初三数学圆经典习题

1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论，

当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示，

过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ，

∵，，∴，AB AC AD AE ====323222

∵，∴∠，OA OAD AD OA ===132cos cos ∠OAE AE OA ==22

∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，

当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示，

同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°

点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，

如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂

（1）求证：△ABC 是直角三角形；()22

求的值AD BC

分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂

则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；

（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF

∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2

2

122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于

E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE A

F FB ⋂= 又∵AD=DC

∴∥，DF BC DF BC =12

∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE

∵DE 是⊙O 的直径

∴∠DAE=90°

而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA

∴，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2∵，DE R DF BC ==212

∴·，故AD BC R AD BC

R 22

== 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）

A A

B CD B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22

C AB C

D D AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定

分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2

()112

把的一半作出来，然后比较与的大小。AB AB CD ⋂⋂⋂ ()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。CD CD AB ⋂⋂⋂

解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ，

则AF FB AB ⋂=⋂=⋂12

AE EB AB ==12

∵，∴AB CD AE CD AB ===212 ∵AF FB AF FB ⋂=⋂=，∴ 在△AFB 中，有AF+FB>AB

∴，∴，∴，∴22

22AF AB AF AB AF CD AF CD >>>⋂>⋂ ∴AB CD ⋂>⋂2 解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE

则DE CD CE ⋂=⋂=⋂12

在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂2 ∴选A 。

例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ==

=14

1 求CD 的长。

分析：连结BD ，由AB=BC ，可得DB 平分∠ADC ，延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△EDA ，又可判定AD 是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD ≌△EBD ，得DE=AD ，利用△EBC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。 解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB BC AD ===14

1∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂==4 ∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径

∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD

∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4

∵四边形ABCD 内接于⊙O ，

∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD

∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CE AE

= ∴·CE BC AE AD BC AB BE AD ==+=+=()11412

∴CD DE CE =-=-=41272