成考专升本高等数学重点及解析

高等数学（二）重点知识及解析

Ⅰ、函数、极限

一、基本初等函数(又称简单函数)：

（1）常值函数：y c = （2）幂函数：a

y x = （3）指数函数：x

y a =(a 〉0,1)a ≠且 （4）对数函数：log a y x =(a 〉0,1)a ≠且 （5）三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，cot y x =

（6）反三角函数：arcsin y x =，

arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =

二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。

ln cos y x =是由ln y u =，cos u x =这两个个简单函数复合而成.

3arctan x

y e =是由

arctan y u =，v u e =和3v x =这三个简单函数复合而成.

该部分是后面求导的关键！

三、极限的计算

1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将0x 代

入到函数表达式中，函数值即是极限值，即0

0lim

()()x x f x f x →=。

注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即lim C C =。 （2）该方法的使用前提是当0x x →的时候，而x →∞时则不能用此方法。

lim 44→-∞

=，1

lim 33x →--=-，limlg 2lg 2x →∞

=，6

lim x π

ππ→

=，

220310301

1101

x x x x →+-+•-==-++

2tan(1)tan(21)

tan1121x x x →--==-- （非特殊角的三角函数值不用计算出来）

2、未定式极限的运算法

（1）对于0

未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0

x 代入后函数值即是极限

值。

239lim 3x x x →--. 0

未定式，提取公因式

解：原式=

33(3)(3)

lim

lim(3)63

x x x x x x →→-+=+=-

22121lim 1x x x x →-+-. 0

未定式，提取公因式

解：原式=()()()2

11lim 11x x x x →--+=()()11lim

1x x x →-+=002

=

（2）对于

∞

∞

未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。

23lim

31n n n →∞-+ ………∞

∞

未定式，分子分母同时除以n

解：原式32202lim

1303

3n n n

→∞-

-===++ ………无穷大倒数是无穷小

232321lim 25x x x x x →∞---+. ………∞∞

未定式，分子分母同除以3

x

解：原式=23

3321

lim 15

2x x x

x x x

→∞---+=002

= ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 3、利用等价无穷小的代换求极限

（1）定义：设α和β是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim βα

=1，称β与α是等价无穷

小，记作β～α.

（2）定理：设α、'

α、β、'

β均为无穷小，又α～'α，β～'

β，且'

lim

'

βα存在 则lim

βα='lim '

βα 或 ''

lim lim αβαβ•=• （3）常用的等价无穷小代换：当0x →时， sin x

～x , tan x ～x 0x →时，sin 2x ～2x ，tan(3)x -～3x -

0sin 2lim

5x x x →=02lim 5x x x →=02lim 5x →=25 ………sin 2x 用2x 等价代换

0tan 3lim x x x →=03lim x x

x →=0

lim33x →= ………tan3x 用3x 等价代换

Ⅱ、一元函数的微分学

一、导数的表示符号

（1）函数()f x 在点0x 处的导数记作：

'0()f x ，0

'

x x y = 或

x x dy dx

=

（2）函数()f x 在区间（a,b ）内的导数记作：

'()f x ，'y 或

dy dx

二、求导公式（必须熟记）

（1）'

()0c = （C 为常数） （2）'

1

()x x ααα-=

（3）'

()x x

e e = （4）'

1(ln )

x x

=

（5）'(sin )cos x x = （6）'

(cos )sin x x =- （7）'

(arcsin )x =

（8）'

2

1

(arctan )

1x x =

+

、

()3x ’

=2

3x

2、

1'

212x -= 3、'

sin 6π⎛⎫ ⎪⎝

⎭=0

4、'0π=

5、()'

'23

212x x x --⎛⎫==- ⎪⎝⎭

6、'1x =

三、导数的四则运算

运算公式（设U ，V 是关于X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U 和V 即可，

代入后用导数公式求解.）

（1）'

'

'

()u v u v ±=±

（2）'

'

'

()u v u v uv •=+ 特别地'

'

()Cu Cu =（C 为常数）

（3）''

'2

()u u v uv v v -=

4

3cos 2y x x =+-，求'

y . 解：'

y =

()()'

'4'3cos 2x x +-=343sin 0x x --=343sin x x -

2

()ln f x x x =，求'()f x 和'

()f e . 解：'

()f x =

()()'

'22ln ln x x x x +=21

2ln x x x x

⋅+⋅=2ln x x x ⋅+ 所以'()f e =2ln 23e e e e e e ⋅+=+= （注意：lne=1,ln1=0）