2018北京海淀区高三(上)期中数学(理)
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1 / 3 2018北京海淀区高三(上)期中
数 学(理) 2018.11 本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{}|0A x x a =-≤,{}1,2,3B =,若A B φ=,则a 的取值范围为
A. (,1]-∞
B. [1,)+∞
C. (,3]-∞
D. [3,)+∞
2. 下列函数中,是偶函数且在(0,)+∞上单调递增的是 A. 2()f x x x =- B. 21
()f x x = C. ()ln f x x = D.()x f x e = 3. 11
e dx x =⎰
A. 1-
B. 0
C. 1
D.e
4.在等差数列{}n a 中,1=1a ,65
2a a =,则公差d 的值为 A. 13- B. 13 C. 14- D. 1
4
5.角θ的终边经过点(4,)P y ,且sin θ=3
5-,则n ta θ= A. 43- B. 4
3 C. 34- D. 3
4
6.已知数列{}n a 的通项公式为n a
a n n =+,则“21a a ”是“数列{}n a 单调递增”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.已知向量a,b,c 满足a +b +c =0,且222a b c ,则a b 、b c 、c a 中最小的值是 A. a b B. b c C. c a D. 不能确定的
8.函数()f x x =,2()3g x x x =-+.若存在129
,,...,[0,]
2n x x x ∈,
使得1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ,则n 的最大值为
A. 5
B. 63
C.7
D.8
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9. 计算lg4lg25______.+=
10. 已知向量(1,2)=a ,(3,1)=b ,则向量a ,b 夹角的大小为______.
2 /
3 11. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,下表给出了的部分数据: 则数列的公比q = ,首项1=
a 。 12.函数()sin 2
x f x a =-在区间[0,]π上的最大值为2,则a = 13.能说明“若()
()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立,则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x = ,()g x = 。
14.已知函数ln ,0(),x x a f x e x a x
≤⎧⎪=⎨⎪⎩ (1)若函数()f x 的最大值为1,则a = ;
(2)若函数()f x 的图像与直线a y e =
只有一个公共点,则a 的取值范围为
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. (本小题满分13分)
设{}n a 是等比数列 ,n S 为其前n 项的和 ,且22a =, 120a S +=. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若80n S ≥,求n 的最小值.
16.(本小题满分13分) 已知函数cos2()2sin sin cos x f x x x x =+
+. (Ⅰ)求(0)f 的值;
(Ⅱ)求函数()f x 在[0,
]2π上的单调递增区间.
17. (本小题满分13分)
已知函数32()1f x x x ax =++-.
(Ⅰ)当1a =-时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)求证:直线2327
y ax =-是曲线()y f x =的切线; (Ⅲ)写出a 的一个值,使得函数()f x 有三个不同零点(只需直接写出数值)
3 / 3 18. (本小题满分13分)
ABC ∆中, 7c =,26sin 5C =
. (Ⅰ)若5cos 7
B =,求b 的值; (Ⅱ)若11a b +=,求AB
C ∆的面积。
19.(本小题满分14分) 已知函数2ln ()x f x mx x m =--
(Ⅰ)求函数()f x 的极值; (Ⅱ)求证:存在0x ,使得0()1f x 的切线;
20.(本小题满分14分)
记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ,最小值为n m ,令2n n n M m b += (Ⅰ)若23n n a n =-,请写出1234,,,b b b b 的值; (Ⅱ)求证:“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件; (Ⅲ)若*,2018,1n
n n N a b ∀∈= ,求证:存在*k N ∈,使得n k ∀≥,有1n b +=n b