b＝﹣1C．若过点（2，m）可作出曲线g（x）＝f（x）﹣3x+ax+b的三条切线，则﹣5＜m＜﹣4D．若f（x）存在极值点x0，且f（x0）＝f（x1），其中x0≠x1，则x1+2x0＝3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知α为第四象限角，sinα+cosα=713，则tanα＝．14．若函数f（x）＝ax+cos x在R上单调递减，则实数a的取值范围是．15．已知点A在函数f（x）＝e x﹣2x的图象上，点B在直线l：x+y+3＝0上，则A，B两点之间距离的最小值是．16．已知函数f（x）＝e ax﹣2lnx﹣x2+ax，若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分（17题满分70分，其余各题满分70分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=√3sin2ωx+2cos2ωx，若函数f（x）图像相邻两条对称轴间的距离是π2．（1）求ω及f（x）单调递减区间．（2若方程f（x）＝m在(−π4，π4)上有解，求实数m的取值范围．18．（12分）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sin B．（1）求sin A；（2）设AB＝5，求AB边上的高．19．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝36，a1，a3，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，若不等式T n＜k4对任意的n∈N*都成立，求实数k的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥BA，AD＝3，AB＝BC＝2，P A⊥平面ABCD，且P A＝3，点M在棱PD上，点N为BC中点．（1）证明：若DM＝2MP，直线MN∥平面P AB；（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值；（3）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为√26？若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax−1（a∈R）．（1）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调性．22．（12分）已知函数f(x)=1ae x−3x，其中a≠0．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若f（x）≥a（1﹣2sin x），求a的取值范围．2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，B ＝{x |lg （x +1）≤1}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．[﹣1，3）B ．[﹣1，9]C ．（﹣1，3]D ．（﹣1，9）解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}＝[x |x ＞3或x ＜﹣1}，B ＝{x |lg （x +1）≤1}＝{x |﹣1＜x ≤9}， ∴∁R A ＝{x |﹣1≤x ≤3}， ∴（∁R A ）∩B ＝{x |﹣1＜x ≤3}． 故选：C ．2．复数5i−2的共轭复数是（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i解：复数5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=5(−2−i)5=−2﹣i 的共轭复数为﹣2+i ．故选：C ．3．已知e 1→，e 2→是夹角为60°的两个单位向量，则a →=2e 1→+e 2→与b→=−3e 1→+2e 2→的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：∵已知e 1→，e 2→是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1→•e 2→=1×1×cos60°=12，设a→=2e 1→+e 2→与b→=−3e 1→+2e 2→的夹角为θ，θ∈（0°，180°），∵|a → |=√(2e 1→+e 2→)2=√4e 1→2+4e 1→⋅e 2→+e 2→2=√7，|b →|=√(−3e 1→+2e 2→)2=√9e 1→2−12e 1→⋅e 2→+4e 2→2=√7，a →•b →=（2e 1→+e 2→）•（﹣3e 1→+2e 2→）＝﹣6e 1→2+e 1→•e 2→+2e 2→2=−6+12+2=−72，∴cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−72√7⋅√7=−12，∴θ＝120°， 故选：C ．4．Malthus 模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N （t ）与时间t 关系时，得到的Malthus 模型是N （t ）＝N 0e 0.46t ，其中N 0是t ＝t 0时刻的细菌数量，e 为自然对数的底数．若t 时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（）（ln6.3≈1.84）A．2B．3C．4D．5解：由已知有：N0e0.46tN0=6.3，得e0.46t＝6.3，两边取以e为底的对数，得：0.46t＝ln6.3≈1.84，t＝4．故选：C．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝﹣1，a1+a5＝2，则S8的值为（）A．﹣27B．﹣16C．﹣11D．﹣9解：∵等差数列{a n}，a4＝﹣1，a1+a5＝2，∴{a1+3d=−12a1+4d=2，∴{a1=5d=−2，∴S8＝8×5+8×72×（﹣2）＝﹣16．故选：B．6．若函数y=√3cosωx−sinωx(ω＞0)在区间(−π3，0)上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（）A．[12，72)B．(13，76]C．(13，73]D．(12，72]解：y=√3cosωx−sinωx=2cos（ωx+π6），令ωx+π6=kπ，k∈Z，可得x=(k−16)πω，k∈Z，因为函数在区间(−π3，0)上恰有唯一对称轴，所以{(k−16)πω∈(−π3，0)(k+1−16)πω≥0(k−1−16)πω≤−π3，k∈Z，解之：k＝0，ω∈（12，72]．故选：D．7．已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P﹣ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．√3B．32√3C．9√34D．√32解：球O的半径为R，由已知可得S△ABC=9√34，4πR2＝16π，得R＝2，球心O到平面ABC的距离为√R2−(23⋅32⋅3)2=1，故三棱锥P ﹣ABC 的高的最大值为3，体积最大值为13S △ABC ⋅3=9√34．故选：C ．8．已知a =(32)23，b =(75)57，c =(53)35，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b解：因为lna =23ln(32)，lnb =57ln(75)，lnc =35ln(53)，故令f(x)=lnx x (1＜x ＜e)，则f ′(x)=1−lnx x 2， 因为1＜x ＜e ，所以0＜lnx ＜1，故f ′(x)=1−lnxx 2＞0恒成立， 所以f （x ）在（1，e ）上单调递增， 因为1＜75＜32＜53＜e ，所以ln7575＜ln3232＜ln5353，即57ln 75＜23ln 32＜35ln 53，故ln(75)57＜ln(32)23＜ln(53)35，又因为y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，所以(75)57＜(32)23＜(53)35，即b ＜a ＜c ．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于函数f （x ）＝sin2x ﹣cos2x ，下列命题是真命题的是（ ） A ．函数y ＝f （x ）的周期为πB ．直线x =π4是y ＝f （x ）的一条对称轴C ．点(π8，0)是y ＝f （x ）的图像的一个对称中心D ．函数y ＝f （x ）的最大值为2解：∵f(x)=sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)，∴ω＝2，则T =2π2=π，故A 正确； 当x =π4时，f(π4)=√2sin(2×π4−π4)=1不是最值，故直线x =π4不是y ＝f （x ）的一条对称轴，故B 错误；当x =π8时，2x −π4=0，终边落在x 轴上，故点(π8，0)是y＝f（x）的图像的一个对称中心，故C正确；函数y＝f（x）的最大值为√2，故D错误．故选：AC．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0．若S n≤S6，则（）A．a1＞0B．d＜0C．a6＝0D．S13≤0解：等差数列{a n}中，公差d≠0，若S n≤S6，则n＝6时，S n取得最大值，故a1＞0，d＜0，a6≥0，a7≤0，所以S13=13(a1+a13)2=13a7≤0，D正确．故选：ABD．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E为PC的中点，PD＝AD＝BD＝2，∠ADB＝90°，则（）A．P A∥平面BDE B．平面PCB⊥平面PDBC．三棱锥P﹣BDE的体积为43D．异面直线P A和BE所成的角的余弦值为√63解：对A选项，如图，设底面平行四边形的对角线交点为F，连接EF，则F为AC的中点，又E为PC的中点，∴EF∥P A，又P A⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE，∴A选项正确；对B选项，∵底面ABCD是平行四边形，∠ADB＝90°，∴可得BC⊥DB，又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PD，又DB∩PD＝D，∴BC ⊥平面PDB ，又BC ⊂平面PCB ， ∴平面PCB ⊥平面PDB ，∴B 选项正确； 对C 选项，∵E 为PC 的中点，∴三棱锥P ﹣BDE 的体积为三棱锥P ﹣BDC 的体积的一半，即三棱锥P ﹣BDE 的体积为12×13×12×2×2×2=23，∴C 选项错误；对D 选项，由A 选项分析可知EF ∥P A ， ∴异面直线P A 和BE 所成的角即为∠FEB ，又易知EB ＝DE =12PC ，而PC =√PD 2+DC 2=√22+(22+22)=2√3，∴EB ＝DE =√3，又FB =12DB ＝1，∴EF =√EB 2−FB 2=√3−1=√2，∴cos ∠FEB =EF EB =√23=√63，∴D 选项正确． 故选：ABD ．12．已知函数f （x ）＝（x ﹣1）3﹣ax ﹣b +1，则下列结论正确的是（ ） A ．当a ＝3时，若f （x ）有三个零点，则b 的取值范围为（﹣4，0） B ．若f （x ）满足f （2﹣x ）＝3﹣f （x ），则a +b ＝﹣1C ．若过点（2，m ）可作出曲线g （x ）＝f （x ）﹣3x +ax +b 的三条切线，则﹣5＜m ＜﹣4D ．若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 0）＝f （x 1），其中x 0≠x 1，则x 1+2x 0＝3 解：函数f （x ）＝（x ﹣1）3﹣ax ﹣b +1，f ′（x ）＝3（x ﹣1）2﹣a ．A ．当a ＝3时，f ′（x ）＝3（x ﹣1）2﹣3＝3x （x ﹣2），令f ′（x ）＝0，解得x ＝0，2．x ∈（﹣∞，0）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；x ∈（0，2）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；x ∈（2，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增． ∴0是函数f （x ）的极大值点，2是函数f （x ）的极小值点，∵f （x ）有三个零点，∴{f(0)=−b ＞0f(2)=−4−b ＜0，解得﹣4＜b ＜0，∴b 的取值范围为（﹣4，0），因此A 正确．B ．∵f （x ）满足f （2﹣x ）＝3﹣f （x ），∴（1﹣x ）3﹣a （2﹣x ）﹣b +1＝3﹣[（x ﹣1）3﹣ax ﹣b +1]，化为2a +2b +1＝0，因此B 不正确．C ．g （x ）＝f （x ）﹣3x +ax +b ＝x 3﹣3x 2，g ′（x ）＝3x 2﹣6x ，设切点为P （x 0，x 03−3x 02），则切线斜率k ＝3x 02−6x 0，切线方程为：y ﹣（x 03−3x 02）＝（3x 02−6x 0）（x ﹣x 0），∵切线经过点（2，m ），代入化为：﹣m ＝2x 03−9x 02+12x 0，令h （x 0）＝2x 03−9x 02+12x 0，则h ′（x 0）＝6x 02−18x 0+12＝6（x 0﹣1）（x 0﹣2），可得极大值点为1，极小值点为2，h （1）＝5，h （2）＝4，∵过点（2，m ）可作出曲线g （x ）＝f （x ）﹣3x +ax +b 的三条切线， ∴函数y ＝﹣m 与函数h （x ）的图象有三个交点， ∴4＜﹣m ＜5，解得﹣5＜m ＜﹣4，因此C 正确．D ．∵f （x ）存在极值点x 0，∴f ′（x 0）＝3(x 0−1)2−a ＝0，即a ＝3(x 0−1)2，∵f （x 0）＝f （x 1），其中x 0≠x 1，∴(x 0−1)3−ax 0﹣b +1=(x 1−1)3−ax 1﹣b +1，化为（x 0﹣x 1）[(x 0−1)2+（x 0﹣1）（x 1﹣1）+(x 1−1)2−a ]＝0，即(x 0−1)2+（x 0﹣1）（x 1﹣1）+(x 1−1)2−3(x 0−1)2=0，因式分解为[2（x 0﹣1）+（x 1﹣1）][（x 0﹣1）﹣（x 1﹣1）]＝0，化为x 1+2x 0＝3，因此D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知α为第四象限角，sin α+cos α=713，则tan α＝ −512． 解：∵已知sin α+cos α=713，α为第4象限角， ∴1+2sin α•cos α=49169， ∴2sin α•cos α=−120169，sin α＜0，cos α＞0． 所以sin α﹣cos α＜0 （sin α﹣cos α）2＝1+120169=289169所以sin α﹣cos α=−1713又因为sin α+cos α=713， 解得sin α=−513cos α=1213tan α=−512故答案为：−51214．若函数f （x ）＝ax +cos x 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ． 解：由函数f （x ）＝ax +cos x ，可得f ′（x ）＝a ﹣sin x ，因为函数f（x）在R上单调递减，所以f′（x）≤0在R上恒成立，所以a≤sin x在R恒成立，因为sin x∈[﹣1，1]，所以a≤﹣1，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．15．已知点A在函数f（x）＝e x﹣2x的图象上，点B在直线l：x+y+3＝0上，则A，B两点之间距离的最小值是2√2．解：因为f（x）＝e x﹣2x，所以f′（x）＝e x﹣2．令f′（x）＝e x﹣2＝﹣1，即e x＝1，解得x＝0．因为f（0）＝1，所以点（0，1）到直线x+y+3＝0的距离d=4√2=2√2即为A，B两点之间的最短距离．故答案为：2√2．16．已知函数f（x）＝e ax﹣2lnx﹣x2+ax，若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为(2e，+∞)．解：令g（x）＝e x+x，g′（x）＝e x+1＞0，所以g（x）单调递增，因为f（x）＝e ax﹣2lnx﹣x2+ax＞0（x＞0），所以e ax+ax＞lnx2+e lnx2，可得g（ax）＞g（lnx2），所以ax＞lnx2，所以a＞lnx2x(x＞0)恒成立，即求(lnx2x)max(x＞0)，令F(x)=lnx2x(x＞0)，F′(x)=(lnx2)′x−x′lnx2x2=2(1−lnx)x2，当x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，所以F(x)≤F(e)=2e，可得a＞2e．故答案为：(2e，+∞)．四、解答题：本题共6小题，共70分（17题满分70分，其余各题满分70分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=√3sin2ωx+2cos2ωx，若函数f（x）图像相邻两条对称轴间的距离是π2．（1）求ω及f（x）单调递减区间．（2若方程f（x）＝m在(−π4，π4)上有解，求实数m的取值范围．解：（1）f(x)=√3sin2ωx+cos2ωx+1=2sin(2ωx+π6)+1，∵f （x ）图像相邻两条对称轴间的距离是π2， ∴f （x ）的最小正周期为π，∴2π2ω=π，ω＝1，∴f(x)=2sin(2x +π6)+1， 解π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，得π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ， ∴f （x ）单调递减区间为：[π6+kπ，2π3+kπ]，k ∈Z ； （2）∵x ∈(−π4，π4)，∴2x +π6∈(−π3，2π3)， ∴sin(2x +π6)∈(−√32，1]， ∴f(x)∈(1−√3，2]，∴m 的取值范围为：(1−√3，2]．18．（12分）已知在△ABC 中，A +B ＝3C ，2sin （A ﹣C ）＝sin B ．（1）求sin A ；（2）设AB ＝5，求AB 边上的高．解：（1）∵A +B ＝3C ，A +B +C ＝π，∴4C ＝π，∴C =π4， ∵2sin （A ﹣C ）＝sin B ，∴2sin （A ﹣C ）＝sin[π﹣（A +C ）]＝sin （A +C ），∴2sin A cos C ﹣2cos A sin C ＝sin A cos C +cos A sin C ，∴sin A cos C ＝3cos A sin C ，∴√22sinA =3×√22cosA ， ∴sin A ＝3cos A ，即cos A =13sin A ， 又∵sin 2A +cos 2A ＝1，∴sin 2A +19sin 2A =1， 解得sin 2A =910， 又∵A ∈（0，π），∴sin A ＞0，∴sin A =3√1010；（2）由（1）可知sin A=3√1010，cos A=13sin A=√1010，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C=3√1010×√22+√1010×√22=2√55，∴ABsinC=ACsinB=BCsinA=5sinπ4=5√2，∴AC＝5√2sin B＝5√2×2√55=2√10，BC＝5√2×sinA=5√2×3√1010=3√5，设AB边上的高为h，则12AB⋅ℎ=12×AC×BC×sinC，∴52ℎ=12×2√10×3√5×√22，解得h＝6，即AB边上的高为6．19．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝36，a1，a3，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，若不等式T n＜k4对任意的n∈N*都成立，求实数k的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则S6＝6a1+6×52d＝36，化简整理，得2a1+5d＝12，∵a1，a3，a13成等比数列，∴a32=a1a13，即（a1+2d）2＝a1（a1+12d），化简整理，得（2a1﹣d）d＝0，∵d≠0，∴2a1﹣d＝0，联立{2a1+5d=12 2a1−d=0，解得{a1=1 d=2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ），可知1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1），则T n=1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1=12•（1−13）+12•（13−15）+⋯+12•（12n−1−12n+1）=12•（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=12•（1−12n+1）=n2n+1，故不等式T n＜k4即为n2n+1＜k4，整理，得k＞4n2n+1，构造数列{c n}：令c n=4n2n+1，则c n+1=4(n+1)2n+3，∵c n+1﹣c n=4(n+1)2n+3−4n2n+1=4(2n+1)(2n+3)＞0，∴数列{c n}是单调递增数列，∵n＝1时，c1=43；n→∞时，c n→2，∴k≥2，故实数k的取值范围为：[2，+∞）．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥BA，AD＝3，AB＝BC＝2，P A⊥平面ABCD，且P A＝3，点M在棱PD上，点N为BC中点．（1）证明：若DM＝2MP，直线MN∥平面P AB；（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值；（3）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为√26？若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由．（1）证明：如图所示，在线段AD上取一点Q，使AQ=13AD，连接MQ，NQ，∵DM ＝2MP ，∴QM ∥AP ，又AD ＝3，AB ＝BC ＝2，∴AQ ∥¯¯BN ，四边形ABNQ 为平行四边形， ∴NQ ∥AB ，又NQ ∩MQ ＝Q ，AB ∩AP ＝A ，所以平面MNQ ∥平面P AB ，∵MN ⊂平面MNQ ，∴MN ∥平面P AB ；（2）解：如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，3，0），P （0，0，3），又N 是BC 中点，则N （2，1，0），所以PD →=(0，3，−3)，CD →=(−2，1，0)，DN →=(2，−2，0)，设平面PCD 的法向量n →1=(x 1，y 1，z 1)，则{PD →⋅n 1→=3y 1−3z 1=0CD →⋅n 1→=−2x 1+y 1=0，令x 1＝1，则n →1=(1，2，2)， 设平面PND 的法向量n →2=(x 2，y 2，z 2)，则{PD →⋅n 2→=3y 2−3z 2=0DN →⋅n 2→=2x 2−2y 2=0，令x 2＝1，则n →2=(1，1，1)， 所以cos〈n →1，n →2〉=1+2+2√1+2+2⋅√1+1+1=5√39， 则二面角C ﹣PD ﹣N 的正弦值为√1−(5√39)2=√69； （3）解：存在，PM PD =13或PM PD=1．理由如下： 假设存在点M ，设PMPD =λ，即PM →=λPD →，λ∈[0，1]，由（2）得D （0，3，0），P （0，0，3），N （2，1，0），且平面PCD 的法向量n 1→=(1，2，2)，则PD →=(0，3，−3)，PM →=(0，3λ，−3λ)，则M （0，3λ，3﹣3λ），MN →=(2，1−3λ，3λ−3)，sinθ=|cos〈MN →，n →1〉|=2+2(1−3λ)+2(3λ−3)√1+2+2⋅√2+(1−3λ)2+(3λ−3)2=√26解得λ=13或λ＝1， 故存在点M ，此时PM PD =13或PM PD=1． 21．（12分）已知函数f(x)=(x −2)e x −a 2x 2+ax −1（a ∈R ）． （1）若a ＝2，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）讨论f （x ）的单调性．解：（1）若a ＝2，则f （x ）＝（x ﹣2）e x ﹣x 2+2x ﹣1，所以f ′（x ）＝（x ﹣1）e x ﹣2x +2，所以f ′（0）＝﹣1+2＝1，又f （0）＝﹣2﹣1＝﹣3，所以曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ﹣（﹣3）＝1×（x ﹣0），即x ﹣y ﹣3＝0．（2）f ′（x ）＝（x ﹣1）e x ﹣ax +a ＝（x ﹣1）（e x ﹣a ），当a ≤0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＞1，令f ′（x ）＜0，解得x ＜1，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增当0＜a ＜e 时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜lna 或x ＞1，令f ′（x ）＜0，解得lna ＜x ＜1，所以f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递增，在（lna ，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当a ＝e 时，由f ′（x ）≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增； 当a ＞e 时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜1或x ＞lna ，令f ′（x ）＜0，解得1＜x ＜lna ，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增． 综上，当a ≤0时，f （x ）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当0＜a ＜e 时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递增，在（lna ，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a ＝e 时，f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a ＞e 时，f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增．22．（12分）已知函数f(x)=1ae x −3x ，其中a ≠0． （1）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围；（2）若f （x ）≥a （1﹣2sin x ），求a 的取值范围．解：（1）∵f(x)=1ae x −3x 有两个零点， ∴1a =3x e x 有两个根， 设g （x ）=3x e x ，则g ′（x ）=3e x −3xe x (e x )2=3−3x e x ， 当x ＜1时，则g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，当x ＞1时，则g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，∴当x ＝1时，g （x ）max =3e， 当x →+∞时，g （x ）→0，当x →﹣∞时，g （x ）→﹣∞，∴0＜1a ＜3e ，∴a ＞e 3， ∴a 的取值范围为（e 3，+∞）； （2）设h （x ）=1ae x ﹣3x ﹣a （1﹣2sin x ）， 由h （0）≥0，h （π6）≥0，则0＜a ≤1，下面证明：当0＜a ≤1时，1ae x ﹣3x ﹣a （1﹣2sin x ）≥0， 即证1a 2e x −3a x +2sin x ﹣1≥0， 设1a=b （b ≥1），即证b 2e x ﹣3bx +2sin x ﹣1≥0， 令t （b ）＝b 2e x ﹣3bx +2sin x ﹣1（b ≥1），则二次函数的开口向上，对称轴为b =3x 2e x ， 由①得，3x2e x ≤32e ＜1，∴t （b ）在[1，+∞）单调递增，∴t （b ）≥t （1）＝e x ﹣3x +2sin x ﹣1， 下面再证明：e x ﹣3x +2sin x ﹣1≥0，即证：3x−2sinx+1e x −1≤0，设F （X ）=3x−2sinx+1e x−1， 则F ′（X ）=2−3x+2sinx−2cosx e x ， 设m （x ）＝2﹣3x +2sin x ﹣2cos x ，则m ′（x ）＝﹣3+2sin x ﹣2cos x ＝2√2sin （x −π4）﹣3＜0， ∴m （x ）单调递减，且m （0）＝0，则当x ＞0时，F ′（X ）＜0，F （X ）单调递减，当x ＜0时，F ′（X ）＞0，F （X ）单调递增，∴F （X ）≤F （0）＝1﹣1＝0，即3x−2sinx+1e x−1≤0， 则1ae x ﹣3x ﹣a （1﹣2sin x ）≥0， 综上，a 的取值范围为（0，1]．。